Fundamentos da Matemática: numeração, operações, divisibilidade, frações, potências e raízes

Todo cálculo depende de um pequeno conjunto de ideias: o troco de uma compra, o saldo de uma conta, a dose de um medicamento ou a leitura de 1,5 × 10⁸ km em um texto de Astronomia. Essas ideias são o valor posicional dos algarismos, as quatro operações e suas propriedades, a estrutura dos números em múltiplos, divisores e primos, e as extensões que permitem representar partes, repetições e inversos. Quem as domina não depende de procedimentos memorizados, porque consegue reconstruí-los, justificá-los e verificar se um resultado faz sentido.

Cada seção deste artigo prepara a seguinte. O sistema decimal explica os algoritmos das operações. As propriedades explicam o cálculo mental. Os divisores e os números primos sustentam o MMC e o MDC, que organizam as operações com frações. As frações, por sua vez, dão sentido aos expoentes negativos, e os expoentes fracionários revelam que a radiciação é uma forma de potenciação.

1. Sistema de numeração decimal

1.1 Números naturais

Os números naturais são os usados para contar: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}. Todo natural tem um sucessor, obtido somando 1, e todo natural diferente de zero tem um antecessor. O sucessor de 99 é 100, e o antecessor de 1.000 é 999. O conjunto é infinito, porque não existe um maior número natural: qualquer que seja n, sempre existe n + 1.

1.2 Base dez e valor posicional

O sistema usado no dia a dia é o indo-arábico. Ele usa dez símbolos, os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, e se apoia em duas ideias:

• Base dez. A cada dez unidades de uma ordem, forma-se uma unidade da ordem seguinte: 10 unidades formam 1 dezena, 10 dezenas formam 1 centena, e assim por diante.
• Valor posicional. O valor de um algarismo depende da posição que ocupa. Em 3.572, o algarismo 5 vale 500, porque está na ordem das centenas.

Cada algarismo tem dois valores. O valor absoluto é o do próprio símbolo: 5. O valor relativo (ou posicional) é o que ele representa na posição que ocupa: 500. A escrita de um número é uma decomposição em ordens: 3.572 = 3 · 1.000 + 5 · 100 + 7 · 10 + 2 · 1.

O zero marca uma posição vazia. Sem ele, não seria possível distinguir 305 de 35. Em sistemas não posicionais, como o romano, o valor de cada símbolo é fixo (X vale sempre 10), não há zero, e os cálculos no papel são muito mais difíceis.

1.3 Ordens e classes

As ordens são agrupadas de três em três, da direita para a esquerda, formando as classes. Cada classe tem centenas (C), dezenas (D) e unidades (U).

Classe	Milhões	Milhares	Unidades simples
Ordens	C · D · U	C · D · U	C · D · U
Exemplo: 2.304.015	2	3 · 0 · 4	0 · 1 · 5

Lê-se cada classe como um número de até três algarismos, seguido do nome da classe. Assim, 2.304.015 lê-se "dois milhões, trezentos e quatro mil e quinze". Acima dos milhões vêm os bilhões, os trilhões, e assim por diante.

No Brasil, o ponto separa as classes e a vírgula separa a parte decimal: 2.304.015 e 3,75. Em países de língua inglesa, a convenção é a inversa, o que exige atenção na leitura de textos e calculadoras.

1.4 Comparação e arredondamento

Comparação. Entre dois naturais, é maior o que tem mais algarismos. Com o mesmo número de algarismos, comparam-se as ordens da esquerda para a direita até encontrar a primeira diferença: 48.721 > 48.699, porque na ordem das centenas 7 > 6.

Arredondamento. Para arredondar a uma ordem, observa-se o algarismo imediatamente à direita dela. Se for 5 ou maior, soma-se 1 à ordem escolhida. Se for menor que 5, ela é mantida. Em ambos os casos, as ordens seguintes são zeradas.

• 3.572 arredondado para a centena: o algarismo à direita das centenas é 7, então o resultado é 3.600.
• 3.572 arredondado para o milhar: o algarismo à direita dos milhares é 5, então o resultado é 4.000.

Arredondar é a base da estimativa, que serve para conferir resultados. Em 398 + 257, a estimativa 400 + 260 = 660 indica que um resultado como 555 está errado.

2. Operações fundamentais

2.1 Adição e subtração

Na adição, os números somados são as parcelas, e o resultado é a soma. Na subtração, o minuendo é o número do qual se retira, o subtraendo é o que se retira, e o resultado é a diferença (ou resto). A subtração é a operação inversa da adição: 85 − 38 = 47 porque 47 + 38 = 85. Essa relação fornece a verificação de toda subtração.

A subtração tem três significados, e reconhecê-los ajuda a interpretar problemas:

• Retirar: tinha 85, gastou 38; quanto sobrou?
• Comparar: um tem 85, outro tem 38; quanto um tem a mais?
• Completar: tem 38, precisa de 85; quanto falta?

O algoritmo no papel se apoia no valor posicional. O "vai um" da adição é um reagrupamento: 10 unidades formam 1 dezena. O "empréstimo" da subtração é o movimento inverso: 1 dezena é desagrupada em 10 unidades.

O cálculo mental usa as mesmas ideias de forma flexível:

• Decomposição. 47 + 38 = 47 + 30 + 8 = 77 + 8 = 85.
• Compensação. 398 + 257 = 400 + 257 − 2 = 655. Arredonda-se uma parcela e corrige-se o excesso.
• Compensação na subtração. 523 − 198 = 523 − 200 + 2 = 325.
• Completamento. Para 1.000 − 637, conta-se quanto falta de 637 até 1.000: até 640 faltam 3, até 700 faltam 60, até 1.000 faltam 300. Total: 363.
• Deslocamento. 82 − 47 = 85 − 50 = 35. Somar o mesmo número ao minuendo e ao subtraendo não altera a diferença.

2.2 Multiplicação

A multiplicação de naturais é uma adição de parcelas iguais: 4 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Os números multiplicados são os fatores, e o resultado é o produto. A multiplicação também representa arranjos retangulares: 4 × 6 é o número de cadeiras em 4 fileiras de 6. Representa ainda combinações: 4 camisas e 6 calças formam 24 conjuntos diferentes.

