Razão, Proporção e Regra de Três

A proporcionalidade é a forma mais elementar de relação entre grandezas e uma das ideias mais cobradas no ENEM. Na Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias, o tema forma a Competência de área 4: construir noções de variação de grandezas para compreender a realidade e resolver problemas do cotidiano. Essa competência reúne quatro habilidades:

• H15: identificar a relação de dependência entre grandezas;
• H16: resolver situação-problema envolvendo variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais;
• H17: analisar informações sobre a variação de grandezas como recurso para construir argumentos;
• H18: avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

Apresentação

Razão em uma mistura. Para cada 3 partes de azul, 2 partes de branco.

A influência do tema vai além dessa competência. Escalas, porcentagem, matemática financeira, semelhança de figuras, funções, concentração de soluções e cinemática são, no fundo, aplicações de proporcionalidade. Em Ciências da Natureza, o mesmo raciocínio aparece em diluições, dosagens, densidade e velocidade.

Este artigo trata a proporcionalidade como um modelo matemático, e não como uma coleção de truques. O percurso é este:

1. o conceito de razão e suas variações (parte-parte, parte-todo, taxas);
2. a proporção e suas propriedades, com demonstrações;
3. a caracterização formal de grandezas direta e inversamente proporcionais, inclusive em tabelas e gráficos;
4. a regra de três simples e composta, cada uma resolvida por mais de um método;
5. a divisão proporcional em todas as suas formas;
6. aplicações em outras áreas, erros recorrentes e questões no padrão do exame.

Pré-requisitos: operações com frações e decimais, e equações do 1º grau (blocos 0 e 7).

1. Razão

1.1 Definição

Uma razão pode ser apresentada de várias formas equivalentes. A razão de 3 para 4 pode ser escrita como 3/4, 3 : 4, 0,75 ou 75%. Escolher a forma mais conveniente para cada problema é uma habilidade em si.

1.2 Comparação aditiva e comparação multiplicativa

Existem duas maneiras de comparar quantidades, e elas respondem a perguntas diferentes.

• A comparação aditiva usa a diferença e responde: "quanto um supera o outro?"
• A comparação multiplicativa usa a razão e responde: "quantas vezes um contém o outro?", ou "que fração um representa do outro?"

O ENEM explora com frequência situações em que as duas comparações levam a conclusões opostas.

Exemplo 1: desempenho esportivo. A equipe A venceu 12 de 20 partidas, e a equipe B venceu 15 de 30.

• Pela diferença, B parece superior, com 3 vitórias a mais.
• Pela razão, A venceu 12/20 = 60% das partidas, e B venceu 15/30 = 50%.

Como as equipes disputaram números diferentes de jogos, a comparação justa é a multiplicativa: o desempenho de A foi melhor.

Exemplo 2: crescimento populacional. A cidade A passou de 10.000 para 15.000 habitantes. A cidade B passou de 200.000 para 210.000.

• Em números absolutos, B cresceu mais: 10.000 habitantes contra 5.000.
• Em termos relativos, A cresceu 5.000/10.000 = 50%, e B cresceu 10.000/200.000 = 5%.

A cidade A teve um crescimento proporcionalmente dez vezes maior. Qual comparação é a "certa" depende da pergunta. Se o interesse é o impacto na infraestrutura local, o crescimento relativo costuma ser mais revelador. Essa discussão é típica da habilidade H17.

1.3 A ordem dos termos e a razão inversa

A razão de a para b é a/b. A razão de b para a é b/a, chamada razão inversa. O produto entre uma razão e sua inversa é sempre 1.

Em uma turma com 12 meninas e 18 meninos:

• a razão entre meninas e meninos é 12/18 = 2/3. Lê-se: para cada 2 meninas, há 3 meninos;
• a razão entre meninos e meninas é 18/12 = 3/2. Para cada 3 meninos, há 2 meninas.

Itens de múltipla escolha costumam trazer as duas razões entre as alternativas. Antes de calcular, identifique qual grandeza o enunciado citou primeiro.

1.4 Razão e fração: semelhanças e diferenças

Razão e fração usam a mesma notação, mas não são exatamente o mesmo conceito.

Uma fração, no sentido escolar, representa partes de um inteiro, com numerador e denominador inteiros. Uma razão é qualquer comparação por quociente. Seus termos podem ser decimais, podem ter unidades e podem até ser irracionais. A razão entre a diagonal e o lado de um quadrado, por exemplo, é √2, e não existe fração de inteiros com esse valor.

Além disso, uma razão parte-parte, como meninas para meninos, não indica uma fração do total. Na turma acima, 2/3 não é a fração de meninas na turma. Essa confusão leva ao próximo tópico.

1.5 Razão parte-parte e razão parte-todo

• A razão parte-parte compara dois subconjuntos de um mesmo todo. Exemplo: meninas para meninos, 2 : 3.
• A razão parte-todo compara um subconjunto com o total. Exemplo: meninas para o total da turma, 12/30 = 2/5.

A conversão entre as duas segue uma regra simples:

E o caminho inverso: se uma parte representa p/q do todo, a outra representa (q − p)/q, e a razão parte-parte é p : (q − p).

Exemplo 1: do parte-parte para o parte-todo. Uma tinta é preparada com pigmento azul e base branca na razão 3 : 2. Quanto de cada componente é necessário para 20 L de tinta?

1. Número de partes do todo: 3 + 2 = 5.
2. Volume de cada parte: 20 ÷ 5 = 4 L.
3. Azul: 3 × 4 = 12 L. Branco: 2 × 4 = 8 L.
4. Verificação: 12 + 8 = 20 L, e 12 : 8 = 3 : 2.

Exemplo 2: do parte-todo para o parte-parte. Em um grupo, 2/5 das pessoas são fumantes. Qual é a razão entre fumantes e não fumantes?

Se 2/5 são fumantes, então 3/5 não são. A razão entre fumantes e não fumantes é (2/5) ÷ (3/5) = 2 : 3.

1.6 Razão entre grandezas de mesma natureza

Quando antecedente e consequente são grandezas da mesma espécie, como dois comprimentos ou duas massas, eles precisam estar na mesma unidade. O resultado é um número puro, sem unidade.

Exemplo. Qual é a razão entre 50 cm e 2 m?

