Estatística e Análise de Dados

A estatística é o conjunto de métodos para coletar, organizar, resumir e interpretar dados. É a matemática da informação pública: índices de desemprego, resultados de pesquisas eleitorais, boletins epidemiológicos, notas de avaliações, indicadores de desempenho. Na prova, praticamente todo item com tabela ou gráfico exige algum raciocínio estatístico, mesmo quando a palavra "estatística" não aparece.

Apresentação

A tábua de Galton. Muitos resultados aleatórios se acumulam em torno da média.

Na Matriz de Referência, o tema ocupa duas competências de área.

A Competência 6 trata da interpretação de informações obtidas em gráficos e tabelas, incluindo previsão de tendência, interpolação e extrapolação. Suas habilidades são:

• H24: fazer inferências a partir de gráficos e tabelas;
• H25: resolver problemas com dados apresentados nessas formas;
• H26: analisar esses dados para construir argumentos.

A Competência 7 trata do caráter aleatório dos fenômenos e das medidas estatísticas. Suas habilidades são:

• H27: calcular medidas de tendência central ou de dispersão;
• H28: resolver situações-problema com estatística e probabilidade;
• H29: usar esses conhecimentos como recurso de argumentação;
• H30: avaliar propostas de intervenção na realidade com base neles.

Juntas, essas duas competências respondem por uma parcela expressiva da prova.

Este artigo segue o caminho natural da análise de dados:

1. conceitos básicos (população, amostra, tipos de variáveis);
2. organização em tabelas e frequências;
3. representação em gráficos, com suas armadilhas de leitura;
4. medidas de tendência central (as quatro médias, moda e mediana);
5. medidas de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação);
6. leitura crítica de dados.

Em cada medida, o foco está em quando usá-la e o que ela esconde, que são as perguntas que o ENEM efetivamente faz.

Pré-requisitos: os artigos de Porcentagem e de Razão, Proporção e Regra de Três, além de radiciação (bloco 0).

1. Conceitos básicos

1.1 População e amostra

• População é o conjunto de todos os elementos que se deseja estudar: todos os eleitores de um país, todos os alunos de uma escola, todas as peças produzidas por uma fábrica.
• Amostra é um subconjunto da população efetivamente observado.

Quando é inviável observar a população inteira, estuda-se uma amostra e se estendem as conclusões à população. Essa extensão só é legítima se a amostra for representativa, isto é, se reproduzir as características relevantes da população.

Uma pesquisa sobre hábitos de leitura feita apenas na porta de uma livraria produz resultados distorcidos, porque a amostra favorece quem já lê. Esse tipo de distorção se chama viés de seleção.

1.2 Variáveis

Variável é a característica observada em cada elemento. Ela pode ser de dois tipos principais.

Qualitativa, quando seus valores são categorias:

• nominal, quando as categorias não têm ordem: tipo sanguíneo, cor favorita, cidade de nascimento;
• ordinal, quando as categorias têm ordem natural: escolaridade, grau de satisfação, estágio de uma doença.

Quantitativa, quando seus valores são números:

• discreta, quando assume valores contáveis, geralmente inteiros: número de filhos, número de gols;
• contínua, quando pode assumir qualquer valor em um intervalo: altura, massa, tempo, temperatura.

O tipo de variável determina quais medidas e gráficos fazem sentido. Não existe "média do tipo sanguíneo", mas existe a categoria mais frequente: a moda.

1.3 Dados brutos e rol

• Dados brutos são os valores na ordem em que foram coletados.
• Rol é a lista dos dados organizados em ordem crescente ou decrescente.

O rol é indispensável para calcular a mediana e facilita a identificação da moda e da amplitude.

2. Tabelas e frequências

2.1 Elementos de uma tabela

Uma tabela estatística bem construída tem:

• título, que diz o quê, onde e quando;
• cabeçalho, que identifica o conteúdo de cada coluna;
• corpo, com os dados;
• fonte, que indica a origem dos dados.

Em itens do ENEM, o título e as notas de rodapé frequentemente contêm a informação que define a base dos percentuais.

2.2 Frequências

Considere uma pesquisa sobre o número de filhos em 40 famílias.

