Trigonometria

A trigonometria nasceu da necessidade de medir o que não se alcança diretamente: a altura de uma montanha, a largura de um rio, a distância até um navio ou até a Lua. Sua ideia central é simples e poderosa. Em triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo, as razões entre os lados são sempre as mesmas. Conhecendo um ângulo e um lado, é possível calcular os demais.

Apresentação

Medindo uma altura com um ângulo. tg 60° = h ÷ 40

Na Matriz de Referência, a trigonometria do triângulo mobiliza a Competência 2:

• H8: resolver situação-problema com conhecimentos geométricos;
• H9: selecionar argumentos com base nesses conhecimentos.

Mobiliza também a Competência 3, especialmente a H12, que trata de medidas de grandezas. O ciclo trigonométrico prepara o estudo das funções trigonométricas (bloco 19), ligadas à Competência 5. No ENEM, os contextos mais frequentes são:

• rampas e acessibilidade;
• alturas e distâncias inacessíveis;
• navegação;
• fenômenos periódicos.

Os valores de seno, cosseno e tangente necessários costumam ser fornecidos no enunciado. O que se avalia é a escolha da razão correta e a montagem do problema.

Este artigo apresenta:

1. as razões trigonométricas no triângulo retângulo e o motivo de existirem;
2. os ângulos notáveis, com a dedução de seus valores;
3. a lei dos senos;
4. a lei dos cossenos;
5. o ciclo trigonométrico, os sinais por quadrante, a redução ao primeiro quadrante e os arcos côngruos;
6. as relações trigonométricas fundamentais.

Pré-requisitos: Geometria Plana, Partes 1 e 2 (semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, radianos e circunferência).

1. Razões trigonométricas no triângulo retângulo

1.1 Por que as razões trigonométricas existem

Considere dois triângulos retângulos que tenham um mesmo ângulo agudo α. Eles têm um ângulo reto e o ângulo α em comum. Pelo caso AA, são semelhantes.

Na semelhança, os lados correspondentes são proporcionais. Por isso, a razão entre dois lados de um triângulo é igual à razão entre os lados correspondentes do outro, independentemente do tamanho dos triângulos. Essas razões dependem apenas do ângulo α.

Essa é a ideia que fundamenta toda a trigonometria. As razões entre lados de um triângulo retângulo funcionam como uma "assinatura" do ângulo.

1.2 Definições

Em um triângulo retângulo, em relação a um ângulo agudo α:

• a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto;
• o cateto oposto é o cateto que fica em frente ao ângulo α;
• o cateto adjacente é o cateto que forma o ângulo α junto com a hipotenusa.

Atenção: "oposto" e "adjacente" dependem do ângulo considerado. O cateto oposto a um dos ângulos agudos é o adjacente ao outro.

Exemplo. No triângulo retângulo de catetos 3 e 4 e hipotenusa 5, seja α o ângulo oposto ao cateto 3:

• sen α = 3/5 = 0,6
• cos α = 4/5 = 0,8
• tg α = 3/4 = 0,75

1.3 Propriedades imediatas

Limites. Para um ângulo agudo, seno e cosseno estão sempre entre 0 e 1, porque os catetos são menores que a hipotenusa. A tangente pode ser qualquer número positivo.

Tangente como quociente:

Basta dividir as definições: (oposto/hipotenusa) ÷ (adjacente/hipotenusa) = oposto/adjacente.

Ângulos complementares. Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo somam 90°. O cateto oposto a um é o adjacente ao outro. Por isso:

O próprio nome indica isso: cosseno é o seno do complemento. Por exemplo, sen 30° = cos 60°.

A relação fundamental. Pelo teorema de Pitágoras, (oposto)² + (adjacente)² = (hipotenusa)². Dividindo tudo por (hipotenusa)²:

1.4 Aplicações: alturas, distâncias e inclinações

Estratégia:

1. Desenhe o triângulo retângulo da situação.
2. Marque o ângulo conhecido.
3. Identifique o lado conhecido e o lado procurado em relação a esse ângulo: hipotenusa, cateto oposto ou cateto adjacente.
4. Escolha a razão que envolve exatamente esses dois lados.

