Sequências e Progressões

Grande parte da matemática consiste em reconhecer padrões e descrevê-los com precisão. As sequências numéricas formalizam essa ideia. Elas descrevem salários que sobem uma quantia fixa por ano, populações de bactérias que dobram a cada intervalo, remédios que perdem metade da concentração a cada período e figuras que crescem segundo uma regra.

Apresentação

As progressões aritméticas e geométricas são os dois padrões mais importantes. Elas antecipam, no universo dos números inteiros, a função afim e a função exponencial.

Na Matriz de Referência, o tema mobiliza sobretudo a Competência de área 1, especialmente a H2 (identificar padrões numéricos ou princípios de contagem) e a H3. Também mobiliza a Competência 5, com as habilidades H19 e H21, que tratam de modelar e resolver problemas algebricamente. Itens com sequências figurais, calendários, crescimento de populações e decaimento de substâncias são frequentes no exame.

Este artigo apresenta:

1. o conceito de sequência e as formas de descrevê-la;
2. a progressão aritmética, com termo geral, propriedades e soma;
3. as sequências lógicas e figurais, incluindo padrões periódicos;
4. a sequência de Fibonacci e a razão áurea;
5. a progressão geométrica, com termo geral, propriedades, soma finita e soma infinita;
6. uma comparação entre crescimento aritmético e geométrico.

As fórmulas são deduzidas, e não apenas apresentadas. Quem entende de onde vêm não precisa decorá-las.

Pré-requisitos: equações do 1º e do 2º grau (bloco 7) e propriedades da potenciação (bloco 0).

1. Sequências numéricas

1.1 Conceito

O que distingue uma sequência de um conjunto é a ordem. A sequência (1, 2, 3) é diferente da sequência (3, 2, 1), embora as duas tenham os mesmos elementos.

Uma sequência pode ser:

• finita, como (2, 4, 6, 8);
• infinita, como (1, 3, 5, 7, …).

Formalmente, uma sequência é uma função que associa a cada posição n = 1, 2, 3, … um número aₙ.

1.2 Lei de formação

Há duas maneiras de descrever uma sequência.

Pelo termo geral. Uma fórmula dá o termo diretamente a partir da posição.

Termo geral	Sequência
aₙ = 2n + 1	3, 5, 7, 9, …
aₙ = n²	1, 4, 9, 16, …
aₙ = (−1)ⁿ	−1, 1, −1, 1, …

A vantagem é calcular qualquer termo imediatamente. O 100º termo de aₙ = 2n + 1 é 2 · 100 + 1 = 201.

Por recorrência. Dá-se o primeiro termo e uma regra que obtém cada termo a partir do anterior.

Com a₁ = 3 e aₙ = aₙ₋₁ + 4, a sequência é 3, 7, 11, 15, …

A recorrência descreve bem como a sequência cresce, mas, para encontrar um termo distante, exige calcular todos os anteriores, a menos que se encontre o termo geral.

1.3 Identificando padrões: o método das diferenças

Diante de uma sequência desconhecida, calcule as diferenças entre termos consecutivos.

• Se as diferenças são constantes, a sequência é uma progressão aritmética.
• Se as razões entre termos consecutivos são constantes, a sequência é uma progressão geométrica.
• Se as diferenças não são constantes, mas as diferenças das diferenças são, o termo geral é uma expressão do 2º grau em n.

Exemplo. A sequência 2, 5, 10, 17, 26, … tem:

• diferenças: 3, 5, 7, 9;
• diferenças das diferenças: 2, 2, 2, constantes.

O termo geral é do 2º grau. Por observação, aₙ = n² + 1. Conferindo: 1 + 1 = 2, 4 + 1 = 5, 9 + 1 = 10.

