Probabilidade

A probabilidade é a matemática da incerteza. Ela não prevê o resultado de um único lançamento de dado, de um único sorteio ou de um único exame. Ela quantifica o quanto cada resultado é provável, e essa informação orienta decisões em saúde pública, seguros, controle de qualidade, jogos, pesquisas eleitorais e na interpretação de testes diagnósticos.

Apresentação

Sorteio em uma urna. Casos favoráveis ÷ casos possíveis.

Na Matriz de Referência, o tema pertence à Competência de área 7: compreender o caráter aleatório dos fenômenos naturais e sociais e usar instrumentos adequados para cálculos de probabilidade. Mobiliza as habilidades:

• H28: resolver situação-problema com conhecimentos de estatística e probabilidade;
• H29: usar esses conhecimentos como recurso de argumentação;
• H30: avaliar propostas de intervenção na realidade com base neles.

No ENEM, a probabilidade aparece em sorteios, jogos, tabelas de pesquisas e, cada vez mais, em contextos de saúde.

Este artigo apresenta:

1. os conceitos de experimento aleatório, espaço amostral e evento;
2. a definição clássica de probabilidade e suas armadilhas;
3. a probabilidade a partir de dados e de áreas;
4. o evento complementar;
5. a probabilidade da união ("ou");
6. a probabilidade da interseção ("e") e a independência;
7. a probabilidade condicional, a árvore de probabilidades e a interpretação de testes diagnósticos;
8. a probabilidade calculada com análise combinatória, incluindo o modelo binomial.

Pré-requisitos: os artigos de Conjuntos, Análise Combinatória e Porcentagem.

1. Conceitos fundamentais

1.1 Experimento aleatório

Um experimento aleatório é aquele que, repetido nas mesmas condições, pode produzir resultados diferentes, e cujo resultado não pode ser previsto com certeza. Lançar um dado, sortear uma carta e escolher uma pessoa ao acaso são experimentos aleatórios.

Um experimento determinístico, ao contrário, produz sempre o mesmo resultado nas mesmas condições. Aquecer água pura ao nível do mar até 100 °C, por exemplo, sempre a faz ferver.

1.2 Espaço amostral

O espaço amostral (Ω) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. O número de elementos é indicado por n(Ω).

Experimento	Espaço amostral	n(Ω)
Lançar uma moeda	{cara, coroa}	2
Lançar um dado	{1, 2, 3, 4, 5, 6}	6
Lançar duas moedas	{CC, CK, KC, KK}	4
Lançar dois dados	todos os pares (a, b), com a e b de 1 a 6	36

No lançamento de duas moedas, CK e KC são resultados diferentes: cara na primeira e coroa na segunda é diferente de coroa na primeira e cara na segunda. Imaginar as moedas com cores diferentes ajuda a perceber isso.

1.3 Evento

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

• Evento certo: é o próprio Ω, porque sempre ocorre.
• Evento impossível: é o conjunto vazio, porque nunca ocorre. Por exemplo, sair 7 em um dado comum.
• Evento elementar: tem um único resultado.

Exemplo. No lançamento de um dado, o evento "sair número par" é A = {2, 4, 6}.

1.4 Relações entre eventos

• Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer juntos: A ∩ B = ∅. No dado, "sair 1" e "sair 6" são mutuamente exclusivos.
• O evento complementar de A, indicado por Ā, é formado pelos resultados que não estão em A. No dado, o complementar de "sair par" é "sair ímpar".

Essas relações são as mesmas operações estudadas no artigo de Conjuntos: união, interseção e complementar.

2. A definição clássica de probabilidade

2.1 Definição

Essa é a definição clássica, ou de Laplace.

Propriedades imediatas:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1;
• P(Ω) = 1, porque o evento certo tem probabilidade 1;
• P(∅) = 0, porque o evento impossível tem probabilidade 0.

A probabilidade pode ser expressa como fração, decimal ou porcentagem: 1/4 = 0,25 = 25%.

Exemplo. No lançamento de um dado, a probabilidade de sair um número par é P = 3/6 = 1/2.

2.2 A exigência de equiprobabilidade

A fórmula "favoráveis sobre possíveis" só vale quando os resultados são igualmente prováveis. Ignorar essa condição é a fonte de alguns dos erros mais conhecidos.