Nº de filhos	Frequência absoluta (fᵢ)	Frequência relativa (frᵢ)	Frequência acumulada (Fᵢ)
0	6	15%	6
1	12	30%	18
2	14	35%	32
3	6	15%	38
4	2	5%	40
Total	40	100%	–

• A frequência absoluta (fᵢ) é o número de vezes que cada valor aparece.
• A frequência relativa (frᵢ) é a frequência absoluta dividida pelo total. Aqui, frᵢ = fᵢ ÷ 40. As frequências relativas somam 100%.
• A frequência acumulada (Fᵢ) é a soma das frequências absolutas até aquele valor. Ela responde a perguntas como "quantas famílias têm até 2 filhos?" (resposta: 32).

2.3 Tabelas de dupla entrada

Uma tabela de dupla entrada cruza duas variáveis. A dificuldade está em identificar a base de cada porcentagem pedida.

Exemplo. Uma pesquisa com 200 pessoas cruzou sexo e prática regular de exercício físico.

	Pratica	Não pratica	Total
Homens	45	55	100
Mulheres	60	40	100
Total	105	95	200

Três perguntas diferentes, com três bases diferentes:

• Que porcentagem do total pratica exercício? 105 ÷ 200 = 52,5%.
• Que porcentagem das mulheres pratica exercício? 60 ÷ 100 = 60%.
• Que porcentagem dos praticantes são mulheres? 60 ÷ 105 ≈ 57,1%.

As três perguntas usam o mesmo número de mulheres praticantes (60), mas o denominador muda conforme o grupo de referência. Esse raciocínio é a base da probabilidade condicional (bloco 17).

3. Gráficos

3.1 Gráfico de barras

É usado para comparar categorias. A altura (ou o comprimento) de cada barra é proporcional à frequência.

• Barras simples comparam uma variável entre categorias.
• Barras agrupadas colocam lado a lado duas ou mais séries por categoria, como homens e mulheres em cada faixa etária.
• Barras empilhadas mostram a composição de cada categoria, e a altura total representa o total.

3.2 Gráfico de setores

É usado para mostrar as partes de um todo. Cada setor tem ângulo proporcional à frequência relativa:

Na tabela de filhos, a categoria "2 filhos" (35%) ocupa 0,35 × 360° = 126°.

O gráfico de setores só faz sentido quando as categorias são mutuamente exclusivas e somam 100%. Uma pesquisa de múltipla escolha, em que a mesma pessoa pode marcar várias opções, não deve ser representada assim.

3.3 Gráfico de linhas

É usado para mostrar a evolução de uma variável ao longo do tempo. A inclinação de cada segmento indica a taxa de variação naquele intervalo: quanto mais íngreme, mais rápida a mudança.

A partir de um gráfico de linhas, é possível fazer dois tipos de estimativa:

• interpolação: estimar valores entre pontos observados;
• extrapolação: estimar valores fora do intervalo observado, por exemplo projetando uma tendência para o futuro.

A extrapolação é sempre mais arriscada, porque supõe que a tendência se mantém.

3.4 Histograma

É usado para variáveis quantitativas contínuas agrupadas em classes, como faixas de idade, de renda ou de altura. As barras são adjacentes, sem espaço entre elas, porque as classes são intervalos consecutivos.

Quando todas as classes têm a mesma amplitude, a altura de cada barra é proporcional à frequência. Quando as amplitudes são diferentes, é a área da barra que deve ser proporcional à frequência.

3.5 Armadilhas de leitura

Eixo vertical truncado. Quando o eixo não começa em zero, pequenas diferenças parecem enormes. Uma variação de 50 para 52 pode ocupar o gráfico inteiro.

Escalas diferentes. Dois gráficos lado a lado, com escalas distintas, não podem ser comparados visualmente.

Pictogramas. Quando uma figura é ampliada em largura e em altura para representar o dobro, sua área quadruplica. Isso exagera visualmente a diferença.

Porcentagens com bases diferentes. "30% dos jovens" e "30% dos idosos" não representam o mesmo número de pessoas.

Dois eixos verticais. Gráficos com duas escalas, uma à esquerda e outra à direita, exigem atenção para não ler um valor na escala errada.

4. Medidas de tendência central

As medidas de tendência central resumem um conjunto de dados em um único valor representativo. Cada uma resume de um jeito, e a escolha da medida adequada é, ela mesma, uma habilidade avaliada.

4.1 Média aritmética

Interpretação. A média é o valor que cada elemento teria se o total fosse distribuído igualmente entre todos.