A tabuada reúne os produtos de 1 × 1 a 10 × 10. Ela não precisa ser memorizada como 100 fatos isolados:

• Comutatividade. Como 7 × 8 = 8 × 7, os 100 produtos se reduzem a 55 fatos distintos.
• Dobros. A tabuada do 4 é o dobro da do 2, e a do 8 é o dobro da do 4: 8 × 7 = 2 × 28 = 56.
• Tabuada do 9. 9 × n = 10 × n − n: 9 × 7 = 70 − 7 = 63. Nos produtos de 9 × 1 a 9 × 10, a soma dos algarismos é sempre 9 (63 → 6 + 3), fato explicado na seção 6.
• Tabuada do 5. 5 × n é a metade de 10 × n: 5 × 14 = 140 ÷ 2 = 70.
• Tabuada do 6. 6 × n = 5 × n + n: 6 × 8 = 40 + 8 = 48.

Multiplicação por 10, 100, 1.000. Cada algarismo passa para a ordem seguinte, e a posição das unidades fica vazia, marcada por um zero: 47 × 10 = 470 e 47 × 100 = 4.700.

O algoritmo no papel decompõe um dos fatores segundo o valor posicional e aplica a propriedade distributiva, apresentada na seção 2.5.

Estratégias de cálculo mental:

• Compensação. 49 × 6 = 50 × 6 − 6 = 294.
• Reagrupamento. 25 × 36 = 25 × 4 × 9 = 100 × 9 = 900.
• Dobro e metade. 16 × 35 = 8 × 70 = 560. Dobrar um fator e dividir o outro por 2 mantém o produto.
• Multiplicação por 11. 11 × 43 = 430 + 43 = 473.

2.3 Divisão

A divisão responde a duas perguntas diferentes:

• Partição: reparte-se um total em um número dado de partes iguais. 24 balas para 4 crianças dá 6 balas para cada uma.
• Medida: pergunta-se quantas vezes uma quantidade cabe em outra. Com 24 balas, quantos pacotes de 4 balas se formam? São 6.

Os termos são o dividendo (D), o divisor (d), o quociente (q) e o resto (r).

O quociente pode ter zeros intermediários. Em 4.218 ÷ 6: 6 não cabe em 4; em 42, cabe 7 vezes, sem resto; baixa-se o 1, e 6 não cabe em 1, então o quociente recebe 0; baixa-se o 8, e em 18 cabe 3. O resultado é 703. Esquecer esse zero daria 73, e a estimativa 4.200 ÷ 6 = 700 mostra o erro.

Cálculo mental:

• Decomposição. 840 ÷ 12 = 84 dezenas ÷ 12 = 7 dezenas = 70.
• Metades sucessivas. 96 ÷ 4 = (96 ÷ 2) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24.
• Divisão por 5. Divide-se por 10 e multiplica-se por 2: 135 ÷ 5 = 13,5 × 2 = 27.
• Simplificação. Dividir dividendo e divisor pelo mesmo número não altera o quociente: 360 ÷ 24 = 180 ÷ 12 = 30 ÷ 2 = 15.

2.4 Ordem das operações

Uma expressão numérica só tem um único valor se todos a calcularem na mesma ordem.

O ponto que mais gera erros é o terceiro item: multiplicação e divisão têm a mesma prioridade, assim como adição e subtração.

Uma subtração seguida de outra também exige atenção: 20 − 5 − 3 = 15 − 3 = 12, e não 20 − 2 = 18. A segunda forma corresponderia a 20 − (5 − 3).

2.5 Propriedades das operações

As propriedades explicam por que as estratégias de cálculo funcionam e permitem transformar expressões sem alterar seu valor.

Propriedade	Adição	Multiplicação	Vale para subtração e divisão?
Comutativa — a ordem não altera o resultado	a + b = b + a	a · b = b · a	Não: 7 − 3 ≠ 3 − 7; 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8
Associativa — o agrupamento não altera o resultado	(a + b) + c = a + (b + c)	(a · b) · c = a · (b · c)	Não: (10 − 4) − 3 = 3, mas 10 − (4 − 3) = 9
Elemento neutro	a + 0 = a	a · 1 = a	Só à direita: a − 0 = a; a ÷ 1 = a
Fechamento nos naturais	A soma de naturais é natural	O produto de naturais é natural	Não: 3 − 5 e 3 ÷ 5 não são naturais

O zero tem ainda um papel especial na multiplicação: a · 0 = 0 para todo a. Por isso se diz que o zero é o elemento absorvente da multiplicação.

A propriedade distributiva liga multiplicação e adição:

Ela sustenta o algoritmo da multiplicação e várias estratégias de cálculo:

• 7 · 98 = 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.
• 36 · 25 + 36 · 75 = 36 · (25 + 75) = 36 · 100 = 3.600. Aqui ela foi usada no sentido inverso, "colocando em evidência" o fator comum.
• 12 · 15 = 12 · 10 + 12 · 5 = 120 + 60 = 180.

A divisão se distribui apenas quando a soma está no dividendo: (60 + 12) ÷ 6 = 10 + 2 = 12. Com a soma no divisor, isso não vale: 60 ÷ (4 + 6) = 6, e não 60 ÷ 4 + 60 ÷ 6 = 25.

3. Números decimais

3.1 Conceito e leitura

Os números decimais estendem o valor posicional para a direita da unidade. Cada nova ordem vale um décimo da anterior:

Ordem	Dezena	Unidade	Décimo	Centésimo	Milésimo
Valor	10	1	1/10 = 0,1	1/100 = 0,01	1/1.000 = 0,001

Assim, 3,47 = 3 + 4/10 + 7/100. Lê-se "três inteiros e quarenta e sete centésimos". A leitura usa o nome da última ordem ocupada. Da mesma forma, 0,025 lê-se "vinte e cinco milésimos".

Todo decimal finito corresponde a uma fração decimal, isto é, com denominador 10, 100, 1.000, …:

• 0,7 = 7/10.
• 0,35 = 35/100.
• 0,125 = 125/1.000, que simplificada (seção 9.3) é 1/8.

Os porcentuais também são frações de denominador 100: 35% = 35/100 = 0,35.

3.2 Comparação e zeros à direita

Zeros à direita da última casa decimal não alteram o número: 0,5 = 0,50 = 0,500. Isso ocorre porque 5 décimos equivalem a 50 centésimos. Essa ideia resolve o erro mais comum na comparação de decimais.

3.3 Operações com decimais

Adição e subtração. Somam-se ordens iguais, por isso as vírgulas são alinhadas. Completar com zeros ajuda: 12,5 − 3,78 = 12,50 − 3,78 = 8,72.