Exemplo 1: soma de dois dados. As somas possíveis vão de 2 a 12. São 11 valores, mas eles não são igualmente prováveis. O espaço amostral equiprovável é o dos 36 pares ordenados:

Soma	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Número de pares	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

• P(soma 7) = 6/36 = 1/6. É a soma mais provável.
• P(soma 2) = 1/36. Só o par (1, 1) produz essa soma.

Dizer que P(soma 7) = 1/11 está errado, porque trata as 11 somas como equiprováveis.

Exemplo 2: duas moedas. Qual é a probabilidade de sair uma cara e uma coroa?

• Errado: "os resultados são duas caras, duas coroas ou uma de cada; logo, 1/3".
• Correto: no espaço {CC, CK, KC, KK}, os casos favoráveis são CK e KC. P = 2/4 = 1/2.

Esse erro foi cometido por matemáticos importantes do século XVIII e continua sendo o mais comum entre estudantes.

2.3 Baralho

Um baralho comum tem 52 cartas, divididas em 4 naipes (copas, ouros, espadas e paus), cada um com 13 cartas: ás, 2 a 10, valete, dama e rei.

• P(sair um ás) = 4/52 = 1/13.
• P(sair uma carta de copas) = 13/52 = 1/4.
• P(sair uma figura: valete, dama ou rei) = 12/52 = 3/13.

3. Probabilidade a partir de dados e de áreas

3.1 Probabilidade e frequência relativa

Quando não é possível calcular a probabilidade teoricamente, ela é estimada pela frequência relativa observada em muitas repetições. Quanto maior o número de observações, mais a frequência relativa se aproxima da probabilidade. Esse princípio é conhecido como lei dos grandes números.

Exemplo. Em um lote de 2.000 lâmpadas, 30 apresentaram defeito. A probabilidade estimada de uma lâmpada desse fabricante ser defeituosa é 30/2.000 = 1,5%.

3.2 Probabilidade a partir de tabelas

Quando uma pessoa é escolhida ao acaso de um grupo descrito em uma tabela, a probabilidade de ela ter certa característica é a frequência relativa dessa característica no grupo.

Exemplo. Em uma pesquisa com 400 moradores, 60 eram moradores da zona rural não vacinados. Sorteando um morador ao acaso, a probabilidade de ser da zona rural e não vacinado é 60/400 = 15%.

3.3 Probabilidade geométrica (noção)

Quando um ponto é escolhido ao acaso em uma região, a probabilidade de ele cair em uma sub-região é a razão entre as áreas.

Exemplo. Um dardo atinge, ao acaso, um alvo quadrado de lado 2r, onde está desenhado o círculo inscrito de raio r. A probabilidade de o dardo cair dentro do círculo é:

πr² ÷ (2r)² = π/4 ≈ 78,5%

4. Evento complementar

Como A e Ā juntos formam o espaço amostral inteiro e não têm resultados em comum, suas probabilidades somam 1.

A regra do complementar é a ferramenta mais eficiente para eventos do tipo "pelo menos um": em vez de somar muitos casos, calcula-se a probabilidade de nenhum e subtrai-se de 1.

Exemplo 1. Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara em 3 lançamentos de uma moeda?

1. O complementar de "pelo menos uma cara" é "nenhuma cara", ou seja, três coroas: P = (1/2)³ = 1/8.
2. P(pelo menos uma cara) = 1 − 1/8 = 7/8.

Exemplo 2. Qual é a probabilidade de sair pelo menos um 6 em dois lançamentos de um dado?

1. P(nenhum 6) = (5/6) · (5/6) = 25/36.
2. P(pelo menos um 6) = 1 − 25/36 = 11/36.

O erro comum é somar 1/6 + 1/6 = 1/3, o que conta duas vezes o caso em que saem dois 6.

5. Probabilidade da união ("ou")

5.1 A regra da adição

É o princípio da inclusão-exclusão do artigo de Conjuntos, aplicado a probabilidades. Subtrai-se a interseção porque ela foi contada duas vezes.

Se A e B são mutuamente exclusivos, a interseção é vazia, e a regra se simplifica:

5.2 Exemplos

Exemplo 1. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um número par ou maior que 4?

