Conjuntos

A noção de conjunto é a linguagem em que toda a matemática moderna é escrita. Os conjuntos numéricos, os domínios de funções, os espaços amostrais da probabilidade e as soluções de equações e inequações são todos conjuntos. No ENEM, o tema aparece de duas formas:

• explicitamente, em problemas de contagem com diagramas de Venn, envolvendo pesquisas, preferências, exames e grupos que se sobrepõem;
• implicitamente, como base para a probabilidade e para a leitura de tabelas de dupla entrada.

Apresentação

Diagrama de Venn. A interseção pertence aos dois conjuntos.

Na Matriz de Referência, os problemas de contagem com conjuntos mobilizam a Competência de área 1:

• H2: identificar padrões numéricos ou princípios de contagem;
• H3: resolver situações-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

Eles também preparam diretamente a Competência 7, em especial a H28 (estatística e probabilidade). A interpretação precisa de expressões como "pelo menos um", "somente" e "exatamente dois" é, frequentemente, o que separa o acerto do erro nesses itens.

Este artigo apresenta, em sequência:

1. a noção de conjunto e suas representações;
2. as relações de pertinência e de inclusão;
3. as operações entre conjuntos e suas propriedades, incluindo as leis de De Morgan;
4. o diagrama de Venn para dois e três conjuntos;
5. o princípio da inclusão-exclusão;
6. a resolução de problemas de contagem, com atenção às sutilezas de linguagem.

Pré-requisitos: operações básicas e porcentagem.

1. Noção de conjunto

1.1 Conjunto e elemento

Conjunto é um conceito primitivo, aceito sem definição formal. Intuitivamente, é uma coleção de objetos, chamados elementos.

Para que uma coleção seja um conjunto em sentido matemático, ela precisa ser bem definida. Isso significa que, para qualquer objeto, deve ser possível decidir sem ambiguidade se ele pertence ou não à coleção.

• "Os números pares menores que 10" é um conjunto bem definido.
• "Os alunos altos da turma" não é, porque "alto" é um critério subjetivo.

Conjuntos costumam ser nomeados por letras maiúsculas (A, B, C), e seus elementos, por letras minúsculas (a, b, x).

1.2 Formas de representação

Por enumeração (ou extensão). Os elementos são listados entre chaves e separados por vírgulas:

A = {2, 4, 6, 8}

Conjuntos infinitos podem ser indicados por reticências, desde que o padrão seja claro: ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.

Por propriedade (ou compreensão). Indica-se uma propriedade que caracteriza os elementos:

A = {x | x é par e 0 < x < 10}

Lê-se: "A é o conjunto dos x tais que x é par e está entre 0 e 10".

Por diagrama. Os elementos são representados no interior de uma curva fechada. Esse é o diagrama de Venn, a representação mais útil em problemas de contagem.

1.3 Pertinência

A relação entre um elemento e um conjunto é a de pertinência:

• x ∈ A: x pertence a A;
• x ∉ A: x não pertence a A.

Para A = {2, 4, 6, 8}, temos 4 ∈ A e 5 ∉ A.

1.4 Conjuntos especiais

• Conjunto vazio: não tem elementos. Indica-se por ∅ ou { }. Por exemplo, o conjunto dos números naturais menores que zero é vazio.
• Conjunto unitário: tem exatamente um elemento, como {7}.
• Conjunto universo (U): contém todos os elementos considerados em determinado contexto. Em um problema sobre os alunos de uma escola, o universo é o conjunto de todos os alunos dessa escola.

Atenção: {∅} não é o conjunto vazio. É um conjunto unitário cujo único elemento é o conjunto vazio. Uma caixa vazia é diferente de uma caixa que contém uma caixa vazia.

1.5 Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. A ordem dos elementos e as repetições não importam:

{1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {1, 2, 2, 3, 3}

1.6 Número de elementos

O número de elementos de um conjunto finito A é indicado por n(A). Para A = {2, 4, 6, 8}, n(A) = 4. Para o conjunto vazio, n(∅) = 0.

2. Subconjuntos e inclusão

2.1 Definição

Se existe pelo menos um elemento de A que não está em B, então A ⊄ B (A não está contido em B).

Exemplo. Sejam A = {2, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {2, 6}.

• A ⊂ B, porque 2 e 4 estão em B.
• C ⊄ B, porque 6 não está em B.

