Análise Combinatória

A análise combinatória é a parte da matemática que conta sem listar. Ela responde a perguntas como:

• quantas senhas de quatro dígitos existem;
• de quantas formas é possível formar uma comissão;
• quantos caminhos levam de um ponto a outro de uma cidade;
• quantas combinações de seis números podem sair na loteria.

Apresentação

Quantas senhas existem? 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000

Quando o número de possibilidades é grande, listar todas seria impraticável, ou impossível. A combinatória oferece princípios que permitem chegar ao total por raciocínio.

Na Matriz de Referência, o tema pertence à Competência de área 1, especialmente à H2 (identificar padrões numéricos ou princípios de contagem) e à H3 (resolver situações-problema com conhecimentos numéricos). É também o alicerce do cálculo de probabilidades, tratado no próximo artigo.

No ENEM, o desafio raramente está na conta. Está em decidir qual raciocínio usar: se a ordem importa, se há repetição, se há restrições.

Este artigo apresenta:

1. os princípios fundamentais da contagem (multiplicativo e aditivo);
2. o fatorial;
3. as permutações simples e com repetição;
4. os arranjos;
5. as combinações e suas propriedades;
6. a permutação circular;
7. as estratégias para problemas com restrições;
8. um roteiro de decisão para escolher a ferramenta certa.

Todas as fórmulas são consequências do princípio multiplicativo. Quem o domina pode reconstruir qualquer uma delas.

Pré-requisitos: operações com números naturais e potências (bloco 0) e o artigo de Conjuntos (união e complementar).

1. Princípios fundamentais da contagem

1.1 Princípio multiplicativo

A palavra-chave é "e": escolhe-se uma opção na primeira etapa e uma opção na segunda e uma na terceira.

Exemplo: a árvore de possibilidades. Uma pessoa tem 3 camisas (A, B, C) e 2 calças (1, 2). Quantos trajes diferentes pode montar?

Para cada camisa, há 2 calças possíveis. A árvore de possibilidades mostra todos os casos:

• camisa A: A1, A2;
• camisa B: B1, B2;
• camisa C: C1, C2.

São 3 · 2 = 6 trajes. A árvore confirma o princípio: cada ramo da primeira etapa se divide no mesmo número de ramos na etapa seguinte.

1.2 Princípio aditivo

A palavra-chave é "ou".

Exemplo. Para ir ao trabalho, uma pessoa pode usar uma de 3 linhas de ônibus ou uma de 2 linhas de metrô. Há 3 + 2 = 5 opções.

1.3 Combinando os dois princípios

Exemplo. Da cidade A à cidade B há 3 estradas, e de B a C, 4 estradas. Há também 2 estradas diretas de A a C. Quantos caminhos levam de A a C?

• Passando por B: 3 · 4 = 12 caminhos (multiplicativo).
• Diretamente: 2 caminhos.
• Total: 12 + 2 = 14 caminhos (aditivo).

1.4 Senhas, placas e códigos

Senha de 4 dígitos com repetição permitida. Cada posição tem 10 possibilidades:

10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴ = 10.000

Senha de 4 dígitos distintos. A cada posição, há uma opção a menos:

10 · 9 · 8 · 7 = 5.040

Placa no padrão anterior, com 3 letras e 4 algarismos:

26³ · 10⁴ = 175.760.000

Placa no padrão Mercosul, com letra, letra, letra, algarismo, letra, algarismo e algarismo:

26 · 26 · 26 · 10 · 26 · 10 · 10 = 26⁴ · 10³ = 456.976.000

1.5 Comece pelas restrições

Quando alguma etapa tem restrição, ela deve ser preenchida primeiro.

Exemplo 1. Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos de 0 a 9?

1. Centenas: o zero não pode ocupar essa posição. São 9 opções.
2. Dezenas: qualquer algarismo, exceto o já usado. São 9 opções (o zero volta a ser permitido).
3. Unidades: 8 opções.

Total: 9 · 9 · 8 = 648.

Exemplo 2: divisão em casos. Quantos desses números são pares?

O algarismo das unidades precisa ser par, mas o zero cria uma situação especial: se o zero estiver nas unidades, ele não está "competindo" com a casa das centenas. Por isso, divide-se em casos.