• Errado: 50/2 = 25.
• Correto: 2 m = 200 cm, então a razão é 50/200 = 1/4. O primeiro comprimento é a quarta parte do segundo.

O mesmo vale para tempo: a razão entre 45 minutos e 2 horas é 45/120 = 3/8, e não 45/2.

1.7 Razões entre grandezas de naturezas distintas: as taxas

Quando as grandezas são de espécies diferentes, a razão produz uma nova grandeza, com unidade composta. Essas razões são chamadas de taxas.

Taxa	Definição	Unidades usuais
Velocidade média	distância ÷ tempo	km/h, m/s
Densidade demográfica	população ÷ área	hab/km²
Densidade (massa específica)	massa ÷ volume	g/cm³, kg/L
Vazão	volume ÷ tempo	L/min, m³/s
Consumo de combustível	distância ÷ volume de combustível	km/L
Concentração comum	massa de soluto ÷ volume de solução	g/L, mg/mL
Preço unitário	preço ÷ quantidade	R$/kg, R$/L

Toda taxa tem duas leituras úteis. A densidade do alumínio, 2,7 g/cm³, significa que cada centímetro cúbico de alumínio tem 2,7 g. Também significa que, para obter a massa, basta multiplicar a densidade pelo volume.

Análise dimensional. Nas contas, as unidades se comportam como fatores algébricos: podem ser multiplicadas, divididas e canceladas. Esse controle permite verificar uma resolução antes mesmo de fazer a conta.

• Um veículo a 84 km/h durante 2,5 h percorre 84 km/h × 2,5 h = 210 km. As horas se cancelam, e sobra km.
• Uma peça de alumínio com 500 cm³ tem massa 2,7 g/cm³ × 500 cm³ = 1.350 g. Os cm³ se cancelam, e sobra g.
• Uma torneira com vazão de 12 L/min, aberta por 25 min, despeja 12 L/min × 25 min = 300 L.

Se a operação que você montou produz uma unidade sem sentido para a pergunta (km·h quando se pede km, por exemplo), a montagem está errada.

1.8 A razão como critério de decisão

Grande parte dos itens do ENEM sobre razão pede uma escolha: a compra mais vantajosa, o veículo mais econômico, o município mais populoso por área. A estratégia é sempre a mesma: reduzir todas as opções a uma mesma base de comparação.

Exemplo 1: embalagens. Uma embalagem de 500 g de café custa R$ 7,50, e uma de 1,2 kg custa R$ 16,80.

Embalagem	Preço por kg
500 g	7,50 ÷ 0,5 = R$ 15,00
1,2 kg	16,80 ÷ 1,2 = R$ 14,00

A embalagem maior é mais vantajosa.

Exemplo 2: combustível. O veículo A faz 12 km/L com gasolina a R$ 6,00/L. O veículo B faz 9 km/L com etanol a R$ 4,20/L.

O consumo em km/L não responde à pergunta sobre custo. A razão que decide é o custo por quilômetro, obtido dividindo o preço do litro pelo número de quilômetros que esse litro rende:

Veículo	Custo por km
A	6,00 ÷ 12 = R$ 0,500
B	4,20 ÷ 9 ≈ R$ 0,467

O veículo B tem menor custo de operação, embora rode menos por litro.

Exemplo 3: densidade demográfica. O município X tem 84.000 habitantes em 420 km². O município Y tem 150.000 habitantes em 1.000 km².

• X: 84.000 ÷ 420 = 200 hab/km².
• Y: 150.000 ÷ 1.000 = 150 hab/km².

X é mais densamente povoado, apesar de ter menos habitantes.

2. Proporção

2.1 Definição

Lê-se "a está para b assim como c está para d". Na notação a : b = c : d, os termos a e d ficam nas pontas e se chamam extremos. Os termos b e c ficam no meio e se chamam meios.

2.2 Propriedade fundamental

Por que funciona. Partindo de a/b = c/d, multiplique os dois membros por b · d:

• no primeiro membro, (a/b) · b · d = a · d, porque b se cancela;
• no segundo, (c/d) · b · d = b · c, porque d se cancela.

A "multiplicação cruzada" é, portanto, uma consequência do princípio de que operações iguais nos dois membros preservam a igualdade. Não é uma regra mágica a ser decorada.

A recíproca também vale: se a · d = b · c, com b e d diferentes de zero, então a/b = c/d. Isso permite verificar se quatro números formam uma proporção.

Exemplo. Os números 6, 8, 15 e 20, nessa ordem, formam uma proporção?

Produto dos extremos: 6 × 20 = 120. Produto dos meios: 8 × 15 = 120. Como são iguais, sim: 6/8 = 15/20, e ambas as razões valem 0,75.

2.3 Resolvendo proporções

Exemplo 1: incógnita simples.

3/x = 12/20
12x = 3 × 20
12x = 60
x = 5

Exemplo 2: incógnita em expressões.

(x + 2)/5 = (x − 1)/3
3(x + 2) = 5(x − 1)
3x + 6 = 5x − 5
11 = 2x
x = 5,5

Verificação: (5,5 + 2)/5 = 7,5/5 = 1,5, e (5,5 − 1)/3 = 4,5/3 = 1,5.

Um atalho útil: simplificar antes de multiplicar. Em 12/20 = 3/x, a razão 12/20 se simplifica para 3/5. Logo 3/5 = 3/x, e x = 5 sem nenhuma conta. Simplificar antes reduz erros de cálculo.

2.4 Propriedades derivadas

Se a/b = c/d = k, então a = bk e c = dk. A partir daí:

Soma dos antecedentes e dos consequentes.

(a + c)/(b + d) = (bk + dk)/(b + d) = k(b + d)/(b + d) = k

Ou seja: somando antecedentes e somando consequentes, a razão se mantém.

Diferença dos antecedentes e dos consequentes. Pelo mesmo raciocínio, (a − c)/(b − d) = k, desde que b ≠ d.

Composição. (a + b)/b = (c + d)/d. Basta somar 1 aos dois membros da proporção original.

A propriedade da soma se estende a qualquer número de razões iguais:

Aplicação. As idades de dois irmãos estão na razão 3 : 4, e a soma das idades é 49 anos.

Pela composição, a idade do mais novo está para a soma assim como 3 está para 3 + 4 = 7. Então a idade do mais novo é 49 × 3/7 = 21 anos, e a do mais velho é 49 − 21 = 28 anos.