2. Progressão aritmética

2.1 Definição

2.2 Classificação

Razão	Classificação	Exemplo
r > 0	crescente	5, 8, 11, 14, … (r = 3)
r < 0	decrescente	20, 15, 10, 5, … (r = −5)
r = 0	constante	7, 7, 7, …

2.3 Termo geral

Dedução. Observe como cada termo se relaciona com o primeiro:

• a₂ = a₁ + r
• a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r
• a₄ = a₃ + r = a₁ + 3r
• …

Para chegar ao termo de posição n, partindo do primeiro, são necessários n − 1 "saltos" de tamanho r:

Por que n − 1, e não n. Pense em uma cerca com 10 postes. Entre o primeiro e o décimo poste há 9 intervalos, e não 10. Da mesma forma, entre o 1º e o n-ésimo termo há n − 1 saltos. Esse é o erro mais comum em PA.

Forma generalizada. Partindo de qualquer termo conhecido aₖ:

Exemplo 1: calcular um termo. Qual é o 20º termo da PA 5, 8, 11, …?

a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62

Exemplo 2: calcular o número de termos. Quantos termos tem a PA 7, 12, 17, …, 152?

152 = 7 + (n − 1) · 5
n − 1 = 29
n = 30 termos

Exemplo 3: contar múltiplos. Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 500?

1. O primeiro é 105 (7 × 15), e o último é 497 (7 × 71).
2. Eles formam uma PA de razão 7.
3. n = (497 − 105) ÷ 7 + 1 = 56 + 1 = 57 múltiplos.

Exemplo 4: termos não consecutivos. Em uma PA, a₅ = 17 e a₁₂ = 45. Encontre a razão e o primeiro termo.

1. Entre a₅ e a₁₂ há 7 saltos: 45 = 17 + 7r, logo r = 4.
2. Então a₁ = a₅ − 4r = 17 − 16 = 1.

2.4 PA e função afim

O termo geral pode ser reescrito como:

aₙ = r · n + (a₁ − r)

Essa expressão tem a forma de uma função afim de n, com coeficiente angular r. Por isso, os pontos (n, aₙ) de uma PA estão alinhados sobre uma reta.

Uma PA é uma função afim restrita aos números naturais: o crescimento é linear. Os juros simples, estudados no bloco 4, formam uma PA.

2.5 Propriedades

Termo médio. Em três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois:

Termos equidistantes dos extremos. Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é constante:

Na PA 2, 5, 8, 11, 14, 17, temos 2 + 17 = 5 + 14 = 8 + 11 = 19. Essa propriedade é a base da fórmula da soma.

Notação conveniente. Quando o problema fala de três termos em PA, é vantajoso escrevê-los como x − r, x, x + r. A soma fica simplesmente 3x.

Exemplo. Três números em PA têm soma 21 e produto 231. Quais são?

1. Soma: 3x = 21, logo x = 7.
2. Produto: (7 − r) · 7 · (7 + r) = 231, então 49 − r² = 33, r² = 16 e r = ±4.
3. Os números são 3, 7 e 11 (ou a mesma PA em ordem decrescente).

2.6 Soma dos termos

Dedução (método de Gauss). Escreva a soma duas vezes, uma em ordem crescente e outra em ordem decrescente:

Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁ + aₙ
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₂ + a₁

Somando termo a termo, cada par vale a₁ + aₙ, pela propriedade dos equidistantes. Há n pares:

2Sₙ = n · (a₁ + aₙ)

Em palavras: a soma é a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pela quantidade de termos.

Exemplos:

• 1 + 2 + … + 100 = (1 + 100) · 100 ÷ 2 = 5.050.
• Soma dos 20 primeiros termos de 5, 8, 11, …: (5 + 62) · 20 ÷ 2 = 670.
• Soma dos múltiplos de 7 entre 100 e 500: (105 + 497) · 57 ÷ 2 = 17.157.

Um resultado notável. A soma dos n primeiros números ímpares é:

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = (1 + 2n − 1) · n ÷ 2 = n²

Por exemplo, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².

2.7 Interpolação aritmética

Interpolar k meios aritméticos entre dois números é inserir k termos entre eles, de modo que todos formem uma PA.

Exemplo. Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 23.