Duas propriedades que valem para qualquer conjunto A:

• ∅ ⊂ A. O vazio é subconjunto de todo conjunto, porque não há nenhum elemento do vazio que deixe de estar em A.
• A ⊂ A. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

2.2 Pertinência × inclusão

Esta é uma das distinções mais cobradas em itens conceituais.

• A pertinência (∈, ∉) relaciona elemento e conjunto.
• A inclusão (⊂, ⊄) relaciona conjunto e conjunto.

Para decidir qual símbolo usar, é preciso identificar o que está à esquerda.

Exemplo. Seja A = {1, {2}, 3}. Esse conjunto tem três elementos: o número 1, o conjunto {2} e o número 3.

Afirmação	Verdadeira?	Justificativa
1 ∈ A	Sim	1 é elemento de A
{1} ⊂ A	Sim	o único elemento de {1}, que é 1, está em A
{2} ∈ A	Sim	o conjunto {2} é um dos elementos de A
{{2}} ⊂ A	Sim	o único elemento de {{2}}, que é {2}, está em A
2 ∈ A	Não	o número 2, sozinho, não é elemento de A
{2} ⊂ A	Não	para isso, o número 2 deveria ser elemento de A

2.3 Conjunto das partes

O conjunto das partes de A, indicado por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Para A = {a, b, c}:

P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Por que 2ᵏ. Para formar um subconjunto, cada elemento de A passa por uma decisão com duas opções: entra ou não entra. Com k elementos, há 2 × 2 × … × 2 = 2ᵏ combinações de decisões. Esse raciocínio é uma aplicação do princípio fundamental da contagem (bloco 16).

2.4 Os conjuntos numéricos como exemplo de inclusão

Os conjuntos numéricos formam uma cadeia de inclusões:

• ℕ (naturais): {0, 1, 2, 3, …}.
• ℤ (inteiros): os naturais e seus opostos: {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}.
• ℚ (racionais): os números que podem ser escritos como fração a/b, com a e b inteiros e b ≠ 0. Incluem os decimais finitos e as dízimas periódicas.
• Irracionais: os números que não podem ser escritos como fração de inteiros, como √2, π e e. Sua representação decimal é infinita e não periódica.
• ℝ (reais): a união dos racionais com os irracionais.

Os racionais e os irracionais são disjuntos: nenhum número é ao mesmo tempo racional e irracional. Juntos, eles formam os reais. Cada número real corresponde a exatamente um ponto da reta numérica.

3. Operações com conjuntos

Para ilustrar todas as operações, usaremos os mesmos conjuntos:

• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• B = {4, 5, 6, 7, 8}

3.1 União

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

O "ou" da matemática é inclusivo: inclui os elementos que estão nos dois conjuntos.

3.2 Interseção

A ∩ B = {4, 5, 6}

Quando A ∩ B = ∅, os conjuntos são chamados disjuntos.

3.3 Diferença

A − B = {1, 2, 3}
B − A = {7, 8}

A diferença não é comutativa: em geral, A − B ≠ B − A.

3.4 Complementar

A' = {7, 8, 9, 10}
B' = {1, 2, 3, 9, 10}

Quando B ⊂ A, define-se também o complementar de B em relação a A, que é a diferença A − B.

3.5 Propriedades

Comutativa: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A.

Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), e o mesmo vale para a interseção.

Distributiva:

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Elemento neutro e absorvente:

• A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅;
• A ∪ U = U e A ∩ U = A.

3.6 Leis de De Morgan

Em palavras:

• não estar em A ou B é o mesmo que não estar em A e não estar em B;
• não estar em ambos é o mesmo que não estar em A ou não estar em B.

Verificação com os conjuntos do exemplo.

Primeira lei	Resultado
(A ∪ B)'	{9, 10}
A' ∩ B' = {7, 8, 9, 10} ∩ {1, 2, 3, 9, 10}	{9, 10}

Segunda lei	Resultado
(A ∩ B)'	{1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}
A' ∪ B' = {7, 8, 9, 10} ∪ {1, 2, 3, 9, 10}	{1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}

Na linguagem dos problemas:

• "nem fumante nem sedentário" corresponde a (F ∪ S)';
• "não é fumante e sedentário ao mesmo tempo" corresponde a (F ∩ S)'.