Lados envolvidos	Razão
oposto e hipotenusa	seno
adjacente e hipotenusa	cosseno
oposto e adjacente	tangente

Exemplo 1: rampa. Uma rampa de 10 m de comprimento forma um ângulo de 30° com o chão. A que altura ela chega?

O comprimento da rampa é a hipotenusa, e a altura é o cateto oposto ao ângulo. Logo:

h = 10 · sen 30° = 10 · 1/2 = 5 m

Exemplo 2: altura de um prédio. Um observador a 30 m da base de um prédio vê o topo sob um ângulo de 60° com a horizontal. Desprezando a altura dos olhos, qual é a altura do prédio?

A distância é o cateto adjacente, e a altura, o cateto oposto. Logo:

h = 30 · tg 60° = 30√3 ≈ 51,96 m

Quando o enunciado informa a altura dos olhos do observador, ela deve ser somada ao resultado.

Exemplo 3: inclinação percentual. A inclinação de rampas e estradas costuma ser dada em porcentagem:

Uma rampa que sobe 0,4 m ao longo de 5 m na horizontal tem inclinação de 0,4 ÷ 5 = 0,08, ou seja, 8%. As normas brasileiras de acessibilidade estabelecem limites máximos para essa inclinação, e itens do ENEM costumam pedir para avaliar se uma rampa os respeita.

Exemplo 4: duas observações. De um ponto A, um observador vê o topo de uma torre sob um ângulo de 30°. Ele caminha 20 m em direção à torre, até o ponto B, e passa a ver o topo sob um ângulo de 60°. Qual é a altura da torre?

1. Seja x a distância de B até a base da torre.
2. Do ponto B: h = x · tg 60° = x√3.
3. Do ponto A: h = (x + 20) · tg 30° = (x + 20)√3/3.
4. Igualando: x√3 = (x + 20)√3/3, então 3x = x + 20, e x = 10 m.
5. h = 10√3 ≈ 17,3 m.

2. Ângulos notáveis

2.1 Dedução dos valores

Ângulo de 45°. A diagonal de um quadrado de lado 1 o divide em dois triângulos retângulos isósceles, com catetos 1 e 1, hipotenusa √2 e ângulos agudos de 45°:

• sen 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2
• tg 45° = 1/1 = 1

Ângulos de 30° e 60°. A altura de um triângulo equilátero de lado 2 o divide em dois triângulos retângulos com:

• hipotenusa 2;
• cateto menor 1, oposto ao ângulo de 30°;
• cateto maior √3, oposto ao ângulo de 60°, obtido por Pitágoras.

Daí:

• sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = 1/√3 = √3/3
• sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3

2.2 Tabela

	30°	45°	60°
sen	1/2	√2/2	√3/2
cos	√3/2	√2/2	1/2
tg	√3/3	1	√3

Como memorizar:

• Os senos de 30°, 45° e 60° são √1/2, √2/2, √3/2: o número dentro da raiz cresce de 1 a 3.
• Os cossenos são os mesmos valores em ordem inversa, porque cada ângulo é complemento do outro (30° e 60°, e 45° consigo mesmo).
• A tangente é seno dividido por cosseno.

Valores aproximados:

Valor	Aproximação
√2/2	0,707
√3/2	0,866
√3	1,732
√3/3	0,577

2.3 Ângulos de 0° e 90°

Esses ângulos não existem como ângulos agudos de um triângulo, mas seus valores são definidos pelo ciclo trigonométrico (seção 5):

	0°	90°
sen	0	1
cos	1	0
tg	0	não definida

3. Lei dos senos

3.1 Enunciado

As razões do triângulo retângulo não se aplicam diretamente a triângulos quaisquer. Para eles, há duas leis. A primeira é:

Em palavras: cada lado é proporcional ao seno do ângulo oposto.

3.2 Demonstração

Trace a altura h relativa ao lado AB, partindo do vértice C. Ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos.