Propriedade fundamental. A soma dos desvios em relação à média é sempre zero: os valores acima da média compensam exatamente os valores abaixo dela.

Sensibilidade a valores extremos. A média é influenciada por valores muito altos ou muito baixos, os chamados outliers.

Exemplo. Os salários de cinco funcionários são R$ 2.000, R$ 2.000, R$ 2.500, R$ 3.000 e R$ 15.500.

Média = 25.000 ÷ 5 = R$ 5.000

Quatro dos cinco funcionários ganham bem menos que a média. Um único salário alto puxou a média para cima, e ela deixou de representar o salário típico.

4.2 Média com tabela de frequências

Quando os dados estão em uma tabela de frequências, cada valor é multiplicado pela sua frequência:

Na tabela de filhos:

x̄ = (0·6 + 1·12 + 2·14 + 3·6 + 4·2) ÷ 40
x̄ = (0 + 12 + 28 + 18 + 8) ÷ 40
x̄ = 66 ÷ 40 = 1,65 filho por família

O erro clássico é somar os valores (0 + 1 + 2 + 3 + 4) e dividir por 5, ou somar as frequências e dividir pelo número de linhas. Nenhum dos dois leva em conta quantas famílias há em cada categoria.

4.3 Média ponderada

Quando os valores têm importâncias diferentes, cada um é multiplicado por um peso:

A média com tabela de frequências é um caso particular, em que os pesos são as frequências.

Exemplo 1. Um processo seletivo atribui peso 3 à prova de Matemática, peso 2 à de Linguagens e peso 5 à Redação. Um candidato obteve 700, 650 e 800, respectivamente.

x̄ₚ = (3·700 + 2·650 + 5·800) ÷ (3 + 2 + 5)
x̄ₚ = (2.100 + 1.300 + 4.000) ÷ 10
x̄ₚ = 740

Exemplo 2: nota necessária. Um aluno tem nota 6 em uma prova de peso 2 e nota 7 em outra de peso 3. Quanto precisa tirar na última prova, de peso 5, para obter média 7?

(2·6 + 3·7 + 5x) ÷ 10 = 7
33 + 5x = 70
x = 7,4

4.4 Problemas de inclusão e exclusão

Nesses problemas, a chave é trabalhar com a soma, e não com a média:

Inclusão. Uma turma de 30 alunos tem média 6,0. Um novo aluno, com nota 9,1, entra na turma. Qual é a nova média?

• Soma inicial: 30 × 6,0 = 180.
• Nova soma: 180 + 9,1 = 189,1.
• Nova média: 189,1 ÷ 31 = 6,1.

Exclusão. A média de 10 números é 8. Retirando-se um deles, a média dos 9 restantes passa a ser 7,5. Qual número foi retirado?

• Soma inicial: 10 × 8 = 80.
• Soma final: 9 × 7,5 = 67,5.
• Número retirado: 80 − 67,5 = 12,5.

4.5 Média geométrica

Para dois números, MG = √(a · b). A média geométrica de 4 e 9 é √36 = 6.

Quando usar. A média geométrica é a média adequada para taxas de crescimento sucessivas, porque essas taxas se combinam por multiplicação, como visto no artigo de Porcentagem.

Exemplo. A produção de uma fábrica cresceu 25% em um ano e 80% no ano seguinte. Qual foi a taxa média anual de crescimento?

• Os fatores são 1,25 e 1,80. Seu produto é 2,25.
• A média geométrica dos fatores é √2,25 = 1,5.
• A taxa média é de 50% ao ano.

Verificação: crescer 50% em cada um dos dois anos dá 1,5 × 1,5 = 2,25, o mesmo efeito acumulado. A média aritmética das taxas, (25% + 80%) ÷ 2 = 52,5%, superestima o crescimento médio.

4.6 Média harmônica

Quando usar. A média harmônica é a adequada para taxas em que a quantidade fixa está no numerador. Os dois casos típicos são velocidades em trechos de mesma distância e preços em compras de mesmo valor em dinheiro.

Exemplo 1: velocidade média. Um carro faz a ida a 60 km/h e a volta, pelo mesmo trecho, a 40 km/h. Qual é a velocidade média no percurso total?

MH = 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 2 ÷ (5/120) = 48 km/h

A resposta não é 50 km/h. O carro passa mais tempo no trecho lento, e esse trecho pesa mais na média.