São grupos diferentes.

3.7 Conjuntos e lógica

As operações com conjuntos correspondem aos conectivos lógicos:

Linguagem	Lógica	Conjuntos
ou	disjunção	∪
e	conjunção	∩
não	negação	' (complementar)
se… então	implicação	⊂

A última linha merece atenção: "todo médico é graduado" significa que o conjunto dos médicos está contido no conjunto dos graduados.

4. Diagrama de Venn

4.1 Dois conjuntos: quatro regiões

Dois conjuntos que se cruzam dividem o universo em quatro regiões:

Região	Descrição	Notação
I	somente A	A − B
II	A e B	A ∩ B
III	somente B	B − A
IV	fora de ambos	(A ∪ B)'

As regiões são disjuntas: nenhum elemento está em duas delas. Juntas, elas cobrem todo o universo. Por isso, a soma dos números das quatro regiões é o total.

4.2 Três conjuntos: oito regiões

Três conjuntos que se cruzam dividem o universo em oito regiões:

Região	Descrição
1	somente A
2	somente B
3	somente C
4	A e B, mas não C
5	A e C, mas não B
6	B e C, mas não A
7	A, B e C
8	nenhum dos três

As regiões 1, 2 e 3 contêm os elementos que pertencem a exatamente um conjunto. As regiões 4, 5 e 6, a exatamente dois. A região 7, aos três.

4.3 O método de preenchimento: do centro para fora

Os dados de um problema geralmente informam os totais de cada conjunto e de cada interseção. Esses totais incluem as regiões mais internas. O valor informado para A ∩ B, por exemplo, inclui as pessoas que também estão em C.

Por isso, o preenchimento deve seguir sempre esta ordem:

1. Preencha a interseção dos três conjuntos (região 7).
2. Preencha as interseções de dois, descontando o centro: região 4 = n(A ∩ B) − n(A ∩ B ∩ C), e assim por diante.
3. Preencha as regiões "somente", descontando do total de cada conjunto tudo o que já foi colocado dentro dele.
4. Preencha a região externa: total do universo menos a soma de todas as regiões internas.

Com dois conjuntos, o método é o mesmo: comece pela interseção.

5. Princípio da inclusão-exclusão

5.1 Dois conjuntos

Por que funciona. Ao somar n(A) com n(B), os elementos da interseção são contados duas vezes: uma em A e outra em B. Subtrair n(A ∩ B) corrige essa contagem dupla.

Uma consequência útil é a fórmula da diferença:

5.2 Três conjuntos

Por que funciona. Acompanhe quantas vezes um elemento da interseção tripla é contado em cada etapa:

1. Na soma n(A) + n(B) + n(C), é contado 3 vezes.
2. Ao subtrair as três interseções duplas, é descontado 3 vezes. Nesse ponto, deixou de ser contado.
3. Por isso, é preciso somar de volta a interseção tripla.

Os elementos que estão em exatamente dois conjuntos são contados 2 vezes no passo 1 e descontados 1 vez no passo 2. Terminam contados uma vez, como deve ser.

5.3 Fórmula ou diagrama?

As duas abordagens dão o mesmo resultado.

• A fórmula é rápida quando se pede apenas o número total da união.
• O diagrama é indispensável quando se pede o número de alguma região específica, como "somente A" ou "exatamente dois".

Em caso de dúvida, o diagrama é mais seguro.

6. Problemas de contagem

6.1 Dois conjuntos: todos os dados conhecidos

Problema. Em uma pesquisa com 100 pessoas, 60 leem o jornal A, 50 leem o jornal B e 20 leem os dois.

Preenchendo do centro para fora:

1. Interseção: 20.
2. Somente A: 60 − 20 = 40.
3. Somente B: 50 − 20 = 30.
4. Nenhum: 100 − (40 + 20 + 30) = 10.

A partir do diagrama, qualquer pergunta é respondida somando regiões:

Pergunta	Regiões	Resposta
Pelo menos um jornal	40 + 20 + 30	90
Exatamente um jornal	40 + 30	70
Somente A	40	40
No máximo um jornal	40 + 30 + 10	80
Nenhum	10	10

6.2 Dois conjuntos: interseção desconhecida

Problema. Em uma turma de 40 alunos, 25 gostam de futebol, 20 gostam de vôlei e 8 não gostam de nenhum dos dois. Quantos gostam dos dois esportes?