2.5 A constante de proporcionalidade

O mesmo problema pode ser resolvido de forma mais direta. Se dois números estão na razão p : q, eles podem ser escritos como pk e qk, para algum k ≠ 0. Esse k é a constante de proporcionalidade. Escrever os números assim transforma o problema em uma equação do 1º grau.

Exemplo 1: razão e soma. Dois números estão na razão 3 : 5, e sua soma é 64.

3k + 5k = 64
8k = 64
k = 8

Os números são 3 × 8 = 24 e 5 × 8 = 40.

Exemplo 2: razão e diferença. Dois números estão na razão 4 : 7, e sua diferença é 45.

7k − 4k = 45
3k = 45
k = 15

Os números são 60 e 105.

Exemplo 3: razão e produto. Dois números positivos estão na razão 2 : 3, e seu produto é 150.

2k · 3k = 150
6k² = 150
k² = 25
k = 5

Os números são 10 e 15.

2.6 Proporções com três ou mais termos e razões encadeadas

A notação a : b : c = 2 : 3 : 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.

Com frequência, porém, o enunciado dá as razões separadamente: a : b = 2 : 3 e b : c = 4 : 5. Para juntá-las, o termo comum (b) precisa ter o mesmo valor nas duas razões.

1. Na primeira razão, b vale 3. Na segunda, vale 4. O MMC entre 3 e 4 é 12.
2. Multiplique a primeira razão por 4: a : b = 8 : 12.
3. Multiplique a segunda por 3: b : c = 12 : 15.
4. Agora b vale 12 nas duas, então a : b : c = 8 : 12 : 15.

Aplicação. Uma quantia de 70 balas será dividida entre três crianças, A, B e C, de modo que A : B = 2 : 3 e B : C = 4 : 5.

Pela unificação, A : B : C = 8 : 12 : 15. O total é 35k = 70, então k = 2. As crianças recebem 16, 24 e 30 balas.

2.7 Quarta proporcional e média proporcional

A quarta proporcional de a, b e c, nessa ordem, é o número x tal que a/b = c/x. Por exemplo, a quarta proporcional de 2, 5 e 6 é x = 5 × 6 ÷ 2 = 15.

A média proporcional, ou média geométrica, entre a e c é o número positivo b tal que a/b = b/c. Pela propriedade fundamental:

A média proporcional entre 4 e 9 é √36 = 6. Esse conceito reaparece nas relações métricas do triângulo retângulo (h² = m · n), nas progressões geométricas (em três termos consecutivos de uma PG, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois) e na estatística.

3. Grandezas proporcionais

3.1 O que é uma grandeza

Grandeza é tudo o que pode ser medido ou contado e expresso por um número com uma unidade: comprimento, massa, tempo, preço, número de pessoas, velocidade. Estudar a variação de grandezas significa observar como o valor de uma muda quando o valor de outra muda. A proporcionalidade é o tipo mais simples dessa dependência.

3.2 Grandezas diretamente proporcionais

Consequência prática. Multiplicar x por um fator qualquer multiplica y pelo mesmo fator. Se x dobra, y dobra; se x fica dividido por 3, y também fica.

Significado da constante. A constante k tem interpretação concreta: é o valor de y correspondente a uma unidade de x. No abastecimento de um carro, k é o preço do litro. Num trajeto a velocidade constante, k é a velocidade.

Combustível (L)	Valor pago (R$)	Valor ÷ litros
10	60	6
20	120	6
35	210	6

Gráfico. A relação y = kx é uma função linear. Seu gráfico é uma reta que passa pela origem, e k é o coeficiente angular dessa reta. Quanto maior k, mais inclinada a reta.

3.3 Grandezas inversamente proporcionais

Consequência prática. Multiplicar x por um fator divide y pelo mesmo fator. Se x dobra, y cai pela metade; se x triplica, y fica dividido por 3.

Significado da constante. O produto constante costuma representar uma quantidade total fixa. Numa viagem, é a distância. Numa obra, é o trabalho total. Num estoque de alimentos, é a quantidade total disponível.

Velocidade (km/h)	Tempo para 240 km (h)	Velocidade × tempo
40	6	240
60	4	240
80	3	240
120	2	240

Gráfico. Para x > 0, o gráfico é um ramo de hipérbole. A curva se aproxima dos eixos sem nunca tocá-los, porque nenhuma das grandezas pode ser zero.

Observação importante. Dizer que y é inversamente proporcional a x é o mesmo que dizer que y é diretamente proporcional a 1/x. Essa equivalência é a chave da divisão inversamente proporcional (seção 6).

3.4 Identificando proporcionalidade em tabelas

O procedimento é calcular, para cada linha, o quociente y/x e o produto x · y.

• Se o quociente é sempre o mesmo, as grandezas são diretamente proporcionais.
• Se o produto é sempre o mesmo, são inversamente proporcionais.
• Se nenhum dos dois se mantém, não há proporcionalidade.

Exemplo. Três tabelas relacionam x e y.

Tabela	Valores (x; y)	y/x	x·y	Conclusão
I	(2; 5), (4; 10), (6; 15)	2,5 em todas	varia	Diretamente proporcionais
II	(2; 30), (3; 20), (5; 12)	varia	60 em todas	Inversamente proporcionais
III	(1; 7), (2; 12), (3; 17)	varia	varia	Não proporcionais

Na tabela III, y cresce 5 unidades a cada aumento de 1 em x, e a relação é y = 5x + 2. É uma relação linear, mas não proporcional, por causa da parcela fixa 2.

3.5 Identificando proporcionalidade em gráficos

Aspecto do gráfico	Relação
Reta que passa pela origem	Diretamente proporcional (y = kx)
Reta que não passa pela origem	Afim, não proporcional (y = ax + b, com b ≠ 0)
Curva decrescente que se aproxima dos eixos (hipérbole)	Inversamente proporcional (y = k/x)
Curva que passa pela origem e se encurva para cima	Possivelmente proporcional a x²

Em itens do ENEM que trazem gráficos, a pergunta "o gráfico passa pela origem?" elimina boa parte das alternativas incorretas.

3.6 O contraexemplo mais importante: a função afim

Perceber que duas grandezas "crescem juntas" não basta para afirmar que são proporcionais.