• No triângulo que contém o vértice A: h = b · sen A.
• No triângulo que contém o vértice B: h = a · sen B.

Igualando: b · sen A = a · sen B, ou seja, a/sen A = b/sen B. O mesmo raciocínio, com outra altura, inclui c/sen C.

A igualdade com 2R vem do ângulo inscrito (Geometria Plana, Parte 2). Traçando o diâmetro a partir de um vértice, forma-se um triângulo retângulo inscrito, no qual o lado a é cateto oposto a um ângulo igual a A, e a hipotenusa é 2R.

3.3 Quando usar

A lei dos senos se aplica quando se conhecem:

• dois ângulos e um lado: o terceiro ângulo sai da soma 180°;
• dois lados e o ângulo oposto a um deles.

3.4 Exemplos

Exemplo 1. Em um triângulo, A = 45°, B = 60° e a = 10. Quanto mede b?

10/sen 45° = b/sen 60°
b = 10 · (√3/2) ÷ (√2/2) = 10√3/√2 = 5√6 ≈ 12,25

Exemplo 2: distância inacessível. Dois pontos, A e B, estão na mesma margem de um rio, a 100 m um do outro. De A, avista-se uma árvore C na outra margem sob um ângulo de 75° com a linha AB. De B, sob um ângulo de 45°. Qual é a distância de A até a árvore?

1. O ângulo em C é 180° − 75° − 45° = 60°.
2. AC é oposto ao ângulo B, e AB é oposto ao ângulo C.
3. AC/sen 45° = 100/sen 60°.
4. AC = 100 · (√2/2) ÷ (√3/2) = 100√2/√3 = 100√6/3 ≈ 81,6 m.

Exemplo 3: raio da circunferência circunscrita. Em um triângulo, a = 6 e A = 30°. Então:

2R = 6/sen 30° = 6 ÷ 0,5 = 12, logo R = 6

4. Lei dos cossenos

4.1 Enunciado

E, de forma análoga:

• b² = a² + c² − 2ac · cos B
• c² = a² + b² − 2ab · cos C

4.2 Demonstração

Trace a altura h relativa ao lado AB, partindo de C. Ela determina sobre AB:

• um segmento adjacente a A, de medida b · cos A;
• o segmento restante, de medida c − b · cos A.

A altura mede h = b · sen A. No triângulo retângulo que contém o vértice B, por Pitágoras:

a² = h² + (c − b · cos A)²
a² = b² sen² A + c² − 2bc · cos A + b² cos² A
a² = b² (sen² A + cos² A) + c² − 2bc · cos A
a² = b² + c² − 2bc · cos A

4.3 Relação com o teorema de Pitágoras

A lei dos cossenos é uma generalização do teorema de Pitágoras.

• Se A = 90°, então cos A = 0, e a lei se reduz a a² = b² + c².
• Se A é agudo, cos A > 0, e o termo subtraído torna a² < b² + c².
• Se A é obtuso, cos A < 0, e o termo subtraído passa a somar, tornando a² > b² + c².

Essa é exatamente a classificação de triângulos pelos lados, apresentada na Geometria Plana, Parte 1. Agora ela tem uma justificativa.

4.4 Quando usar

A lei dos cossenos se aplica quando se conhecem:

• dois lados e o ângulo entre eles, para calcular o terceiro lado;
• os três lados, para calcular qualquer ângulo.

4.5 Exemplos

Exemplo 1: terceiro lado. b = 5, c = 8 e A = 60°.

a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · (1/2) = 89 − 40 = 49
a = 7

Exemplo 2: ângulo a partir dos lados. Um triângulo tem lados 7, 8 e 13. Qual é o maior ângulo?

O maior ângulo é oposto ao maior lado (13):

169 = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 · cos C
169 = 113 − 112 cos C
cos C = −56/112 = −1/2

Logo, C = 120°. O cosseno negativo indica um ângulo obtuso. O cálculo de cos 120° é explicado na seção 5.7.