• Terminados em 0: unidades, 1 opção; centenas, 9; dezenas, 8. Total: 72.
• Terminados em 2, 4, 6 ou 8: unidades, 4 opções; centenas, 8 (nem zero, nem o algarismo das unidades); dezenas, 8. Total: 4 · 8 · 8 = 256.

Total: 72 + 256 = 328 números pares.

1.6 Contagem pelo complementar

Quando a condição pedida é complicada, muitas vezes é mais fácil contar o oposto e subtrair do total.

Exemplo. Quantas senhas de 4 dígitos têm pelo menos um dígito repetido?

• Total de senhas: 10.000.
• Senhas sem nenhuma repetição: 5.040.
• Com pelo menos uma repetição: 10.000 − 5.040 = 4.960.

A expressão "pelo menos um" é um forte sinal para usar o complementar, como no artigo de Conjuntos.

2. Fatorial

2.1 Definição

n	n!
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
10	3.628.800

O fatorial cresce de forma explosiva. Já 13! ultrapassa 6 bilhões.

2.2 Por que 0! = 1

Por definição, 0! = 1. A convenção é coerente com a propriedade n! = n · (n − 1)!. Para n = 1, ela dá 1! = 1 · 0!, o que exige 0! = 1. Também é coerente com a contagem: existe exatamente uma maneira de organizar zero objetos, que é não fazer nada.

2.3 Simplificação

Para dividir fatoriais, expanda o maior até chegar ao menor e cancele:

10! ÷ 8! = (10 · 9 · 8!) ÷ 8! = 10 · 9 = 90

Nunca é preciso calcular os fatoriais completos.

3. Permutação simples

3.1 Definição

Por que n!. Para a primeira posição há n opções; para a segunda, n − 1; e assim por diante, até 1 opção para a última. Pelo princípio multiplicativo, o total é n!.

Exemplo. Cinco pessoas podem formar uma fila de 5! = 120 maneiras.

3.2 Anagramas sem letras repetidas

Anagrama é qualquer reordenação das letras de uma palavra, tenha ela sentido ou não.

• A palavra AMOR, com 4 letras distintas, tem 4! = 24 anagramas.
• Anagramas de AMOR que começam por vogal: a primeira posição tem 2 opções (A ou O), e as 3 letras restantes se permutam: 2 · 3! = 12.

3.3 Palíndromos

Um palíndromo é uma sequência que se lê da mesma forma nos dois sentidos, como ARARA ou 12321.

Para contar palíndromos, basta escolher a primeira metade, porque a segunda metade é obrigatoriamente o espelho dela.

• Números de 5 algarismos: escolhem-se os três primeiros (o primeiro não pode ser zero): 9 · 10 · 10 = 900.
• Números de 4 algarismos: escolhem-se os dois primeiros: 9 · 10 = 90.
• Sequências de 5 letras, com 26 letras disponíveis: 26³ = 17.576.

4. Permutação com repetição

4.1 Definição e fórmula

Quando há elementos repetidos, trocar dois elementos iguais de lugar não gera uma nova sequência. O total de permutações precisa ser corrigido.

Por que dividir. Se as letras repetidas fossem diferentes (A₁, A₂, A₃), haveria n! sequências. Mas, para cada sequência real, as a letras iguais podem ser trocadas entre si de a! maneiras, todas produzindo a mesma palavra. Por isso, divide-se por a!, e o mesmo vale para cada grupo de elementos repetidos.

4.2 Exemplos

• BANANA tem 6 letras, com A repetido 3 vezes e N repetido 2 vezes: 6! ÷ (3! · 2!) = 720 ÷ 12 = 60 anagramas.
• ARARA tem 5 letras, com A repetido 3 vezes e R repetido 2 vezes: 5! ÷ (3! · 2!) = 120 ÷ 12 = 10 anagramas.

4.3 Caminhos em uma malha quadriculada

Em uma cidade com ruas em quadrícula, deseja-se ir de um ponto a outro situado 4 quarteirões a leste e 3 quarteirões ao norte, sempre pelo menor caminho: só andando para leste (L) ou para norte (N).

Todo menor caminho é uma sequência de 7 movimentos, com exatamente 4 L e 3 N. Por exemplo, LLNLNLN. Contar caminhos é contar anagramas de LLLLNNN:

7! ÷ (4! · 3!) = 5.040 ÷ (24 · 6) = 35 caminhos

Esse é um dos modelos mais frequentes no ENEM.

