Vértice da parábola

O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, e toda parábola tem um ponto de virada: o vértice. Nele a função deixa de diminuir e passa a aumentar, ou o contrário. Por isso o vértice responde às perguntas de máximo e de mínimo: a maior área que um cercado pode ter, a altura máxima de um jato de água, o preço que produz a maior receita.

Este artigo mostra onde fica o vértice e por que ele fica ali, deduz as fórmulas $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$ e as relaciona com a forma canônica, explica quando o vértice é ponto de máximo e quando é ponto de mínimo e, por fim, mostra como interpretá-lo em gráficos e em problemas, inclusive quando a variável só pode assumir alguns valores.

Vértice, eixo de simetria e concavidade

Uma função do segundo grau, ou função quadrática, é uma função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ da forma

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \neq 0.$$

Seu gráfico é uma parábola, e três elementos organizam o estudo do vértice.

• Concavidade. Depende só do sinal de $a$. Se $a > 0$, a parábola tem concavidade voltada para cima; se $a < 0$, voltada para baixo. Os coeficientes $b$ e $c$ mudam a posição da parábola, mas não o sentido da concavidade. Quanto maior o valor absoluto de $a$, mais fechada é a parábola.
• Eixo de simetria. É a reta vertical que divide a parábola em duas metades espelhadas. Dois pontos da parábola com a mesma ordenada estão à mesma distância do eixo, um de cada lado.
• Vértice. É o ponto em que a parábola encontra o seu eixo de simetria. Suas coordenadas são indicadas por $(x_v, y_v)$, e o eixo é a reta de equação $x = x_v$. Com concavidade para cima, o vértice é o ponto mais baixo do gráfico; com concavidade para baixo, o mais alto.

A Figura 1 mostra esses elementos na parábola de $f(x) = x^2 - 6x + 5$. As raízes são $x = 1$ e $x = 5$, e o gráfico corta o eixo $y$ em $(0, 5)$, porque $f(0) = 5$. O ponto $(6, 5)$ tem a mesma altura que $(0, 5)$; os dois estão a 3 unidades do eixo, um de cada lado. As raízes também estão à mesma distância do eixo, 2 unidades. O eixo é a reta $x = 3$, e o vértice é $(3, f(3)) = (3, -4)$.

Fórmulas do vértice

A abscissa pela simetria

Para localizar o eixo de simetria, basta encontrar dois pontos da parábola com a mesma ordenada: o eixo passa exatamente no meio deles. Um par desses existe em qualquer função quadrática. O primeiro ponto é o intercepto $(0, c)$, porque $f(0) = c$. O segundo tem abscissa $-\frac{b}{a}$:

$$\begin{aligned} f\!\left(-\frac{b}{a}\right) &= a \cdot \frac{b^2}{a^2} + b \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) + c \\ &= \frac{b^2}{a} - \frac{b^2}{a} + c = c. \end{aligned}$$

Os pontos $(0, c)$ e $\left(-\frac{b}{a}, c\right)$ estão na mesma altura. O eixo passa no ponto médio das abscissas:

$$x_v = \frac{0 + \left(-\frac{b}{a}\right)}{2} = -\frac{b}{2a}.$$

Se $b = 0$, os dois pontos coincidem, e o raciocínio não se aplica diretamente; nesse caso $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, o eixo de simetria é o próprio eixo $y$, e $x_v = 0$, de acordo com a mesma fórmula.

Quando a função tem duas raízes reais $x_1$ e $x_2$, elas também são pontos de mesma ordenada, $y = 0$. Então

$$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2},$$

o que concorda com a fórmula anterior, porque a soma das raízes é $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Na Figura 1, $x_v = \frac{1 + 5}{2} = 3$ e também $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

A ordenada do vértice

Conhecido $x_v$, a ordenada é o valor da função nesse ponto: $y_v = f(x_v)$. Substituindo $x_v = -\frac{b}{2a}$ na lei, obtém-se uma expressão geral:

$$\begin{aligned} f\!\left(-\frac{b}{2a}\right) &= a \cdot \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \\ &= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \\ &= -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}, \end{aligned}$$

em que $\Delta = b^2 - 4ac$ é o discriminante, o mesmo número usado para calcular as raízes.

As duas expressões de $y_v$ dão o mesmo número. Calcular $f(x_v)$ dispensa decorar a segunda e costuma produzir menos erros de sinal; $-\frac{\Delta}{4a}$ é prática quando $\Delta$ já foi calculado, por exemplo para encontrar as raízes. Na Figura 1, $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ e, pela outra expressão, $\Delta = 36 - 20 = 16$ e $-\frac{16}{4} = -4$.

Forma canônica

Completando o quadrado, toda função quadrática pode ser reescrita de modo que o vértice apareça na própria lei:

$$\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}. \end{aligned}$$

Como $-\frac{b}{2a} = x_v$ e $-\frac{b^2 - 4ac}{4a} = y_v$, a lei fica

$$f(x) = a\,(x - x_v)^2 + y_v.$$

Essa é a forma canônica. Ela mostra o vértice diretamente, mas exige atenção aos sinais: em $f(x) = 2(x + 1)^2 - 3$, o termo $x + 1$ é o mesmo que $x - (-1)$, e o vértice é $(-1, -3)$, não $(1, -3)$. A forma canônica também permite escrever a lei quando se conhecem o vértice e mais um ponto do gráfico, como mostra a seção sobre interpretação.