Multiplicação. Multiplicam-se os números como se fossem inteiros. O resultado tem tantas casas decimais quanto a soma das casas dos fatores.

• 1,2 × 0,3: 12 × 3 = 36, e o total de casas é 1 + 1 = 2, logo o resultado é 0,36.
• A justificativa vem das frações: 12/10 · 3/10 = 36/100.

Multiplicação e divisão por potências de 10. Multiplicar por 10, 100 ou 1.000 desloca a vírgula 1, 2 ou 3 casas para a direita. Dividir desloca para a esquerda: 3,72 × 100 = 372 e 45 ÷ 1.000 = 0,045.

Divisão. Multiplicam-se dividendo e divisor pela mesma potência de 10, até o divisor ficar inteiro, o que não altera o quociente (seção 2.3).

A divisão de inteiros também pode continuar além da vírgula. Em 7 ÷ 4, o quociente inteiro é 1, com resto 3. O resto 3 corresponde a 30 décimos, e 30 ÷ 4 = 7, com resto 2. O resto 2 corresponde a 20 centésimos, e 20 ÷ 4 = 5, sem resto. Portanto, 7 ÷ 4 = 1,75.

4. Números inteiros e regras de sinais

4.1 O conjunto dos inteiros

Os naturais não bastam para representar situações como temperaturas abaixo de zero, saldos negativos ou altitudes abaixo do nível do mar. Eles também não permitem calcular 3 − 5. O conjunto dos números inteiros inclui os negativos: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.

Na reta numérica, os inteiros ficam igualmente espaçados, com os negativos à esquerda do zero. Um número é maior que qualquer número à sua esquerda.

• Oposto (ou simétrico). O oposto de a é −a, que está à mesma distância do zero, do lado contrário. O oposto de 3 é −3, e o oposto de −3 é 3. A soma de um número com seu oposto é zero.
• Módulo (ou valor absoluto). |a| é a distância de a até o zero e nunca é negativo: |−5| = 5 e |5| = 5.
• Comparação. Entre dois negativos, é maior o de menor módulo: −2 > −7, porque −2 está mais perto do zero, à direita de −7. Com temperaturas, −2 °C é mais quente que −7 °C.

4.2 Adição e subtração de inteiros

Em termos de saldo: dever 3 e depois dever mais 5 é dever 8. Ter 5 e dever 8 é ficar devendo 3.

Subtrair é somar o oposto: a − b = a + (−b).

• 3 − (−5) = 3 + 5 = 8.
• −4 − 6 = −4 + (−6) = −10.

Isso explica os sinais em sequência: −(−5) = +5 e −(+5) = −5. Na variação de uma grandeza, calcula-se sempre final − inicial. Se a temperatura passa de −8 °C para 5 °C, a variação é 5 − (−8) = 13 °C.

4.3 Multiplicação e divisão de inteiros

A regra (−)·(−) = + não é arbitrária. Ela é a única que preserva o padrão da multiplicação e a propriedade distributiva.

Produto	(−3) · 2	(−3) · 1	(−3) · 0	(−3) · (−1)	(−3) · (−2)
Resultado	−6	−3	0	3	6

Cada vez que o segundo fator diminui 1, o produto aumenta 3. Mantido o padrão, (−3) · (−1) = 3.

Pela distributiva, chega-se à mesma conclusão: (−3) · [1 + (−1)] = (−3) · 0 = 0. Como (−3) · 1 = −3, é preciso que (−3) · (−1) = 3 para que a soma dê zero.

Com vários fatores, conta-se o número de fatores negativos. Se for par, o resultado é positivo. Se for ímpar, é negativo: (−2) · (−3) · (−1) = −6.

5. Múltiplos e divisores

Um múltiplo de um número natural n é o resultado de n multiplicado por um natural. O conjunto dos múltiplos de 6 é M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, …}, e é infinito.

Um divisor de n é um natural que divide n exatamente, sem resto. O conjunto dos divisores de 12 é D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, e é finito.

As duas ideias são duas faces da mesma relação: se a é divisor de b, então b é múltiplo de a. Por exemplo, 6 é divisor de 18, e 18 é múltiplo de 6, porque 18 = 6 · 3.

Alguns fatos gerais:

• O zero é múltiplo de todo número, pois n · 0 = 0.
• O 1 é divisor de todo número.
• Todo número é múltiplo e divisor de si mesmo.
• O zero não é divisor de nenhum número (seção 2.3).

Divisores em pares. Os divisores de um número se agrupam em pares cujo produto é o próprio número. Para 36, os pares são 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9 e 6 · 6, e o conjunto é D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

Basta testar divisores até o número que, multiplicado por si mesmo, ultrapassa 36, porque depois disso os pares se repetem. Em um quadrado perfeito como 36, um dos pares tem fatores iguais (6 · 6), e por isso a quantidade de divisores é ímpar.

Números pares e ímpares. Os múltiplos de 2 são os pares: 0, 2, 4, 6, … Os demais são ímpares: 1, 3, 5, … O zero é par, porque 0 = 2 · 0.

6. Critérios de divisibilidade

Os critérios permitem saber se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão.

Divisor	Critério	Exemplo
2	O último algarismo é par (0, 2, 4, 6 ou 8)	7.452
3	A soma dos algarismos é múltiplo de 3	7.452: 7 + 4 + 5 + 2 = 18
4	Os dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4, ou são 00	7.452: 52 = 4 · 13
5	O último algarismo é 0 ou 5	3.715
6	É divisível por 2 e por 3	7.452
8	Os três últimos algarismos formam um múltiplo de 8, ou são 000	5.136: 136 = 8 · 17
9	A soma dos algarismos é múltiplo de 9	7.452: soma 18
10	O último algarismo é 0	2.340
11	A diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é múltiplo de 11 (inclusive 0)	9.581: (1 + 5) − (8 + 9) = −11

Por que os critérios funcionam. O critério do 2 decorre de 10 ser divisível por 2. Toda parte do número acima das unidades é múltiplo de 10 e, portanto, de 2, então só o último algarismo decide. O mesmo raciocínio vale para 5 e 10. No critério do 4, usa-se o fato de 100 ser múltiplo de 4. No do 8, o fato de 1.000 ser múltiplo de 8.

O critério do 9 decorre de 10 = 9 + 1. Cada potência de 10 é um múltiplo de 9 mais 1 (10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1.000 = 999 + 1). Assim, 7.452 = 7 · 999 + 4 · 99 + 5 · 9 + (7 + 4 + 5 + 2).

