Função do primeiro grau: lei de formação, taxa de variação, gráfico, sinal e modelagem

Muitas situações do cotidiano obedecem ao mesmo padrão: uma quantidade varia sempre na mesma medida quando outra aumenta uma unidade. A corrida de táxi custa um valor fixo mais um valor por quilômetro. Um reservatório perde o mesmo volume a cada minuto. Um carro em velocidade constante avança a mesma distância a cada segundo. A temperatura em graus Fahrenheit aumenta 1,8 grau a cada grau Celsius. Todas essas situações são descritas por uma função do primeiro grau, cujo gráfico é uma reta.

Este artigo parte da noção geral de função e chega à função do primeiro grau. Em seguida, estuda o significado de seus coeficientes, o gráfico, a raiz, o sinal, as inequações, a interseção de retas e a função inversa. A última parte trata da modelagem: como reconhecer quando uma situação real pode ser descrita por uma função desse tipo e até onde essa descrição vale.

1. Noção de função

1.1 Plano cartesiano

O plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares que se cruzam no zero de cada uma. O eixo horizontal é o eixo x (eixo das abscissas), e o vertical é o eixo y (eixo das ordenadas). O ponto de cruzamento é a origem, (0, 0).

Cada ponto do plano é identificado por um par ordenado (x, y). A primeira coordenada indica o deslocamento horizontal a partir da origem, e a segunda, o vertical. O ponto (3, −2) fica 3 unidades à direita e 2 unidades abaixo da origem. A ordem importa: (3, −2) e (−2, 3) são pontos diferentes.

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir do superior direito:

Quadrante	Sinal de x	Sinal de y	Exemplo
1º	+	+	(2, 5)
2º	−	+	(−2, 5)
3º	−	−	(−2, −5)
4º	+	−	(2, −5)

Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante. Todo ponto do eixo x tem y = 0, e todo ponto do eixo y tem x = 0.

1.2 O que é uma função

Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento de B. Escreve-se f: A → B.

Um exemplo que é função. A regra que associa cada pessoa à sua data de nascimento é uma função. Toda pessoa tem uma data, e só uma. Duas pessoas podem ter nascido no mesmo dia, o que não viola a definição.

Um exemplo que não é função. A regra que associa cada pessoa a seus irmãos não é uma função. Algumas pessoas não têm irmãos, e outras têm mais de um.

1.3 Domínio, contradomínio e imagem

• Domínio (D): o conjunto A, de onde saem os valores de x, chamados de variável independente.
• Contradomínio (CD): o conjunto B, onde estão os valores possíveis de chegada.
• Imagem (Im): o conjunto dos valores de B que realmente são atingidos. A imagem está contida no contradomínio, mas pode ser menor que ele.

O valor associado a x é indicado por f(x), que se lê "f de x", e é chamado de imagem de x. Também é chamado de variável dependente e costuma ser representado por y.

1.4 Lei de formação e gráfico

A lei de formação é a expressão que permite calcular f(x) para cada x, como f(x) = 2x + 3. O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) no plano cartesiano.

Teste da reta vertical. Uma curva no plano é gráfico de uma função de x quando toda reta vertical traçada sobre o domínio a corta exatamente uma vez. Se alguma reta vertical corta a curva em dois pontos, um mesmo x teria duas imagens, e a curva não é gráfico de função. Uma circunferência, por exemplo, não é gráfico de função.

2. Função afim e função do primeiro grau

2.1 Definição

Exemplos, com os coeficientes identificados:

• f(x) = 3x + 2: a = 3, b = 2.
• f(x) = −x + 5: a = −1, b = 5.
• f(x) = x/2 − 4: a = 1/2, b = −4.
• f(x) = 7 − 2x: a = −2, b = 7. A ordem das parcelas não altera os coeficientes, e o coeficiente angular é sempre o que multiplica x.

2.2 Casos particulares

Caso	Condição	Lei	Gráfico
Função linear	b = 0	f(x) = ax	Reta que passa pela origem
Função identidade	a = 1 e b = 0	f(x) = x	Reta que divide o 1º e o 3º quadrantes ao meio
Função constante	a = 0	f(x) = b	Reta horizontal; não é do primeiro grau

3. Taxa de variação e significado dos coeficientes

3.1 O coeficiente linear b

Como f(0) = a · 0 + b = b, o coeficiente linear é o valor da função quando x = 0. Em contextos reais, b costuma ser o valor inicial ou a parte fixa: a bandeirada do táxi, o volume inicial do reservatório, a posição inicial de um móvel.