Máximo ou mínimo: o significado do vértice

A forma canônica explica por que o vértice é um extremo. Em $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$, o termo $(x - x_v)^2$ nunca é negativo e só vale zero quando $x = x_v$.

• Se $a > 0$, então $a(x - x_v)^2 \ge 0$, e portanto $f(x) \ge y_v$ para todo $x$, com igualdade só em $x = x_v$. O número $y_v$ é o valor mínimo da função, atingido no ponto de mínimo $x_v$.
• Se $a < 0$, então $a(x - x_v)^2 \le 0$, e portanto $f(x) \le y_v$. O número $y_v$ é o valor máximo, atingido no ponto de máximo $x_v$.

Uma função quadrática definida em todos os números reais tem apenas um desses extremos. Com concavidade para cima, tem mínimo e não tem máximo, porque seus valores crescem sem limite quando $x$ se afasta de $x_v$; com concavidade para baixo, o contrário.

Imagem e intervalos de crescimento

O vértice também determina o conjunto dos valores que a função assume, a imagem, e os intervalos em que ela cresce ou decresce. Em $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$, o valor da função depende de $x$ apenas pela distância entre $x$ e $x_v$. Daí saem duas consequências.

• Simetria. Para qualquer número $d$, $f(x_v + d) = f(x_v - d)$, porque $(+d)^2 = (-d)^2$.
• Crescimento. Com $a > 0$, quanto mais longe de $x_v$, maior o valor de $f$: a função decresce até $x_v$ e cresce depois dele. Com $a < 0$, ocorre o contrário.

	$a > 0$	$a < 0$
Concavidade	voltada para cima	voltada para baixo
O vértice é	ponto de mínimo	ponto de máximo
$y_v$ é	o valor mínimo	o valor máximo
Imagem	$[y_v, +\infty)$	$(-\infty, y_v]$
Para $x < x_v$	$f$ decresce	$f$ cresce
Para $x > x_v$	$f$ cresce	$f$ decresce

Na Figura 1, $a = 1 > 0$: a função decresce até $x = 3$, cresce depois, tem valor mínimo $-4$ e imagem $[-4, +\infty)$.

Interpretação no gráfico e em problemas

Lendo o vértice em um gráfico ou em uma tabela

Quando a função é dada por um gráfico ou por uma tabela, a simetria costuma ser o caminho mais curto até o vértice.

• Duas raízes conhecidas: $x_v$ é a média delas.
• Dois pontos de mesma altura: $x_v$ é a média das abscissas desses pontos.
• Tabela com valores de $x$ igualmente espaçados: valores iguais de $f(x)$ dispostos simetricamente denunciam o eixo.
• Vértice e mais um ponto conhecidos: a forma canônica fornece $a$. Se o vértice é $(2, 9)$ e o gráfico passa por $(0, 5)$, então $5 = a(0 - 2)^2 + 9$, ou seja, $4a = -4$ e $a = -1$. A lei é $f(x) = -(x - 2)^2 + 9 = -x^2 + 4x + 5$.

Raiz, vértice e intercepto

Três pontos notáveis de uma parábola costumam ser confundidos. Cada um responde a uma pergunta diferente.

Ponto	Condição	Como obter	Em um gráfico de altura por tempo
Intercepto com o eixo $y$	$x = 0$	$(0, c)$, porque $f(0) = c$	altura no instante inicial
Raízes	$f(x) = 0$	resolver $ax^2 + bx + c = 0$; existem se $\Delta \ge 0$	instantes em que a altura é zero
Vértice	ponto de virada	$x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v)$	instante e valor da altura máxima

Os três só coincidem em casos particulares. O vértice é uma raiz quando $\Delta = 0$, porque então $y_v = 0$ e a parábola apenas toca o eixo $x$. O vértice é o intercepto quando $b = 0$, porque então $x_v = 0$.

Domínio restrito e quantidades inteiras

O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais, a menos que o contexto imponha restrições. Em problemas, ele quase sempre impõe: medidas e tempos não podem ser negativos, recursos são limitados, e muitas quantidades só podem ser números inteiros. O vértice continua sendo calculado da mesma forma, mas é preciso verificar se ele é admissível.

1. Vértice dentro do domínio. O extremo procurado é o próprio vértice.
2. Vértice fora do domínio. Dentro de um intervalo que não contém $x_v$, a função só cresce ou só decresce. Então o extremo do mesmo tipo do vértice, o máximo de uma parábola com concavidade para baixo ou o mínimo de uma com concavidade para cima, fica na extremidade do intervalo mais próxima de $x_v$, desde que essa extremidade pertença ao domínio.
3. Variável inteira. Se $x_v$ não é inteiro, o melhor valor admissível é o inteiro mais próximo de $x_v$, porque o valor da função depende apenas da distância a $x_v$. Se $x_v$ estiver exatamente no meio de dois inteiros, os dois dão o mesmo valor. Em qualquer caso, calcule $f$ nos inteiros candidatos: arredondar $x_v$ não autoriza usar o valor $y_v$, que não é atingido.