Para conferir com números concretos, suponha um trecho de 120 km:

• a ida leva 2 h, e a volta leva 3 h;
• são 240 km em 5 h, ou seja, 48 km/h.

Exemplo 2: preço médio. Um investidor compra R$ 100,00 de uma ação ao preço de R$ 10,00 e, depois, mais R$ 100,00 ao preço de R$ 20,00.

• Ele adquiriu 10 + 5 = 15 ações por R$ 200,00.
• O preço médio é 200 ÷ 15 ≈ R$ 13,33, que é a média harmônica entre 10 e 20, e não R$ 15,00.

4.7 Relação entre as três médias

Para números positivos, vale sempre:

A igualdade ocorre somente quando todos os números são iguais. Para 4 e 9:

• MA = 6,5;
• MG = 6;
• MH = 72/13 ≈ 5,54.

Saber essa ordem permite eliminar alternativas sem calcular.

4.8 Moda

Um conjunto pode ser:

• amodal, se nenhum valor se repete;
• unimodal, com uma moda;
• bimodal ou multimodal, com duas ou mais modas.

A moda é a única medida de tendência central aplicável a variáveis qualitativas nominais. É também a medida mais útil quando a pergunta é "qual é o caso mais comum?", como o tamanho de calçado mais vendido ou o turno mais procurado.

Na tabela de filhos, a moda é 2 filhos, a categoria com frequência 14.

4.9 Mediana

Quantidade ímpar de dados (n ímpar). A mediana é o termo na posição (n + 1) ÷ 2.

Em 3, 5, 8, 9, 12, a mediana é o 3º termo: 8.

Quantidade par de dados (n par). A mediana é a média aritmética dos dois termos centrais, nas posições n ÷ 2 e n ÷ 2 + 1.

Os dados 3, 8, 5, 10, 4, 7 formam o rol 3, 4, 5, 7, 8, 10. A mediana é (5 + 7) ÷ 2 = 6.

Atenção: a mediana exige o rol. Tomar o termo central da lista fora de ordem é um erro frequente e muito explorado nas alternativas.

Mediana com tabela de frequências. Use a frequência acumulada para localizar as posições centrais.

Na tabela de filhos, com n = 40, os termos centrais ocupam as posições 20 e 21.

• Até o valor 1, a frequência acumulada é 18.
• Até o valor 2, é 32.
• Logo, as posições 19 a 32 correspondem ao valor 2, e as posições 20 e 21 estão nesse intervalo.

A mediana é 2 filhos.

4.10 Mediana em dados agrupados em classes (noção)

Quando os dados estão em classes, identifica-se a classe mediana: a primeira cuja frequência acumulada atinge n ÷ 2. Dentro dela, a mediana é estimada por interpolação:

em que:

• lᵢ é o limite inferior da classe mediana;
• F_ant é a frequência acumulada até a classe anterior;
• fᵢ é a frequência da classe mediana;
• h é a amplitude da classe.

Exemplo. Considere a distribuição de idades de 50 pessoas.

Idade	Frequência	Acumulada
20 ⊢ 30	10	10
30 ⊢ 40	25	35
40 ⊢ 50	15	50

• n ÷ 2 = 25. A primeira classe com acumulada maior ou igual a 25 é 30 ⊢ 40.
• Md = 30 + [(25 − 10) ÷ 25] · 10 = 30 + 6 = 36 anos.

4.11 Média ou mediana?

Situação	Medida mais representativa
Dados simétricos, sem valores extremos	Média (as três medidas tendem a coincidir)
Dados com valores extremos ou distribuição assimétrica (renda, preço de imóveis, salários)	Mediana
Caso mais frequente; variáveis qualitativas	Moda

No exemplo dos salários (seção 4.1), a média é R$ 5.000, mas a mediana é R$ 2.500. A mediana descreve muito melhor o salário típico.

É por isso que indicadores de renda costumam informar a mediana. A distribuição de renda tem uma "cauda" longa de valores altos, que puxa a média para cima.

5. Medidas de dispersão

5.1 Por que a média não basta

Duas turmas fizeram a mesma prova.

• Turma A: 6, 6, 6, 6, 6.
• Turma B: 2, 4, 6, 8, 10.

Ambas têm média 6. Na turma A, porém, todos os alunos tiveram exatamente o mesmo desempenho. Na turma B, as notas variam muito.