3.2 O coeficiente angular a

A propriedade que define a função do primeiro grau é a taxa de variação constante: a variação de y é sempre proporcional à variação de x, e a razão entre elas é o coeficiente a.

A justificativa é direta: f(x₂) − f(x₁) = (ax₂ + b) − (ax₁ + b) = a(x₂ − x₁). Dividindo por (x₂ − x₁), obtém-se a, qualquer que seja o par de valores escolhido.

Unidade de a. O coeficiente angular tem unidade de "y por x". No táxi, é reais por quilômetro. No reservatório, é litros por minuto. No movimento uniforme, é metros por segundo, isto é, a velocidade.

3.3 Lei de formação a partir de dois pontos

Como uma reta fica determinada por dois de seus pontos, dois valores conhecidos bastam para encontrar a e b:

1. Calcula-se a pela taxa de variação.
2. Substitui-se um dos pontos em y = ax + b para obter b.
3. Confere-se com o outro ponto.

3.4 Reconhecimento em tabelas

Em uma tabela, a relação é do primeiro grau quando acréscimos iguais em x produzem acréscimos iguais em y. Com x variando de 1 em 1, basta verificar se as diferenças entre valores consecutivos de y são constantes.

x	0	1	2	3	4
Tabela A: y	5	8	11	14	17
Tabela B: y	3	6	12	24	48

• Tabela A: as diferenças são sempre 3. É do primeiro grau, com a = 3 e b = 5, e a lei é y = 3x + 5.
• Tabela B: as diferenças são 3, 6, 12 e 24, variáveis. Não é do primeiro grau. Cada valor é o dobro do anterior, um crescimento de outro tipo, chamado exponencial.

Quando os valores de x não variam de 1 em 1, compara-se a razão Δy/Δx entre cada par de colunas, e não apenas a diferença de y.

4. Gráfico

4.1 O gráfico é uma reta

O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta não paralela aos eixos. Como a taxa de variação é constante, cada passo de 1 unidade em x corresponde sempre ao mesmo passo a em y, e os pontos ficam alinhados.

Dois pontos bastam para traçá-la. Os mais convenientes costumam ser os cortes com os eixos:

• Corte com o eixo y: x = 0, y = b. O ponto é (0, b).
• Corte com o eixo x: y = 0, x = −b/a. O ponto é (−b/a, 0), a raiz (seção 5).

4.2 Crescimento e decrescimento

Sinal de a	Comportamento	Leitura
a > 0	Crescente	Quando x aumenta, y aumenta
a < 0	Decrescente	Quando x aumenta, y diminui

O módulo de a indica o quanto a reta é inclinada: quanto maior |a|, mais íngreme. As retas y = 3x e y = 0,5x são ambas crescentes, mas a primeira sobe seis vezes mais depressa.

4.3 Efeito de cada coeficiente no gráfico

• Mudar b desloca a reta verticalmente, sem mudar a inclinação. As retas y = 2x, y = 2x + 3 e y = 2x − 1 são paralelas.
• Mudar a gira a reta em torno do ponto (0, b). As retas y = x + 1, y = 3x + 1 e y = −2x + 1 passam todas por (0, 1).

5. Raiz

A raiz, ou zero, da função é o valor de x para o qual f(x) = 0. Graficamente, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.

• f(x) = 2x − 8: x = 8/2 = 4.
• f(x) = −3x + 6: x = −6/(−3) = 2.
• f(x) = 5x + 10: x = −10/5 = −2.

Em problemas contextualizados, a raiz costuma ter significado próprio: no reservatório, é o instante em que ele se esvazia; na depreciação, é o momento em que o bem perde todo o valor; no lucro, é a quantidade a partir da qual o prejuízo deixa de existir. Antes de dar a resposta, é preciso verificar se o valor encontrado pertence ao domínio do problema (seção 9).

6. Estudo do sinal e inequações

6.1 Estudo do sinal

Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores de x ela é positiva, nula ou negativa. Na função do primeiro grau, o sinal só muda na raiz.

A regra se entende pelo gráfico. Se a > 0, a reta sobe: está abaixo do eixo antes da raiz e acima depois dela. Se a < 0, ocorre o inverso.