Exemplo 3: navegação. Dois navios partem do mesmo porto, em rotas que formam entre si um ângulo de 120°. Depois de algum tempo, um percorreu 30 km, e o outro, 50 km. Qual é a distância entre eles?

d² = 30² + 50² − 2 · 30 · 50 · cos 120°
d² = 900 + 2.500 − 3.000 · (−1/2)
d² = 3.400 + 1.500 = 4.900
d = 70 km

5. O ciclo trigonométrico

5.1 Por que ampliar as definições

No triângulo retângulo, só existem ângulos entre 0° e 90°. Mas há muitas situações que exigem ângulos maiores ou negativos:

• triângulos obtusângulos, como no exemplo dos navios;
• rotações completas, como as de rodas e ponteiros;
• fenômenos que se repetem periodicamente, como marés, ondas sonoras e o ciclo dos dias.

O ciclo trigonométrico estende seno, cosseno e tangente a qualquer ângulo.

5.2 A circunferência unitária

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, centrada na origem do plano cartesiano. Por convenção:

• a origem dos arcos é o ponto (1, 0);
• o sentido positivo é o anti-horário;
• arcos no sentido horário são negativos.

Os eixos dividem o ciclo em quatro quadrantes:

Quadrante	Arcos (em graus)
I	0° a 90°
II	90° a 180°
III	180° a 270°
IV	270° a 360°

5.3 Radianos

Como o raio é 1, a medida de um arco em radianos é igual ao seu comprimento. Uma volta completa mede 2π.

Graus	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianos	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

A conversão segue a relação π rad = 180°. Um radiano mede aproximadamente 57,3°.

5.4 Seno e cosseno como coordenadas

Para cada arco θ, existe um ponto P sobre o ciclo, e:

• O cosseno é a abscissa de P, sua projeção sobre o eixo horizontal.
• O seno é a ordenada de P, sua projeção sobre o eixo vertical.

Para ângulos agudos, essa definição coincide com a do triângulo retângulo. Ligando a origem ao ponto P, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa 1, cateto horizontal cos θ e cateto vertical sen θ.

Como P está sobre uma circunferência de raio 1:

5.5 A tangente no ciclo

A tangente é definida por tg θ = sen θ ÷ cos θ. Geometricamente, é a ordenada do ponto em que o prolongamento do raio OP encontra a reta vertical x = 1, chamada eixo das tangentes.

A tangente não está definida quando cos θ = 0, ou seja, para 90°, 270° e arcos côngruos a eles.

5.6 Sinais por quadrante

Quadrante	sen	cos	tg
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

O sinal do seno segue o eixo vertical: positivo acima do eixo x, negativo abaixo. O do cosseno segue o eixo horizontal: positivo à direita do eixo y, negativo à esquerda. A tangente é positiva quando seno e cosseno têm o mesmo sinal.

5.7 Valores nos eixos

	0°	90°	180°	270°	360°
sen	0	1	0	−1	0
cos	1	0	−1	0	1
tg	0	não definida	0	não definida	0

5.8 Redução ao primeiro quadrante

Pela simetria do ciclo, o seno e o cosseno de qualquer arco têm, em módulo, o mesmo valor de um arco do primeiro quadrante. Só o sinal muda, conforme o quadrante.

Quadrante	Arco	Arco correspondente no 1º quadrante	sen	cos
II	180° − x	x	sen x	−cos x
III	180° + x	x	−sen x	−cos x
IV	360° − x	x	−sen x	cos x

Procedimento:

1. Identifique o quadrante do arco.
2. Encontre o arco correspondente no 1º quadrante.
3. Use o valor desse arco, com o sinal do quadrante original.

Exemplos:

• sen 150° = sen(180° − 30°) = sen 30° = 1/2
• cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2
• cos 210° = cos(180° + 30°) = −cos 30° = −√3/2
• sen 300° = sen(360° − 60°) = −sen 60° = −√3/2
• tg 135°: no II quadrante, a tangente é negativa, e tg 45° = 1. Logo, tg 135° = −1.
• tg 240°: no III quadrante, a tangente é positiva, e tg 60° = √3. Logo, tg 240° = √3.