4.4 Sequências de resultados

De quantas maneiras podem ocorrer exatamente 2 caras em 6 lançamentos de uma moeda?

É o número de sequências com 2 caras (C) e 4 coroas (K), ou seja, de anagramas de CCKKKK:

6! ÷ (2! · 4!) = 15

Esse resultado será usado diretamente no artigo de Probabilidade.

5. Arranjo

5.1 Definição e fórmula

Por que funciona. Para a primeira posição há n opções; para a segunda, n − 1; …; para a p-ésima, n − p + 1. O produto n · (n − 1) · … · (n − p + 1) é exatamente n! ÷ (n − p)!.

Na prática, é mais rápido usar diretamente o princípio multiplicativo: multiplicar p fatores decrescentes a partir de n.

5.2 Exemplos

Pódio. Uma corrida tem 8 atletas. De quantas maneiras pode ser formado o pódio, com 1º, 2º e 3º lugares?

A(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336

A ordem importa: ouro para A e prata para B é diferente de ouro para B e prata para A.

Cargos. De um grupo de 10 pessoas, escolhem-se um presidente, um vice e um secretário:

A(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720

6. Combinação

6.1 Definição e fórmula

Também se escreve Cₙ,ₚ ou (n p), em forma de coluna.

Por que dividir por p!. No arranjo, cada grupo de p elementos aparece p! vezes, uma para cada ordenação. Na combinação, essas ordenações representam o mesmo grupo. Por isso:

C(n, p) = A(n, p) ÷ p!

6.2 Exemplos

Comissão. De um grupo de 10 pessoas, escolhe-se uma comissão de 3 membros, sem cargos:

C(10, 3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120

Compare com o exemplo dos cargos da seção 5.2. Os mesmos três escolhidos, distribuídos em cargos diferentes, contam como 6 arranjos distintos, mas como uma única comissão.

Loteria. Na Mega-Sena, são sorteados 6 números entre 60. A ordem do sorteio não importa:

C(60, 6) = 50.063.860 combinações possíveis

Apertos de mão. Em uma reunião com 10 pessoas, cada uma cumprimenta todas as outras uma única vez. Cada aperto de mão é um par de pessoas:

C(10, 2) = 10 · 9 ÷ 2 = 45

Diagonais de um polígono. O número de segmentos que ligam dois vértices de um polígono de n lados é C(n, 2). Desses, n são lados. Então:

número de diagonais = C(n, 2) − n = n(n − 1)/2 − n = n(n − 3)/2

Essa é a mesma fórmula deduzida na Geometria Plana, Parte 1, agora por outro caminho.

Triângulos com pontos dados. Há 10 pontos em um plano, dos quais exatamente 4 estão alinhados, e nenhum outro trio está alinhado. Quantos triângulos têm vértices nesses pontos?

1. Trios de pontos: C(10, 3) = 120.
2. Trios alinhados, que não formam triângulo: C(4, 3) = 4.
3. Triângulos: 120 − 4 = 116.

6.3 Propriedades

Combinações complementares:

Escolher p elementos para entrar no grupo é o mesmo que escolher n − p elementos para ficar de fora. Por exemplo, C(10, 8) = C(10, 2) = 45. Essa propriedade simplifica muitas contas.

Casos extremos: C(n, 0) = C(n, n) = 1.

Soma de uma linha:

Essa soma é o número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos, como no artigo de Conjuntos.

Os valores de C(n, p) formam o triângulo de Pascal, em que cada número é a soma dos dois imediatamente acima dele.

6.4 Combinações com repetição (noção)

Quando os elementos escolhidos podem se repetir, e a ordem não importa, o número de escolhas de p elementos entre n tipos é:

Exemplo. De quantas maneiras é possível escolher 3 bolas de sorvete entre 5 sabores, podendo repetir sabores?

C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3) = 35

7. Arranjo ou combinação?

7.1 O teste da troca de ordem

Escolha um resultado possível e troque a ordem de dois elementos.

• Se o resultado muda, a ordem importa: use arranjo (ou o princípio multiplicativo).
• Se o resultado é o mesmo, a ordem não importa: use combinação.