Pela fórmula. Gostam de pelo menos um esporte 40 − 8 = 32 alunos. Então:

32 = 25 + 20 − x
x = 13

Pelo diagrama. Chamando de x a interseção, as regiões ficam 25 − x, x, 20 − x e 8. A soma é o total:

(25 − x) + x + (20 − x) + 8 = 40
53 − x = 40
x = 13

Sinal de alerta. Quando a soma dos conjuntos ultrapassa o total, como 25 + 20 = 45 > 40, necessariamente há interseção.

6.3 Três conjuntos: todos os dados conhecidos

Problema. Uma pesquisa com 200 pessoas investigou a assinatura de três serviços de streaming, A, B e C:

• 90 assinam A, 80 assinam B e 70 assinam C;
• 30 assinam A e B, 25 assinam A e C, e 20 assinam B e C;
• 10 assinam os três.

Preenchimento do centro para fora:

1. Os três: 10.
2. A e B, sem C: 30 − 10 = 20.
3. A e C, sem B: 25 − 10 = 15.
4. B e C, sem A: 20 − 10 = 10.
5. Somente A: 90 − (20 + 15 + 10) = 45.
6. Somente B: 80 − (20 + 10 + 10) = 40.
7. Somente C: 70 − (15 + 10 + 10) = 35.
8. Assinam pelo menos um: 45 + 40 + 35 + 20 + 15 + 10 + 10 = 175.
9. Nenhum: 200 − 175 = 25.

Verificação pela fórmula:

90 + 80 + 70 − 30 − 25 − 20 + 10 = 175

Respostas possíveis:

Pergunta	Regiões	Resposta
Exatamente um serviço	45 + 40 + 35	120
Exatamente dois serviços	20 + 15 + 10	45
Pelo menos dois serviços	45 + 10	55
Somente A	45	45

6.4 Três conjuntos: interseção tripla desconhecida

Problema. Em um grupo de 100 estudantes:

• 50 gostam de Matemática, 45 de Física e 40 de Química;
• 20 gostam de Matemática e Física, 15 de Matemática e Química, e 18 de Física e Química;
• 10 não gostam de nenhuma das três.

Quantos gostam das três disciplinas?

Pela fórmula. Gostam de pelo menos uma disciplina 100 − 10 = 90 estudantes. Chamando de x a interseção tripla:

90 = 50 + 45 + 40 − 20 − 15 − 18 + x
90 = 82 + x
x = 8

Verificação pelo diagrama. Com x = 8, as regiões ficam:

• interseções duplas exclusivas: 12, 7 e 10;
• somente Matemática: 23; somente Física: 15; somente Química: 15.

Todas as regiões são não negativas, e a soma é 23 + 15 + 15 + 12 + 7 + 10 + 8 = 90.

6.5 Atenção à forma como as interseções são informadas

Os enunciados podem informar as interseções de duas maneiras.

• "20 gostam de A e B": em geral, esse número inclui quem também gosta de C. É o valor total da interseção A ∩ B.
• "20 gostam somente de A e B" ou "apenas de A e B": esse número exclui quem gosta de C. É o valor da região exclusiva.

Confundir as duas formas é um dos erros mais comuns em problemas com três conjuntos. Leia com atenção a presença das palavras "somente", "apenas" e "exclusivamente".

6.6 Valores máximo e mínimo da interseção

Às vezes, o problema não fornece dados suficientes para determinar a interseção. Ele pergunta, em vez disso, qual é o menor ou o maior valor possível.

Exemplo. Em um grupo de 100 pessoas, 70 têm smartphone e 60 têm notebook.

• Mínimo: 70 + 60 − 100 = 30. Mesmo que todos tivessem pelo menos um dos dois aparelhos, os conjuntos somam 130 para um universo de 100. Ao menos 30 pessoas estão contadas duas vezes.
• Máximo: 60. No limite, todos os donos de notebook também têm smartphone.

6.7 Problemas com porcentagens

Quando os dados são porcentagens, o universo vale 100%, e o método é idêntico.

Exemplo. Em uma cidade, 60% dos moradores leem o jornal A, 50% leem o B e 30% leem os dois.

• Pelo menos um jornal: 60% + 50% − 30% = 80%.
• Nenhum jornal: 100% − 80% = 20%.