A média descreve o centro dos dados, mas não diz nada sobre o espalhamento em torno dele. As medidas de dispersão completam a descrição.

5.2 Amplitude

• Turma A: 6 − 6 = 0.
• Turma B: 10 − 2 = 8.

A amplitude é fácil de calcular, mas tem uma limitação: depende apenas dos dois valores extremos. Ela ignora como os demais dados se distribuem.

5.3 Variância

A ideia é medir o quanto cada valor se afasta da média. Como a soma dos desvios é sempre zero (seção 4.1), os desvios são elevados ao quadrado antes de se calcular a média.

Cálculo para a turma B (média 6):

xᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
2	−4	16
4	−2	4
6	0	0
8	2	4
10	4	16
Soma	0	40

σ² = 40 ÷ 5 = 8

Na turma A, todos os desvios são zero, e a variância é 0.

Fórmula alternativa. A variância também é igual à média dos quadrados menos o quadrado da média:

Para a turma B:

(4 + 16 + 36 + 64 + 100) ÷ 5 − 6² = 44 − 36 = 8

Observação. Em estatística inferencial, quando os dados são uma amostra, divide-se por n − 1 em vez de n (variância amostral). Nos itens do ENEM, salvo indicação em contrário, usa-se a divisão por n, como definido acima.

5.4 Desvio padrão

A variância está em unidades ao quadrado. Se os dados são notas, a variância está em "notas ao quadrado", o que dificulta a interpretação. Para voltar à unidade original, extrai-se a raiz quadrada:

• Turma B: σ = √8 ≈ 2,83 pontos.
• Turma A: σ = 0.

Exemplo clássico. Os dados 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 têm média 5.

• Quadrados dos desvios: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16. Soma: 32.
• Variância: 32 ÷ 8 = 4.
• Desvio padrão: √4 = 2.

Interpretação. O desvio padrão mede o afastamento típico dos dados em relação à média.

• Desvio padrão pequeno indica dados homogêneos, concentrados perto da média: alta regularidade.
• Desvio padrão grande indica dados heterogêneos, espalhados: baixa regularidade.

No ENEM, a pergunta "qual atleta, candidato ou máquina é mais regular?" se responde com o menor desvio padrão.

5.5 Coeficiente de variação

Para comparar a dispersão de conjuntos com médias muito diferentes ou unidades diferentes, usa-se o desvio padrão relativo à média:

Exemplo. Em um grupo, a massa corporal tem média 50 kg e desvio padrão 5 kg. A altura tem média 160 cm e desvio padrão 8 cm.

• CV da massa: 5 ÷ 50 = 10%.
• CV da altura: 8 ÷ 160 = 5%.

A massa é relativamente mais dispersa que a altura, embora seu desvio padrão em números seja menor.

5.6 Propriedades das medidas sob transformações

Somar uma constante a todos os valores.

• A média aumenta essa constante.
• O desvio padrão e a variância não mudam, porque todos os dados se deslocam juntos e o espalhamento é o mesmo.

Multiplicar todos os valores por uma constante k positiva.

• A média e o desvio padrão ficam multiplicados por k.
• A variância fica multiplicada por k².

Exemplo. Uma empresa tem salário médio de R$ 3.000 e desvio padrão de R$ 500.

• Com um abono de R$ 200 para todos, a média passa a R$ 3.200, e o desvio padrão continua R$ 500.
• Com um reajuste de 10% para todos, a média passa a R$ 3.300, e o desvio padrão passa a R$ 550.

6. Leitura crítica de dados

As habilidades H26, H29 e H30 exigem mais do que cálculo. Exigem julgamento sobre o que os dados permitem concluir.

A média pode esconder desigualdades. Uma renda média alta é compatível com a maioria da população ganhando pouco. Sempre que possível, compare média e mediana.

Amostras precisam ser representativas. Conclusões sobre uma população baseadas em uma amostra enviesada não são confiáveis, por maior que seja a amostra.

Correlação não é causalidade. Duas variáveis que crescem juntas, como as vendas de sorvete e os afogamentos no verão, podem ter uma causa comum: o calor. Uma não causa necessariamente a outra.

Números absolutos e relativos contam histórias diferentes. Uma cidade grande pode ter mais casos de uma doença em números absolutos e, ainda assim, uma taxa de incidência menor que a de uma cidade pequena.