Função	Raiz	f(x) > 0	f(x) < 0
f(x) = 2x − 6 (a > 0)	x = 3	x > 3	x < 3
f(x) = −x + 4 (a < 0)	x = 4	x < 4	x > 4

6.2 Inequações do primeiro grau

Uma inequação é uma desigualdade com incógnita, como 2x − 6 > 0. Sua solução não é um número, mas um conjunto de valores, em geral um intervalo. As inequações são resolvidas como as equações, com uma regra adicional:

A solução pode ser escrita de várias formas equivalentes:

Forma	Escrita
Desigualdade	x < −3
Conjunto	S = {x ∈ ℝ tal que x < −3}
Intervalo	S = ]−∞, −3[
Reta numérica	Semirreta à esquerda de −3, com "bolinha aberta" em −3

Na reta numérica, a bolinha aberta indica que o extremo não pertence à solução (desigualdades < ou >). A bolinha fechada indica que pertence (≤ ou ≥).

Casos sem solução ou com todos os reais. Quando a incógnita desaparece, a desigualdade restante é sempre verdadeira ou sempre falsa. De 2x + 3 > 2x + 1 resulta 3 > 1, sempre verdadeiro, e S = ℝ. De 2x + 3 < 2x + 1 resulta 3 < 1, sempre falso, e S = ∅.

6.3 Inequações simultâneas

Uma inequação dupla, como −3 < 2x + 1 ≤ 7, exige as duas condições ao mesmo tempo. Quando x aparece só no meio, as operações são feitas nas três partes:

Quando as duas condições são inequações diferentes, resolve-se cada uma e toma-se a interseção das soluções. Por exemplo, o sistema x + 1 > 0 e 3 − x ≥ 0 exige x > −1 e x ≤ 3, e a solução é −1 < x ≤ 3.

6.4 Inequações-produto e inequações-quociente

Em inequações como (x − 2)(x + 3) > 0 ou (2x − 6)/(x + 1) ≤ 0, o sinal do resultado depende do sinal de cada fator. O método é o quadro de sinais:

1. Encontrar a raiz de cada fator.
2. Estudar o sinal de cada fator separadamente.
3. Combinar os sinais pela regra de sinais da multiplicação e da divisão.
4. Selecionar os intervalos pedidos.

7. Interseção de retas

O ponto de interseção de duas retas é o ponto que pertence às duas. Nele, as funções têm o mesmo valor para o mesmo x. Para encontrá-lo, igualam-se as leis de formação.

Encontrar a interseção é o mesmo que resolver um sistema de duas equações. Há três possibilidades:

Situação	Coeficientes angulares	Número de soluções
Retas concorrentes	Diferentes	Uma
Retas paralelas distintas	Iguais, com b diferentes	Nenhuma
Retas coincidentes	Iguais, com b iguais	Infinitas

Comparação de planos e tarifas. Em problemas de escolha entre duas opções, a interseção indica o ponto a partir do qual uma opção passa a ser mais vantajosa que a outra. Antes dele, uma reta está abaixo; depois, a outra.

8. Função inversa

Uma função f leva x em y. Sua inversa, indicada por f⁻¹, faz o caminho de volta: leva y em x. A função do primeiro grau sempre tem inversa, porque valores diferentes de x produzem valores diferentes de y. A inversa também é do primeiro grau.

Para obter a inversa:

1. Escrever y = f(x).
2. Isolar x.
3. Trocar os nomes das variáveis.

O gráfico da inversa é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y = x. O ponto (5, 13) do gráfico de f corresponde ao ponto (13, 5) do gráfico de f⁻¹.

Em contextos reais, a inversa responde à pergunta inversa. Se F = 1,8C + 32 converte Celsius em Fahrenheit, a inversa C = (F − 32)/1,8 converte Fahrenheit em Celsius.

9. Modelagem e domínio

9.1 Quando uma situação é do primeiro grau

Uma função do primeiro grau é um modelo adequado quando a grandeza estudada varia a taxa constante. Na prática, isso aparece como uma parte fixa mais uma parte proporcional:

Situação	Lei	a	b
Corrida de táxi	P(x) = 6 + 2,5x	R$ 2,50 por km	Bandeirada de R$ 6,00
Movimento uniforme	s(t) = s₀ + v · t	Velocidade	Posição inicial
Juros simples	M(t) = C + C · i · t	Juro por período (C · i)	Capital inicial
Conversão de temperatura	F = 1,8C + 32	1,8 °F por °C	32 °F, a temperatura de fusão do gelo
Reservatório esvaziando	V(t) = 1.200 − 40t	−40 L/min	Volume inicial
Depreciação linear	V(t) = 12.000 − 1.500t	−R$ 1.500 por ano	Preço de compra

Custo, receita e lucro. Em um negócio com custo fixo e custo por unidade, o custo é C(x) = custo fixo + custo unitário · x; a receita é R(x) = preço de venda · x; e o lucro é L(x) = R(x) − C(x). O ponto de equilíbrio é a quantidade em que R(x) = C(x), isto é, L(x) = 0. É a raiz da função lucro.

