Sistemas de Equações

Muitas situações reais envolvem duas ou mais quantidades desconhecidas ao mesmo tempo, ligadas por mais de uma informação. Por exemplo:

• o número de carros e de motos em um estacionamento, conhecidos o total de veículos e o total de rodas;
• os preços de dois produtos, conhecidos os valores de duas compras diferentes;
• os volumes de duas soluções que devem ser misturadas para obter uma concentração desejada.

Apresentação

Carros e motos. Duas incógnitas pedem duas informações.

Em todos esses casos, uma única equação não basta. É preciso um sistema de equações.

Na Matriz de Referência, o tema pertence à Competência de área 5 (modelagem algébrica). Ele mobiliza as habilidades:

• H19: identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas;
• H21: resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos;
• H22: usar conhecimentos algébricos como recurso de argumentação;
• H23: avaliar propostas de intervenção na realidade.

Os sistemas também se ligam à H20 (interpretação de gráficos cartesianos), porque cada equação linear representa uma reta, e resolver o sistema equivale a encontrar o ponto de encontro dessas retas. No ENEM, o desafio raramente está no cálculo. Está em montar o sistema correto a partir de um enunciado contextualizado.

Este artigo apresenta:

1. o conceito de sistema e de solução;
2. os cinco métodos de resolução, com critérios para escolher o mais adequado;
3. a interpretação geométrica e a classificação dos sistemas;
4. uma introdução aos sistemas de três incógnitas e a sistemas não lineares simples;
5. uma coleção de modelos de problemas contextualizados.

Pré-requisitos: equações do 1º e do 2º grau (bloco 7) e o artigo de Função do Primeiro Grau, para a interpretação gráfica.

1. Conceito de sistema de equações

1.1 Equações com duas incógnitas

Uma equação com duas incógnitas, como x + y = 10, tem infinitas soluções. Cada solução é um par ordenado (x, y) que torna a igualdade verdadeira: (0, 10), (3, 7), (7, 3), (−2, 12), (4,5; 5,5) e assim por diante.

Sozinha, a equação não determina os valores de x e y. Ela apenas estabelece uma relação entre eles.

1.2 Sistema e solução

Exemplo.

x + y = 10
x − y = 4

O par (7, 3) satisfaz as duas equações: 7 + 3 = 10 e 7 − 3 = 4. Portanto, é solução do sistema.

O par (6, 4) satisfaz a primeira equação, mas não a segunda, porque 6 − 4 = 2. Portanto, não é solução.

Verificar se um par é solução é sempre fácil: basta substituir os valores em todas as equações. Esse procedimento elimina alternativas rapidamente em questões de múltipla escolha.

1.3 Por que são necessárias duas equações

Cada incógnita representa uma informação que falta. Para determinar duas incógnitas, são necessárias duas informações independentes, ou seja, duas equações que não digam a mesma coisa de formas diferentes.

As equações x + y = 10 e 2x + 2y = 20 são, na verdade, a mesma informação, porque a segunda é o dobro da primeira. Por isso, não determinam a solução. Esse caso é tratado na seção 3.

2. Métodos de resolução

Todos os métodos têm o mesmo objetivo: eliminar uma das incógnitas e obter uma equação com uma só incógnita, que se resolve como no bloco 7.

2.1 Intuição (tentativa)

Com números pequenos e inteiros, a solução pode ser encontrada por raciocínio direto.

No sistema x + y = 10 e x − y = 4, procuram-se dois números que somam 10 e diferem em 4. Testando pares cuja soma é 10, chega-se a 7 e 3.

O método é rápido em casos simples, mas não é confiável quando os valores são grandes, fracionários ou negativos.

2.2 Método da substituição

Procedimento:

1. Isole uma incógnita em uma das equações. De preferência, escolha uma incógnita de coeficiente 1.
2. Substitua a expressão obtida na outra equação.
3. Resolva a equação resultante, que tem uma só incógnita.
4. Volte à expressão isolada para obter a segunda incógnita.