A primeira parte é múltiplo de 9, então 7.452 é divisível por 9 exatamente quando 7 + 4 + 5 + 2 é. Como 999, 99 e 9 também são múltiplos de 3, o critério do 3 tem a mesma justificativa.

7. Números primos e fatoração

7.1 Primos e compostos

Um número primo é um natural com exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Os primos menores que 100 são 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Um natural maior que 1 que não é primo é composto, pois tem mais de dois divisores. Alguns casos exigem atenção:

• O 1 não é primo, porque tem um único divisor.
• O 2 é o único primo par. Todo outro par é divisível por 2 e, portanto, composto.
• O 0 não é primo, porque tem infinitos divisores.

Crivo de Eratóstenes. Para listar os primos até 100, escrevem-se os números de 2 a 100. Mantém-se o 2 e riscam-se seus múltiplos. Mantém-se o próximo não riscado, o 3, e riscam-se seus múltiplos. Repete-se com 5 e 7. O que sobra são os primos. Não é preciso continuar além do 7, porque 11 · 11 = 121 já ultrapassa 100.

Teste de primalidade. Para saber se n é primo, testa-se a divisão apenas pelos primos cujo quadrado não ultrapassa n. Se nenhum dividir, n é primo. Isso vale porque, se n fosse composto, teria um par de divisores, e um deles seria no máximo √n.

• 97. Como 10² = 100 > 97, testam-se 2, 3, 5 e 7. Nenhum divide 97, então 97 é primo.
• 91. Parece primo, mas 91 = 7 · 13. Sem o teste, a aparência engana.

7.2 Fatoração em primos

A fatoração é feita por divisões sucessivas pelo menor primo possível:

Número	Divisor primo
360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1	—

Portanto, 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

7.3 Quantidade de divisores

A fatoração revela todos os divisores de um número. Em 360 = 2³ · 3² · 5, cada divisor é formado escolhendo:

• quantos fatores 2 usar: 0, 1, 2 ou 3 (4 opções);
• quantos fatores 3 usar: 0, 1 ou 2 (3 opções);
• quantos fatores 5 usar: 0 ou 1 (2 opções).

Pelo princípio da multiplicação, são 4 · 3 · 2 = 24 divisores. Em geral, somam-se 1 a cada expoente e multiplicam-se os resultados.

8. MMC e MDC

8.1 Mínimo múltiplo comum

O MMC de dois ou mais naturais não nulos é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles.

Por listagem. Listam-se os múltiplos positivos até encontrar o primeiro comum.

• Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, …
• Múltiplos de 18: 18, 36, 54, …
• Logo, mmc(12, 18) = 36.

O método é intuitivo, mas trabalhoso para números grandes.

Por fatoração. O MMC é o produto de todos os fatores primos que aparecem, cada um com o maior expoente: 12 = 2² · 3 e 18 = 2 · 3², então mmc(12, 18) = 2² · 3² = 36.

A justificativa é que o MMC precisa "conter" cada número. Para ser múltiplo de 12, precisa de pelo menos 2² e 3. Para ser múltiplo de 18, precisa de pelo menos 2 e 3². O menor número que atende às duas exigências é 2² · 3².

Por fatoração simultânea. Dividem-se os números juntos pelos primos, e um número não divisível pelo primo da linha é repetido.

Números	Divisor primo
12, 18	2
6, 9	2
3, 9	3
1, 3	3
1, 1	mmc = 2 · 2 · 3 · 3 = 36

Com três números o procedimento é o mesmo: mmc(4, 6, 10) = 2² · 3 · 5 = 60.

8.2 Máximo divisor comum

O MDC de dois ou mais naturais, não todos nulos, é o maior número que divide todos eles.

Por listagem.

• Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Logo, mdc(12, 18) = 6.

Por fatoração. O MDC é o produto dos fatores primos comuns, cada um com o menor expoente: 12 = 2² · 3 e 18 = 2 · 3², então mdc(12, 18) = 2 · 3 = 6.

O MDC precisa "caber" em cada número, por isso usa apenas os primos presentes em todos, na menor quantidade disponível. Com três números: mdc(12, 18, 30) = 2 · 3 = 6.

Por divisões sucessivas (algoritmo de Euclides). Este é um método complementar, útil para números grandes ou difíceis de fatorar. Divide-se o maior pelo menor. Depois, divide-se o divisor anterior pelo resto, e assim por diante. O último resto não nulo é o MDC.

O método funciona porque todo divisor comum de dois números também divide o resto da divisão entre eles. Assim, o MDC se preserva a cada etapa enquanto os números diminuem.

8.3 Aplicações

O MMC resolve problemas de coincidência ou sincronização: eventos que se repetem em intervalos diferentes e voltam a ocorrer juntos. Também fornece o menor denominador comum na soma de frações (seção 9.5).

O MDC resolve problemas de divisão em partes iguais do maior tamanho possível, sem sobras. Também simplifica uma fração de uma só vez (seção 9.3).

9. Frações

9.1 Conceito de fração

Uma fração é um número escrito na forma a/b, com a e b inteiros e b ≠ 0. O denominador (b) indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. O numerador (a) indica quantas dessas partes foram consideradas. Em 3/4, o inteiro foi dividido em 4 partes iguais, e foram tomadas 3.

A exigência de partes iguais é essencial. Um círculo cortado em 4 pedaços de tamanhos diferentes não permite dizer que cada pedaço é 1/4.

A mesma escrita assume significados diferentes:

Significado	Ideia	Exemplo
Parte-todo	Partes de um inteiro dividido igualmente	3/4 de uma pizza
Quociente	Resultado de uma divisão	3 pizzas para 4 pessoas: 3/4 para cada
Razão	Comparação entre quantidades	3 meninas para cada 4 meninos
Operador	Transformação de uma quantidade	2/3 de 60 = 60 ÷ 3 × 2 = 40
Medida	Ponto na reta numérica	3/4 fica entre 0 e 1, a três quartos do caminho

Quanto à relação entre os termos, a fração pode ser:

• Própria: numerador menor que o denominador, como 3/5. Vale menos que 1.
• Imprópria: numerador maior ou igual ao denominador, como 7/4. Vale 1 ou mais.
• Aparente: numerador múltiplo do denominador, como 12/4 = 3. Representa um inteiro.