Um serviço de transporte cobra R$ 5,00 fixos mais R$ 3,00 por quilômetro, ou seja, P = 5 + 3d.

Distância (km)	Preço (R$)	Preço ÷ distância
2	11	5,50
4	17	4,25
8	29	3,63

A distância dobrou de 2 para 4 km, mas o preço não dobrou: foi de 11 para 17 reais. Não há proporcionalidade. Uma regra de três aplicada aqui dá o resultado errado. Pela regra de três, 4 km custariam R$ 22,00, e não R$ 17,00.

O mesmo acontece em tarifas de água e luz com taxa fixa, planos com franquia, aluguel de carro com diária mais quilometragem e em qualquer relação da forma y = ax + b com b ≠ 0. Reconhecer isso é exatamente o que a habilidade H15 avalia.

O que é proporcional, nesse caso, é a variação. A parte variável do preço (3d) é proporcional à distância. Também é proporcional a diferença de preço entre duas corridas: ao percorrer 2 km a mais, paga-se 6 reais a mais, qualquer que seja a distância inicial.

3.7 Proporcionalidade a potências

Uma grandeza pode ser proporcional a uma potência de outra. Esse é um ponto que costuma separar candidatos em itens de maior dificuldade.

Proporcionalidade ao quadrado: áreas. Em figuras semelhantes, a área é proporcional ao quadrado de qualquer medida linear:

Por que isso acontece? A área de um quadrado de lado L é L². Se o lado dobra, a nova área é (2L)² = 4L²: o quadrado maior comporta quatro cópias do menor. Isso vale para qualquer figura plana, porque a área sempre envolve duas dimensões, e cada uma delas foi multiplicada pelo fator.

• Uma pizza de 40 cm de diâmetro tem (40/30)² = 16/9 ≈ 1,78 vez a área de uma pizza de 30 cm, e não 1,33 vez.
• Em uma planta na escala 1 : 100, a área real é 100² = 10.000 vezes a área desenhada.

Proporcionalidade ao cubo: volumes e massas. Em sólidos semelhantes, o volume é proporcional ao cubo da medida linear. Se o material é o mesmo, a massa também é:

Uma miniatura na escala 1 : 10 tem volume 10³ = 1.000 vezes menor que o do objeto real. Uma estátua com o dobro da altura de outra, do mesmo material, tem 8 vezes a massa da menor.

Proporcionalidade inversa ao quadrado. Na Física, a intensidade de uma fonte de luz, som ou radiação que se espalha em todas as direções é inversamente proporcional ao quadrado da distância:

Ao dobrar a distância, a intensidade cai para 1/4. Ao triplicar, cai para 1/9. A mesma estrutura aparece na lei da gravitação universal e na lei de Coulomb.

3.8 Proporcionalidade a várias grandezas

Uma grandeza pode depender proporcionalmente de várias outras ao mesmo tempo. A produção P de uma fábrica, por exemplo, pode ser diretamente proporcional ao número de máquinas M e ao tempo de operação t:

P = k · M · t

De forma geral, quando uma grandeza G é diretamente proporcional a x e a z e inversamente proporcional a w:

Nesse modelo:

• se só x dobra, G dobra;
• se só w dobra, G cai pela metade;
• se x e z dobram, G quadruplica.

Esse modelo é a base matemática da regra de três composta. Quem o compreende não precisa memorizar esquemas de setas.

4. Regra de três simples

4.1 Fundamento

A regra de três é um procedimento para determinar um valor desconhecido quando duas grandezas são proporcionais e três valores correspondentes são conhecidos. Ela é uma aplicação direta das definições da seção 3:

• se as grandezas são diretamente proporcionais, o quociente se conserva;
• se são inversamente proporcionais, o produto se conserva.

A regra de três só é válida quando há proporcionalidade. Antes de aplicá-la, confirme que a situação é proporcional (seção 3.6).

4.2 Como decidir entre direta e inversa

A decisão vem da análise da situação, nunca da posição dos números no enunciado. Duas perguntas ajudam.

Pergunta do sentido: quando uma grandeza aumenta, a outra aumenta ou diminui?

Teste do dobro, mais rigoroso: se uma grandeza dobrar, a outra dobra exatamente, cai exatamente pela metade, ou nenhuma das duas coisas?

• Se dobra, a proporção é direta.
• Se cai pela metade, é inversa.
• Se não acontece nenhuma das duas, não há proporção, e a regra de três não se aplica.

4.3 Três métodos para o mesmo problema

Problema. Se 3 kg de um produto custam R$ 24,00, quanto custam 5 kg?

A relação é direta: o dobro de quilos custa o dobro.

Método 1: produto cruzado.

Massa (kg)	Preço (R$)
3	24
5	x

3/5 = 24/x
3x = 120
x = R$ 40,00

Método 2: redução à unidade. Primeiro, descubra o valor correspondente a uma unidade.

• 1 kg custa 24 ÷ 3 = R$ 8,00. Esse é o valor da constante k.
• 5 kg custam 5 × 8 = R$ 40,00.

Método 3: fator de multiplicação. A massa foi multiplicada por 5/3, então o preço também será.

• x = 24 × 5/3 = R$ 40,00.

O método 3 é especialmente rápido quando o fator é simples. De 3 kg para 6 kg, por exemplo, o fator é 2, e a resposta sai sem conta escrita.

Para a proporção inversa, os mesmos métodos se adaptam.

• Produto constante: x₁ · y₁ = x₂ · y₂.
• Redução à unidade: calcule o total fixo. Ver o exemplo 2 da seção 4.4.
• Fator inverso: se uma grandeza é multiplicada por r, a outra é dividida por r.

4.4 Exemplos graduados

Exemplo 1 (básico, direta). Uma solução fisiológica contém 9 g de cloreto de sódio por litro. Quantos gramas de sal há em uma bolsa de 250 mL?

A massa de sal é diretamente proporcional ao volume, porque a concentração é constante.

• Convertendo: 250 mL = 0,25 L.
• Pela redução à unidade: em 1 L há 9 g, então em 0,25 L há 9 × 0,25 = 2,25 g.

Exemplo 2 (básico, inversa). Um reservatório abastece 12.000 pessoas durante 30 dias. Mantido o consumo de cada pessoa, por quantos dias abasteceria 18.000 pessoas?