Exemplo. Em um estacionamento há 20 veículos, entre carros e motos, com um total de 56 rodas. Quantos são carros e quantos são motos?

c + m = 20
4c + 2m = 56

1. Da primeira equação: m = 20 − c.
2. Substituindo na segunda: 4c + 2(20 − c) = 56.
3. Resolvendo: 4c + 40 − 2c = 56, então 2c = 16 e c = 8.
4. Voltando: m = 20 − 8 = 12.

Verificação: 8 + 12 = 20 veículos, e 8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56 rodas.

Quando usar: quando alguma incógnita aparece com coeficiente 1 ou −1, ou já está isolada.

2.3 Método da adição

Procedimento:

1. Multiplique uma ou as duas equações por números convenientes, de modo que uma das incógnitas fique com coeficientes opostos nas duas equações.
2. Some as equações membro a membro. A incógnita com coeficientes opostos desaparece.
3. Resolva a equação resultante e substitua o valor encontrado em qualquer uma das equações originais.

Exemplo 1, com coeficientes já opostos:

x + y = 10
x − y = 4

Somando: 2x = 14, logo x = 7. Substituindo na primeira: y = 3.

Exemplo 2, quando é preciso preparar os coeficientes:

3x + 2y = 16
5x − 3y = 14

Para eliminar y, multiplique a primeira equação por 3 e a segunda por 2:

9x + 6y = 48
10x − 6y = 28

Somando: 19x = 76, logo x = 4. Substituindo na primeira: 12 + 2y = 16, logo y = 2.

Verificação: 3·4 + 2·2 = 16 e 5·4 − 3·2 = 14.

Por que o método funciona. Se A = B e C = D, então A + C = B + D. Somar igualdades preserva a igualdade. É o mesmo princípio da balança, aplicado a duas balanças ao mesmo tempo.

Quando usar: quando nenhuma incógnita tem coeficiente 1, ou quando os coeficientes já são opostos ou fáceis de tornar opostos.

2.4 Método da subtração

Quando uma incógnita tem coeficientes iguais nas duas equações, basta subtrair uma equação da outra.

2x + 3y = 13
2x + y = 7

Subtraindo a segunda da primeira: (2x − 2x) + (3y − y) = 13 − 7, ou seja, 2y = 6. Logo, y = 3. Substituindo na segunda: x = 2.

Atenção: ao subtrair, todos os termos da equação subtraída têm o sinal trocado, inclusive o termo independente. Esse é o erro mais comum do método.

Na prática, subtrair uma equação é o mesmo que multiplicá-la por −1 e somar. Por isso, a subtração é um caso particular da adição.

2.5 Método da comparação

Procedimento:

1. Isole a mesma incógnita nas duas equações.
2. Iguale as duas expressões obtidas.
3. Resolva a equação resultante.

Exemplo:

y = 2x + 1
y = −x + 7

Igualando: 2x + 1 = −x + 7. Então 3x = 6, x = 2, e y = 2·2 + 1 = 5.

Quando usar: quando as duas equações já estão na forma y = ..., como acontece com frequência em problemas que comparam duas funções, planos de pagamento ou trajetórias.

2.6 Como escolher o método

Situação	Método mais eficiente
Uma incógnita com coeficiente 1 ou −1	Substituição
Coeficientes opostos	Adição
Coeficientes iguais	Subtração
As duas equações já isoladas na mesma incógnita	Comparação
Nenhum coeficiente favorável	Adição, após multiplicar as equações
Números pequenos e inteiros	Intuição, com verificação

Todos os métodos levam à mesma solução. A escolha afeta apenas a quantidade de contas e a chance de erro.