Frações negativas. O sinal pode ficar no numerador, no denominador ou antes da fração, sem mudar o valor: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4). Por convenção, deixa-se o denominador positivo.

O inverso de uma fração é obtido trocando numerador e denominador: o inverso de 3/4 é 4/3. O produto de um número pelo seu inverso é 1. Não confundir com o oposto, que troca o sinal: o oposto de 3/4 é −3/4. O zero não tem inverso.

9.2 Frações equivalentes

Frações equivalentes representam a mesma quantidade: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100. Obtém-se uma fração equivalente multiplicando ou dividindo numerador e denominador pelo mesmo número diferente de zero.

A justificativa é que isso equivale a multiplicar a fração por n/n, que vale 1. Geometricamente, cortar cada quarto de uma pizza em 2 transforma 3/4 em 6/8 sem mudar a quantidade.

Para verificar a equivalência, usam-se os produtos cruzados: a/b = c/d quando a · d = b · c. As frações 6/9 e 10/15 são equivalentes, pois 6 · 15 = 90 = 9 · 10.

9.3 Simplificação e frações irredutíveis

Simplificar é obter uma fração equivalente com termos menores, dividindo numerador e denominador por um divisor comum. A fração é irredutível quando mdc(numerador, denominador) = 1.

9.4 Comparação de frações

• Mesmo denominador: é maior a de maior numerador. 5/9 > 4/9, porque as partes têm o mesmo tamanho e há mais delas.
• Mesmo numerador: é maior a de menor denominador. 3/5 > 3/8, porque quintos são maiores que oitavos.
• Termos diferentes: reduzem-se ao mesmo denominador, de preferência o MMC dos denominadores.

Frações de referência também ajudam. 4/9 é menor que 1/2 (seriam 4,5/9), e 5/8 é maior que 1/2 (4/8). Logo, 5/8 > 4/9. Entre frações negativas, a ordem se inverte, como nos inteiros: −3/4 < −1/2.

9.5 Adição e subtração de frações

Mesmo denominador. Somam-se os numeradores e mantém-se o denominador: 2/7 + 3/7 = 5/7. O denominador indica o tamanho das partes, e esse tamanho não muda: dois sétimos mais três sétimos são cinco sétimos.

Denominadores diferentes. Partes de tamanhos diferentes não se somam diretamente. Reescrevem-se as frações com um denominador comum, e o MMC dos denominadores é o menor deles.

• 5/6 + 3/4: mmc(6, 4) = 12, então 10/12 + 9/12 = 19/12, ou 1 7/12.
• 7/10 − 2/15: mmc(10, 15) = 30, então 21/30 − 4/30 = 17/30.
• −2/3 + 1/4: mmc(3, 4) = 12, então −8/12 + 3/12 = −5/12, pela regra de sinais da adição (seção 4.2).

Qualquer denominador comum funciona, mas o MMC evita números grandes. Com 6 · 4 = 24, obtém-se 20/24 + 18/24 = 38/24, que simplificado também dá 19/12.

9.6 Multiplicação e divisão de frações

Multiplicação. Multiplicam-se numeradores entre si e denominadores entre si: (a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d). A multiplicação corresponde ao "de": 2/3 · 3/4 significa "dois terços de três quartos".

Pode-se simplificar antes de multiplicar, cancelando fatores comuns entre qualquer numerador e qualquer denominador: (2 · 3)/(3 · 4) = 2/4 = 1/2. Isso evita números grandes: em 14/15 · 25/28, cancelando 14 com 28 e 25 com 15, obtém-se (1 · 5)/(3 · 2) = 5/6.

Um inteiro também pode ser escrito como fração de denominador 1: 3 · 2/5 = 3/1 · 2/5 = 6/5.

Divisão. Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) · (d/c), com c ≠ 0.

A regra tem justificativa. Pela ideia de medida, 3/4 ÷ 1/8 pergunta quantos oitavos cabem em três quartos. Como 3/4 = 6/8, cabem 6, e de fato 3/4 · 8 = 6.

Algebricamente, multiplicar dividendo e divisor pelo mesmo número não altera o quociente. Multiplicando ambos por d/c, o divisor se torna (c/d) · (d/c) = 1, e o resultado é (a/b) · (d/c).

9.7 Números mistos

Um número misto reúne uma parte inteira e uma fração própria. A escrita 2 3/4 significa 2 + 3/4, e não 2 · 3/4.

• Misto para imprópria. 2 3/4 = (2 · 4 + 3)/4 = 11/4, porque 2 inteiros correspondem a 8 quartos, e 8 + 3 = 11 quartos.
• Imprópria para misto. Em 17/5, a divisão de 17 por 5 dá quociente 3 e resto 2, então 17/5 = 3 2/5. É o algoritmo da divisão (seção 2.3): 17 = 5 · 3 + 2.

Adição e subtração. Podem ser feitas por partes: 2 3/4 + 1 2/3 = 3 + (9/12 + 8/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12. Conferência: 11/4 + 5/3 = 33/12 + 20/12 = 53/12 = 4 5/12.

Na subtração, pode ser preciso "desagrupar" um inteiro, como no empréstimo da seção 2.1. Em 5 1/4 − 2 3/4, a fração 1/4 é menor que 3/4, então escreve-se 5 1/4 = 4 5/4. O resultado é 4 5/4 − 2 3/4 = 2 2/4 = 2 1/2.

Multiplicação e divisão. Exigem a conversão para fração imprópria: 2 1/2 · 1 1/3 = 5/2 · 4/3 = 20/6 = 10/3 = 3 1/3.

9.8 Dízimas periódicas e fração geratriz

A forma decimal de uma fração se obtém dividindo o numerador pelo denominador (seção 3.3). Há dois resultados possíveis:

• decimal exato, com número finito de casas: 3/8 = 0,375;
• dízima periódica, com um grupo de algarismos que se repete indefinidamente: 1/3 = 0,333… e 5/6 = 0,8333…

Não há terceira possibilidade. Na divisão por b, os restos possíveis são 0, 1, …, b − 1. Se aparecer resto 0, o decimal é exato. Se não aparecer, algum resto se repete em no máximo b − 1 etapas, e os algarismos passam a se repetir. Por isso, 1/7 = 0,142857142857… tem período de 6 algarismos, o máximo possível para o divisor 7.

O grupo que se repete é o período. A dízima é simples quando o período começa logo após a vírgula, como 0,777…, e composta quando há uma parte não periódica antes dele, o antiperíodo, como em 0,2555…, cujo antiperíodo é 2.