Mais pessoas consomem a água mais depressa, então a relação é inversa. O produto se conserva:

12.000 × 30 = 18.000 × x
x = 360.000 ÷ 18.000
x = 20 dias

O produto 360.000 tem significado físico: o reservatório contém água para 360.000 "pessoa-dias". Ele atenderia 1 pessoa por 360.000 dias, 12.000 pessoas por 30 dias ou 18.000 pessoas por 20 dias. Interpretar a constante assim é a melhor proteção contra erros de sentido.

Exemplo 3 (intermediário, com fração). Uma torneira enche 3/4 de um tanque em 1 h 30 min. Mantida a vazão, em quanto tempo enche o tanque inteiro?

O tempo é diretamente proporcional à fração do tanque preenchida.

• Convertendo: 1 h 30 min = 90 min.
• Pelo fator de multiplicação, o tanque inteiro corresponde a 1 ÷ 3/4 = 4/3 da fração inicial. O tempo é 90 × 4/3 = 120 min = 2 horas.

Exemplo 4 (intermediário, com conversão de tempo). Uma viagem feita a 90 km/h dura 2 h 40 min. Quanto duraria a 120 km/h?

A distância é fixa, então velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

• Convertendo: 2 h 40 min = 160 min.
• Pelo produto constante: 90 × 160 = 120 × x, então x = 14.400 ÷ 120 = 120 min = 2 horas.

Um erro comum é usar 2,40 h como se fosse 2 h 40 min. Na verdade, 2,40 h são 2 h 24 min.

5. Regra de três composta

5.1 Fundamento

Quando três ou mais grandezas se relacionam, vale o modelo da seção 3.8: a grandeza procurada é proporcional, direta ou inversamente, a cada uma das demais. Há dois métodos equivalentes.

Método das razões:

1. Organize uma coluna para cada grandeza e coloque x na coluna procurada.
2. Compare cada uma das outras grandezas somente com a coluna de x, imaginando que as demais ficam fixas. Use o teste do dobro.
3. Inverta as razões das grandezas inversamente proporcionais a x.
4. Calcule x multiplicando o valor conhecido da sua coluna pelas razões, já ajustadas.

Método da constante:

1. Escreva o modelo: a grandeza que "resulta" do processo (produção, trabalho, obra) é proporcional ao produto das grandezas que a geram.
2. Calcule a constante com os dados da primeira situação.
3. Use a mesma constante na segunda situação e resolva a equação.

O método da constante tem uma vantagem: revela o significado da constante e torna cada passo verificável.

5.2 Exemplo 1: todas as relações diretas

Quatro máquinas produzem 600 peças em 5 dias. Quantas peças 6 máquinas produzem em 8 dias?

Máquinas	Dias	Peças
4	5	600
6	8	x

Pelo método das razões:

• máquinas e peças: mais máquinas, com os dias fixos, produzem mais peças. A relação é direta;
• dias e peças: mais dias, com as máquinas fixas, produzem mais peças. A relação também é direta.

x = 600 × (6/4) × (8/5)
x = 600 × 1,5 × 1,6
x = 1.440 peças

Pelo método da constante: a produtividade é 600 ÷ (4 × 5) = 30 peças por máquina por dia. Logo, x = 30 × 6 × 8 = 1.440 peças.

5.3 Exemplo 2: relações inversas

Seis operários, trabalhando 8 h por dia, constroem 120 m de muro em 10 dias. Em quantos dias 4 operários, trabalhando 6 h por dia, constroem 90 m do mesmo muro?

Operários	Horas/dia	Comprimento (m)	Dias
6	8	120	10
4	6	90	x

Pelo método das razões. Compare cada grandeza com o número de dias:

• operários: com menos operários, a obra leva mais dias. Relação inversa;
• horas por dia: com menos horas diárias, a obra leva mais dias. Relação inversa;
• comprimento: com menos metros a construir, a obra leva menos dias. Relação direta.

Invertendo as razões das grandezas inversas:

x = 10 × (6/4) × (8/6) × (90/120)
x = 10 × 1,5 × (4/3) × 0,75
x = 15 dias

Pelo método da constante. O trabalho necessário, medido em operários × horas por dia × dias, é proporcional ao comprimento construído:

k = (6 × 8 × 10) ÷ 120 = 480 ÷ 120 = 4 horas de trabalho por metro

Na nova situação:

(4 × 6 × x) ÷ 90 = 4
24x = 360
x = 15 dias

A constante dá sentido à conta: cada metro de muro exige 4 horas de trabalho. São 90 m, portanto 360 horas de trabalho. A equipe produz 4 × 6 = 24 horas de trabalho por dia, e 360 ÷ 24 = 15 dias.

5.4 Exemplo 3: incógnita em outra coluna

Dez costureiras, trabalhando 6 h por dia, produzem 400 camisas em 8 dias. Quantas horas por dia 12 costureiras precisam trabalhar para produzir 720 camisas em 9 dias?

Costureiras	Dias	Camisas	Horas/dia
10	8	400	6
12	9	720	x

Pelo método das razões. Compare cada grandeza com as horas por dia:

• costureiras: mais costureiras precisam de menos horas diárias. Relação inversa;
• dias: mais dias disponíveis exigem menos horas por dia. Relação inversa;
• camisas: mais camisas exigem mais horas por dia. Relação direta.

x = 6 × (10/12) × (8/9) × (720/400)
x = 6 × (5/6) × (8/9) × (9/5)
x = 8 horas por dia

Pelo método da constante. A produtividade é 400 ÷ (10 × 8 × 6) = 400 ÷ 480 = 5/6 de camisa por costureira por hora. Na nova situação:

(5/6) × 12 × 9 × x = 720
90x = 720
x = 8 horas por dia

5.5 Atenção a dados irrelevantes

Alguns enunciados incluem grandezas que não influenciam o resultado: a cor das peças, o número do lote, a cidade onde a obra é feita. Antes de montar a tabela, pergunte se cada dado realmente altera a grandeza procurada. Se a resposta for não, ele fica de fora.

