Porcentagem

A porcentagem é a forma mais usada de expressar razões no cotidiano, na imprensa e nas provas. Índices de inflação, taxas de juros, pesquisas eleitorais, rótulos de alimentos e de medicamentos, descontos e reajustes salariais: todos são comunicados em porcentagem.

Apresentação

Desconto de 20%. R$ 150,00 × 0,8 = R$ 120,00

No ENEM, o tema aparece sobretudo na Competência de área 1, que trata de construir significados para os números. Ali ele se liga a quatro habilidades:

• H1: reconhecer diferentes significados e representações dos números no contexto social;
• H3: resolver situações-problema que envolvem conhecimentos numéricos;
• H4: avaliar a razoabilidade de um resultado numérico ao construir argumentos;
• H5: avaliar propostas de intervenção na realidade usando conhecimentos numéricos.

O tema também atravessa a Competência 4 (variação de grandezas) e a Competência 6 (leitura e interpretação de gráficos e tabelas). Isso faz da porcentagem um dos conteúdos de maior incidência em toda a prova de Matemática.

Este artigo trata a porcentagem como uma razão de consequente 100 e como uma taxa aplicada a uma base. O ponto central é o fator multiplicador, ferramenta que unifica aumentos, descontos, variações sucessivas e porcentagens reversas. O percurso é este:

1. conceito e representações;
2. cálculo mental de referência;
3. os três problemas fundamentais;
4. fator multiplicador;
5. variação percentual e pontos percentuais;
6. aumentos e reduções sucessivos;
7. porcentagem reversa;
8. porcentagens de grupos e porcentagem de porcentagem;
9. aplicações em contextos típicos do exame.

Pré-requisitos: frações, números decimais e o artigo de Razão, Proporção e Regra de Três.

1. Conceito de porcentagem

1.1 Definição

A expressão "por cento" significa literalmente "em cada cem". Dizer que 25% dos alunos de uma escola estudam à noite equivale a dizer que, em cada 100 alunos, 25 estudam nesse turno. Isso vale para uma escola de 100, de 400 ou de 1.000 alunos.

Uma porcentagem, isoladamente, é uma taxa: um número puro, sem unidade. Ela só ganha valor concreto quando aplicada a uma base, isto é, ao total a que se refere. A mesma taxa de 10% corresponde a R$ 5,00 sobre uma base de R$ 50,00 e a R$ 500,00 sobre uma base de R$ 5.000,00.

1.2 As três representações

Toda porcentagem pode ser escrita de três formas equivalentes: percentual, fracionária e decimal. A forma percentual é a de comunicação; a fracionária e a decimal são as de cálculo.

Percentual	Fração	Decimal
1%	1/100	0,01
5%	1/20	0,05
10%	1/10	0,1
12,5%	1/8	0,125
20%	1/5	0,2
25%	1/4	0,25
33,3…%	1/3	0,333…
40%	2/5	0,4
50%	1/2	0,5
60%	3/5	0,6
66,6…%	2/3	0,666…
75%	3/4	0,75
100%	1	1
150%	3/2	1,5
200%	2	2

Conversões:

• Percentual para decimal: divida por 100, deslocando a vírgula duas casas para a esquerda. Assim, 7% = 0,07 e 0,5% = 0,005.
• Decimal para percentual: multiplique por 100. Assim, 0,375 = 37,5%.
• Fração para percentual: divida o numerador pelo denominador e multiplique por 100. Assim, 3/8 = 0,375 = 37,5%.

Dominar essa tabela economiza tempo de prova. Calcular 12,5% de 640 vira simplesmente 640 ÷ 8 = 80.

1.3 Porcentagens maiores que 100% e menores que 1%

Uma porcentagem acima de 100% indica uma parte maior que a base. Se a produção de uma fábrica em 2026 foi 150% da produção de 2025, ela equivale a 1,5 vez a produção anterior.

Porcentagens muito pequenas aparecem em taxas mensais de juros, em concentrações e em índices de mortalidade. Uma taxa de 0,3% corresponde a 0,003, ou 3 em cada 1.000. Em algumas áreas usa-se o por mil (‰). Por exemplo, 3‰ = 0,3%.

1.4 A base: "porcentagem de quê?"

A pergunta que deve acompanhar qualquer porcentagem é: qual é o todo de referência?

Considere estas duas frases:

• "30% dos moradores de um bairro são idosos";
• "30% dos idosos da cidade moram nesse bairro".