A fração geratriz é a fração irredutível que gera a dízima. Obtém-se multiplicando por potências de 10 que alinhem os períodos e subtraindo, para eliminar a parte infinita.

Na dízima simples, surge uma regularidade: o período vai ao numerador, e o denominador tem um 9 para cada algarismo do período. Assim, 0,777… = 7/9 e 0,4545… = 45/99 = 5/11. A regra prática decorre do método algébrico, que continua sendo a forma segura de verificação.

10. Potenciação

10.1 Conceito de potência

Assim, 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. O expoente conta fatores e não multiplica a base: 2³ = 8, e não 6. É a mesma notação usada como abreviação na fatoração (seção 7.2), agora tratada como operação.

Os nomes "ao quadrado" e "ao cubo" vêm da Geometria. A área de um quadrado de lado a é a², e o volume de um cubo de aresta a é a³.

Crescimento rápido. As potências crescem muito depressa. Se um boato é contado a 2 pessoas, e cada uma conta a outras 2 no dia seguinte, no décimo dia 2¹⁰ = 1.024 pessoas ouvem a novidade pela primeira vez.

Bases especiais.

• 1ⁿ = 1.
• 0ⁿ = 0 para n ≥ 1.
• (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, como em (2/3)² = 4/9.
• (0,1)² = 0,01. Elevar ao quadrado um número entre 0 e 1 o diminui.

Base negativa. Com expoente par, o resultado é positivo. Com expoente ímpar, é negativo: (−2)⁴ = 16 e (−2)³ = −8. Isso decorre da contagem de fatores negativos (seção 4.3).

10.2 Propriedades da potenciação

As propriedades decorrem da definição, contando os fatores.

Propriedade	Forma geral	Justificativa
Produto de mesma base	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ · 2² = (2·2·2)·(2·2) = 2⁵
Quociente de mesma base	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)	2⁵ ÷ 2² = 2³: cancelam-se 2 fatores
Potência de potência	(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ	(2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶
Potência de produto	(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(2 · 5)³ = 8 · 125 = 1.000
Potência de quociente	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0)	(3/4)² = 9/16

A potência de produto facilita cálculos: 4³ · 25³ = (4 · 25)³ = 100³ = 1.000.000.

Bases diferentes podem ser igualadas. Muitas expressões ficam simples quando todas as bases são escritas como potências de um mesmo primo: 8² · 4³ = (2³)² · (2²)³ = 2⁶ · 2⁶ = 2¹².

10.3 Expoente zero e expoente negativo

A definição por multiplicação repetida não se aplica a expoentes zero ou negativos, pois não existe "multiplicar zero vezes". Esses casos são definidos de modo que as propriedades continuem válidas.

Pelo padrão. Na sequência 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, cada vez que o expoente diminui 1, o valor é dividido por 2:

Potência	2³	2²	2¹	2⁰	2⁻¹	2⁻²	2⁻³
Valor	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8

Pela propriedade do quociente. Para a ≠ 0, aⁿ ÷ aⁿ = 1. Pela propriedade, aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, logo a⁰ = 1. Da mesma forma, a⁰ ÷ aⁿ = a⁻ⁿ, e também a⁰ ÷ aⁿ = 1/aⁿ.

Com as definições, as propriedades passam a valer para todos os expoentes inteiros:

• 5³ · 5⁻⁵ = 5⁻² = 1/25.
• (3⁻¹)² = 3⁻² = 1/9.
• 10⁴ ÷ 10⁻² = 10⁴⁻⁽⁻²⁾ = 10⁶.

10.4 Potências de base 10

• 10ⁿ, com n positivo, é o algarismo 1 seguido de n zeros: 10³ = 1.000 e 10⁶ = 1.000.000.
• 10⁻ⁿ tem o algarismo 1 na n-ésima casa decimal: 10⁻¹ = 0,1 e 10⁻³ = 0,001.
• Multiplicar por 10ⁿ desloca a vírgula n casas para a direita, e multiplicar por 10⁻ⁿ desloca n casas para a esquerda, como na seção 3.3.

Os prefixos do Sistema Internacional de Unidades são potências de 10:

Prefixo	Símbolo	Potência	Exemplo
giga	G	10⁹	1 GW = 10⁹ W
mega	M	10⁶	1 MW = 10⁶ W
quilo	k	10³	1 km = 10³ m
mili	m	10⁻³	1 mm = 10⁻³ m
micro	μ	10⁻⁶	1 μm = 10⁻⁶ m
nano	n	10⁻⁹	1 nm = 10⁻⁹ m

10.5 Notação científica (introdução)

• 45.000.000 = 4,5 × 10⁷. A vírgula foi deslocada 7 casas para a esquerda.
• 0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴. A vírgula foi deslocada 4 casas para a direita.
• A unidade astronômica, que corresponde aproximadamente à distância média entre a Terra e o Sol, vale 149.597.870.700 m, ou cerca de 1,5 × 10⁸ km.

A escrita 45 × 10⁶ representa o mesmo número, mas não está em notação científica, porque 45 não está entre 1 e 10. Para ajustar, escreve-se 45 × 10⁶ = 4,5 × 10¹ × 10⁶ = 4,5 × 10⁷.

A notação facilita produtos: (3 × 10⁴) · (2 × 10⁵) = 6 × 10⁹. Operações mais complexas, arredondamentos e ordem de grandeza serão aprofundados no bloco 3.

11. Radiciação

11.1 Conceito de raiz

• √49 = 7, porque 7² = 49.
• ∛64 = 4, porque 4³ = 64.
• ⁴√81 = 3, porque 3⁴ = 81.
• √(4/9) = 2/3, porque (2/3)² = 4/9.
• √0,25 = 0,5, porque 0,5² = 0,25.

Índice par. O radicando precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real. √−4 não é real, porque nenhum real ao quadrado dá resultado negativo. Além disso, a raiz de índice par de um número positivo é, por definição, o valor positivo: √9 = 3.

Índice ímpar. O radicando pode ser negativo, e a raiz tem o mesmo sinal: ∛−8 = −2, porque (−2)³ = −8.

Geometricamente, √a é o lado do quadrado de área a, e ∛a é a aresta do cubo de volume a.