6. Divisão proporcional

6.1 Divisão diretamente proporcional

Dividir uma quantia Q em partes diretamente proporcionais aos números p₁, p₂, …, pₙ significa obter partes p₁k, p₂k, …, pₙk cuja soma é Q. Pela propriedade da soma (seção 2.4):

Exemplo. Um lucro de R$ 40.000 será dividido entre três sócios em partes proporcionais ao que cada um investiu: R$ 20 mil, R$ 30 mil e R$ 50 mil.

1. Simplificando os investimentos, os pesos são 2, 3 e 5. Simplificar não altera a divisão, porque as razões entre os pesos são as mesmas.
2. Soma dos pesos: 10. Logo, 10k = 40.000 e k = 4.000.
3. Partes: R$ 8.000, R$ 12.000 e R$ 20.000.
4. Verificação: a soma é 40.000, e as partes estão na razão 2 : 3 : 5.

6.2 Divisão proporcional a mais de um fator

Quando a divisão deve ser proporcional a dois ou mais fatores ao mesmo tempo, o peso de cada participante é o produto desses fatores.

Exemplo. O sócio A investiu R$ 10 mil por 6 meses. O sócio B investiu R$ 15 mil por 4 meses. Como dividir um lucro de R$ 18.000, proporcionalmente ao capital e ao tempo?

• Peso de A: 10 × 6 = 60. Peso de B: 15 × 4 = 60.
• Os pesos são iguais, então cada sócio recebe R$ 9.000.

Quem considerasse apenas o capital daria mais dinheiro ao sócio B, desprezando o fato de que o dinheiro de A ficou aplicado por mais tempo.

6.3 Divisão inversamente proporcional

Dividir inversamente a p₁, p₂, …, pₙ é dividir diretamente a 1/p₁, 1/p₂, …, 1/pₙ. Para trabalhar com inteiros, multiplicam-se esses inversos pelo MMC dos denominadores.

Exemplo. Um prêmio de R$ 2.600 será dividido de forma inversamente proporcional ao número de faltas de três funcionários: 2, 3 e 4 faltas.

1. Inversos: 1/2, 1/3 e 1/4.
2. Multiplicando pelo MMC (12): os pesos são 6, 4 e 3.
3. Soma dos pesos: 13. Logo, 13k = 2.600 e k = 200.
4. Partes: R$ 1.200, R$ 800 e R$ 600.

Verificação de coerência: quem faltou menos recebeu mais.

6.4 Divisão mista

Quando a divisão é diretamente proporcional a um fator e inversamente proporcional a outro, o peso de cada participante é o quociente entre os dois fatores.

Exemplo. R$ 3.400 serão divididos entre dois funcionários, de forma diretamente proporcional ao tempo de serviço (4 e 6 anos) e inversamente proporcional às faltas (2 e 5).

1. Pesos: 4/2 = 2 e 6/5 = 1,2.
2. Multiplicando por 5 para obter inteiros: os pesos são 10 e 6, com soma 16.
3. k = 3.400 ÷ 16 = 212,50.
4. Partes: R$ 2.125,00 e R$ 1.275,00.

7. Proporcionalidade nas outras áreas do ENEM

Contexto	Relação	Tipo
Escala de mapas e plantas	medida real = medida no desenho × fator	Direta (linear); ao quadrado para áreas
Porcentagem	razão de consequente 100	Direta
Movimento uniforme	d = v · t	Direta para tempo fixo; inversa (v e t) para distância fixa
Densidade	m = d · V	Direta
Concentração e diluição	C₁ · V₁ = C₂ · V₂	Inversa entre concentração e volume
Semelhança de triângulos	lados correspondentes proporcionais	Direta
Dosagem de medicamentos	dose = dose por kg × massa corporal	Direta

Exemplo de diluição. Uma solução de 200 mL com concentração de 30 g/L é diluída com água até atingir 600 mL. Qual é a nova concentração?

A massa de soluto não muda; só se acrescenta água. Por isso, concentração e volume são inversamente proporcionais, e o produto se conserva:

30 × 200 = C₂ × 600
C₂ = 10 g/L

O volume triplicou, e a concentração caiu a um terço.

Exemplo de dosagem. Um medicamento deve ser administrado na dose de 5 mg por kg. Uma criança tem 18 kg, e o xarope disponível tem 20 mg/mL. Quantos mililitros devem ser administrados?

São duas proporções diretas encadeadas.

1. Dose: 5 × 18 = 90 mg.
2. Volume: 90 ÷ 20 = 4,5 mL.

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Razão (comparação multiplicativa)	Diferença (comparação aditiva)	A razão diz "quantas vezes"; a diferença diz "quanto a mais"
Razão parte-parte (2 : 3)	Razão parte-todo (2/5)	A primeira compara duas partes; a segunda compara uma parte com o total
Razão	Fração	A razão pode ter unidades, termos decimais ou irracionais
Proporção direta (y = kx)	Relação afim (y = ax + b)	Na afim, há parcela fixa; o gráfico não passa pela origem
Proporção inversa (xy = k)	"Uma sobe, a outra desce"	Para ser inversa, o produto precisa ser constante, e não basta o sentido oposto
Proporcional a L	Proporcional a L² ou L³	Áreas variam com o quadrado e volumes com o cubo do fator linear
Regra de três simples	Regra de três composta	Na composta, cada grandeza é comparada só com a incógnita
Divisão inversa	Divisão direta pelos mesmos números	Na inversa, distribui-se pelos inversos

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Supor proporcionalidade onde ela não existe. É o erro de maior impacto. Um táxi com bandeirada, uma conta com taxa fixa ou um plano com franquia não são proporcionais. Controle: aplique o teste do dobro ou verifique se o quociente é constante.

Decidir entre direta e inversa pela posição dos números. A disposição dos dados no enunciado não diz nada sobre o tipo de proporção. Controle: responda, com base no contexto, se uma grandeza aumenta ou diminui quando a outra aumenta.

Inverter a ordem da razão. O enunciado pede "a razão entre A e B", e o candidato calcula B/A. Controle: sublinhe a primeira grandeza citada. Ela vai no numerador.

Trabalhar com unidades diferentes. Dividir centímetros por metros, ou usar 2,40 h como se fossem 2 h 40 min. Controle: converta tudo antes de montar a proporção e acompanhe as unidades em cada passo.

Confundir parte-parte com parte-todo. Ler a razão 2 : 3 como se 2/3 do grupo tivessem a característica. Controle: pergunte se o consequente da razão é uma parte ou o total.