1. A PA terá 6 termos, com a₁ = 3 e a₆ = 23.
2. 23 = 3 + 5r, logo r = 4.
3. A PA é 3, 7, 11, 15, 19, 23.

2.8 Aplicações

Arquibancada. A primeira fileira de uma arquibancada tem 20 lugares, e cada fileira seguinte tem 2 lugares a mais. Com 15 fileiras, quantos lugares há?

1. Última fileira: a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48 lugares.
2. Total: S₁₅ = (20 + 48) · 15 ÷ 2 = 510 lugares.

Treinamento progressivo. Um corredor começa com 2 km na primeira semana e aumenta 0,5 km por semana.

• Na 12ª semana, corre a₁₂ = 2 + 11 · 0,5 = 7,5 km.
• Nas 12 semanas, percorre (2 + 7,5) · 12 ÷ 2 = 57 km.

3. Sequências lógicas e figurais

3.1 Sequências figurais

Em sequências de figuras, o objetivo é descobrir quantos elementos (palitos, quadradinhos, bolinhas) tem a figura de posição n.

Método:

1. Monte uma tabela relacionando a posição n com a quantidade de elementos.
2. Calcule as diferenças para identificar o tipo de crescimento.
3. Interprete geometricamente de onde vem cada parcela da fórmula.
4. Teste a fórmula nas figuras dadas.

Exemplo 1: quadrados de palitos em fila.

Figura (n)	1	2	3	4
Palitos	4	7	10	13

As diferenças são constantes e iguais a 3. É uma PA, com aₙ = 4 + (n − 1) · 3 = 3n + 1.

Interpretação: o primeiro quadrado usa 4 palitos. Cada quadrado novo aproveita um lado do anterior e acrescenta apenas 3. A figura 50 usa 3 · 50 + 1 = 151 palitos.

Exemplo 2: moldura de ladrilhos. A figura n é uma área quadrada de n × n ladrilhos brancos, cercada por uma moldura de ladrilhos azuis. Quantos ladrilhos azuis há na figura n?

1. A figura completa é um quadrado de lado n + 2.
2. Ladrilhos azuis = (n + 2)² − n² = 4n + 4.
3. Conferindo: a figura 1 tem 8 azuis, e a figura 2 tem 12.

Exemplo 3: números figurados.

• Quadrados (pontos em forma de quadrado): 1, 4, 9, 16, … com termo geral n².
• Triangulares (pontos em forma de triângulo): 1, 3, 6, 10, 15, … com termo geral n(n + 1)/2, que é a soma 1 + 2 + … + n.

3.2 Sequências periódicas

Uma sequência é periódica quando seus termos se repetem em ciclos de tamanho fixo p. Para encontrar o termo de posição n:

Exemplo 1: letras. Na sequência A, B, C, D, A, B, C, D, …, qual é o 2.026º termo?

O ciclo tem 4 letras. Como 2.026 = 4 × 506 + 2, o resto é 2. O termo é B.

Exemplo 2: calendário. Hoje é sexta-feira. Que dia da semana será daqui a 100 dias?

O ciclo tem 7 dias. Como 100 = 7 × 14 + 2, avançam-se 2 dias a partir de sexta. Será domingo.

Exemplo 3: último algarismo de potências. Qual é o algarismo das unidades de 3¹⁰⁰?

1. Os últimos algarismos das potências de 3 seguem o ciclo 3, 9, 7, 1, de período 4.
2. Como 100 é múltiplo de 4, o resto é zero, e corresponde à última posição do ciclo.
3. O algarismo é 1.

4. A sequência de Fibonacci

4.1 Definição

A sequência de Fibonacci é definida por recorrência:

Cada termo é a soma dos dois anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

A sequência leva o nome de Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci. Em 1202, ele a apresentou ao resolver um problema sobre a reprodução de coelhos.

4.2 Fibonacci não é PA nem PG

As diferenças (0, 1, 1, 2, 3, 5, …) não são constantes. As razões também não são constantes, embora se aproximem de um valor fixo.