5.9 Arcos côngruos

Dois arcos são côngruos quando têm a mesma extremidade no ciclo, ou seja, quando diferem por um número inteiro de voltas. Arcos côngruos têm o mesmo seno, o mesmo cosseno e a mesma tangente.

Para reduzir um arco à primeira volta, divida a medida por 360° e use o resto.

• 1.110° = 3 · 360° + 30°. É côngruo a 30°, e sen 1.110° = 1/2.
• −45° é côngruo a 360° − 45° = 315°.
• 17π/6 = 2π + 5π/6. É côngruo a 5π/6 = 150°, e sen(17π/6) = 1/2.

6. Relações trigonométricas fundamentais

6.1 A relação fundamental

Demonstração no ciclo. O ponto P = (cos x, sen x) está a uma distância 1 da origem. Pelo teorema de Pitágoras:

(cos x)² + (sen x)² = 1²

6.2 Tangente, secante, cossecante e cotangente

As três razões recíprocas são:

Razão	Definição	Condição de existência
Secante	sec x = 1 ÷ cos x	cos x ≠ 0
Cossecante	cossec x = 1 ÷ sen x	sen x ≠ 0
Cotangente	cotg x = cos x ÷ sen x = 1 ÷ tg x	sen x ≠ 0

Dividindo a relação fundamental por cos² x ou por sen² x, obtêm-se duas relações derivadas:

6.3 Calcular todas as razões a partir de uma

Exemplo 1. Se sen x = 3/5 e x está no II quadrante, quais são cos x e tg x?

1. cos² x = 1 − 9/25 = 16/25, então cos x = ±4/5.
2. No II quadrante, o cosseno é negativo: cos x = −4/5.
3. tg x = (3/5) ÷ (−4/5) = −3/4.

Exemplo 2. Se cos x = 1/2 e x está no IV quadrante:

1. sen² x = 1 − 1/4 = 3/4, então sen x = ±√3/2.
2. No IV quadrante, o seno é negativo: sen x = −√3/2.
3. tg x = (−√3/2) ÷ (1/2) = −√3.

O quadrante é indispensável: a relação fundamental dá o valor do seno ou do cosseno apenas em módulo. O sinal vem da posição do arco.

6.4 Simplificação de expressões

Exemplo 1.

(1 − cos² x) ÷ sen x = sen² x ÷ sen x = sen x, para sen x ≠ 0

Exemplo 2. Usando o produto notável (a + b)² = a² + 2ab + b²:

(sen x + cos x)² = sen² x + 2 sen x cos x + cos² x = 1 + 2 sen x cos x

7. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Cateto oposto	Cateto adjacente	Dependem do ângulo de referência
Seno	Cosseno	O seno usa o cateto oposto; o cosseno, o adjacente
sen² x + cos² x = 1	sen x + cos x = 1	Só a soma dos quadrados vale 1
Razões do triângulo retângulo	Lei dos senos e dos cossenos	As leis valem para qualquer triângulo
Lei dos senos	Lei dos cossenos	A dos senos relaciona lados e ângulos opostos; a dos cossenos, dois lados e o ângulo entre eles
Grau	Radiano	180° = π rad
Arcos côngruos	Arcos iguais	Côngruos diferem por voltas inteiras
cos 120°	cos 60°	Têm o mesmo valor em módulo, mas sinais opostos
tg 90°	tg 0°	A primeira não existe; a segunda é zero
Inclinação de 100%	Inclinação de 90°	100% corresponde a 45°, porque tg 45° = 1

8. Erros recorrentes e como evitá-los

Confundir cateto oposto com adjacente. Controle: o oposto fica "em frente" ao ângulo; o adjacente "encosta" no ângulo.

Escolher a razão errada. Controle: identifique os dois lados envolvidos (o conhecido e o procurado) e use a razão que relaciona exatamente esses dois.

Usar razões do triângulo retângulo em um triângulo qualquer. Controle: sem ângulo reto, use a lei dos senos ou a dos cossenos.