2.7 Sistemas com frações

Elimine as frações multiplicando cada equação pelo MMC de seus denominadores. Depois, resolva normalmente.

x/2 + y/3 = 5
x/4 − y/6 = 0,5

• Multiplicando a primeira por 6: 3x + 2y = 30.
• Multiplicando a segunda por 12: 3x − 2y = 6.
• Somando: 6x = 36, logo x = 6.
• Substituindo: 18 + 2y = 30, logo y = 6.

Verificação: 6/2 + 6/3 = 3 + 2 = 5, e 6/4 − 6/6 = 1,5 − 1 = 0,5.

2.8 Incógnitas no denominador

Quando as incógnitas aparecem no denominador, a mudança de variável transforma o sistema em um sistema simples.

1/x + 1/y = 5/6
1/x − 1/y = 1/6

1. Faça a = 1/x e b = 1/y. O sistema fica a + b = 5/6 e a − b = 1/6.
2. Somando: 2a = 1, logo a = 1/2. Então b = 5/6 − 1/2 = 1/3.
3. Voltando às variáveis originais: x = 2 e y = 3.

Essa estrutura aparece em problemas de torneiras e de trabalho conjunto, em que as vazões são os inversos dos tempos.

3. Interpretação geométrica e classificação

3.1 Cada equação é uma reta

Uma equação do tipo ax + by = c, com a e b não ambos nulos, representa uma reta no plano cartesiano. Cada ponto da reta é uma solução da equação.

Resolver um sistema de duas equações lineares significa encontrar os pontos que estão nas duas retas ao mesmo tempo, ou seja, o ponto de interseção.

No exemplo da seção 2.5, as retas y = 2x + 1 e y = −x + 7 se cruzam no ponto (2, 5), que é exatamente a solução do sistema.

3.2 As três possibilidades

Posição das retas	Número de soluções	Classificação
Concorrentes (cruzam-se em um ponto)	Uma única solução	Sistema possível e determinado (SPD)
Paralelas distintas (nunca se cruzam)	Nenhuma solução	Sistema impossível (SI)
Coincidentes (são a mesma reta)	Infinitas soluções	Sistema possível e indeterminado (SPI)

3.3 Identificação algébrica

Para o sistema

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

comparam-se as razões entre os coeficientes correspondentes:

Condição	Classificação
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	SPD
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	SI
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	SPI

Observação. A tabela supõe que os coeficientes da segunda equação são diferentes de zero. Quando algum deles é zero, as razões não existem, e usa-se o critério equivalente pelos produtos cruzados:

Se a₁b₂ − a₂b₁ = 0, o sistema é impossível ou indeterminado. Para decidir entre os dois, basta resolvê-lo e analisar a igualdade que resta.

Exemplo 1 (SPI). x + 2y = 4 e 2x + 4y = 8.

As razões são 1/2 = 2/4 = 4/8. A segunda equação é o dobro da primeira: as retas coincidem.

Exemplo 2 (SI). x + 2y = 4 e 2x + 4y = 10.

As razões entre os coeficientes de x e de y são iguais (1/2 = 2/4), mas a razão entre os termos independentes é diferente (4/10). As retas são paralelas.

O que acontece ao resolver. Ao aplicar qualquer método, as duas incógnitas desaparecem juntas.

• No exemplo 2, multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da segunda, obtém-se 0 = 2, que é falso. O sistema é impossível.
• No exemplo 1, o mesmo procedimento leva a 0 = 0, que é sempre verdadeiro. O sistema é indeterminado.

3.4 A solução de um sistema indeterminado

No sistema indeterminado do exemplo 1, todas as soluções satisfazem x + 2y = 4. Isolando y:

y = (4 − x) ÷ 2

As soluções são todos os pares da forma (x, (4 − x)/2), com x real. Por exemplo: (0, 2), (2, 1) e (4, 0).

3.5 Sistemas com parâmetro

Uma questão comum pede o valor de um parâmetro que torna o sistema de determinado tipo.