4.3 A razão áurea

As razões entre termos consecutivos se aproximam de um número especial:

Fₙ₊₁ ÷ Fₙ	Valor
2 ÷ 1	2
3 ÷ 2	1,5
5 ÷ 3	1,667
8 ÷ 5	1,6
13 ÷ 8	1,625
21 ÷ 13	1,615
34 ÷ 21	1,619
55 ÷ 34	1,618

O limite dessas razões é a razão áurea:

O número φ satisfaz a equação φ² = φ + 1. Essa equação é o reflexo, no limite, da regra "cada termo é a soma dos dois anteriores".

4.4 Propriedades e aplicações

Soma dos primeiros termos. A soma dos n primeiros termos é Fₙ₊₂ − 1. Por exemplo, 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = F₇ − 1 = 13 − 1.

Na natureza. Números de Fibonacci aparecem na contagem de espirais de girassóis, pinhas e abacaxis, fenômeno estudado na filotaxia, a disposição de folhas e sementes nas plantas.

Na arte e na arquitetura. O retângulo áureo, cujos lados estão na razão φ, foi associado a padrões estéticos em diversas épocas. Algumas dessas associações são documentadas; outras são exageros populares.

5. Progressão geométrica

5.1 Definição

5.2 Classificação

Condição	Classificação	Exemplo
a₁ > 0 e q > 1	crescente	3, 6, 12, 24, …
a₁ > 0 e 0 < q < 1	decrescente	80, 40, 20, 10, …
a₁ < 0 e q > 1	decrescente	−2, −4, −8, …
a₁ < 0 e 0 < q < 1	crescente	−16, −8, −4, …
q = 1	constante	5, 5, 5, …
q < 0	alternante (os sinais se alternam)	2, −6, 18, −54, …

5.3 Termo geral

Dedução:

• a₂ = a₁ · q
• a₃ = a₂ · q = a₁ · q²
• a₄ = a₁ · q³
• …

O expoente é n − 1, pelo mesmo motivo do n − 1 na PA: são n − 1 multiplicações entre o primeiro e o n-ésimo termo.

Forma generalizada:

Exemplo 1. Qual é o 8º termo da PG 3, 6, 12, …?

a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128 = 384

Exemplo 2. Em uma PG, a₂ = 6 e a₅ = 162. Encontre a razão e o primeiro termo.

1. Entre a₂ e a₅ há 3 multiplicações: 162 = 6 · q³, então q³ = 27 e q = 3.
2. a₁ = 6 ÷ 3 = 2.

5.4 PG e função exponencial

O termo geral pode ser reescrito como:

aₙ = (a₁ ÷ q) · qⁿ

Essa expressão é uma função exponencial de n. Uma PG é uma exponencial restrita aos números naturais: o crescimento é exponencial. Os juros compostos, o crescimento de populações e o decaimento radioativo são exemplos (bloco 18).

5.5 Propriedades

Termo médio. Em três termos consecutivos de uma PG de termos positivos, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois:

Notação conveniente. Para três termos em PG, escreva x/q, x, x · q. O produto fica simplesmente x³.

Exemplo. Três números em PG têm produto 216 e soma 26. Quais são?

1. Produto: x³ = 216, logo x = 6.
2. Soma: 6/q + 6 + 6q = 26, ou seja, 6/q + 6q = 20.
3. Multiplicando por q: 6q² − 20q + 6 = 0, ou seja, 3q² − 10q + 3 = 0.
4. As raízes são q = 3 ou q = 1/3.
5. Os números são 2, 6 e 18 (ou a mesma PG em ordem decrescente).

5.6 Soma dos termos de uma PG finita

Dedução. Escreva a soma e multiplique-a por q:

Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ⁻¹
q · Sₙ = a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ⁻¹ + a₁qⁿ

Subtraindo a primeira da segunda, quase todos os termos se cancelam:

q · Sₙ − Sₙ = a₁qⁿ − a₁

Quando q = 1, todos os termos são iguais, e Sₙ = n · a₁.