Esquecer a altura dos olhos do observador. Controle: releia o enunciado em busca desse dado e some-o ao resultado.

Errar o sinal na redução ao primeiro quadrante. Controle: determine primeiro o quadrante e o sinal correspondente; só depois busque o valor.

Esquecer que cos A é negativo para ângulos obtusos na lei dos cossenos. Controle: lembre que, com ângulo obtuso, o terceiro lado fica maior que no caso retângulo.

Escrever sen x + cos x = 1. Controle: teste com 45°: √2/2 + √2/2 ≈ 1,41.

Ignorar o quadrante ao usar a relação fundamental. Controle: a raiz quadrada dá dois sinais possíveis, e o quadrante decide qual.

Confundir inclinação em porcentagem com ângulo em graus. Controle: a porcentagem é a tangente vezes 100.

Verificação geral. O seno e o cosseno nunca passam de 1 em módulo. O maior lado de um triângulo é oposto ao maior ângulo.

9. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H8, nível fácil)

Uma rampa reta de 12 m de comprimento forma com o solo horizontal um ângulo de 30°. A altura atingida pela extremidade superior da rampa em relação ao solo é:

A) 6 m
B) 6√3 m
C) 4√3 m
D) 12 m
E) 24 m

Gabarito: A

Resolução. O comprimento da rampa é a hipotenusa, e a altura é o cateto oposto ao ângulo:

h = 12 · sen 30° = 12 · 1/2 = 6 m

Análise dos distratores.

• B: usa o cosseno, que dá a projeção horizontal da rampa.
• C: usa a tangente, tratando o comprimento da rampa como cateto adjacente.
• E: divide pelo seno em vez de multiplicar.

Questão 2 (H8, nível médio)

Uma pessoa está a 40 m da base de um prédio, em terreno plano, e vê o topo do prédio sob um ângulo de 60° com a horizontal. Seus olhos estão a 1,6 m do chão. Considerando √3 ≈ 1,73, a altura do prédio é, aproximadamente:

A) 23,1 m
B) 24,7 m
C) 69,2 m
D) 70,8 m
E) 80,0 m

Gabarito: D

Resolução.

1. A parte do prédio acima dos olhos mede 40 · tg 60° = 40 · 1,73 = 69,2 m.
2. Somando a altura dos olhos: 69,2 + 1,6 = 70,8 m.

Análise dos distratores.

• C: esquece a altura dos olhos.
• A: divide pela tangente em vez de multiplicar (40 ÷ 1,73).
• B: comete o mesmo erro de A e soma a altura dos olhos.
• E: calcula a hipotenusa (40 ÷ cos 60°), que é a distância dos olhos ao topo.

Questão 3 (H8, nível médio)

Dois pontos, A e B, estão na mesma margem de um rio, a 100 m um do outro. De A, avista-se uma árvore C, na margem oposta, sob um ângulo de 75° com a linha AB. De B, a mesma árvore é vista sob um ângulo de 45° com essa linha. Considerando √2 ≈ 1,41 e √6 ≈ 2,45, a distância de A até a árvore é, aproximadamente:

A) 70,7 m
B) 81,7 m
C) 86,6 m
D) 122,5 m
E) 141,4 m

Gabarito: B

Resolução.

1. O ângulo em C é 180° − 75° − 45° = 60°.
2. Pela lei dos senos: AC/sen 45° = 100/sen 60°.
3. AC = 100√2/√3 = 100√6/3 ≈ 81,7 m.

Análise dos distratores.

• D: inverte a razão entre os senos.
• A e C: tratam o triângulo como retângulo e multiplicam 100 m diretamente pelo seno de um dos ângulos.

Questão 4 (H8, nível médio)

Dois barcos partem de um mesmo porto, em rotas retilíneas que formam entre si um ângulo de 120°. Após algum tempo, um percorreu 30 km, e o outro, 50 km. A distância entre os barcos nesse instante é:

A) 20 km
B) aproximadamente 43,6 km
C) aproximadamente 58,3 km
D) 70 km
E) 80 km

Gabarito: D

Resolução. Pela lei dos cossenos, com cos 120° = −1/2:

d² = 900 + 2.500 − 2 · 30 · 50 · (−1/2) = 3.400 + 1.500 = 4.900
d = 70 km

Análise dos distratores.