Exemplo. Para que valor de k o sistema abaixo é impossível?

x + ky = 3
2x + 6y = 5

Para que o sistema seja impossível, as razões dos coeficientes de x e de y devem ser iguais: 1/2 = k/6, ou seja, k = 3.

Com k = 3, a razão dos termos independentes é 3/5, diferente de 1/2. Portanto, o sistema é de fato impossível.

4. Sistemas com três incógnitas (noção)

4.1 Resolução por eliminação

Com três incógnitas, são necessárias três equações independentes. A estratégia é eliminar uma incógnita de cada vez até chegar a uma equação com uma só incógnita.

Exemplo:

x + y + z = 6
x − y + z = 2
2x + y − z = 1

1. Subtraindo a segunda equação da primeira: 2y = 4, logo y = 2.
2. Substituindo y nas outras duas equações:
   • primeira: x + z = 4;
   • terceira: 2x − z = −1.
3. Somando essas duas: 3x = 3, logo x = 1. Então z = 3.

Verificação:

• 1 + 2 + 3 = 6;
• 1 − 2 + 3 = 2;
• 2 + 2 − 3 = 1.

4.2 Um recurso útil: somar todas as equações

Quando cada equação envolve a soma de duas das três incógnitas, somar todas as equações dá diretamente o total.

Exemplo. Em uma lanchonete:

• um suco e um sanduíche custam R$ 18,00;
• um sanduíche e uma sobremesa custam R$ 22,00;
• um suco e uma sobremesa custam R$ 14,00.

Quanto custa cada item?

1. Somando as três equações, cada item aparece duas vezes: 2 · (suco + sanduíche + sobremesa) = 54.
2. Um de cada custa R$ 27,00.
3. Subtraindo cada equação desse total:
   • suco = 27 − 22 = R$ 5,00;
   • sanduíche = 27 − 14 = R$ 13,00;
   • sobremesa = 27 − 18 = R$ 9,00.

5. Sistemas não lineares simples

5.1 Soma e produto

Quando se conhecem a soma S e o produto P de dois números, eles são as raízes da equação

Exemplo. Dois números somam 7 e têm produto 12.

t² − 7t + 12 = 0 tem raízes 3 e 4. Esses são os números.

5.2 Aplicação geométrica

Um retângulo tem perímetro de 34 cm e área de 60 cm². Quais são suas dimensões?

1. Pelo perímetro: 2(x + y) = 34, ou seja, x + y = 17.
2. Pela área: x · y = 60.
3. Os lados são as raízes de t² − 17t + 60 = 0: 12 cm e 5 cm.

Como curiosidade, a diagonal desse retângulo mede √(144 + 25) = 13 cm.

5.3 Interseção de reta e parábola

O sistema y = x² e y = x + 2 se resolve por comparação:

x² = x + 2
x² − x − 2 = 0
x = 2 ou x = −1

Os pontos de interseção são (2, 4) e (−1, 1). Esse tipo de sistema é aprofundado no artigo de Função do Segundo Grau.

6. Como montar o sistema a partir do enunciado

6.1 Roteiro

1. Nomeie as incógnitas, escrevendo por extenso o que cada uma representa. Por exemplo, "x = número de ingressos inteiros".
2. Identifique as informações independentes. Geralmente, uma delas é uma contagem (quantidade total) e a outra é um valor (dinheiro, rodas, pontos, massa).
3. Escreva uma equação para cada informação.
4. Resolva pelo método mais eficiente.
5. Verifique no enunciado original.
6. Responda exatamente ao que foi perguntado.