Elas usam a mesma taxa, mas bases completamente diferentes. A primeira tem como base os moradores do bairro. A segunda, os idosos da cidade. Grande parte dos erros em porcentagem vem de aplicar a taxa à base errada. Isso é especialmente comum em problemas de aumentos sucessivos e de porcentagem reversa, tratados adiante.

2. Cálculo mental de referência

No ENEM, a calculadora não é permitida, e o tempo é curto. Algumas porcentagens funcionam como âncoras a partir das quais todas as outras podem ser montadas.

2.1 As porcentagens de referência

Porcentagem	Operação mental	Exemplo com base 360
1%	dividir por 100	3,6
5%	metade de 10%	18
10%	dividir por 10	36
25%	dividir por 4	90
50%	dividir por 2	180
90%	total menos 10%	360 − 36 = 324

2.2 Decomposição

Qualquer porcentagem pode ser obtida somando ou subtraindo porcentagens de referência.

35% de 260. Decomponha em 25% + 10%:
25% de 260 = 65
10% de 260 = 26
Resultado: 65 + 26 = 91

18% de 150. Decomponha em 20% − 2%:
20% de 150 = 30
2% de 150 = 3
Resultado: 30 − 3 = 27

12,5% de 640. Use a fração: 640 ÷ 8 = 80.

2.3 A propriedade da troca

Isso vale porque (p/100) · q = (q/100) · p.

A propriedade transforma contas difíceis em contas fáceis:

• 8% de 50 é igual a 50% de 8, que é 4;
• 16% de 25 é igual a 25% de 16, que é 4;
• 36% de 50 é igual a 50% de 36, que é 18.

3. Os três problemas fundamentais

Todo problema elementar de porcentagem envolve três elementos:

• a base V, que é o todo;
• a taxa i, na forma decimal;
• a parte P, que é a porção correspondente.

Eles se relacionam por uma única equação:

Os três problemas fundamentais consistem em conhecer dois desses elementos e determinar o terceiro.

3.1 Calcular a parte

Quanto é 15% de 80?

P = 0,15 × 80 = 12

3.2 Calcular a taxa

18 corresponde a que porcentagem de 72?

i = P ÷ V = 18 ÷ 72 = 0,25 = 25%

Para calcular a taxa, a base é sempre o divisor. Se a pergunta fosse "72 corresponde a que porcentagem de 18?", a resposta seria 72 ÷ 18 = 4 = 400%.

3.3 Calcular a base

27 corresponde a 15% de qual valor?

V = P ÷ i = 27 ÷ 0,15 = 180

Verificação: 15% de 180 = 0,15 × 180 = 27.

3.4 Visão unificada

Conhecidos	Procurado	Operação
Taxa e base	Parte	P = i · V
Parte e base	Taxa	i = P ÷ V
Parte e taxa	Base	V = P ÷ i

Os três problemas são, na verdade, uma única equação resolvida para variáveis diferentes. Também é possível resolvê-los por regra de três, já que a parte é diretamente proporcional à taxa: a base corresponde a 100%, e a parte, a i%.

4. O fator multiplicador

4.1 Aumento

Quando um valor V sofre um aumento de taxa i, o novo valor é o original mais a parte acrescida:

V_novo = V + i · V = V · (1 + i)

Um aumento de 20% equivale a multiplicar por 1,20. Um aumento de 5% equivale a multiplicar por 1,05.

4.2 Redução

Quando um valor V sofre uma redução de taxa i, o novo valor é o original menos a parte retirada:

V_novo = V − i · V = V · (1 − i)

Um desconto de 30% equivale a multiplicar por 0,70. Uma redução de 5%, por 0,95.

4.3 Tabela de fatores

Variação	Fator
Aumento de 5%	1,05
Aumento de 12%	1,12
Aumento de 50%	1,50
Aumento de 100%	2,00
Aumento de 150%	2,50
Redução de 5%	0,95
Redução de 18%	0,82
Redução de 30%	0,70
Redução de 75%	0,25
Redução de 100%	0

4.4 Lendo um fator

O caminho inverso, identificar a variação a partir do fator, é igualmente importante.

• Se o fator f é maior que 1, houve aumento de (f − 1) × 100%.
• Se o fator f é menor que 1, houve redução de (1 − f) × 100%.

Fator	Leitura
1,35	aumento de 35%
2,50	aumento de 150% (e não de 250%)
0,82	redução de 18%
0,40	redução de 60%

Por que o fator é a ferramenta central. Ele transforma qualquer variação percentual em uma multiplicação. Isso permite:

• calcular o valor final em uma única operação;
• encadear várias variações multiplicando os fatores;
• desfazer uma variação dividindo pelo fator.