• B: usa cos 120° = +1/2, esquecendo o sinal negativo no II quadrante.
• C: aplica Pitágoras, como se o ângulo fosse reto.
• A: subtrai as distâncias.
• E: soma as distâncias.

Questão 5 (H7, nível fácil)

O valor da expressão sen 150° + cos 240° é:

A) −1
B) −1/2
C) 0
D) 1/2
E) 1

Gabarito: C

Resolução.

• sen 150° = sen 30° = 1/2 (no II quadrante, o seno é positivo).
• cos 240° = −cos 60° = −1/2 (no III quadrante, o cosseno é negativo).
• Soma: 1/2 + (−1/2) = 0.

Análise dos distratores. A alternativa E resulta de ignorar os sinais e tratar os dois valores como positivos.

Questão 6 (H8, nível difícil)

De um ponto A, um observador vê o topo de uma torre sob um ângulo de 30° com a horizontal. Ele caminha 20 m em linha reta na direção da torre e passa a ver o topo sob um ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador e considerando √3 ≈ 1,73, a altura da torre é, aproximadamente:

A) 10 m
B) 17,3 m
C) 20 m
D) 34,6 m
E) 11,5 m

Gabarito: B

Resolução.

1. Seja x a distância do segundo ponto até a base da torre.
2. h = x√3 e h = (x + 20)√3/3.
3. Igualando: 3x = x + 20, então x = 10 m.
4. h = 10√3 ≈ 17,3 m.

Análise dos distratores.

• A: dá a distância x, e não a altura.
• D: multiplica a distância percorrida (20 m) por tg 60°, como se ela fosse a distância até a torre.
• E: multiplica 20 m por tg 30°, cometendo o mesmo erro com o outro ângulo.

Questão 7 (H22, nível difícil)

Um estudante afirmou que, para qualquer ângulo agudo x, vale sen x + cos x = 1. Sobre essa afirmação, é correto dizer que ela é:

A) verdadeira, por ser a relação fundamental da trigonometria.
B) verdadeira apenas para x = 45°.
C) falsa, pois a relação fundamental é sen² x + cos² x = 1. Para ângulos agudos, sen x + cos x é sempre maior que 1.
D) falsa, pois sen x + cos x vale sempre 2.
E) falsa, pois sen x + cos x é sempre menor que 1 para ângulos agudos.

Gabarito: C

Resolução.

• A relação fundamental envolve os quadrados: sen² x + cos² x = 1.
• Para um ângulo agudo, seno e cosseno estão entre 0 e 1. Por isso, cada um é maior que seu próprio quadrado, e a soma sen x + cos x é maior que sen² x + cos² x = 1.
• Por exemplo, para 45°: √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41.

Análise dos distratores.

• A: confunde a soma com a soma dos quadrados.
• B: para 45°, a soma vale √2, e não 1.
• E: inverte a desigualdade.

10. Perguntas frequentes

Por que o seno de um ângulo não depende do tamanho do triângulo?

Porque todos os triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes, e a razão entre lados correspondentes é a mesma em todos eles.

Como escolher entre seno, cosseno e tangente?

Identifique os dois lados envolvidos no problema em relação ao ângulo conhecido. Oposto e hipotenusa pedem seno; adjacente e hipotenusa, cosseno; oposto e adjacente, tangente.

Quando usar a lei dos senos e quando usar a dos cossenos?

Use a dos senos com dois ângulos e um lado, ou com dois lados e o ângulo oposto a um deles. Use a dos cossenos com dois lados e o ângulo entre eles, ou com os três lados.

A lei dos cossenos tem relação com Pitágoras?

Sim. Quando o ângulo é reto, o cosseno é zero, e a lei dos cossenos vira o teorema de Pitágoras.