Exemplo. Soma dos 8 primeiros termos de 3, 6, 12, …:

S₈ = 3 · (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 · 255 = 765

A lenda do tabuleiro de xadrez. Segundo a lenda, o inventor do xadrez pediu como recompensa 1 grão de trigo na primeira casa, 2 na segunda, 4 na terceira, e assim por diante, dobrando até a 64ª casa. O total é:

1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = (2⁶⁴ − 1) ÷ (2 − 1) ≈ 1,8 × 10¹⁹ grãos

Essa quantidade supera em muito toda a produção de trigo da história humana. É uma ilustração da força do crescimento exponencial.

5.7 Soma dos termos de uma PG infinita

Quando |q| < 1, os termos ficam cada vez menores e se aproximam de zero. Nesse caso, qⁿ tende a zero quando n cresce, e a fórmula da soma finita se aproxima de:

Exemplo 1:

8 + 4 + 2 + 1 + … = 8 ÷ (1 − 1/2) = 16

Uma soma de infinitos termos pode ter resultado finito.

Exemplo 2: dízimas periódicas. A dízima 0,333… é a soma infinita 3/10 + 3/100 + 3/1.000 + …, uma PG de razão 1/10:

0,333… = (3/10) ÷ (1 − 1/10) = (3/10) ÷ (9/10) = 1/3

Pelo mesmo raciocínio, 0,999… = (9/10) ÷ (9/10) = 1. Os dois registros representam o mesmo número.

Exemplo 3: bola que quica. Uma bola é solta de 10 m de altura. A cada quique, sobe até a metade da altura anterior. Qual é a distância total percorrida até parar?

1. A bola desce 10 m.
2. Depois, sobe e desce 5 m, sobe e desce 2,5 m, e assim por diante.
3. Distância total = 10 + 2 · (5 + 2,5 + 1,25 + …) = 10 + 2 · [5 ÷ (1 − 1/2)] = 10 + 2 · 10 = 30 m.

5.8 Interpolação geométrica

Exemplo. Inserir 3 meios geométricos entre 2 e 162.

1. A PG terá 5 termos: 162 = 2 · q⁴, então q⁴ = 81 e q = 3 (ou q = −3).
2. Com q = 3, a PG é 2, 6, 18, 54, 162.

5.9 Aplicações

Crescimento de bactérias. Uma colônia de 1.000 bactérias dobra a cada 20 minutos. Quantas haverá após 2 horas?

São 6 períodos de 20 minutos: 1.000 · 2⁶ = 64.000 bactérias.

Meia-vida de medicamentos. Um medicamento tem meia-vida de 6 horas no organismo, ou seja, sua quantidade cai pela metade a cada 6 horas. Partindo de 80 mg, quanto resta após 24 horas?

São 4 meias-vidas: 80 · (1/2)⁴ = 5 mg.

Depreciação. Um carro de R$ 50.000 perde 20% do valor a cada ano. Quanto vale após 3 anos?

50.000 · 0,8³ = R$ 25.600

Propagação de mensagens. Uma pessoa envia uma mensagem a 3 pessoas. Cada uma delas repassa a 3 novas pessoas, e assim por diante. Após 5 rodadas de repasse, quantas pessoas receberam a mensagem?

3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 3 · (3⁵ − 1) ÷ 2 = 363 pessoas. Incluindo quem iniciou, são 364.

6. PA × PG: crescimento linear e exponencial

Característica	PA	PG
Regra	soma a razão	multiplica pela razão
Razão	r = aₙ₊₁ − aₙ	q = aₙ₊₁ ÷ aₙ
Termo geral	aₙ = a₁ + (n − 1)r	aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
Soma finita	(a₁ + aₙ)n ÷ 2	a₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1)
Soma infinita	só existe se todos os termos forem nulos	a₁ ÷ (1 − q), se |q| < 1
Termo médio	média aritmética	média geométrica
Função associada	afim (linear)	exponencial
Gráfico de (n, aₙ)	pontos sobre uma reta	pontos sobre uma curva exponencial
Exemplo financeiro	juros simples	juros compostos

A diferença na prática. Considere duas sequências que começam em 1: uma PA de razão 10 e uma PG de razão 2.

n	PA de razão 10	PG de razão 2
1	1	1
5	41	16
6	51	32
7	61	64
10	91	512
20	191	524.288

A PA começa crescendo mais. A PG a ultrapassa entre o 6º e o 7º termo e depois se distancia rapidamente. Todo crescimento exponencial com q > 1 e primeiro termo positivo acaba superando qualquer crescimento linear.

7. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Sequência	Conjunto	Na sequência, a ordem importa
Termo geral	Recorrência	O termo geral dá aₙ diretamente; a recorrência depende do termo anterior
aₙ = a₁ + (n − 1)r	aₙ = a₁ + nr	São n − 1 saltos entre o 1º e o n-ésimo termo
Razão da PA	Razão da PG	Diferença na PA; quociente na PG
Soma da PA	Soma da PG	Fórmulas e deduções diferentes
PG com |q| < 1	PG com q > 1	Só a primeira tem soma infinita finita
Fibonacci	PA ou PG	Fibonacci é definida por recorrência de dois termos
Resto zero em sequência periódica	Primeira posição do ciclo	Resto zero corresponde à última posição do ciclo
Crescimento linear	Crescimento exponencial	O exponencial acaba superando o linear

8. Erros recorrentes e como evitá-los

Usar n em vez de n − 1 no termo geral. Controle: teste a fórmula com n = 1. Ela deve devolver a₁.

Confundir PA com PG. Controle: calcule as diferenças e as razões entre termos consecutivos e veja qual delas é constante.

Somar termos de uma PG com a fórmula da PA. Controle: identifique o tipo da progressão antes de escolher a fórmula.

Aplicar a soma infinita com |q| ≥ 1. Controle: a fórmula a₁ ÷ (1 − q) só vale para |q| < 1.

Interpretar mal o resto em sequências periódicas. Controle: resto zero corresponde à última posição do ciclo, não à primeira.

Contar errado o número de termos. Por exemplo, calcular (último − primeiro) ÷ razão e esquecer de somar 1. Controle: lembre-se da cerca: o número de postes é o número de intervalos mais 1.

Esquecer que a bola sobe e desce. Em problemas de quiques, cada altura após a primeira queda é percorrida duas vezes. Controle: desenhe a trajetória.

Verificação geral. Calcule os primeiros termos com a fórmula encontrada e compare com os dados do enunciado.

9. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H2, nível fácil)

Uma sequência de figuras é formada por quadrados de palitos dispostos em fila. A figura 1 tem 1 quadrado (4 palitos), a figura 2 tem 2 quadrados (7 palitos), a figura 3 tem 3 quadrados (10 palitos), e assim por diante. O número de palitos da figura 50 é:

A) 150
B) 151
C) 153
D) 200
E) 201

Gabarito: B

Resolução. As quantidades formam a PA 4, 7, 10, … de razão 3. O termo geral é aₙ = 3n + 1, então a₅₀ = 151.

Análise dos distratores.

• A: esquece o palito inicial (3n).
• D: considera 4 palitos por quadrado, sem perceber os lados compartilhados (4n).

Questão 2 (H21, nível fácil)

Um corredor iniciou um treinamento correndo 2 km na primeira semana. A cada semana, ele aumenta a distância em 0,5 km. Em que semana ele correrá 10 km pela primeira vez?

A) 16ª
B) 17ª
C) 18ª
D) 20ª
E) 21ª

Gabarito: B

Resolução.

10 = 2 + (n − 1) · 0,5
n − 1 = 16
n = 17

Análise dos distratores.

• A: calcula o número de aumentos (16) e o toma como número da semana.
• D: divide 10 por 0,5, ignorando o ponto de partida.

Questão 3 (H21, nível médio)

A primeira fileira de uma arquibancada tem 20 lugares. Cada fileira seguinte tem 2 lugares a mais que a anterior. Se a arquibancada tem 15 fileiras, o número total de lugares é:

A) 48
B) 300
C) 480
D) 510
E) 720

Gabarito: D

Resolução.

1. A última fileira tem a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48 lugares.
2. O total é S₁₅ = (20 + 48) · 15 ÷ 2 = 510.