Os próximos tópicos são aplicações dessa ideia.

5. Variação percentual

5.1 Definição

A variação percentual mede quanto um valor mudou em relação ao valor inicial:

O resultado é positivo quando há aumento e negativo quando há redução.

Exemplo. O preço de um produto passou de R$ 1,20 para R$ 1,50.

(1,50 − 1,20) ÷ 1,20 = 0,30 ÷ 1,20 = 0,25 → aumento de 25%

De forma equivalente, a variação percentual é o fator menos 1: 1,50 ÷ 1,20 = 1,25, ou seja, aumento de 25%.

5.2 A assimetria das variações

A base da variação percentual é sempre o valor inicial. Por isso, subir e descer entre os mesmos dois valores não dá a mesma porcentagem.

• De 80 para 100: (100 − 80) ÷ 80 = 20 ÷ 80 = aumento de 25%.
• De 100 para 80: (80 − 100) ÷ 100 = −20 ÷ 100 = redução de 20%.

A diferença absoluta é a mesma (20 unidades), mas as bases são diferentes. Essa assimetria explica muitas "pegadinhas" do exame e é o fundamento da seção 6.4.

5.3 Pontos percentuais e variação percentual

Quando a grandeza que varia já é uma porcentagem, como taxa de desemprego, de juros, de inflação ou de aprovação, há duas formas de descrever a mudança.

• A variação em pontos percentuais (p.p.) é a diferença simples entre as duas taxas.
• A variação percentual é a variação relativa, calculada sobre a taxa inicial.

Exemplo. A inflação anual passou de 4% para 5%.

• Em pontos percentuais: 5 − 4 = 1 p.p.
• Em variação percentual: (5 − 4) ÷ 4 = 0,25, um aumento de 25% em relação à inflação anterior.

Dizer "a inflação subiu 1%" é impreciso e, em rigor, incorreto: um aumento de 1% sobre 4% levaria a taxa a 4,04%. Itens do ENEM ligados à habilidade H4 exploram exatamente essa distinção.

6. Aumentos e reduções sucessivos

6.1 O princípio

Quando um valor sofre várias variações percentuais seguidas, cada nova taxa incide sobre o valor já modificado, e não sobre o valor original. Por isso, as taxas não se somam. O que se faz é multiplicar os fatores:

6.2 Exemplos fundamentais

Aumento de 10% seguido de redução de 10%.

1,10 × 0,90 = 0,99

O valor final é 99% do inicial, ou seja, houve uma perda de 1%. O valor não volta ao original. Isso acontece porque a redução de 10% incidiu sobre uma base maior do que aquela sobre a qual o aumento foi calculado.

Com números: um produto de R$ 100 sobe para R$ 110. Um desconto de 10% sobre R$ 110 retira R$ 11, e o preço final é R$ 99.

Dois aumentos de 20%.

1,20 × 1,20 = 1,44

O aumento acumulado é de 44%, e não de 40%. Os 4 pontos a mais são o "aumento sobre o aumento": 20% de 20%.

Aumento de 30% seguido de redução de 20%.

1,30 × 0,80 = 1,04 → aumento acumulado de 4%

6.3 A ordem não importa

Como a multiplicação é comutativa, aplicar primeiro o aumento e depois o desconto dá o mesmo resultado que aplicar primeiro o desconto e depois o aumento:

1,10 × 0,90 = 0,90 × 1,10 = 0,99

Em itens que perguntam se é "melhor" receber o desconto antes ou depois do reajuste, a resposta é que o resultado final é o mesmo.

6.4 Desfazer uma variação

Para que um valor volte ao original, o fator da segunda variação precisa ser o inverso do fator da primeira.

Uma redução de 20% é desfeita por qual aumento?

O fator da redução é 0,80. O inverso é 1 ÷ 0,80 = 1,25. É preciso um aumento de 25%.

Um aumento de 25% é desfeito por qual redução?

O fator do aumento é 1,25. O inverso é 1 ÷ 1,25 = 0,80. É preciso uma redução de 20%.

Uma queda de 50% é recuperada com qual alta?

O fator da queda é 0,50. O inverso é 2. É preciso uma alta de 100%, ou seja, o valor precisa dobrar.

Esse resultado tem consequências práticas importantes, por exemplo em investimentos. Uma aplicação que perde metade do valor precisa dobrar apenas para voltar ao ponto de partida.