Por que cos 120° é negativo?

Porque 120° está no II quadrante, onde o ponto do ciclo fica à esquerda do eixo y, e o cosseno é a abscissa desse ponto.

O que são arcos côngruos?

São arcos que terminam no mesmo ponto do ciclo, diferindo por voltas inteiras. Têm os mesmos valores de seno, cosseno e tangente.

Por que a tangente de 90° não existe?

Porque tg 90° = sen 90° ÷ cos 90° = 1 ÷ 0, e não se divide por zero.

Qual a relação entre inclinação em porcentagem e ângulo?

A inclinação em porcentagem é a tangente do ângulo vezes 100. Uma inclinação de 100% corresponde a um ângulo de 45°.

sen² x + cos² x = 1 vale para qualquer ângulo?

Sim, para qualquer arco do ciclo trigonométrico. É uma consequência do teorema de Pitágoras.

12. Síntese

Triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes. Por isso, as razões entre seus lados dependem apenas do ângulo:

• seno = cateto oposto ÷ hipotenusa;
• cosseno = cateto adjacente ÷ hipotenusa;
• tangente = cateto oposto ÷ cateto adjacente.

O cosseno de um ângulo é o seno de seu complemento, a tangente é o seno dividido pelo cosseno, e sen² + cos² = 1 decorre do teorema de Pitágoras. Os ângulos notáveis (30°, 45° e 60°) têm valores deduzidos da metade do quadrado e da metade do triângulo equilátero. A tangente também mede inclinações: em porcentagem, é tg α × 100.

Para triângulos quaisquer:

• a lei dos senos afirma que cada lado é proporcional ao seno do ângulo oposto, com constante 2R;
• a lei dos cossenos, a² = b² + c² − 2bc · cos A, generaliza o teorema de Pitágoras e explica a classificação dos triângulos pelos lados.

O ciclo trigonométrico, de raio 1, estende as definições a qualquer arco. O cosseno é a abscissa do ponto, e o seno, sua ordenada. Os sinais variam por quadrante, e a redução ao primeiro quadrante permite calcular qualquer valor a partir dos ângulos notáveis. Arcos côngruos, que diferem por voltas inteiras, têm os mesmos valores trigonométricos.

Situação	Ferramenta
Lado oposto e hipotenusa	seno
Lado adjacente e hipotenusa	cosseno
Lados oposto e adjacente	tangente
Inclinação em porcentagem	tg α × 100%
Dois ângulos e um lado	lei dos senos
Dois lados e o ângulo entre eles	lei dos cossenos
Três lados, ângulo procurado	lei dos cossenos
Raio da circunferência circunscrita	a/sen A = 2R
Arco fora do 1º quadrante	redução + sinal do quadrante
Arco maior que 360°	resto da divisão por 360°
Uma razão conhecida, outras procuradas	sen² + cos² = 1 + quadrante
Graus e radianos	π rad = 180°

13. Glossário

Termo	Definição
Seno	Razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; ordenada do ponto no ciclo
Cosseno	Razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa; abscissa do ponto no ciclo
Tangente	Razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente; quociente entre seno e cosseno
Ângulos notáveis	30°, 45° e 60°, cujos valores trigonométricos são exatos e conhecidos
Lei dos senos	Em qualquer triângulo, a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R
Lei dos cossenos	Em qualquer triângulo, a² = b² + c² − 2bc · cos A
Ciclo trigonométrico	Circunferência de raio 1 centrada na origem, com orientação anti-horária
Quadrante	Cada uma das quatro regiões em que os eixos dividem o ciclo
Radiano	Medida de um arco de comprimento igual ao raio
Redução ao 1º quadrante	Cálculo de valores trigonométricos a partir do arco correspondente no 1º quadrante
Arcos côngruos	Arcos com a mesma extremidade, que diferem por voltas inteiras
Secante	Inverso do cosseno
Cossecante	Inverso do seno
Cotangente	Inverso da tangente
Inclinação	Razão entre o desnível vertical e o deslocamento horizontal