6.2 Modelos recorrentes

Contexto	Equação de contagem	Equação de valor
Carros e motos	c + m = total de veículos	4c + 2m = total de rodas
Ingressos	i + m = total de ingressos	pᵢ·i + pₘ·m = arrecadação
Cédulas ou moedas	x + y = número de cédulas	v₁x + v₂y = valor total
Prova com penalidade	a + e = número de questões	(pontos por acerto)·a − (desconto por erro)·e = nota
Mistura de soluções	V₁ + V₂ = volume final	C₁V₁ + C₂V₂ = C·V (quantidade de soluto)
Barco e correnteza	v + c = velocidade a favor	v − c = velocidade contra

7. Problemas contextualizados

7.1 Cédulas

Uma pessoa tem 30 cédulas de R$ 10,00 e de R$ 20,00, totalizando R$ 440,00. Quantas cédulas há de cada valor?

x + y = 30
10x + 20y = 440

1. Dividindo a segunda equação por 10: x + 2y = 44.
2. Subtraindo a primeira: y = 14, e então x = 16.

Verificação: 16 × 10 + 14 × 20 = 160 + 280 = 440.

7.2 Compras

Três cadernos e duas canetas custam R$ 40,00. Dois cadernos e cinco canetas custam R$ 34,00. Qual é o preço de cada item?

3c + 2p = 40
2c + 5p = 34

1. Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 3: 6c + 4p = 80 e 6c + 15p = 102.
2. Subtraindo: 11p = 22, logo p = R$ 2,00.
3. Substituindo: 3c + 4 = 40, logo c = R$ 12,00.

Verificação: 2 × 12 + 5 × 2 = 24 + 10 = 34.

7.3 Idades

A soma das idades de um pai e de um filho é 50 anos. Há 5 anos, a idade do pai era o quádruplo da do filho. Quais são as idades atuais?

p + f = 50
p − 5 = 4(f − 5)

1. Da segunda equação: p = 4f − 15.
2. Substituindo na primeira: 5f − 15 = 50, logo f = 13 e p = 37.

Verificação: há 5 anos, o pai tinha 32, e o filho, 8. De fato, 32 = 4 × 8.

7.4 Mistura de soluções

Um laboratório precisa de 200 mL de uma solução a 25%. Dispõe de soluções a 10% e a 30%. Quanto deve usar de cada uma?

Sejam x o volume da solução a 10% e y o da solução a 30%.

• Volume total: x + y = 200.
• Quantidade de soluto: 0,10x + 0,30y = 0,25 × 200 = 50.

1. Multiplicando a segunda equação por 10: x + 3y = 500.
2. Subtraindo a primeira: 2y = 300, logo y = 150 mL e x = 50 mL.

Verificação: 0,10 × 50 + 0,30 × 150 = 5 + 45 = 50.

O resultado faz sentido: a concentração desejada (25%) está mais próxima de 30% do que de 10%. Por isso, a solução mais concentrada entra em maior quantidade.

7.5 Movimento com correnteza

Um barco percorre 60 km rio abaixo, a favor da correnteza, em 2 h. Percorre a mesma distância rio acima, contra a correnteza, em 3 h. Quais são a velocidade do barco em água parada e a velocidade da correnteza?

• A favor da correnteza, a velocidade é v + c = 60 ÷ 2 = 30 km/h.
• Contra a correnteza, é v − c = 60 ÷ 3 = 20 km/h.

Somando: 2v = 50, logo v = 25 km/h e c = 5 km/h.

7.6 Número de dois algarismos

A soma dos algarismos de um número de dois algarismos é 9. Invertendo a ordem dos algarismos, o número aumenta 27 unidades. Qual é o número?

Seja 10a + b o número, com a o algarismo das dezenas e b o das unidades.

a + b = 9
(10b + a) − (10a + b) = 27

1. A segunda equação se simplifica para 9(b − a) = 27, ou seja, b − a = 3.
2. Somando com a primeira: 2b = 12, logo b = 6 e a = 3.
3. O número é 36.

Verificação: 63 − 36 = 27.