Situação	Trocar a ordem muda o resultado?	Ferramenta
Pódio de uma corrida	sim	arranjo
Comissão sem cargos	não	combinação
Senha	sim	princípio multiplicativo ou arranjo
Aposta na loteria	não	combinação
Presidente e vice	sim	arranjo
Equipe de plantão	não	combinação
Número formado por algarismos	sim	arranjo
Salada com 3 frutas	não	combinação

8. Permutação circular

8.1 Definição e fórmula

Quando n elementos são dispostos em círculo, como pessoas em uma mesa redonda, duas disposições que diferem apenas por uma rotação são consideradas iguais, porque cada pessoa mantém os mesmos vizinhos.

Por que funciona. Das n! disposições em fila, cada disposição circular aparece n vezes, uma para cada rotação. Logo, há n! ÷ n = (n − 1)! disposições circulares.

Outra forma de ver: fixe uma pessoa em uma cadeira, como referência, e permute as outras n − 1 em relação a ela.

Exemplo. Seis pessoas podem se sentar em uma mesa redonda de 5! = 120 maneiras.

8.2 Colares

Em um colar, além das rotações, o objeto pode ser virado. Isso faz com que uma disposição e sua imagem espelhada sejam iguais. Por isso, divide-se também por 2:

Com 6 contas distintas, há 120 ÷ 2 = 60 colares.

8.3 Restrições na mesa redonda

Exemplo. Seis pessoas, entre elas um casal que deve ficar junto, vão se sentar em uma mesa redonda.

1. Trate o casal como um bloco. São 5 unidades em círculo: (5 − 1)! = 24.
2. Dentro do bloco, o casal pode trocar de lugar: 2! = 2.
3. Total: 24 · 2 = 48.

9. Problemas com restrições

9.1 Elementos que devem ficar juntos: o método do bloco

1. "Cole" os elementos que devem ficar juntos e trate-os como um único elemento.
2. Permute os elementos resultantes.
3. Multiplique pelas permutações internas do bloco.

Exemplo. Cinco livros diferentes serão colocados em uma prateleira, e dois livros específicos devem ficar juntos.

• O bloco e os outros 3 livros formam 4 unidades: 4! = 24.
• O bloco pode estar em duas ordens internas: 2! = 2.
• Total: 24 · 2 = 48.

9.2 Elementos que não podem ficar juntos

Método do complementar: total menos os casos em que eles ficam juntos.

Com os cinco livros: 5! − 48 = 120 − 48 = 72.

Método das lacunas: organize primeiro os elementos sem restrição e, depois, coloque os restritos nos espaços entre eles.

1. Os 3 livros comuns se organizam de 3! = 6 maneiras.
2. Eles criam 4 lacunas: antes do primeiro, entre o 1º e o 2º, entre o 2º e o 3º, e depois do último.
3. Os 2 livros restritos ocupam 2 lacunas distintas, em ordem: A(4, 2) = 12.
4. Total: 6 · 12 = 72.

Os dois métodos concordam.

9.3 Elementos em posições fixas

Fixe primeiro os elementos com posição obrigatória e permute os demais.

• Anagramas de BRASIL que começam com B e terminam com L: as 4 letras centrais se permutam livremente: 4! = 24.
• Anagramas de BRASIL que começam com consoante: há 4 consoantes (B, R, S, L) para a primeira posição, e as 5 letras restantes se permutam: 4 · 5! = 480.

9.4 Restrições do tipo "pelo menos"

Exemplo. De um grupo de 6 homens e 4 mulheres, quer-se formar uma comissão de 4 pessoas com pelo menos uma mulher.

• Total de comissões: C(10, 4) = 210.
• Comissões sem nenhuma mulher (só homens): C(6, 4) = 15.
• Com pelo menos uma mulher: 210 − 15 = 195.

Atenção a um erro clássico. Escolher "primeiro uma mulher" (4 opções) e "depois 3 pessoas quaisquer" entre as 9 restantes (C(9, 3) = 84) dá 336. Esse valor está errado porque conta várias vezes as comissões com mais de uma mulher. Uma comissão com as mulheres M₁ e M₂ seria contada uma vez escolhendo M₁ "primeiro" e outra vez escolhendo M₂ "primeiro".

9.5 Problemas com mais de uma etapa

Exemplo 1: composição de grupos. Uma comissão terá exatamente 2 homens e 2 mulheres, escolhidos entre 6 homens e 4 mulheres.

C(6, 2) · C(4, 2) = 15 · 6 = 90

As escolhas de homens e de mulheres são etapas independentes, e por isso se multiplicam.