7. Sutilezas linguísticas

A tradução correta do enunciado para regiões do diagrama é, frequentemente, a parte decisiva da questão. Para dois conjuntos A e B:

Expressão	Significado	Regiões
"A ou B"	pelo menos um dos dois	A ∪ B
"A e B"	os dois ao mesmo tempo	A ∩ B
"pelo menos um"	um ou mais	A ∪ B
"exatamente um" ou "apenas um dos dois"	um, mas não os dois	(A − B) ∪ (B − A)
"somente A"	A, mas não B	A − B
"no máximo um"	nenhum ou exatamente um	total − n(A ∩ B)
"nenhum" ou "nem A nem B"	fora dos dois	(A ∪ B)'
"não A"	qualquer região fora de A	A'
"não ambos"	todos, exceto a interseção	(A ∩ B)'

Para três conjuntos, valem as mesmas ideias, com mais regiões:

• "pelo menos dois" = exatamente dois + os três;
• "no máximo dois" = total − os três;
• "exatamente dois" = as três regiões de interseção dupla exclusiva, sem o centro.

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
∈ (pertence)	⊂ (está contido)	∈ relaciona elemento e conjunto; ⊂ relaciona dois conjuntos
∅	{∅}	O primeiro não tem elementos; o segundo tem um
A − B	B − A	A diferença não é comutativa
Complementar (A')	Diferença qualquer	O complementar é sempre em relação ao universo
n(A ∩ B)	"somente A e B"	A interseção total inclui quem também está em C
"Pelo menos um"	"Exatamente um"	O primeiro inclui a interseção; o segundo não
"Nem A nem B"	"Não ambos"	(A ∪ B)' ≠ (A ∩ B)'
n(A) + n(B)	n(A ∪ B)	A soma conta a interseção duas vezes
Racionais	Irracionais	São disjuntos; juntos formam os reais

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Somar os totais dos conjuntos sem descontar a interseção. Controle: use a inclusão-exclusão ou o diagrama.

Começar o diagrama pelas regiões "somente". Controle: preencha sempre do centro para fora.

Não descontar a interseção tripla das interseções duplas. Controle: cada interseção dupla informada inclui o centro, salvo se o enunciado disser "somente".

Esquecer de somar a interseção tripla na fórmula de três conjuntos. Controle: lembre o padrão de sinais: soma, subtrai, soma.

Esquecer a região externa. Controle: a soma de todas as regiões, inclusive a de quem não está em nenhum conjunto, deve ser o total.

Confundir "pelo menos um", "exatamente um" e "no máximo um". Controle: traduza cada expressão em regiões antes de calcular.

Confundir pertinência com inclusão. Controle: identifique se o que está à esquerda do símbolo é um elemento ou um conjunto.

Verificação final. Confira se nenhuma região ficou negativa e se a soma de todas as regiões é o total.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H3, nível fácil)

Considere o universo U = {1, 2, 3, …, 12}, o conjunto A dos múltiplos de 2 em U e o conjunto B dos múltiplos de 3 em U. O número de elementos do conjunto A − B é:

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10

Gabarito: B

Resolução.

• A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e B = {3, 6, 9, 12}.
• A − B retira de A os elementos que também estão em B (6 e 12).
• A − B = {2, 4, 8, 10}, que tem 4 elementos.

Análise dos distratores.

• A: é n(A ∩ B).
• C: é n(A).
• D: é n(A ∪ B).

Questão 2 (H3, nível médio)

Uma pesquisa sobre o uso de dois aplicativos de transporte, X e Y, revelou que 65% dos entrevistados usam X, 48% usam Y e 22% não usam nenhum dos dois. A porcentagem dos entrevistados que usam os dois aplicativos é:

A) 13%
B) 22%
C) 35%
D) 43%
E) 113%

Gabarito: C

Resolução. Usam pelo menos um aplicativo 100% − 22% = 78%. Pela inclusão-exclusão:

78% = 65% + 48% − x
x = 35%

Análise dos distratores.

• A: o candidato ignora quem não usa nenhum aplicativo e faz 113% − 100%.
• E: soma as porcentagens.
• B: toma o percentual de quem não usa nenhum.