Extrapolações supõem que a tendência se mantém. Projetar o futuro a partir de um gráfico de linhas é útil, mas a projeção é sempre condicional.

7. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
População	Amostra	A amostra é um subconjunto observado da população
Frequência absoluta	Frequência relativa	A relativa é a absoluta dividida pelo total
Gráfico de barras	Histograma	O histograma é para classes contínuas, com barras adjacentes
Média aritmética	Média ponderada	Na ponderada, cada valor tem um peso
Média geométrica	Média aritmética das taxas	A geométrica é a correta para crescimentos sucessivos
Média harmônica	Média aritmética das velocidades	A harmônica é a correta para trechos de mesma distância
Mediana	Termo central da lista original	A mediana exige os dados em rol
Moda	Maior valor	Moda é o valor mais frequente
Variância	Desvio padrão	O desvio padrão é a raiz da variância e tem a unidade dos dados
Desvio padrão	Coeficiente de variação	O CV é o desvio padrão relativo à média
Correlação	Causalidade	Variar junto não implica uma causar a outra

8. Erros recorrentes e como evitá-los

Calcular a mediana sem ordenar os dados. Controle: monte o rol antes de qualquer coisa.

Ignorar as frequências no cálculo da média. Somar os valores distintos e dividir pela quantidade deles. Controle: multiplique cada valor pela sua frequência e divida pelo total de observações.

Fazer média simples quando os pesos são diferentes. Controle: identifique se há pesos, tamanhos de grupos ou frequências.

Usar média aritmética para velocidades ou taxas de crescimento. Controle: para trechos de mesma distância, use a média harmônica; para crescimentos sucessivos, a geométrica.

Usar a base errada em tabelas de dupla entrada. Controle: identifique o grupo de referência ("entre as mulheres", "entre os praticantes", "do total").

Interpretar como "mais regular" o conjunto de maior média. Controle: regularidade se mede pela dispersão, ou seja, pelo desvio padrão.

Supor que somar uma constante altera o desvio padrão. Controle: deslocar todos os dados não muda seu espalhamento.

Ler gráficos com eixo truncado como se começassem em zero. Controle: verifique sempre a escala dos eixos.

9. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H24, nível médio)

Uma pesquisa com 400 moradores de um município registrou a situação vacinal contra uma doença, separando as zonas urbana e rural.

	Vacinados	Não vacinados	Total
Zona urbana	200	40	240
Zona rural	100	60	160
Total	300	100	400

Entre os moradores não vacinados, a porcentagem que reside na zona rural é:

A) 15%
B) 25%
C) 37,5%
D) 40%
E) 60%

Gabarito: E

Resolução. O grupo de referência são os não vacinados, que somam 100 pessoas. Desses, 60 moram na zona rural, ou seja, 60%.

Análise dos distratores.

• A: usa como base o total de entrevistados (60 ÷ 400).
• B: calcula a proporção de não vacinados no total (100 ÷ 400).
• C: calcula a proporção de não vacinados entre os moradores da zona rural (60 ÷ 160).
• D: calcula a proporção de urbanos entre os não vacinados.

Questão 2 (H27, nível fácil)

A tabela mostra o número de gols marcados por um time em cada uma de 20 partidas.

Gols	0	1	2	3	4
Partidas	3	5	6	4	2

A média de gols por partida foi de:

A) 1,85
B) 2,00
C) 2,50
D) 4,00
E) 7,40

Gabarito: A

Resolução.

(0·3 + 1·5 + 2·6 + 3·4 + 4·2) ÷ 20 = (0 + 5 + 12 + 12 + 8) ÷ 20 = 37 ÷ 20 = 1,85

Análise dos distratores.

• B: é a moda e também a mediana, ou a média simples dos valores de 0 a 4.
• D: divide o número de partidas pelo número de colunas (20 ÷ 5).
• E: divide o total de gols pelo número de colunas (37 ÷ 5).

Questão 3 (H27, nível médio)

Os salários mensais, em milhares de reais, dos nove funcionários de uma pequena empresa, na ordem em que constam na folha de pagamento, são:

3 – 18 – 2 – 5 – 4 – 3 – 2 – 3 – 5

A média e a mediana desses salários são, respectivamente:

A) 3 mil e 5 mil.
B) 5 mil e 3 mil.
C) 5 mil e 4 mil.
D) 4 mil e 3 mil.
E) 18 mil e 3 mil.

Gabarito: B

Resolução.