Exemplo 2: cargos e membros. De 10 pessoas, escolhe-se um presidente e dois conselheiros, estes sem distinção entre si.

• Presidente: 10 opções.
• Conselheiros: C(9, 2) = 36.
• Total: 10 · 36 = 360.

9.6 Divisão em grupos (noção)

Grupos nomeados. De quantas maneiras 6 pessoas podem ser divididas em uma equipe A e uma equipe B, com 3 pessoas cada?

Escolhida a equipe A, a equipe B fica determinada: C(6, 3) = 20.

Grupos sem nome. Se as equipes não têm nome, trocar A por B produz a mesma divisão:

20 ÷ 2 = 10

10. Roteiro de decisão

Diante de um problema de contagem, responda às perguntas em ordem:

1. O problema tem etapas independentes? Use o princípio multiplicativo.
2. Há casos que se excluem mutuamente? Separe-os e use o princípio aditivo.
3. A condição é "pelo menos um" ou outra condição difícil? Considere o complementar.
4. Todos os elementos serão usados e ordenados?
   • Sem repetição: permutação simples, n!.
   • Com elementos repetidos: n!/(a! b! …).
   • Em círculo: (n − 1)!.
5. Apenas parte dos elementos será escolhida?
   • A ordem importa: arranjo.
   • A ordem não importa: combinação.
6. Há restrições de posição?
   • Juntos: bloco.
   • Separados: complementar ou lacunas.
   • Posições fixas: preencha-as primeiro.

11. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Princípio multiplicativo ("e")	Princípio aditivo ("ou")	Etapas sucessivas multiplicam; casos exclusivos somam
Arranjo	Combinação	No arranjo a ordem importa; na combinação, não
Permutação simples	Permutação com repetição	Com elementos repetidos, divide-se pelos fatoriais das repetições
Permutação em fila (n!)	Permutação circular ((n − 1)!)	No círculo, rotações são equivalentes
Mesa redonda	Colar	O colar também pode ser virado: (n − 1)!/2
"Pelo menos um"	"Exatamente um"	O primeiro geralmente se resolve pelo complementar
Grupos nomeados	Grupos sem nome	Sem nome, divide-se pelo número de trocas entre grupos iguais
0!	0	0! = 1
C(n, p)	C(n, n − p)	Têm o mesmo valor

12. Erros recorrentes e como evitá-los

Usar arranjo quando a ordem não importa, ou o contrário. Controle: aplique o teste da troca de ordem.

Somar quando deveria multiplicar. Controle: "e" entre etapas indica multiplicação; "ou" entre casos exclusivos indica soma.

Não começar pelas restrições. Por exemplo, permitir o zero na primeira posição de um número. Controle: preencha primeiro as posições com restrição.

Esquecer de dividir pelas repetições nos anagramas. Controle: verifique se há letras iguais na palavra.

Usar n! em vez de (n − 1)! em disposições circulares. Controle: fixe um elemento como referência.

Esquecer as permutações internas do bloco. Controle: pergunte se os elementos do bloco podem trocar de lugar entre si.

Contar a mais em problemas de "pelo menos um". Fixar um elemento e completar livremente gera contagens repetidas. Controle: use o complementar.

Esquecer o caso do zero em números pares. Controle: divida em casos, conforme o algarismo das unidades seja zero ou não.

Verificação geral. Com números pequenos, liste todas as possibilidades e compare com a fórmula.

13. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H2, nível fácil)

Um aplicativo exige senhas de 4 algarismos, escolhidos de 0 a 9, todos distintos. O número de senhas possíveis é:

A) 40
B) 210
C) 5.040
D) 10.000
E) 6.561

Gabarito: C

Resolução. A ordem importa, e não há repetição: 10 · 9 · 8 · 7 = 5.040.

Análise dos distratores.

• B: usa combinação, ignorando que a ordem dos algarismos muda a senha.
• D: permite repetição de algarismos.
• E: calcula 9⁴, sem justificativa.

Questão 2 (H2, nível médio)

Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos de 0 a 9?

A) 320
B) 324
C) 328
D) 360
E) 450

Gabarito: C

Resolução. Divide-se em casos, conforme o algarismo das unidades:

• terminados em 0: 9 · 8 = 72;
• terminados em 2, 4, 6 ou 8: 4 · 8 · 8 = 256.

Total: 72 + 256 = 328.

Análise dos distratores.