Tratar como linear uma relação quadrática ou cúbica. Supor que dobrar o lado dobra a área. Controle: lembre que área tem duas dimensões e volume tem três.

Comparar duas grandezas conhecidas entre si na regra de três composta. Controle: cada comparação deve envolver a coluna da incógnita.

Distribuir diretamente numa divisão inversa. Controle: passe pelos inversos e verifique se quem tem o menor número recebeu a maior parte.

Estratégia geral de verificação:

• conferir as unidades do resultado;
• interpretar a constante de proporcionalidade;
• testar a plausibilidade. Se mais operários levaram mais tempo, ou uma diluição aumentou a concentração, há erro de sentido.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H15, nível fácil)

Três lojas vendem o mesmo produto. A tabela mostra o valor total cobrado por cada loja de acordo com a quantidade de unidades compradas.

Unidades	Loja I	Loja II	Loja III
1	R$ 5,00	R$ 7,00	R$ 6,00
2	R$ 10,00	R$ 12,00	R$ 10,00
3	R$ 15,00	R$ 17,00	R$ 12,00

O valor total é diretamente proporcional à quantidade de unidades compradas:

A) apenas na loja I.
B) apenas na loja II.
C) nas lojas I e II.
D) nas lojas I e III.
E) nas lojas II e III.

Gabarito: A

Resolução. Na loja I, o quociente valor ÷ unidades é sempre 5. Na loja II, os quocientes são 7; 6 e 5,67, porque há uma parcela fixa de R$ 2,00: o valor segue V = 5n + 2. Na loja III, os quocientes são 6; 5 e 4, reflexo de um desconto progressivo.

Análise dos distratores. A alternativa C atrai quem confunde crescimento linear com proporcionalidade, já que na loja II o valor aumenta sempre R$ 5,00 por unidade. A alternativa D atrai quem observa apenas que o valor cresce com a quantidade.

Questão 2 (H11, nível fácil)

Em um mapa rodoviário na escala 1 : 250.000, a distância em linha reta entre duas cidades é de 6,4 cm. Um veículo percorre essa distância a uma velocidade média de 80 km/h. O tempo do trajeto é de:

A) 1,2 min.
B) 12 min.
C) 20 min.
D) 2 h.
E) 20 h.

Gabarito: B

Resolução.

1. Distância real: 6,4 × 250.000 = 1.600.000 cm = 16 km.
2. Tempo: 16 ÷ 80 = 0,2 h.
3. Conversão: 0,2 × 60 = 12 min.

Análise dos distratores. A alternativa C resulta de ler 0,2 h como 20 minutos. As alternativas A, D e E resultam de erros na conversão de centímetros para quilômetros, que levam a 1,6 km, 160 km e 1.600 km, respectivamente.

Questão 3 (H16, nível médio)

Em uma unidade de saúde, foi prescrita a infusão de 500 mL de soro fisiológico, a ser administrada em 8 horas. O equipo utilizado é de macrogotas, no qual 1 mL corresponde a 20 gotas. Para cumprir a prescrição, o gotejamento deve ser regulado para, aproximadamente, quantas gotas por minuto?

A) 1
B) 21
C) 63
D) 188
E) 1.250

Gabarito: B

Resolução.

1. Total de gotas: 500 × 20 = 10.000.
2. Tempo em minutos: 8 × 60 = 480.
3. Gotejamento: 10.000 ÷ 480 ≈ 20,8, ou seja, aproximadamente 21 gotas por minuto.

Análise dos distratores.

• A: o candidato não converte mililitros em gotas.
• C: usa o fator de microgotas, 60 gotas/mL.
• D: inverte as duas conversões.
• E: calcula gotas por hora e não converte para minutos.

Questão 4 (H16, nível médio)

Um técnico de laboratório precisa preparar 600 mL de uma solução com concentração de 10 g/L, a partir de uma solução estoque de 30 g/L, completando o volume com água. O volume de solução estoque a ser utilizado é:

A) 100 mL.
B) 200 mL.
C) 300 mL.
D) 400 mL.
E) 1.800 mL.

Gabarito: B

Resolução. A massa de soluto se conserva na diluição, então C₁V₁ = C₂V₂:

30 × V₁ = 10 × 600
V₁ = 200 mL

Análise dos distratores.

• D: é o volume de água a ser acrescentado, e não o da solução estoque.
• E: o candidato trata concentração e volume como diretamente proporcionais, fazendo 600 × 30 ÷ 10.

Questão 5 (H16, nível médio)

Em uma campanha de vacinação, 5 equipes, trabalhando 6 horas por dia, vacinaram 3.000 pessoas em 4 dias. Para vacinar 7.200 pessoas em 4 dias, com jornada de 8 horas diárias e o mesmo ritmo de trabalho por equipe, o número mínimo de equipes necessárias é:

A) 6
B) 9
C) 12
D) 16
E) 20

Gabarito: B

Resolução. A constante de produtividade é:

k = 3.000 ÷ (5 × 6 × 4) = 25 pessoas vacinadas por equipe, por hora

Na nova situação:

7.200 = 25 × E × 8 × 4
E = 7.200 ÷ 800 = 9 equipes

Análise dos distratores.

• C: o candidato considera apenas o aumento do número de pessoas e ignora o aumento da jornada.
• D: trata a jornada como diretamente proporcional ao número de equipes.

Questão 6 (H17, nível difícil)

Uma pizzaria vende pizzas circulares em dois tamanhos: média, com 30 cm de diâmetro, por R$ 36,00, e grande, com 40 cm de diâmetro, por R$ 60,00. Desconsiderando a espessura da massa, em relação ao preço por unidade de área, conclui-se que:

A) a pizza grande tem preço por área cerca de 6% menor que a média.
B) a pizza grande tem preço por área cerca de 25% maior que a média.
C) os dois tamanhos têm o mesmo preço por área.
D) a pizza média tem preço por área cerca de 6% menor que a grande.
E) a pizza grande tem preço por área cerca de 67% maior que a média.

Gabarito: A

Resolução.

1. Razão entre as áreas da grande e da média: (40/30)² = 16/9.
2. Razão entre os preços: 60/36 = 5/3.
3. Razão entre os preços por área: (5/3) ÷ (16/9) = (5/3) × (9/16) = 15/16 = 0,9375.