• A soma dos salários é 45, e a média é 45 ÷ 9 = 5 mil.
• O rol é 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 18. Como há 9 valores, a mediana é o 5º termo do rol: 3 mil.

Análise dos distratores.

• C: toma como mediana o termo central da lista fora de ordem. O 5º valor da lista original é 4.
• A: troca as duas medidas.

O item também permite discutir por que a mediana representa melhor o salário típico: o valor de 18 mil puxa a média para cima, e oito dos nove funcionários ganham 5 mil ou menos.

Questão 4 (H28, nível médio)

Em um processo seletivo, a nota final é a média ponderada de três etapas: prova objetiva (peso 3), redação (peso 2) e entrevista (peso 5). Um candidato obteve 6,0 na prova objetiva e 8,0 na redação. Para ser aprovado, precisa de nota final igual ou superior a 7,0. A nota mínima que ele precisa obter na entrevista é:

A) 6,0
B) 7,0
C) 7,2
D) 7,5
E) 8,0

Gabarito: C

Resolução.

(3·6 + 2·8 + 5x) ÷ 10 ≥ 7
34 + 5x ≥ 70
x ≥ 7,2

Análise dos distratores. A alternativa B resulta de usar a média aritmética simples: (6 + 8 + x) ÷ 3 = 7 leva a x = 7.

Questão 5 (H29, nível médio)

Três atletas registraram seus tempos, em segundos, em três provas de 100 m.

• Atleta A: 10, 12, 14
• Atleta B: 11, 12, 13
• Atleta C: 9, 12, 15

Considerando o desvio padrão como medida de regularidade, o atleta mais regular é:

A) A, pois tem desvio padrão aproximado de 1,63 s.
B) B, pois tem desvio padrão aproximado de 0,82 s.
C) C, pois tem desvio padrão aproximado de 2,45 s.
D) qualquer um, pois os três têm a mesma média.
E) A e C, pois têm a mesma amplitude relativa.

Gabarito: B

Resolução. Os três atletas têm média 12 s.

• Variância de A: (4 + 0 + 4) ÷ 3 = 8/3, desvio padrão ≈ 1,63 s.
• Variância de B: (1 + 0 + 1) ÷ 3 = 2/3, desvio padrão ≈ 0,82 s.
• Variância de C: (9 + 0 + 9) ÷ 3 = 6, desvio padrão ≈ 2,45 s.

O menor desvio padrão indica maior regularidade.

Análise dos distratores.

• D: confunde tendência central com dispersão.
• C: associa regularidade ao maior desvio padrão.

Questão 6 (H24, nível médio)

Em uma pesquisa com 1.500 pessoas sobre o principal meio de transporte utilizado, os resultados foram representados em um gráfico de setores. O setor correspondente à bicicleta tem ângulo central de 72°. O número de pessoas que indicaram a bicicleta é:

A) 72
B) 108
C) 200
D) 300
E) 1.080

Gabarito: D

Resolução. O setor representa 72° ÷ 360° = 0,2, ou seja, 20% do total. Portanto, 0,2 × 1.500 = 300 pessoas.

Análise dos distratores.

• A: toma a medida do ângulo como número de pessoas.
• E: multiplica o ângulo por 15, interpretando-o como porcentagem e aplicando-o ao total (72% de 1.500).

Questão 7 (H27, nível difícil)

Um motorista de aplicativo fez uma viagem de ida a 90 km/h e retornou pelo mesmo trajeto a 60 km/h. Para estimar o consumo, ele precisa da velocidade média no percurso completo. Esse valor é:

A) 72 km/h
B) aproximadamente 73,5 km/h
C) 75 km/h
D) 80 km/h
E) 150 km/h

Gabarito: A

Resolução. Como as distâncias de ida e volta são iguais, a velocidade média é a média harmônica:

2 ÷ (1/90 + 1/60) = 2 ÷ (5/180) = 72 km/h

Verificação com um trecho de 180 km: a ida leva 2 h, e a volta, 3 h. São 360 km em 5 h, ou seja, 72 km/h.

Análise dos distratores.

• C: usa a média aritmética.
• B: usa a média geométrica (√5.400 ≈ 73,5).
• E: soma as velocidades.

A ordem MH < MG < MA permite identificar a resposta mesmo sem calcular as outras médias.

10. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre média, moda e mediana?