• D: multiplica 5 opções de unidade por 9 e por 8, sem tratar o caso do zero separadamente.
• E: permite repetição de algarismos (9 · 10 · 5).

Questão 3 (H2, nível médio)

Em um bairro com ruas em forma de quadrícula, uma pessoa vai da escola até a biblioteca, que fica 6 quarteirões a leste e 3 quarteirões ao norte. Ela sempre se desloca pelo menor caminho, andando apenas para leste ou para norte. O número de caminhos possíveis é:

A) 18
B) 27
C) 84
D) 512
E) 362.880

Gabarito: C

Resolução. Cada caminho é uma sequência de 9 movimentos, com 6 L e 3 N. O número de caminhos é o de anagramas de LLLLLLNNN:

9! ÷ (6! · 3!) = 84

Análise dos distratores.

• A: multiplica os números de quarteirões (6 · 3).
• D: supõe que cada um dos 9 movimentos pode ser L ou N livremente (2⁹), sem respeitar as quantidades.
• E: calcula 9!, sem descontar as repetições.

Questão 4 (H2, nível médio)

Uma pizzaria permite montar uma pizza com 3 sabores distintos, escolhidos entre 8 disponíveis. A ordem dos sabores não altera a pizza. O número de pizzas diferentes é:

A) 24
B) 56
C) 336
D) 512
E) 40.320

Gabarito: B

Resolução. A ordem não importa, então usa-se combinação:

C(8, 3) = (8 · 7 · 6) ÷ 3! = 336 ÷ 6 = 56

Análise dos distratores.

• C: usa arranjo, contando como diferentes as mesmas três escolhas em ordens distintas.
• D: permite repetição de sabores e considera a ordem (8³).
• A: multiplica 8 por 3.

Questão 5 (H2, nível médio)

Seis amigos, entre eles um casal, vão jantar em uma mesa redonda. O casal quer sentar-se lado a lado. Considerando iguais as disposições que diferem apenas por rotação, o número de maneiras de os amigos se acomodarem é:

A) 24
B) 48
C) 120
D) 240
E) 720

Gabarito: B

Resolução.

1. O casal forma um bloco. São 5 unidades em círculo: (5 − 1)! = 24.
2. O casal pode trocar de lugar dentro do bloco: × 2.
3. Total: 48.

Análise dos distratores.

• A: esquece a troca interna do casal.
• D: trata o arranjo como uma fila, e não como um círculo (5! · 2).
• C: ignora a restrição do casal e calcula (6 − 1)!.
• E: ignora tanto a restrição quanto a disposição circular (6!).

Questão 6 (H3, nível difícil)

De um grupo formado por 6 homens e 4 mulheres, será escolhida uma comissão de 4 pessoas, sem cargos. O número de comissões com pelo menos uma mulher é:

A) 15
B) 90
C) 195
D) 336
E) 210

Gabarito: C

Resolução. Pelo complementar:

• total de comissões: C(10, 4) = 210;
• comissões só de homens: C(6, 4) = 15;
• com pelo menos uma mulher: 210 − 15 = 195.

Análise dos distratores.

• D: escolhe uma mulher "primeiro" e completa com 3 pessoas quaisquer (4 · 84), contando várias vezes as comissões com mais de uma mulher.
• B: conta apenas as comissões com exatamente 2 homens e 2 mulheres.
• E: é o total, sem a restrição.
• A: é o número de comissões sem mulheres.

Questão 7 (H2, nível difícil)

Seis livros diferentes serão organizados lado a lado em uma prateleira. Dois desses livros são volumes de uma mesma coleção e não podem ficar juntos. O número de maneiras de organizar os livros é:

A) 240
B) 360
C) 480
D) 600
E) 720

Gabarito: C

Resolução.

1. Total sem restrição: 6! = 720.
2. Com os dois volumes juntos: 5! · 2! = 240.
3. Com os volumes separados: 720 − 240 = 480.

Análise dos distratores.

• A: dá o número de disposições com os volumes juntos.
• D: esquece a troca interna dos volumes no bloco e subtrai apenas 5! = 120.
• E: ignora a restrição.

14. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre o princípio multiplicativo e o aditivo?

O multiplicativo é usado quando a tarefa é feita em etapas sucessivas ("e"). O aditivo, quando há casos que se excluem ("ou").

Por que 0! = 1?