O preço por área da pizza grande é 6,25% menor que o da média.

Análise dos distratores.

• B: o candidato trata a área como proporcional ao diâmetro, fazendo (5/3) ÷ (4/3) = 1,25.
• E: compara apenas os preços.
• D: inverte a conclusão.

Questão 7 (H18, nível difícil)

Uma empresa vai distribuir um bônus de R$ 2.600,00 entre três funcionários, que tiveram 2, 3 e 4 faltas no semestre. Duas propostas foram apresentadas:

• Proposta I: divisão em partes iguais.
• Proposta II: divisão inversamente proporcional ao número de faltas.

Em relação à proposta I, o funcionário com 2 faltas receberia, na proposta II, um valor maior em aproximadamente:

A) R$ 200,00
B) R$ 266,67
C) R$ 333,33
D) R$ 400,00
E) R$ 600,00

Gabarito: C

Resolução.

1. Proposta I: cada funcionário recebe 2.600 ÷ 3 ≈ R$ 866,67.
2. Proposta II: os pesos são 6, 4 e 3, então k = 200, e o funcionário com 2 faltas recebe R$ 1.200,00.
3. Diferença: 1.200,00 − 866,67 ≈ R$ 333,33.

Análise dos distratores.

• A: o candidato toma o valor de k como resposta.
• D: compara com o funcionário de 3 faltas, e não com a proposta I.
• E: calcula a diferença entre a maior e a menor parcela da proposta II.

11. Perguntas frequentes

Razão e fração são a mesma coisa?

Usam a mesma notação, mas a razão é mais ampla. Ela pode comparar grandezas com unidades (km/h), ter termos decimais ou irracionais e comparar duas partes entre si, sem representar uma fração do todo.

Como sei se a regra de três é direta ou inversa?

Use o teste do dobro: se uma grandeza dobrar, a outra dobra (direta), cai pela metade (inversa) ou nenhuma das duas coisas (não há proporção)? A resposta vem do contexto, nunca da posição dos números.

Se duas grandezas aumentam juntas, elas são proporcionais?

Não necessariamente. Relações com parcela fixa, como y = ax + b, crescem juntas sem serem proporcionais. Só há proporção direta se o quociente for constante.

Por que o produto cruzado funciona?

Porque multiplicar os dois membros de a/b = c/d por b · d elimina os denominadores e resulta em a · d = b · c. É uma consequência das propriedades da igualdade.

Existe um jeito de resolver a regra de três composta sem setas?

Sim. Calcule a constante do processo, como peças por máquina por dia ou horas de trabalho por metro, e aplique-a à nova situação. Esse é o método da constante (seção 5).

Porcentagem é uma razão?

Sim. É uma razão de consequente 100. Dizer 25% é o mesmo que dizer 25 para 100, ou 1 para 4.

Por que a área não dobra quando o lado dobra?

Porque a área depende de duas dimensões. Dobrar o lado dobra cada uma delas, e a área fica multiplicada por 2 × 2 = 4. Com o volume, que depende de três dimensões, o fator é 2 × 2 × 2 = 8.

O que fazer com dados que parecem não servir para nada?

Verifique se cada grandeza realmente altera a incógnita. Dados irrelevantes são incluídos de propósito para testar a interpretação do candidato.

Como conferir se a resposta faz sentido?

Confira as unidades, interprete a constante e teste o sentido. Mais trabalhadores devem levar menos tempo; mais distância deve custar mais.

13. Síntese

Razão é a comparação multiplicativa entre duas quantidades. Deve ser calculada na ordem pedida, com unidades compatíveis e com atenção à diferença entre comparar duas partes e comparar uma parte com o todo. Quando as grandezas têm naturezas distintas, a razão produz uma taxa, como velocidade, densidade ou concentração, e a análise dimensional controla as contas.

Proporção é a igualdade entre razões. Sua propriedade fundamental, a igualdade dos produtos cruzados, decorre das propriedades da igualdade. A constante de proporcionalidade transforma problemas de proporção em equações simples.

Grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente é constante (y = kx) e inversamente proporcionais quando o produto é constante (y = k/x). Relações com parcela fixa não são proporcionais. Áreas e volumes de figuras semelhantes variam com o quadrado e com o cubo do fator linear.

A regra de três aplica essas definições, e a escolha entre direta e inversa vem sempre da análise do contexto. Na regra de três composta, cada grandeza é comparada apenas com a incógnita, ou se usa diretamente a constante do processo. Na divisão proporcional, os pesos são os números dados, seus inversos, seus produtos ou seus quocientes, conforme o tipo de divisão.

Situação	Modelo	Ferramenta
Quociente constante	y = kx	Regra de três direta
Produto constante	y = k/x	Regra de três inversa
Parcela fixa	y = ax + b	Função afim (sem proporção)
Áreas de figuras semelhantes	A = kL²	Fator linear ao quadrado
Volumes de sólidos semelhantes	V = kL³	Fator linear ao cubo
Várias grandezas	G = k · xz/w	Regra composta ou constante k
Repartição de quantias	partes pᵢk	Divisão proporcional

14. Glossário

Termo	Definição
Razão	Quociente a/b entre dois números, com b ≠ 0
Antecedente e consequente	O primeiro e o segundo termo de uma razão
Razão inversa	A razão b/a, obtida trocando os termos de a/b
Taxa	Razão entre grandezas de naturezas distintas, com unidade composta
Análise dimensional	Controle das unidades ao longo de um cálculo
Proporção	Igualdade entre duas razões
Extremos e meios	Em a : b = c : d, os termos a e d (extremos) e b e c (meios)
Constante de proporcionalidade	Valor k que se conserva em uma relação proporcional
Quarta proporcional	Número x tal que a/b = c/x
Média proporcional	Número b tal que a/b = b/c, isto é, b² = ac
Grandezas diretamente proporcionais	Grandezas cujo quociente é constante
Grandezas inversamente proporcionais	Grandezas cujo produto é constante
Função afim	Relação y = ax + b; não é proporcional quando b ≠ 0
Regra de três	Procedimento para encontrar um valor desconhecido entre grandezas proporcionais
Divisão proporcional	Repartição de uma quantia em partes proporcionais a pesos dados