A média distribui o total igualmente entre os elementos. A moda é o valor mais frequente. A mediana é o valor central dos dados ordenados.

Quando usar a mediana em vez da média?

Quando há valores extremos ou a distribuição é assimétrica, como renda e preço de imóveis. Nesses casos, a mediana representa melhor o valor típico.

Como calcular a mediana com quantidade par de dados?

Ordene os dados e faça a média aritmética dos dois termos centrais.

Por que a velocidade média não é a média das velocidades?

Porque o veículo passa mais tempo no trecho mais lento. Para trechos de mesma distância, a média correta é a harmônica.

O que o desvio padrão indica?

O afastamento típico dos dados em relação à média. Quanto menor, mais homogêneos e regulares são os dados.

Por que elevar os desvios ao quadrado na variância?

Porque a soma dos desvios simples é sempre zero: os positivos e os negativos se anulam. Elevar ao quadrado torna todos positivos.

Se somo 10 a todas as notas, o desvio padrão muda?

Não. A média aumenta 10, mas o espalhamento dos dados continua o mesmo.

Para que serve o coeficiente de variação?

Para comparar a dispersão de conjuntos com médias ou unidades diferentes.

Uma pesquisa com muitas pessoas é sempre confiável?

Não. Uma amostra grande, mas enviesada, continua produzindo conclusões distorcidas. O que importa é a representatividade.

12. Síntese

A estatística organiza dados de uma população ou amostra representativa. As variáveis podem ser qualitativas (nominais ou ordinais) ou quantitativas (discretas ou contínuas).

Em tabelas, as frequências absoluta, relativa e acumulada descrevem a distribuição. Nas tabelas de dupla entrada, cada porcentagem depende do grupo de referência.

Cada gráfico tem sua função:

• barras comparam categorias;
• setores mostram partes de um todo;
• linhas mostram evolução temporal;
• histogramas representam classes contínuas.

A leitura exige atenção à escala e à base dos percentuais.

As medidas de tendência central resumem os dados. A média aritmética distribui o total igualmente e é sensível a extremos. A média ponderada atribui importâncias diferentes. A geométrica é adequada para crescimentos sucessivos, e a harmônica, para velocidades em trechos iguais. Vale MH ≤ MG ≤ MA. A moda indica o valor mais frequente, e a mediana, o valor central do rol, sendo mais robusta diante de valores extremos.

As medidas de dispersão descrevem o espalhamento. A amplitude depende só dos extremos. A variância é a média dos quadrados dos desvios. O desvio padrão é sua raiz, na unidade dos dados, e mede a regularidade. O coeficiente de variação permite comparar conjuntos de escalas diferentes. Somar uma constante não altera a dispersão; multiplicar por k multiplica o desvio padrão por k.

Pergunta	Medida
Qual o valor "por cabeça"?	Média aritmética
Valores com importâncias diferentes?	Média ponderada
Taxa média de crescimentos sucessivos?	Média geométrica
Velocidade média em trechos iguais?	Média harmônica
Qual o caso mais comum?	Moda
Qual o valor típico com extremos?	Mediana
Quão espalhados estão os dados?	Desvio padrão
Qual conjunto é mais regular?	Menor desvio padrão
Comparar dispersões em escalas diferentes?	Coeficiente de variação

13. Glossário

Termo	Definição
População	Conjunto de todos os elementos em estudo
Amostra	Subconjunto da população efetivamente observado
Variável	Característica observada em cada elemento
Rol	Dados organizados em ordem crescente ou decrescente
Frequência absoluta	Número de ocorrências de um valor
Frequência relativa	Frequência absoluta dividida pelo total
Frequência acumulada	Soma das frequências até determinado valor
Histograma	Gráfico de barras adjacentes para classes contínuas
Média aritmética	Soma dos valores dividida pela quantidade
Média ponderada	Média em que cada valor é multiplicado por um peso
Média geométrica	Raiz n-ésima do produto de n valores
Média harmônica	Inverso da média aritmética dos inversos
Moda	Valor de maior frequência
Mediana	Valor central do rol
Amplitude	Diferença entre o maior e o menor valor
Variância	Média dos quadrados dos desvios em relação à média
Desvio padrão	Raiz quadrada da variância
Coeficiente de variação	Razão entre o desvio padrão e a média
Outlier	Valor muito afastado dos demais
Viés de seleção	Distorção causada por amostra não representativa