Análise dos distratores.

• A: dá apenas o número de lugares da última fileira.
• B: supõe todas as fileiras com 20 lugares.
• E: supõe todas as fileiras com 48 lugares.

Questão 4 (H2, nível médio)

Uma enfermeira trabalha em uma escala cíclica de 5 dias: diurno, diurno, noturno, folga, folga. O ciclo se repete continuamente. Se o dia 1 do ciclo foi um plantão diurno, no dia 100 a enfermeira estará em:

A) o primeiro dia de plantão diurno do ciclo.
B) o segundo dia de plantão diurno do ciclo.
C) plantão noturno.
D) o primeiro dia de folga do ciclo.
E) o segundo dia de folga do ciclo.

Gabarito: E

Resolução. Como 100 = 5 × 20, o resto da divisão por 5 é zero. O dia 100 corresponde à última posição do ciclo: o segundo dia de folga.

Análise dos distratores.

• A: interpreta resto zero como primeira posição do ciclo.
• D: comete um erro de uma posição na contagem.

Questão 5 (H21, nível médio)

Um medicamento tem meia-vida de 6 horas no organismo, isto é, sua quantidade cai pela metade a cada 6 horas. Um paciente recebeu uma dose de 80 mg. Sem novas doses, a quantidade do medicamento no organismo após 24 horas é:

A) 0 mg
B) 5 mg
C) 10 mg
D) 20 mg
E) 40 mg

Gabarito: B

Resolução. Em 24 h, há 4 meias-vidas. A quantidade forma uma PG de razão 1/2: 80 · (1/2)⁴ = 5 mg.

Análise dos distratores.

• C: considera apenas 3 meias-vidas.
• D: divide a dose pelo número de períodos (80 ÷ 4), tratando o decaimento como linear.
• E: considera apenas uma meia-vida.

Questão 6 (H21, nível difícil)

Uma pessoa enviou uma mensagem a 3 contatos. Cada pessoa que recebe a mensagem a repassa, na rodada seguinte, a 3 novos contatos que ainda não a receberam. Após 5 rodadas de envio, contando a primeira, o número total de pessoas que receberam a mensagem é:

A) 15
B) 243
C) 363
D) 364
E) 729

Gabarito: C

Resolução. Os recebimentos em cada rodada formam a PG 3, 9, 27, 81, 243. A soma é:

S₅ = 3 · (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 3 · 242 ÷ 2 = 363

Análise dos distratores.

• B: considera apenas os que receberam na última rodada.
• D: inclui a pessoa que iniciou a corrente, que não recebeu a mensagem.
• A: trata o crescimento como linear (3 × 5).
• E: é 3⁶, um termo a mais.

Questão 7 (H21, nível difícil)

Uma bola é solta de uma altura de 10 m. A cada quique no chão, ela sobe até 60% da altura da qual caiu. Supondo que o movimento continue indefinidamente, a distância vertical total percorrida pela bola é:

A) 16 m
B) 25 m
C) 30 m
D) 40 m
E) infinita, pois a bola quica infinitas vezes.

Gabarito: D

Resolução. A bola desce 10 m. Depois, sobe e desce 6 m, sobe e desce 3,6 m, e assim por diante:

10 + 2 · (6 + 3,6 + 2,16 + …) = 10 + 2 · [6 ÷ (1 − 0,6)] = 10 + 2 · 15 = 40 m

Análise dos distratores.

• B: soma cada altura uma única vez: 10 ÷ (1 − 0,6) = 25.
• A: considera só a queda inicial e a primeira subida.
• E: supõe que infinitos termos produzem soma infinita, o que não vale para uma PG com |q| < 1.

10. Perguntas frequentes

Como saber se uma sequência é PA ou PG?

Calcule as diferenças entre termos consecutivos. Se forem constantes, é PA. Se as razões forem constantes, é PG.

Por que o termo geral da PA usa n − 1?

Porque, entre o primeiro e o n-ésimo termo, há n − 1 saltos de tamanho r, como os intervalos entre os postes de uma cerca.