P = P({2, 4, 6}) + P({5, 6}) − P({6}) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3

Conferindo diretamente: o evento é {2, 4, 5, 6}, com 4 dos 6 resultados.

Exemplo 2. Qual é a probabilidade de sortear um ás ou uma carta de copas?

P = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13

O ás de copas pertence aos dois eventos e é descontado uma vez.

Exemplo 3, eventos exclusivos. Qual é a probabilidade de sair 1 ou 6 no dado?

P = 1/6 + 1/6 = 1/3

6. Probabilidade da interseção ("e") e independência

6.1 Eventos independentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Nesse caso:

Exemplos:

• Lançar uma moeda e um dado: P(cara e 6) = (1/2) · (1/6) = 1/12.
• Lançar dois dados: P(6 nos dois) = (1/6) · (1/6) = 1/36.
• Lançar três moedas: P(três caras) = (1/2)³ = 1/8.

6.2 A falácia do jogador

Depois de cinco caras seguidas em uma moeda honesta, qual é a probabilidade de sair cara no sexto lançamento?

A resposta é 1/2. A moeda não tem memória, e os lançamentos são independentes. A crença de que "agora tem que sair coroa" é chamada de falácia do jogador.

O que é pouco provável é a sequência de seis caras: (1/2)⁶ = 1/64. Mas, depois que as cinco primeiras já ocorreram, o sexto lançamento continua tendo probabilidade 1/2.

7. Probabilidade condicional

7.1 Definição

A probabilidade condicional de A, dado que B ocorreu, é indicada por P(A | B). Ela mede a probabilidade de A quando já se sabe que B aconteceu:

Interpretação prática: reduzir o espaço amostral. Saber que B ocorreu elimina todos os resultados fora de B. O novo espaço amostral passa a ser B, e conta-se quantos de seus elementos também estão em A.

Exemplo. Um dado é lançado, e sabe-se que o resultado foi par. Qual é a probabilidade de ter saído 6?

O novo espaço amostral é {2, 4, 6}. Há 1 caso favorável. Logo, P(6 | par) = 1/3.

7.2 Probabilidade condicional em tabelas

Retomando a tabela do artigo de Estatística, com 200 pessoas:

	Pratica exercício	Não pratica	Total
Homens	45	55	100
Mulheres	60	40	100
Total	105	95	200

• Sorteando uma mulher, a probabilidade de ela praticar exercício é P(pratica | mulher) = 60/100 = 60%.
• Sorteando alguém que pratica exercício, a probabilidade de ser mulher é P(mulher | pratica) = 60/105 ≈ 57,1%.

Confundir as duas é um dos erros mais sérios em probabilidade, com consequências importantes na interpretação de dados de saúde e em decisões judiciais (seção 7.7).

7.3 Regra do produto geral

Da definição de probabilidade condicional:

Quando os eventos são independentes, P(B | A) = P(B), e a regra volta a ser P(A) · P(B).

Dois eventos são independentes exatamente quando P(A | B) = P(A): saber que B ocorreu não muda a probabilidade de A.

7.4 Retiradas com e sem reposição

Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Duas bolas são retiradas. Qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas?

Com reposição (a primeira bola volta para a urna): as retiradas são independentes.

P = (5/8) · (5/8) = 25/64

Sem reposição (a primeira bola não volta): a segunda retirada depende da primeira. Se a primeira foi vermelha, restam 4 vermelhas em 7 bolas.

P = (5/8) · (4/7) = 20/56 = 5/14

7.5 Árvore de probabilidades

A árvore de probabilidades organiza experimentos em etapas:

• cada ramo recebe a probabilidade condicional daquela etapa;
• a probabilidade de um caminho completo é o produto das probabilidades ao longo do caminho;
• a probabilidade de um evento formado por vários caminhos é a soma das probabilidades desses caminhos.

Exemplo. Com a urna de 5 vermelhas e 3 azuis, sem reposição, qual é a probabilidade de as duas bolas terem cores diferentes?

Há dois caminhos favoráveis:

• vermelha e depois azul: (5/8) · (3/7) = 15/56;
• azul e depois vermelha: (3/8) · (5/7) = 15/56.

Total: 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28.

O erro mais comum é considerar apenas a ordem "vermelha e depois azul", esquecendo a ordem inversa.