Estimativa. Quando o radicando não é quadrado perfeito, situa-se a raiz entre dois inteiros. √50 está entre 7 e 8, porque 49 < 50 < 64, e fica bem mais perto de 7: √50 ≈ 7,07. Conferência: 7,07² = 49,98…

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225
n³	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1.000	1.331	1.728	2.197	2.744	3.375

Raiz pela fatoração. Um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes da sua fatoração são pares. Assim, 324 = 2² · 3⁴, e √324 = 2 · 3² = 18.

11.2 Relação com a potenciação: expoente fracionário

Se as propriedades das potências valerem para expoentes fracionários, então (a${}^{1/2}$)² = a${}^{1/2 · 2}$ = a¹ = a. O número que ao quadrado dá a é √a. Por isso, define-se:

• 8${}^{2/3}$ = (∛8)² = 2² = 4.
• 27${}^{1/3}$ = 3.
• 16${}^{-1/2}$ = 1/√16 = 1/4. O expoente negativo continua indicando inverso.
• 25${}^{1,5}$ = 25${}^{3/2}$ = (√25)³ = 125.

A forma (ⁿ√a)ᵐ costuma ser mais prática, porque extrai a raiz primeiro e trabalha com números menores. Em 8${}^{2/3}$, é mais simples calcular (∛8)² = 4 do que ∛64 = 4.

Equivalência de radicais. Pelo expoente fracionário, ⁶√(2⁴) = 2${}^{4/6}$ = 2${}^{2/3}$ = ∛(2²) = ∛4. Simplificar a fração do expoente simplifica o radical.

11.3 Propriedades da radiciação

Para a ≥ 0 e b ≥ 0, com as condições indicadas:

Propriedade	Forma geral	Exemplo
Raiz de produto	ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b	√(4 · 9) = 2 · 3 = 6
Raiz de quociente	ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (b > 0)	√(25/4) = 5/2
Potência de raiz	(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)	(√5)² = 5
Raiz de raiz	ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ·ⁿ√a	√(√16) = ⁴√16 = 2
Raiz de potência de mesmo índice	ⁿ√(aⁿ) = a	∛(5³) = 5

Todas se justificam pelos expoentes fracionários. Por exemplo, √(a · b) = (a · b)${}^{1/2}$ = a${}^{1/2}$ · b${}^{1/2}$. As propriedades valem nos dois sentidos: √2 · √8 = √16 = 4 e √75 ÷ √3 = √25 = 5.

11.4 Simplificação de radicais

Simplificar um radical é retirar do radicando os fatores que formam potências de expoente igual ao índice:

1. Fatorar o radicando.
2. Agrupar os fatores em potências de expoente igual ao índice.
3. Aplicar a raiz de produto e retirar cada grupo como um único fator.
4. Deixar dentro do radical o que não forma grupo.

O processo inverso introduz um fator no radical: 3√2 = √(9 · 2) = √18. Isso ajuda a comparar radicais. Por exemplo, 3√2 = √18 é menor que 2√5 = √20.

Radicais só se somam quando são semelhantes, com mesmo índice e mesmo radicando: √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2, pelo mesmo raciocínio de 3x + 2x = 5x. Já √2 + √3 não se reduz a um único radical.

12. Exemplos resolvidos

13. Erros conceituais frequentes

Erro	Por que está errado	Forma correta
0,45 > 0,5	Compara algarismos de ordens diferentes	0,50 > 0,45
−7 > −2	Entre negativos, o de maior módulo é menor	−2 > −7
(−3) + (−5) = 8	A regra de sinais da multiplicação foi usada na adição	−8
20 − 12 ÷ 4 × 3 = 19	Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade	11
4.218 ÷ 6 = 73	Faltou o zero intermediário do quociente	703
16 é divisível por 6	Terminar em 6 não é o critério	Divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo
91 é primo	Não foi testado o divisor 7	91 = 7 · 13
1 é primo	Tem apenas um divisor	O menor primo é 2
mmc(4, 6) = 24	O produto é um múltiplo comum, mas não o menor	12
1/2 + 1/3 = 2/5	O denominador indica o tamanho das partes	5/6
(2 + 3)/2 = 3	Cancelou uma parcela, não um fator	5/2
2 1/2 = 2 · 1/2	Número misto é soma	5/2
2³ = 6	O expoente conta fatores	8
2⁻³ = −8	O expoente negativo indica inverso	1/8
−3² = 9	A base é 3, não −3	−9
(a + b)² = a² + b²	A potência não se distribui na soma	(2 + 3)² = 25 ≠ 13
√(9 + 16) = 7	A raiz não se distribui na soma	5
√9 = ±3	A raiz quadrada é não negativa por definição	3; já x² = 9 tem soluções ±3
6 ÷ 0 = 0	A divisão por zero não é definida	Não existe

14. Distinções importantes

Algarismo e número. Algarismo é o símbolo (0 a 9). Número é a quantidade que a escrita representa. O número 305 tem três algarismos.

Valor absoluto e valor relativo. Em 3.572, o algarismo 5 tem valor absoluto 5 e valor relativo 500. Não confundir com o módulo de um inteiro (|−5| = 5), também chamado de valor absoluto, mas com outro sentido.

Oposto e inverso. O oposto de a é −a, e a soma dos dois é 0. O inverso de a (a ≠ 0) é 1/a, e o produto dos dois é 1. O oposto de 2/3 é −2/3; o inverso é 3/2.

Múltiplo e divisor. Os múltiplos de um natural não nulo são infinitos e maiores ou iguais a ele, exceto o 0. Os divisores são finitos e menores ou iguais a ele.

Número primo e números primos entre si. Primo é uma propriedade de um número. "Primos entre si" é uma relação entre números: 8 e 15 são primos entre si, embora nenhum seja primo.

MMC e MDC. O MMC é maior ou igual ao maior dos números e resolve coincidências. O MDC é menor ou igual ao menor dos números e resolve divisões sem sobras. Na fatoração, o MMC usa todos os primos com o maior expoente, e o MDC usa os primos comuns com o menor expoente.

Fração equivalente e fração irredutível. Toda fração tem infinitas equivalentes, mas uma só irredutível, obtida dividindo os termos pelo MDC.

Número negativo e expoente negativo. Em (−2)³ = −8, a base é negativa. Em 2⁻³ = 1/8, o expoente é negativo, e o resultado é positivo.

−aⁿ e (−a)ⁿ. −3² = −9, mas (−3)² = 9.

Raiz quadrada e solução de x² = a. √16 = 4 é um único número. A equação x² = 16 tem duas soluções, x = ±4.