9.2 Domínio do problema

A lei de formação vale apenas no intervalo em que a situação faz sentido. O tempo não é negativo, a quantidade de produtos é um número natural, um reservatório não tem volume abaixo de zero, e uma tarifa pode mudar acima de certo consumo.

O domínio do problema pode ser, portanto, mais restrito que ℝ. O gráfico deixa de ser a reta inteira e passa a ser uma semirreta, um segmento ou um conjunto de pontos isolados, quando a variável só assume valores inteiros.

10. Exemplos resolvidos

11. Erros conceituais frequentes

Erro	Por que está errado	Forma correta
Em f(x) = 7 − 2x, a = 7	O coeficiente angular é o que multiplica x	a = −2 e b = 7
a = Δx/Δy	A razão foi invertida	a = Δy/Δx
A raiz é b	b é o corte com o eixo y	Raiz: x = −b/a
f(x) = 5 é do primeiro grau	Não tem termo em x (a = 0)	É função constante
Em f(x) = 2x + 3, dobrar x dobra y	Isso só vale se b = 0	f(1) = 5, f(2) = 7
De −2x > 6, x > −3	Não inverteu ao dividir por negativo	x < −3
Função crescente é sempre positiva	O sinal muda na raiz	2x − 6 é negativa para x < 3
Multiplicar a inequação-quociente pelo denominador	O sinal do denominador depende de x	Usar o quadro de sinais
Incluir a raiz do denominador na solução	Anula o denominador	Excluir sempre
Aceitar x = −5 como tempo	Fora do domínio do problema	Descartar a solução
f⁻¹(x) = 1/f(x)	Inversa não é o inverso multiplicativo	Isolar x e trocar as variáveis
Ver inclinação pelo desenho	Depende da escala dos eixos	Comparar os valores de a

12. Distinções importantes

Equação e função. 2x + 3 = 9 é uma equação, com solução x = 3. f(x) = 2x + 3 é uma regra que associa cada x a um valor. Resolver f(x) = 9 é encontrar o x cuja imagem é 9.

x e f(x). x é a variável independente, a entrada. f(x) é a imagem, a saída, que depende de x.

Raiz e coeficiente linear. A raiz é o corte com o eixo x, com y = 0. O coeficiente linear é o corte com o eixo y, com x = 0.

Função afim, linear e constante. Afim: f(x) = ax + b. Linear: caso b = 0, com a reta passando pela origem. Constante: caso a = 0, com a reta horizontal, que não é do primeiro grau.

Crescimento e sinal. Crescimento descreve como a função varia e depende de a. Sinal descreve se o valor é positivo ou negativo e muda na raiz.

Proporcionalidade direta e relação do primeiro grau. Na proporcionalidade (b = 0), y/x é constante, e dobrar x dobra y. Na relação afim com b ≠ 0, o que é constante é a variação Δy/Δx, e não a razão y/x.

Equação e inequação. A equação do primeiro grau tem uma solução. A inequação tem, em geral, um intervalo de soluções, e às vezes nenhuma ou todos os reais.

Contradomínio e imagem. O contradomínio é o conjunto de chegada declarado. A imagem é o conjunto dos valores efetivamente atingidos.

Domínio matemático e domínio do problema. A lei f(x) = ax + b é definida em ℝ. O contexto pode restringir o domínio a um intervalo ou a números naturais.

Retas paralelas, concorrentes e coincidentes. As paralelas têm mesmo a e b diferentes, sem interseção. As concorrentes têm a diferentes e se cruzam em um ponto. As coincidentes têm mesmo a e mesmo b.

13. Perguntas frequentes

Toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função do primeiro grau?

Não. Uma reta horizontal é gráfico de uma função constante, com a = 0. Uma reta vertical não é gráfico de função, porque associa infinitos valores de y a um mesmo x e falha no teste da reta vertical.

O coeficiente angular é o ângulo da reta?