7.6 Testes diagnósticos

Um teste diagnóstico tem duas características principais:

• sensibilidade: a probabilidade de o teste dar positivo quando a pessoa tem a doença;
• especificidade: a probabilidade de o teste dar negativo quando a pessoa não tem a doença. O complemento da especificidade é a taxa de falsos positivos.

A pergunta que interessa a quem recebe um resultado positivo, porém, é outra: dado que o teste deu positivo, qual a probabilidade de eu ter a doença? Essa probabilidade depende fortemente da prevalência, a proporção de pessoas doentes na população.

Exemplo. Uma doença atinge 1% da população. Um teste tem sensibilidade de 90% e taxa de falsos positivos de 5%. Uma pessoa sorteada ao acaso faz o teste, e o resultado é positivo. Qual é a probabilidade de ela ter a doença?

Método da população hipotética. Imagine 10.000 pessoas.

1. Doentes: 1% de 10.000 = 100. Dessas, 90% testam positivo: 90 positivos verdadeiros.
2. Saudáveis: 9.900. Dessas, 5% testam positivo: 495 falsos positivos.
3. Total de positivos: 90 + 495 = 585.
4. Probabilidade de estar doente, dado o resultado positivo: 90 ÷ 585 ≈ 15,4%.

O resultado surpreende: mesmo com um teste de sensibilidade alta, a maioria dos positivos é falsa. Isso acontece porque a doença é rara, e os 5% de falsos positivos incidem sobre um grupo muito grande de pessoas saudáveis.

O raciocínio formal por trás desse cálculo é conhecido como teorema de Bayes. O método da população hipotética chega ao mesmo resultado com contas simples, e é o mais indicado para o ENEM.

A lição. Confundir P(positivo | doente), que é a sensibilidade de 90%, com P(doente | positivo), que é cerca de 15%, é exatamente o erro de inverter a probabilidade condicional (seção 7.2).

8. Probabilidade com análise combinatória

8.1 O princípio

Quando o espaço amostral é grande, os casos favoráveis e possíveis são contados com as ferramentas da análise combinatória:

Exemplo 1: loteria. Na Mega-Sena, há C(60, 6) = 50.063.860 combinações possíveis.

• Uma aposta simples, de 6 números, tem probabilidade 1/50.063.860 de acertar a sena.
• Uma aposta de 7 números cobre C(7, 6) = 7 combinações de 6. A probabilidade é 7/50.063.860.

Exemplo 2: comissão sorteada. Uma comissão de 3 pessoas é sorteada de um grupo com 6 homens e 4 mulheres. Qual é a probabilidade de a comissão ter exatamente 2 mulheres?

1. Casos favoráveis: C(4, 2) · C(6, 1) = 6 · 6 = 36.
2. Casos possíveis: C(10, 3) = 120.
3. P = 36/120 = 3/10.

Exemplo 3: anagrama sorteado. Um anagrama de AMOR é sorteado. Qual é a probabilidade de ele começar por vogal?

Pelo artigo de Análise Combinatória, há 12 anagramas que começam por vogal, em 24. P = 12/24 = 1/2.

8.2 O modelo binomial

Considere um experimento repetido n vezes, de forma independente, em que cada repetição tem apenas dois resultados: sucesso, com probabilidade p, ou fracasso, com probabilidade 1 − p. A probabilidade de obter exatamente k sucessos é:

De onde vem a fórmula.

• Uma sequência específica com k sucessos e n − k fracassos tem probabilidade pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, pela regra do produto.
• Existem C(n, k) sequências desse tipo, que correspondem às posições possíveis dos sucessos.
• As sequências são mutuamente exclusivas, e suas probabilidades se somam.

Exemplo 1. Qual é a probabilidade de sair exatamente 2 caras em 6 lançamentos de uma moeda?

P = C(6, 2) · (1/2)² · (1/2)⁴ = 15 · 1/64 = 15/64

Exemplo 2. Um candidato chuta 4 questões de 5 alternativas cada, com uma única correta. Qual é a probabilidade de acertar exatamente 2?

P = C(4, 2) · (1/5)² · (4/5)² = 6 · (1/25) · (16/25) = 96/625 ≈ 15,4%

8.3 Uma curiosidade: o problema do aniversário

Em um grupo de apenas 23 pessoas, a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia, desconsiderando anos bissextos, já ultrapassa 50%. O cálculo usa o complementar: a probabilidade de todas as datas serem diferentes é (365/365) · (364/365) · … · (343/365), que fica pouco abaixo de 0,5.