Questão 3 (H3, nível médio)

Em um ambulatório, 120 pacientes realizaram exames em determinado dia:

• 70 fizeram hemograma, 50 fizeram raio X e 40 fizeram ultrassom;
• 25 fizeram hemograma e raio X, 20 fizeram hemograma e ultrassom, e 15 fizeram raio X e ultrassom;
• 10 fizeram os três exames.

O número de pacientes que realizaram exatamente um desses exames foi:

A) 30
B) 40
C) 70
D) 100
E) 110

Gabarito: C

Resolução. Preenchendo o diagrama do centro para fora:

• os três exames: 10;
• interseções duplas exclusivas: 15, 10 e 5;
• somente hemograma: 70 − 15 − 10 − 10 = 35;
• somente raio X: 50 − 15 − 5 − 10 = 20;
• somente ultrassom: 40 − 10 − 5 − 10 = 15.

Exatamente um exame: 35 + 20 + 15 = 70.

Análise dos distratores.

• A: é o número de pacientes com exatamente dois exames.
• E: é o número de pacientes com pelo menos um exame.
• D: resulta de esquecer de somar a interseção tripla na fórmula (160 − 60).

Questão 4 (H3, nível médio)

Em uma escola de idiomas com 50 alunos, 30 estudam inglês, 25 estudam espanhol e 10 estudam os dois idiomas. O número de alunos que estudam no máximo um desses idiomas é:

A) 5
B) 10
C) 35
D) 40
E) 45

Gabarito: D

Resolução. "No máximo um" inclui quem estuda nenhum idioma e quem estuda exatamente um. Equivale ao total menos os que estudam os dois: 50 − 10 = 40.

Conferindo pelas regiões:

• somente inglês: 20;
• somente espanhol: 15;
• nenhum: 50 − 45 = 5.

Total: 20 + 15 + 5 = 40.

Análise dos distratores.

• C: corresponde a "exatamente um".
• E: corresponde a "pelo menos um".
• A: corresponde a "nenhum".
• B: corresponde a "os dois".

Questão 5 (H3, nível difícil)

Uma empresa tem 80 funcionários. Sabe-se que 55 deles têm curso superior e 45 falam inglês. O número mínimo de funcionários que têm curso superior e falam inglês é:

A) 0
B) 10
C) 20
D) 45
E) 100

Gabarito: C

Resolução. Os dois conjuntos somam 55 + 45 = 100 elementos em um universo de 80. Pelo menos 100 − 80 = 20 funcionários estão necessariamente nos dois conjuntos.

Análise dos distratores.

• D: é o valor máximo possível da interseção.
• A: ignora que os conjuntos não cabem separados no universo.
• E: é a simples soma dos conjuntos.

Questão 6 (H3, nível difícil)

Em um grupo de 100 estudantes:

• 50 gostam de Matemática, 45 de Física e 40 de Química;
• 20 gostam de Matemática e Física, 15 de Matemática e Química, e 18 de Física e Química;
• 10 estudantes não gostam de nenhuma das três disciplinas.

O número de estudantes que gostam das três disciplinas é:

A) 0
B) 8
C) 10
D) 18
E) 82

Gabarito: B

Resolução. Gostam de pelo menos uma disciplina 90 estudantes. Pela inclusão-exclusão:

90 = 135 − 53 + x
x = 8

Análise dos distratores.

• E: é o resultado parcial 135 − 53, sem completar a equação.
• C: corresponde aos que não gostam de nenhuma disciplina.

Questão 7 (H3, nível médio)

Em um estudo de saúde, F representa o conjunto das pessoas fumantes, e S, o conjunto das pessoas sedentárias. O conjunto das pessoas que não são fumantes nem sedentárias pode ser representado por:

A) (F ∩ S)'
B) F' ∪ S'
C) (F ∪ S)'
D) F' ∩ S
E) F ∪ S'

Gabarito: C

Resolução. "Nem fumante nem sedentário" significa estar fora dos dois conjuntos, ou seja, fora da união: (F ∪ S)'. Pela lei de De Morgan, esse conjunto também é igual a F' ∩ S'.

Análise dos distratores.

• A e B: são equivalentes entre si e representam "não ser fumante e sedentário ao mesmo tempo". Esse conjunto inclui, por exemplo, quem é apenas fumante.
• D: representa os não fumantes que são sedentários.

11. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre ∈ e ⊂?