7.7 Prova com penalidade

Uma prova tem 20 questões. Cada acerto vale 5 pontos, e cada erro desconta 2 pontos. Um candidato respondeu a todas as questões e fez 58 pontos. Quantas acertou?

a + e = 20
5a − 2e = 58

1. Substituindo e = 20 − a: 5a − 40 + 2a = 58.
2. 7a = 98, logo a = 14 acertos e 6 erros.

Verificação: 14 × 5 − 6 × 2 = 70 − 12 = 58.

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Solução de uma equação com duas incógnitas	Solução do sistema	A equação tem infinitas soluções; o sistema SPD tem uma
SPD	SPI	O SPD tem solução única; o SPI tem infinitas
SI (retas paralelas)	SPI (retas coincidentes)	No SI, as razões dos termos independentes diferem
Equação 0 = 0	Equação 0 = k, com k ≠ 0	A primeira indica SPI; a segunda, SI
Método da adição	Método da subtração	A subtração é a adição após multiplicar por −1
Contagem (quantidade)	Valor (dinheiro, rodas, pontos)	São informações independentes e geram equações diferentes
Velocidade do barco	Velocidade a favor da correnteza	A favor, a velocidade é v + c
Soma e produto	Sistema linear	Soma e produto levam a uma equação do 2º grau

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Não trocar todos os sinais ao subtrair equações. Controle: reescreva a equação subtraída com os sinais trocados e some.

Multiplicar apenas um lado da equação ao preparar os coeficientes. Controle: cada termo, dos dois lados, deve ser multiplicado.

Montar as duas equações com a mesma informação. Por exemplo, escrever duas equações de contagem. Controle: uma equação deve vir da quantidade, e a outra, do valor.

Trocar os coeficientes entre as incógnitas. Por exemplo, atribuir o preço da meia-entrada à variável da inteira. Controle: nomeie as incógnitas por extenso antes de montar o sistema.

Responder o valor da incógnita errada. O enunciado pergunta o número de motos, e o candidato responde o de carros. Controle: releia a pergunta antes de marcar a alternativa.

Dividir a diferença das tarifas pela tarifa de apenas um dos planos. Controle: em comparações, monte a equação completa com os dois planos.

Não reconhecer um sistema impossível ou indeterminado. Controle: se as incógnitas desaparecerem juntas, analise a igualdade que restou.

Verificação final. Substitua a solução em todas as equações e confira com o enunciado original.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H19, nível fácil)

Um teatro vende ingressos inteiros a R$ 40,00 e meias-entradas a R$ 20,00. Em uma sessão, foram vendidos 250 ingressos, com arrecadação de R$ 7.400,00. Sendo x o número de ingressos inteiros e y o de meias-entradas, o sistema que modela a situação é:

A) x + y = 7.400 e 40x + 20y = 250
B) x + y = 250 e 40x + 20y = 7.400
C) x + y = 250 e 20x + 40y = 7.400
D) x − y = 250 e 40x − 20y = 7.400
E) x + y = 250 e 60(x + y) = 7.400

Gabarito: B

Resolução. A contagem de ingressos dá x + y = 250. A arrecadação dá 40x + 20y = 7.400.

Análise dos distratores.

• A: troca as informações de contagem e de valor.
• C: associa os preços às variáveis erradas.
• E: soma os preços, como se cada pessoa comprasse os dois tipos de ingresso.

Questão 2 (H21, nível fácil)

Em um estacionamento há 35 veículos, entre carros e motos, totalizando 110 rodas. O número de motos é:

A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 55

Gabarito: B

Resolução.

c + m = 35
4c + 2m = 110

Substituindo m = 35 − c: 4c + 70 − 2c = 110, ou seja, 2c = 40. Então c = 20 e m = 15.

Análise dos distratores.

• C: é o número de carros, não de motos.
• E: divide o total de rodas por 2, como se todos os veículos fossem motos.