O resultado parece contraintuitivo porque o que conta não são as comparações de uma pessoa com as outras, mas a comparação entre todos os pares de pessoas: C(23, 2) = 253 pares.

9. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Espaço amostral equiprovável	Lista de resultados distintos	Somas de dois dados não são equiprováveis
CK e KC	Um único resultado	São resultados diferentes no lançamento de duas moedas
Eventos mutuamente exclusivos	Eventos independentes	Exclusivos não ocorrem juntos; independentes não se influenciam
"Ou"	"E"	"Ou" usa a regra da adição; "e" usa a regra do produto
P(A | B)	P(B | A)	Em geral, são diferentes
Com reposição	Sem reposição	Sem reposição, as probabilidades mudam a cada retirada
Sensibilidade	P(doente | positivo)	A sensibilidade é P(positivo | doente)
Probabilidade de uma sequência	Probabilidade do próximo resultado	A falácia do jogador confunde as duas
"Pelo menos um"	"Exatamente um"	O primeiro geralmente se resolve pelo complementar
Frequência relativa	Probabilidade teórica	A frequência estima a probabilidade em muitas repetições

10. Erros recorrentes e como evitá-los

Tratar como equiprováveis resultados que não são. Controle: monte o espaço amostral com os resultados elementares, como os pares ordenados de dois dados.

Considerar CK e KC o mesmo resultado. Controle: imagine as moedas com cores diferentes.

Somar probabilidades de eventos que não são exclusivos. Controle: subtraia a interseção.

Calcular "pelo menos um" somando as probabilidades. Controle: use o complementar.

Esquecer que, sem reposição, as probabilidades mudam. Controle: atualize os totais a cada retirada.

Considerar apenas uma ordem na árvore de probabilidades. Controle: liste todos os caminhos que levam ao evento.

Inverter a probabilidade condicional. Controle: identifique qual informação é conhecida, ou seja, o que vem depois da barra.

Acreditar que eventos independentes "se compensam". Controle: lembre que a moeda não tem memória.

Esquecer o fator C(n, k) no modelo binomial. Controle: pergunte de quantas maneiras os sucessos podem estar distribuídos.

Verificação geral. Toda probabilidade está entre 0 e 1. As probabilidades de todos os resultados de um experimento somam 1.

11. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H28, nível fácil)

Dois dados comuns, de seis faces, são lançados. A probabilidade de a soma dos resultados ser 7 é:

A) 1/12
B) 1/11
C) 1/6
D) 7/36
E) 1/36

Gabarito: C

Resolução. Há 36 pares ordenados igualmente prováveis. Os pares com soma 7 são (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6, 1). P = 6/36 = 1/6.

Análise dos distratores.

• B: trata as 11 somas possíveis como igualmente prováveis.
• A: conta só os 3 pares favoráveis sem ordem ({1, 6}, {2, 5} e {3, 4}), mas mantém os 36 casos possíveis do espaço ordenado: 3/36 = 1/12. Mistura dois espaços amostrais diferentes.

Questão 2 (H28, nível médio)

Em uma escola com 500 alunos, foi feito um levantamento do turno e do meio de transporte usado:

	Ônibus	A pé	Total
Manhã	150	50	200
Tarde	150	150	300
Total	300	200	500

Um aluno que usa ônibus é sorteado. A probabilidade de ele estudar no turno da manhã é:

A) 30%
B) 40%
C) 50%
D) 60%
E) 75%

Gabarito: C

Resolução. O espaço amostral se reduz aos 300 alunos que usam ônibus. Desses, 150 estudam de manhã: 150/300 = 50%.

Análise dos distratores.

• E: inverte a condicional, calculando P(ônibus | manhã) = 150/200.
• A: calcula a interseção sobre o total (150/500).
• B: calcula a proporção de alunos da manhã no total (200/500).
• D: calcula a proporção de usuários de ônibus no total (300/500).