O símbolo ∈ relaciona um elemento a um conjunto. O símbolo ⊂ relaciona dois conjuntos: indica que todos os elementos do primeiro estão no segundo.

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto?

Sim. Como o vazio não tem elementos, não há nenhum elemento dele que deixe de pertencer ao outro conjunto.

Quantos subconjuntos tem um conjunto com n elementos?

2ⁿ, porque cada elemento pode estar ou não estar em cada subconjunto.

Por que se subtrai a interseção na fórmula da união?

Porque, ao somar n(A) e n(B), os elementos que estão nos dois conjuntos são contados duas vezes.

Por que se soma a interseção tripla na fórmula de três conjuntos?

Porque ela é contada três vezes na soma dos conjuntos e descontada três vezes nas interseções duplas. Sem somá-la de volta, esses elementos não seriam contados.

Por onde começar o diagrama de Venn?

Pelo centro: a interseção de todos os conjuntos. Depois, as interseções duplas e, por último, as regiões "somente".

"Pelo menos um" e "exatamente um" são a mesma coisa?

Não. "Pelo menos um" inclui quem está em mais de um conjunto. "Exatamente um" exclui as interseções.

O que fazer quando a soma dos grupos ultrapassa o total?

Isso indica que há interseção. A diferença entre a soma e o total é o valor mínimo dessa interseção.

Qual é a diferença entre "nem A nem B" e "não ambos"?

"Nem A nem B" é o complementar da união: quem está fora dos dois conjuntos. "Não ambos" é o complementar da interseção: todos, exceto quem está nos dois.

13. Síntese

Conjunto é uma coleção bem definida de elementos. Pode ser representado por enumeração, por propriedade ou por diagrama.

A pertinência (∈) relaciona elemento e conjunto. A inclusão (⊂) relaciona conjuntos. O vazio está contido em todo conjunto, e um conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos. Os conjuntos numéricos formam a cadeia ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, e os irracionais completam os racionais para formar os reais.

As operações correspondem aos conectivos lógicos:

• a união corresponde ao "ou";
• a interseção, ao "e";
• o complementar, ao "não";
• a diferença, ao "mas não".

As leis de De Morgan relacionam o complementar da união com a interseção dos complementares, e vice-versa.

O diagrama de Venn divide o universo em 4 regiões disjuntas para dois conjuntos e em 8 para três. Ele deve ser preenchido do centro para fora. O princípio da inclusão-exclusão calcula a união corrigindo as contagens repetidas.

Nos problemas, a tradução precisa das expressões ("pelo menos", "exatamente", "somente", "no máximo", "nem… nem") em regiões do diagrama é o passo decisivo. A soma de todas as regiões, incluindo a externa, deve ser igual ao total.

Situação	Ferramenta
União de dois conjuntos	n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
União de três conjuntos	soma − interseções duplas + interseção tripla
Somente A (dois conjuntos)	n(A) − n(A ∩ B)
Nenhum	total − n(união)
Interseção desconhecida	equação com x ou inclusão-exclusão
Interseção mínima	n(A) + n(B) − n(U)
Interseção máxima	menor entre n(A) e n(B)
Preenchimento do diagrama	do centro para fora
Número de subconjuntos	2ⁿ

14. Glossário

Termo	Definição
Conjunto	Coleção bem definida de elementos
Elemento	Objeto que pertence a um conjunto
Pertinência	Relação entre elemento e conjunto (∈, ∉)
Inclusão	Relação entre conjuntos (⊂, ⊄)
Subconjunto	Conjunto cujos elementos pertencem todos a outro conjunto
Conjunto vazio	Conjunto sem elementos (∅)
Conjunto universo	Conjunto de todos os elementos considerados no contexto
Conjunto das partes	Conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto
União	Elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos
Interseção	Elementos que estão em todos os conjuntos considerados
Diferença	Elementos do primeiro conjunto que não estão no segundo
Complementar	Elementos do universo que não estão no conjunto
Conjuntos disjuntos	Conjuntos sem elementos em comum
Diagrama de Venn	Representação de conjuntos por regiões delimitadas por curvas fechadas
Inclusão-exclusão	Princípio de contagem para a união de conjuntos com interseções
Leis de De Morgan	(A ∪ B)' = A' ∩ B' e (A ∩ B)' = A' ∪ B'