Não. Com os eixos na mesma escala, o coeficiente angular é a tangente do ângulo que a reta forma com o sentido positivo do eixo x. Para a = 1, esse ângulo é 45°. Para a negativo, o ângulo é obtuso, maior que 90°.

Por que a desigualdade muda de sentido ao dividir por um número negativo?

Porque multiplicar por um número negativo inverte a ordem dos números na reta. Como 2 > 1, multiplicando por −1 obtém-se −2 < −1: o maior passa a ser o menor.

Qual é a relação entre a função do primeiro grau e o movimento uniforme?

A função horária do movimento uniforme, s = s₀ + v · t, é uma função do primeiro grau em t. A velocidade é o coeficiente angular, e a posição inicial é o coeficiente linear. O gráfico s × t de um MU é uma reta, e sua inclinação é a velocidade.

Por que "f(x) = ax + b" e "y = ax + b" aparecem como se fossem a mesma coisa?

Porque y é o nome dado ao valor f(x). A primeira forma destaca a função; a segunda destaca a equação da reta que é seu gráfico.

Juros simples e juros compostos são ambos do primeiro grau?

Não. Nos juros simples, o montante cresce o mesmo valor a cada período, e o modelo é do primeiro grau. Nos juros compostos, o juro de cada período incide sobre o montante anterior, e o crescimento é exponencial, como na Tabela B da seção 3.4.

Como saber se dados reais seguem uma função do primeiro grau?

Verificando se a taxa de variação Δy/Δx é aproximadamente constante entre os pontos, ou se eles ficam próximos de uma reta no gráfico. Dados reais raramente são exatos, e a reta que melhor os aproxima descreve a tendência dentro da faixa observada.

Toda função do primeiro grau tem inversa?

Sim, porque é sempre crescente ou sempre decrescente, e valores diferentes de x produzem valores diferentes de y. A função constante não tem inversa, porque todos os x levam ao mesmo y.

15. Síntese

Uma função associa cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio. O conjunto dos valores atingidos é a imagem, e o gráfico é o conjunto dos pontos (x, f(x)).

A função do primeiro grau, f(x) = ax + b com a ≠ 0, é caracterizada pela taxa de variação constante: y varia sempre a unidades para cada unidade de x. O coeficiente angular a indica essa taxa, o crescimento (a > 0) ou decrescimento (a < 0) e a inclinação da reta. O coeficiente linear b é o valor em x = 0, o corte com o eixo y. Dois pontos determinam a lei, e em uma tabela a função se reconhece por acréscimos iguais em y para acréscimos iguais em x.

O gráfico é uma reta. A raiz, x = −b/a, é o corte com o eixo x, e o sinal da função só muda nela: à direita, tem o sinal de a. As inequações se resolvem como equações, mas invertem o sentido na multiplicação ou divisão por negativo. As inequações-produto e as inequações-quociente exigem o quadro de sinais. Igualar duas leis encontra a interseção de retas, e a função inversa faz o caminho de volta, com gráfico simétrico em relação a y = x.

Na modelagem, a função do primeiro grau descreve situações com parte fixa e parte proporcional: tarifas, movimento uniforme, juros simples, conversão de temperaturas, custo e lucro. O contexto define o domínio, e soluções fora dele são descartadas. Muitos fenômenos são lineares apenas dentro de certos limites.

16. Glossário

Termo	Significado
Abscissa	Primeira coordenada de um ponto (x)
Coeficiente angular	Número a em f(x) = ax + b; taxa de variação
Coeficiente linear	Número b em f(x) = ax + b; valor em x = 0
Contradomínio	Conjunto de chegada de uma função
Domínio	Conjunto de valores de x para os quais a função está definida
Função	Regra que associa cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio
Função constante	f(x) = b; gráfico horizontal
Função inversa	Função que desfaz a ação de f, levando f(x) de volta em x
Função linear	Caso particular f(x) = ax, com gráfico passando pela origem
Imagem	Conjunto dos valores efetivamente atingidos por f(x)
Inequação	Desigualdade com incógnita
Lei de formação	Expressão que permite calcular f(x)
Ordenada	Segunda coordenada de um ponto (y)
Par ordenado	Par (x, y) que identifica um ponto no plano
Ponto de equilíbrio	Quantidade em que receita e custo se igualam
Quadro de sinais	Tabela usada para estudar o sinal de produtos e quocientes
Raiz (zero)	Valor de x para o qual f(x) = 0
Taxa de variação	Razão Δy/Δx; constante na função do primeiro grau