Questão 3 (H28, nível médio)

Um dado comum é lançado duas vezes. A probabilidade de sair o número 6 em pelo menos um dos lançamentos é:

A) 1/36
B) 1/6
C) 1/3
D) 11/36
E) 25/36

Gabarito: D

Resolução. P(nenhum 6) = (5/6)² = 25/36. P(pelo menos um 6) = 1 − 25/36 = 11/36.

Análise dos distratores.

• C: soma 1/6 + 1/6, contando duas vezes o caso (6, 6).
• E: é a probabilidade do complementar, ou seja, de não sair nenhum 6.
• A: é a probabilidade de sair 6 nos dois lançamentos.

Questão 4 (H28, nível médio)

Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis, idênticas exceto pela cor. Duas bolas são retiradas ao acaso, uma após a outra, sem reposição. A probabilidade de as duas serem vermelhas é:

A) 25/64
B) 5/14
C) 5/8
D) 9/15
E) 20/64

Gabarito: B

Resolução.

P = (5/8) · (4/7) = 20/56 = 5/14

Análise dos distratores.

• A: considera retiradas com reposição.
• D: soma os numeradores e os denominadores das frações, em vez de multiplicá-las.
• C: considera apenas a primeira retirada.

Questão 5 (H28, nível médio)

Uma comissão de 3 pessoas será sorteada entre 6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de a comissão ter exatamente 2 mulheres é:

A) 1/10
B) 3/10
C) 2/5
D) 1/2
E) 2/3

Gabarito: B

Resolução.

P = [C(4, 2) · C(6, 1)] ÷ C(10, 3) = (6 · 6) ÷ 120 = 36/120 = 3/10

Análise dos distratores. A alternativa A calcula apenas a sequência "mulher, mulher, homem": (4/10) · (3/9) · (6/8) = 1/10. Esquece que o homem pode ser sorteado em qualquer uma das três posições, o que multiplicaria o resultado por 3.

Questão 6 (H29, nível difícil)

Uma doença atinge 1% de uma população. Um teste para detectá-la dá resultado positivo em 90% das pessoas doentes e também em 5% das pessoas saudáveis. Uma pessoa dessa população, escolhida ao acaso, faz o teste, e o resultado é positivo. A probabilidade de ela realmente ter a doença é, aproximadamente:

A) 1%
B) 5%
C) 15%
D) 90%
E) 95%

Gabarito: C

Resolução. Em uma população hipotética de 10.000 pessoas:

• há 100 doentes, dos quais 90 testam positivo;
• há 9.900 saudáveis, dos quais 495 testam positivo;
• dos 585 positivos, apenas 90 estão doentes: 90/585 ≈ 15%.

Análise dos distratores.

• D: confunde P(doente | positivo) com a sensibilidade do teste, P(positivo | doente).
• E: usa a especificidade.
• A: usa a prevalência, ignorando a informação do teste.

Questão 7 (H28, nível difícil)

Um candidato não sabe responder a 4 questões de uma prova, cada uma com 5 alternativas, das quais apenas uma é correta. Ele decide marcar uma alternativa ao acaso em cada questão. A probabilidade de ele acertar pelo menos uma dessas questões é, aproximadamente:

A) 20,00%
B) 40,96%
C) 59,04%
D) 80,00%
E) 100,00%

Gabarito: C

Resolução.

1. P(errar uma questão) = 4/5.
2. P(errar as quatro) = (4/5)⁴ = 256/625 ≈ 40,96%.
3. P(acertar pelo menos uma) = 1 − 0,4096 = 0,5904 ≈ 59,04%.

Análise dos distratores.

• B: é a probabilidade de errar todas.
• D: soma as probabilidades de acerto das quatro questões (4 · 20%), como se fossem eventos exclusivos.
• A: considera apenas uma questão.

12. Perguntas frequentes

Quando posso usar "favoráveis sobre possíveis"?

Somente quando todos os resultados do espaço amostral são igualmente prováveis.

Por que a soma 7 é a mais provável em dois dados?

Porque é a soma que pode ser obtida pelo maior número de pares ordenados: 6 dos 36.

Qual a diferença entre eventos exclusivos e independentes?

Eventos exclusivos não podem ocorrer juntos. Eventos independentes podem ocorrer juntos, mas um não altera a probabilidade do outro.

Quando usar o complementar?

Quando o evento é do tipo "pelo menos um" ou quando calcular o evento contrário é mais simples.

O que muda com e sem reposição?