Qual é a ideia por trás da soma da PA?

Somar termos equidistantes dos extremos dá sempre o mesmo valor (a₁ + aₙ). Há n ÷ 2 desses pares.

Uma soma de infinitos números pode dar um resultado finito?

Sim, em uma PG com |q| < 1. Os termos diminuem tão rápido que a soma se aproxima de um valor fixo: a₁ ÷ (1 − q).

Por que 0,999… é igual a 1?

Porque 0,999… é a soma infinita 9/10 + 9/100 + …, uma PG de razão 1/10, cuja soma é exatamente 1.

O que é a razão áurea?

É o número φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618, limite das razões entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci.

Qual é a relação entre PG e função exponencial?

O termo geral da PG é uma função exponencial de n. Por isso, fenômenos de crescimento ou decaimento percentual constante são modelados por PG.

Como resolver problemas de sequências que se repetem?

Divida a posição pelo tamanho do ciclo. O resto indica a posição dentro do ciclo, e resto zero corresponde à última posição.

A PA pode ter razão negativa?

Sim. Nesse caso, é decrescente.

12. Síntese

Uma sequência é uma lista ordenada de números. Pode ser descrita por um termo geral, que dá aₙ diretamente, ou por recorrência. O método das diferenças ajuda a identificar o tipo de padrão.

A progressão aritmética soma uma razão constante r. Seu termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1)r, e a soma dos termos é (a₁ + aₙ)n ÷ 2. O termo do meio de três termos consecutivos é a média aritmética dos vizinhos. A PA corresponde ao crescimento linear da função afim.

As sequências figurais se resolvem montando uma tabela, analisando as diferenças e interpretando a fórmula geometricamente. As sequências periódicas se resolvem pelo resto da divisão pelo tamanho do ciclo.

A sequência de Fibonacci soma os dois termos anteriores. A razão entre termos consecutivos tende à razão áurea, φ ≈ 1,618.

A progressão geométrica multiplica por uma razão constante q. Seu termo geral é aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, e a soma finita é a₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Quando |q| < 1, a soma infinita é a₁ ÷ (1 − q). O termo do meio é a média geométrica dos vizinhos. A PG corresponde ao crescimento exponencial, que acaba superando qualquer crescimento linear.

Situação	Ferramenta
Termo de uma PA	aₙ = a₁ + (n − 1)r
Número de termos de uma PA	n = (aₙ − a₁) ÷ r + 1
Soma de uma PA	Sₙ = (a₁ + aₙ)n ÷ 2
Três termos em PA	x − r, x, x + r
Termo de uma PG	aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
Soma finita de uma PG	Sₙ = a₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1)
Soma infinita de uma PG	S = a₁ ÷ (1 − q), com |q| < 1
Três termos em PG	x/q, x, xq
Sequência periódica	resto da divisão pelo período
Sequência figural	tabela + diferenças + interpretação
Meia-vida, depreciação, crescimento percentual	PG
Aumento fixo por período	PA

13. Glossário

Termo	Definição
Sequência	Lista ordenada de números
Termo geral	Expressão que fornece o termo aₙ a partir da posição n
Recorrência	Regra que define cada termo a partir de termos anteriores
Progressão aritmética (PA)	Sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante
Progressão geométrica (PG)	Sequência em que o quociente entre termos consecutivos é constante
Razão (PA)	Diferença constante r entre termos consecutivos
Razão (PG)	Quociente constante q entre termos consecutivos
Interpolação	Inserção de termos entre dois números para formar uma progressão
Sequência periódica	Sequência cujos termos se repetem em ciclos de tamanho fixo
Números triangulares	Sequência 1, 3, 6, 10, …, de termo geral n(n + 1)/2
Sequência de Fibonacci	Sequência em que cada termo é a soma dos dois anteriores
Razão áurea (φ)	Número (1 + √5)/2 ≈ 1,618
Meia-vida	Tempo para uma quantidade cair à metade
Soma infinita	Valor do qual se aproxima a soma de infinitos termos de uma PG com |q| < 1