Decimal exato, dízima periódica e decimal infinito não periódico. Os dois primeiros vêm de frações e são racionais. O terceiro, como √2 e π, não tem fração geratriz.

Radicais semelhantes e radicais simplificáveis. 3√2 e 5√2 são semelhantes e podem ser somados. √8 e √18 não parecem semelhantes, mas se tornam semelhantes depois de simplificados.

15. Perguntas frequentes

O zero é par?

Sim. Um número é par quando é múltiplo de 2, e 0 = 2 · 0. Na reta numérica, o zero está entre −1 e 1, ambos ímpares, como todo par está entre dois ímpares.

Por que 1 não é considerado primo?

Porque tem um único divisor. Se 1 fosse primo, a fatoração deixaria de ser única: 6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 1 · 1 · 2 · 3 … Excluir o 1 preserva o Teorema Fundamental da Aritmética.

Por que menos vezes menos dá mais?

Porque é a única regra que mantém o padrão da multiplicação e a propriedade distributiva (seção 4.3). Se (−3) · (−1) não fosse 3, a igualdade (−3) · [1 + (−1)] = 0 deixaria de valer.

Quanto vale 8 ÷ 2(2 + 2)?

Pela convenção da esquerda para a direita, 8 ÷ 2 · 4 = 16. Algumas convenções dão prioridade à multiplicação escrita sem sinal, o que levaria a 1. A expressão é ambígua na forma como foi escrita. Expressões bem redigidas eliminam a dúvida com parênteses: (8 ÷ 2) · (2 + 2) ou 8 ÷ [2 · (2 + 2)].

0,999… é igual a 1?

Sim. Pelo método da geratriz, 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9, então x = 1. As duas escritas representam o mesmo número. Da mesma forma, 3 · 1/3 = 1 e 3 · 0,333… = 0,999…

Por que dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso?

Porque multiplicar dividendo e divisor pelo mesmo número não altera o quociente. Multiplicando os dois pelo inverso do divisor, o divisor se torna 1. Concretamente, 2 ÷ 1/3 pergunta quantos terços cabem em 2 inteiros: são 6, que é 2 · 3.

Quando usar MMC e quando usar MDC?

Pergunte se a resposta deve ser maior ou menor que os números dados. Se for maior ou igual, como no caso de algo que volta a acontecer junto, é MMC. Se for menor ou igual, como no caso de um tamanho que divide tudo em partes iguais, é MDC.

Por que a⁰ = 1, e não 0?

Porque a⁰ é o resultado de dividir aⁿ por ele mesmo, e todo número não nulo dividido por si mesmo dá 1. Na escada das potências, a⁰ é o degrau entre a¹ = a e a⁻¹ = 1/a, e esse degrau vale a ÷ a = 1.

Por que √2 + √3 não é √5?

Porque a raiz não se distribui na adição. Numericamente, √2 + √3 ≈ 1,41 + 1,73 = 3,14, enquanto √5 ≈ 2,24.

Existe um maior número primo?

Não. Os primos são infinitos, como demonstrou Euclides (seção 7.1). Os maiores primos conhecidos têm milhões de algarismos e são encontrados por computador.

17. Síntese

O sistema decimal é posicional e de base dez: o valor de cada algarismo depende de sua posição, e dez unidades de uma ordem formam uma da ordem seguinte. Essa estrutura explica o "vai um", o "empréstimo", o deslocamento da vírgula e os critérios de divisibilidade.

As quatro operações formam pares inversos: adição e subtração, multiplicação e divisão. Cada uma pode ser verificada pela inversa. As propriedades comutativa, associativa e distributiva justificam os algoritmos e o cálculo mental. A ordem das operações garante valor único a cada expressão.

Os decimais estendem o valor posicional para a direita da vírgula. Os inteiros acrescentam os negativos, com regras de sinais que preservam as propriedades das operações.

Os números primos são as peças da fatoração, que é única. A fatoração revela todos os divisores de um número e fornece o MMC, com todos os primos nos maiores expoentes, e o MDC, com os primos comuns nos menores expoentes.

As frações representam partes iguais, quocientes, razões e operadores. Somar exige denominador comum. Multiplicar é tomar uma fração de outra. Dividir é multiplicar pelo inverso. Toda fração gera um decimal exato ou uma dízima periódica, e toda dízima tem fração geratriz.

A potência é uma multiplicação de fatores iguais, e suas propriedades vêm da contagem desses fatores. Os expoentes zero, negativo e fracionário são definidos para preservar essas propriedades. A radiciação é a operação inversa da potenciação e equivale a um expoente fracionário. Nem a potência nem a raiz se distribuem sobre a soma.

18. Glossário

Termo	Significado
Algarismo	Cada um dos símbolos 0 a 9 usados para escrever números
Antiperíodo	Parte decimal não periódica entre a vírgula e o período de uma dízima composta
Base (potência)	Fator que se repete em uma potência
Classe	Grupo de três ordens: unidades, milhares, milhões…
Denominador	Termo inferior da fração; indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido
Divisor	Número que divide outro exatamente
Dízima periódica	Decimal infinito com um grupo de algarismos que se repete
Expoente	Número que indica quantas vezes a base aparece como fator
Fator	Cada número de uma multiplicação
Fração geratriz	Fração irredutível que gera uma dízima periódica
Fração irredutível	Fração cujos termos têm MDC igual a 1
Índice	Número que indica o tipo de raiz; omitido na raiz quadrada
Inverso	Número que, multiplicado pelo original, dá 1
MDC	Maior número que divide simultaneamente dois ou mais números
MMC	Menor número positivo múltiplo simultâneo de dois ou mais números não nulos
Módulo	Distância de um número até o zero na reta numérica
Múltiplo	Resultado da multiplicação de um número por um natural
Notação científica	Escrita a × 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10 e n inteiro
Número composto	Natural maior que 1 com mais de dois divisores
Número misto	Soma de um inteiro com uma fração própria, escrita sem o sinal de adição
Número primo	Natural com exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo
Numerador	Termo superior da fração; indica quantas partes foram consideradas
Oposto	Número que, somado ao original, dá zero
Ordem	Posição de um algarismo: unidade, dezena, centena…
Período	Grupo de algarismos que se repete em uma dízima
Primos entre si	Números cujo MDC é 1
Radicando	Número do qual se extrai a raiz
Resto	O que sobra na divisão não exata; sempre menor que o divisor
Valor relativo	Valor que um algarismo assume pela posição que ocupa