Porque é a única convenção coerente com n! = n · (n − 1)!, e porque existe uma única maneira de organizar zero objetos.

Como saber se um problema é de arranjo ou de combinação?

Troque a ordem de dois elementos escolhidos. Se o resultado mudar, é arranjo. Se continuar igual, é combinação.

Por que se divide pelos fatoriais nos anagramas com letras repetidas?

Porque trocar letras iguais de lugar não produz uma palavra nova. Divide-se pelo número dessas trocas.

Por que a permutação circular é (n − 1)!?

Porque, em um círculo, as rotações não mudam a disposição relativa. Fixando um elemento como referência, permutam-se apenas os outros n − 1.

Como contar caminhos em uma malha quadriculada?

Cada menor caminho é uma sequência de movimentos em duas direções. Conte os anagramas dessa sequência.

Quando usar o complementar?

Quando a condição é "pelo menos um" ou quando contar os casos desejados diretamente exige muitas divisões em casos.

Como lidar com elementos que devem ficar juntos?

Trate-os como um bloco, permute os blocos e multiplique pelas permutações internas.

C(10, 8) é igual a C(10, 2)?

Sim. Escolher 8 elementos para entrar é o mesmo que escolher 2 para ficar de fora.

16. Síntese

A análise combinatória conta possibilidades sem listá-las. O princípio multiplicativo multiplica as opções de etapas sucessivas. O princípio aditivo soma casos mutuamente exclusivos. Restrições devem ser tratadas primeiro, e condições do tipo "pelo menos um" costumam se resolver pelo complementar.

O fatorial, n!, é o produto dos naturais de n até 1, com 0! = 1. Ele conta as permutações simples: as maneiras de ordenar n elementos distintos. Quando há elementos repetidos, divide-se pelos fatoriais das repetições. Esse mesmo raciocínio conta caminhos em malhas e sequências de resultados.

O arranjo escolhe e ordena p elementos entre n: A(n, p) = n!/(n − p)!. A combinação apenas escolhe, sem ordem: C(n, p) = n!/[p!(n − p)!]. O teste da troca de ordem decide entre os dois. As combinações satisfazem C(n, p) = C(n, n − p), e a soma de uma linha do triângulo de Pascal é 2ⁿ.

Em disposições circulares, as rotações são equivalentes, e há (n − 1)! possibilidades. Em colares, que podem ser virados, divide-se ainda por 2.

Nos problemas com restrições:

• elementos que devem ficar juntos formam um bloco;
• elementos que não podem ficar juntos se tratam pelo complementar ou pelas lacunas;
• posições fixas são preenchidas primeiro.

Situação	Ferramenta
Etapas sucessivas	multiplicar
Casos exclusivos	somar
"Pelo menos um"	total − casos sem nenhum
Ordenar n distintos	n!
Ordenar com repetições	n!/(a! b! …)
Caminhos na malha	anagramas dos movimentos
Escolher e ordenar p de n	A(n, p) = n!/(n − p)!
Escolher p de n, sem ordem	C(n, p) = n!/[p!(n − p)!]
Disposição circular	(n − 1)!
Colar	(n − 1)!/2
Elementos juntos	bloco × permutações internas
Elementos separados	total − juntos, ou lacunas
Escolha com repetição, sem ordem	C(n + p − 1, p)

17. Glossário

Termo	Definição
Princípio multiplicativo	Regra que multiplica as opções de etapas sucessivas
Princípio aditivo	Regra que soma as opções de casos mutuamente exclusivos
Árvore de possibilidades	Diagrama que representa todas as escolhas possíveis em etapas
Fatorial	Produto de todos os naturais de n até 1, indicado por n!
Permutação simples	Ordenação de todos os elementos de um conjunto de elementos distintos
Permutação com repetição	Ordenação de elementos em que alguns são iguais
Anagrama	Reordenação das letras de uma palavra
Palíndromo	Sequência que se lê da mesma forma nos dois sentidos
Arranjo	Escolha ordenada de p elementos entre n
Combinação	Escolha não ordenada de p elementos entre n
Permutação circular	Disposição de elementos em círculo, com rotações equivalentes
Triângulo de Pascal	Disposição triangular dos valores de C(n, p)
Método do bloco	Tratar elementos que devem ficar juntos como uma única unidade
Método das lacunas	Posicionar elementos restritos nos espaços entre os demais
Complementar	Contagem do total menos os casos indesejados