Questão 3 (H21, nível médio)

Em um simulado com 30 questões, cada acerto vale 4 pontos, e cada erro desconta 1 ponto. Um estudante respondeu a todas as questões e obteve 75 pontos. O número de questões que ele acertou é:

A) 9
B) 15
C) 19
D) 21
E) 25

Gabarito: D

Resolução.

a + e = 30
4a − e = 75

Somando as equações: 5a = 105, logo a = 21.

Verificação: 21 × 4 − 9 = 84 − 9 = 75.

Análise dos distratores.

• A: é o número de erros.
• C: ignora a penalidade e faz 75 ÷ 4 ≈ 19.

Questão 4 (H21, nível médio)

Um farmacêutico precisa preparar 300 mL de uma solução a 10% a partir de duas soluções da mesma substância, com concentrações de 5% e de 20%. O volume da solução a 20% que deve ser utilizado é:

A) 75 mL
B) 100 mL
C) 150 mL
D) 200 mL
E) 225 mL

Gabarito: B

Resolução. Sejam x o volume da solução a 5% e y o da solução a 20%.

x + y = 300
0,05x + 0,20y = 30

Multiplicando a segunda por 20: x + 4y = 600. Subtraindo a primeira: 3y = 300, logo y = 100 mL.

Análise dos distratores.

• D: é o volume da solução a 5%.
• C: supõe volumes iguais, como se a média simples das concentrações fosse a desejada.

Questão 5 (H20, nível médio)

Considere o sistema:

2x − y = 3
4x − 2y = k

Esse sistema não tem solução quando:

A) k = 6
B) k ≠ 6
C) k = 3
D) k = 0
E) para nenhum valor de k

Gabarito: B

Resolução. A segunda equação tem os coeficientes de x e de y iguais ao dobro dos da primeira. As retas são paralelas ou coincidentes.

• Se k = 6, a segunda equação é o dobro da primeira, as retas coincidem, e o sistema é indeterminado.
• Para k ≠ 6, as retas são paralelas distintas, e o sistema é impossível.

Análise dos distratores.

• A: corresponde ao caso de infinitas soluções.
• E: ignora a possibilidade de retas paralelas.

Questão 6 (H21, nível difícil)

Um barco percorre 48 km rio abaixo, a favor da correnteza, em 2 horas. Percorre os mesmos 48 km rio acima, contra a correnteza, em 3 horas. A velocidade da correnteza, em km/h, é:

A) 4
B) 8
C) 16
D) 20
E) 24

Gabarito: A

Resolução.

v + c = 48 ÷ 2 = 24
v − c = 48 ÷ 3 = 16

Somando: 2v = 40, logo v = 20 km/h e c = 4 km/h.

Análise dos distratores.

• B: é a diferença entre as velocidades a favor e contra (24 − 16), sem dividir por 2.
• D: é a velocidade do barco.
• C e E: são as velocidades contra e a favor da correnteza.

Questão 7 (H21, nível difícil)

Em uma lanchonete:

• um suco e um sanduíche custam R$ 18,00;
• um sanduíche e uma sobremesa custam R$ 22,00;
• um suco e uma sobremesa custam R$ 14,00.

O valor total de um suco, um sanduíche e uma sobremesa é:

A) R$ 13,00
B) R$ 18,00
C) R$ 22,00
D) R$ 27,00
E) R$ 54,00

Gabarito: D

Resolução. Somando as três equações, cada item aparece duas vezes: 2 · (total) = 54. Logo, o total é R$ 27,00.

Análise dos distratores.

• E: é a soma das três equações, sem dividir por 2.
• A: é o preço do sanduíche sozinho.

11. Perguntas frequentes

Por que uma equação com duas incógnitas não basta?

Porque ela tem infinitas soluções. Para determinar duas incógnitas, são necessárias duas informações independentes.

Qual é o melhor método para resolver sistemas?

Depende do sistema. Se uma incógnita tem coeficiente 1, a substituição costuma ser mais rápida. Se os coeficientes são opostos ou fáceis de igualar, use a adição.