Exemplos resolvidos

A Figura 2 contém os dados do exemplo intermediário.

Distinções importantes

Ponto de máximo e valor máximo. O ponto de máximo é $x_v$, o valor da variável em que o máximo acontece; o valor máximo é $y_v$. No jato de água, 1,5 m é a distância horizontal em que o jato é mais alto, e 1,25 m é a altura máxima. Responder um no lugar do outro é o erro mais comum nesses problemas.

Vértice e eixo de simetria. O vértice é um ponto, $(x_v, y_v)$. O eixo de simetria é uma reta vertical, de equação $x = x_v$. A equação $y = y_v$ descreve uma reta horizontal que só toca a parábola no vértice; ela não é eixo de simetria.

Concavidade e posição do vértice. O sinal de $a$ indica se o vértice é o ponto mais baixo ou o mais alto, e não se ele está acima ou abaixo do eixo $x$. A parábola de $f(x) = x^2 - 6x + 5$ tem $a > 0$ e vértice abaixo do eixo, em $(3, -4)$; a de $f(x) = x^2 + 2x + 5$ também tem $a > 0$, mas vértice acima do eixo, em $(-1, 4)$.

Raiz e vértice. As raízes são os pontos em que o gráfico encontra o eixo $x$; o vértice é o ponto de virada. Eles só coincidem quando $\Delta = 0$. Uma parábola pode não ter raízes, mas sempre tem vértice.

Sinal de $x_v$ e sinal de $b$. Em $x_v = -\frac{b}{2a}$, o sinal de $x_v$ depende de $a$ e de $b$ juntos. Com $a < 0$ e $b > 0$, por exemplo, $x_v$ é positivo, como em $-x^2 + 4x + 5$, cujo vértice está em $x = 2$.

Ótimo da função e ótimo do problema. O vértice dá o extremo da função em todos os reais. Se o domínio do problema é restrito ou só admite inteiros, o extremo do problema pode estar em uma extremidade do domínio ou em um inteiro vizinho de $x_v$, e o valor $y_v$ pode não ser atingido.

Perguntas frequentes

Por que o vértice fica em x = −b/(2a), e não em x = −b/a?

Porque $-\frac{b}{a}$ é a abscissa do ponto que tem a mesma altura do intercepto $(0, c)$, e o eixo de simetria passa no meio desses dois pontos. Também é a soma das raízes, quando elas existem. O vértice fica na metade do caminho: $-\frac{b}{2a}$.

Preciso decorar a fórmula da ordenada com o discriminante?

Não é necessário decorar $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$. Depois de calcular $x_v$, basta substituir na lei: $y_v = f(x_v)$. As duas formas dão o mesmo número, porque $-\frac{\Delta}{4a}$ é exatamente o resultado dessa substituição feita com letras. A fórmula com $\Delta$ é útil quando o discriminante já foi calculado.

Uma parábola sem raízes reais tem vértice?

Tem. A fórmula $x_v = -\frac{b}{2a}$ não depende das raízes. Em $f(x) = x^2 + 2x + 5$, com $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, não há raízes reais, e o vértice é $(-1, f(-1)) = (-1, 4)$. Como $a > 0$, a parábola fica inteira acima do eixo $x$, e 4 é o valor mínimo.

O vértice pode estar sobre o eixo x?

Pode, quando $\Delta = 0$. Nesse caso $y_v = -\frac{\Delta}{4a} = 0$, a função tem uma única raiz, $x = x_v$, e a parábola apenas toca o eixo $x$ no vértice. É o caso de $f(x) = (x - 3)^2$, cujo vértice é $(3, 0)$.

Como saber se a pergunta pede a abscissa ou a ordenada do vértice?

Pela grandeza pedida. Perguntas como “em que instante”, “qual preço”, “quantas unidades” ou “qual medida” pedem o ponto de extremo, $x_v$, ou o valor escolhido para a variável. Perguntas como “qual a altura máxima”, “qual a maior receita” ou “qual o menor custo” pedem o valor extremo, $y_v$. A unidade ajuda a conferir: se a resposta deve estar em metros quadrados e $x$ é medido em metros, a resposta é um valor da função.

A parábola do gráfico é o caminho percorrido pelo objeto?

Nem sempre. Se uma bola é lançada verticalmente para cima, ela sobe e desce ao longo de uma mesma reta vertical, mas o gráfico da altura em função do tempo é uma parábola, porque, no modelo usual, que despreza a resistência do ar, a altura é uma função quadrática do tempo. O vértice desse gráfico indica o instante e o valor da altura máxima, e não um ponto de uma trajetória curva. O gráfico coincide com o desenho do caminho apenas quando os eixos representam posições, altura em função da distância horizontal, como no jato de água do exemplo intermediário.