Sem reposição, cada retirada altera a composição da urna. As probabilidades das retiradas seguintes dependem das anteriores.

P(A | B) é igual a P(B | A)?

Em geral, não. A probabilidade de uma mulher praticar exercício é diferente da probabilidade de um praticante de exercício ser mulher.

Por que um teste com 90% de sensibilidade pode ter tantos falsos positivos?

Porque, quando a doença é rara, o número de pessoas saudáveis é muito maior, e uma pequena taxa de falsos positivos sobre esse grupo grande produz muitos resultados positivos errados.

Depois de várias caras seguidas, a chance de coroa aumenta?

Não. Os lançamentos são independentes, e a probabilidade continua sendo 1/2.

Quando usar o modelo binomial?

Quando o mesmo experimento, com dois resultados possíveis, é repetido várias vezes de forma independente, e se pergunta a probabilidade de um número exato de sucessos.

14. Síntese

Um experimento aleatório tem resultados imprevisíveis. O espaço amostral reúne todos os resultados possíveis, e um evento é qualquer subconjunto dele. Quando os resultados são igualmente prováveis, P(A) = favoráveis ÷ possíveis, com 0 ≤ P ≤ 1. A equiprobabilidade é condição indispensável: as somas de dois dados e os resultados agrupados de duas moedas não são equiprováveis.

A probabilidade pode também ser estimada pela frequência relativa, obtida de tabelas e dados, ou calculada por razão de áreas.

As regras fundamentais são:

• complementar: P(Ā) = 1 − P(A), ideal para "pelo menos um";
• união: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), que vira simples soma para eventos exclusivos;
• interseção de eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

A probabilidade condicional, P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), corresponde a reduzir o espaço amostral ao evento conhecido. Em geral, P(A | B) ≠ P(B | A). Retiradas sem reposição produzem eventos dependentes, e a árvore de probabilidades organiza o cálculo: multiplica-se ao longo dos caminhos e somam-se os caminhos favoráveis. Na interpretação de testes diagnósticos, a probabilidade de doença após um resultado positivo depende fortemente da prevalência, e o método da população hipotética torna o cálculo acessível.

Com espaços amostrais grandes, a análise combinatória conta os casos. O modelo binomial, C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, dá a probabilidade de exatamente k sucessos em n repetições independentes.

Situação	Ferramenta
Resultados equiprováveis	favoráveis ÷ possíveis
Dados de uma tabela	frequência relativa
Ponto ao acaso em uma região	razão entre áreas
"Pelo menos um"	1 − P(nenhum)
"Ou"	P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
"E", independentes	P(A) · P(B)
"E", dependentes	P(A) · P(B | A)
Informação conhecida	reduzir o espaço amostral
Várias etapas	árvore de probabilidades
Teste diagnóstico	população hipotética
Sorteio de grupos	combinações
k sucessos em n repetições	modelo binomial

15. Glossário

Termo	Definição
Experimento aleatório	Experimento cujo resultado não pode ser previsto com certeza
Espaço amostral	Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
Evento	Subconjunto do espaço amostral
Evento certo	O próprio espaço amostral; probabilidade 1
Evento impossível	O conjunto vazio; probabilidade 0
Eventos mutuamente exclusivos	Eventos que não podem ocorrer simultaneamente
Evento complementar	Evento formado pelos resultados que não pertencem ao evento dado
Equiprobabilidade	Condição em que todos os resultados têm a mesma probabilidade
Frequência relativa	Proporção de vezes em que um evento ocorreu em um conjunto de observações
Lei dos grandes números	Princípio segundo o qual a frequência relativa se aproxima da probabilidade com muitas repetições
Eventos independentes	Eventos em que a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro
Probabilidade condicional	Probabilidade de um evento sabendo que outro ocorreu
Árvore de probabilidades	Diagrama que organiza as probabilidades de experimentos em etapas
Sensibilidade	Probabilidade de um teste dar positivo em quem tem a doença
Especificidade	Probabilidade de um teste dar negativo em quem não tem a doença
Prevalência	Proporção de pessoas com a doença em uma população
Modelo binomial	Modelo para o número de sucessos em repetições independentes com dois resultados possíveis
Falácia do jogador	Crença equivocada de que resultados passados alteram a probabilidade de eventos independentes