O que significa obter 0 = 0 ao resolver um sistema?

Que as equações representam a mesma reta. O sistema é possível e indeterminado, com infinitas soluções.

E se o resultado for algo como 0 = 5?

O sistema é impossível. As retas são paralelas e não têm ponto em comum.

Como saber o tipo do sistema sem resolvê-lo?

Compare as razões entre os coeficientes. Se as razões dos coeficientes de x e de y forem diferentes, o sistema é determinado. Se forem iguais, ele é impossível ou indeterminado, conforme a razão dos termos independentes.

Como montar o sistema em problemas de mistura?

Uma equação para o volume total e outra para a quantidade de soluto. A quantidade de soluto é a concentração multiplicada pelo volume.

Como funciona o problema do barco na correnteza?

A favor da correnteza, as velocidades se somam (v + c). Contra, se subtraem (v − c). Com essas duas equações, encontram-se v e c.

Sistemas com três incógnitas caem no ENEM?

Aparecem com menor frequência, geralmente em problemas que podem ser resolvidos com recursos como somar todas as equações.

O que fazer quando as incógnitas estão no denominador?

Substitua os inversos por novas variáveis. Por exemplo, a = 1/x e b = 1/y. O sistema se torna linear.

13. Síntese

Um sistema de equações reúne duas ou mais equações que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. A solução é o par, ou terno, que satisfaz todas elas.

Os cinco métodos de resolução eliminam uma incógnita para chegar a uma equação simples:

• intuição, para números pequenos;
• substituição, quando há coeficiente 1;
• adição, quando há coeficientes opostos;
• subtração, quando há coeficientes iguais;
• comparação, quando as equações já estão isoladas na mesma incógnita.

Frações se eliminam pelo MMC, e incógnitas no denominador, por mudança de variável.

Geometricamente, cada equação linear é uma reta. O sistema é possível e determinado quando as retas são concorrentes, impossível quando são paralelas e indeterminado quando são coincidentes. A comparação das razões entre os coeficientes permite classificar o sistema sem resolvê-lo.

Sistemas com três incógnitas se resolvem por eliminação sucessiva ou, em casos simétricos, somando as equações. Sistemas de soma e produto levam a uma equação do 2º grau.

Nos problemas, as duas equações costumam vir de uma contagem e de um valor. A tradução cuidadosa, com incógnitas nomeadas por extenso, é a etapa decisiva.

Situação	Ferramenta
Coeficiente 1 em alguma incógnita	Substituição
Coeficientes opostos	Adição
Coeficientes iguais	Subtração
Equações isoladas em y	Comparação
Frações	Multiplicar pelo MMC
Incógnitas no denominador	Mudança de variável (a = 1/x)
Classificação	Razões entre os coeficientes
Soma e produto conhecidos	t² − St + P = 0
Três equações simétricas	Somar todas as equações
Misturas	Volume total e quantidade de soluto
Correnteza	v + c e v − c

14. Glossário

Termo	Definição
Sistema de equações	Conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente
Par ordenado	Par (x, y) que representa uma solução com duas incógnitas
Solução do sistema	Valores que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo
Método da substituição	Isolar uma incógnita e substituí-la na outra equação
Método da adição	Somar as equações para eliminar uma incógnita
Método da comparação	Igualar duas expressões da mesma incógnita
Sistema possível e determinado (SPD)	Sistema com uma única solução
Sistema possível e indeterminado (SPI)	Sistema com infinitas soluções
Sistema impossível (SI)	Sistema sem solução
Retas concorrentes	Retas que se cruzam em um único ponto
Retas paralelas	Retas distintas sem ponto em comum
Retas coincidentes	Retas que são a mesma reta
Parâmetro	Letra que representa um valor fixo, mas desconhecido, em um sistema
Mudança de variável	Substituição de uma expressão por uma nova letra para simplificar o sistema