6.5 Taxas iguais repetidas

Se a mesma taxa i se repete n vezes, o fator acumulado é uma potência:

Exemplo. Uma inflação de 0,5% ao mês, durante 12 meses, acumula:

1,005¹² ≈ 1,0617 → aproximadamente 6,17% no ano

O resultado é maior que 12 × 0,5% = 6%, porque cada mês incide sobre os preços já reajustados. Esse é o princípio dos juros compostos e do crescimento exponencial, desenvolvido nos blocos 18 e 21.

7. Porcentagem reversa

7.1 O problema

Na porcentagem reversa, conhece-se o valor depois da variação e quer-se o valor antes dela. Como o valor final é o original multiplicado pelo fator, o caminho de volta é a divisão pelo fator:

7.2 Depois de um aumento

Um produto custa R$ 138,00 após um aumento de 15%. Qual era o preço antes do aumento?

Original × 1,15 = 138
Original = 138 ÷ 1,15 = R$ 120,00

Verificação: 15% de 120 = 18, e 120 + 18 = 138.

7.3 Depois de uma redução

Um cliente pagou R$ 84,00 por um produto com 30% de desconto. Qual era o preço sem desconto?

Original × 0,70 = 84
Original = 84 ÷ 0,70 = R$ 120,00

7.4 Depois de variações sucessivas

Após um aumento de 10% seguido de um desconto de 20%, um produto passou a custar R$ 176,00. Qual era o preço inicial?

O fator acumulado é 1,10 × 0,80 = 0,88.
Original = 176 ÷ 0,88 = R$ 200,00

7.5 O erro clássico

Diante do primeiro problema (R$ 138,00 após aumento de 15%), muitos candidatos calculam 15% de 138 e subtraem:

138 − 20,70 = R$ 117,30

Esse resultado está errado. Os 15% foram calculados sobre o preço antigo, não sobre o novo. Retirar 15% do valor final é aplicar a taxa à base errada. Como visto na seção 5.2, a redução necessária para desfazer um aumento de 15% é menor que 15%: aproximadamente 13,04%, já que 1 ÷ 1,15 ≈ 0,8696.

8. Porcentagem de porcentagem e porcentagens de grupos

8.1 Porcentagem de uma porcentagem

Em uma cidade, 40% da população é adulta, e 30% dos adultos praticam atividade física regularmente. Que porcentagem da população total é formada por adultos que praticam atividade física?

0,30 × 0,40 = 0,12 = 12%

Para calcular "x% de y%", multiplicam-se as formas decimais. O resultado continua sendo uma porcentagem da base mais ampla, que aqui é a população total.

8.2 Combinar porcentagens de grupos diferentes

A turma A tem 40 alunos, dos quais 60% foram aprovados. A turma B tem 60 alunos, dos quais 80% foram aprovados. Qual é a porcentagem de aprovação no conjunto das duas turmas?

O erro comum é fazer a média simples: (60% + 80%) ÷ 2 = 70%. Ele ignora que as turmas têm tamanhos diferentes. O correto é voltar às quantidades:

• aprovados em A: 0,60 × 40 = 24;
• aprovados em B: 0,80 × 60 = 48;
• total: (24 + 48) ÷ (40 + 60) = 72 ÷ 100 = 72%.

O resultado é uma média ponderada das porcentagens, com pesos iguais aos tamanhos dos grupos. Ele fica mais próximo da porcentagem do grupo maior. Esse raciocínio é essencial na leitura de pesquisas e dados estatísticos (bloco 5).

9. Porcentagem nos contextos do ENEM

9.1 Promoções e descontos

Promoções são frequentemente apresentadas de forma que dificulta a comparação. A estratégia é sempre converter a oferta em desconto percentual equivalente.

"Leve 3, pague 2". Paga-se 2/3 do preço normal. O desconto equivalente é 1/3, ou seja, cerca de 33,3% sobre o total.

"Leve 4, pague 3". Paga-se 3/4 do preço normal. O desconto equivalente é 25%.

"Segunda unidade com 50% de desconto". Por duas unidades, paga-se 1 + 0,5 = 1,5 preço, ou 0,75 preço por unidade. O desconto equivalente é 25% no par, e não 50%.

9.2 Reajuste salarial e inflação: o ganho real

Um salário reajustado em 5% num período de inflação de 8% perde poder de compra. Mas a perda não é de 3%. O poder de compra é a razão entre o fator do salário e o fator dos preços:

1,05 ÷ 1,08 ≈ 0,9722 → perda real de aproximadamente 2,78%

O cálculo correto envolve divisão de fatores, e não subtração de taxas. A subtração (5% − 8% = −3%) é apenas uma aproximação, que piora quanto maiores forem as taxas.

9.3 Impostos "por fora" e "por dentro"

Considere um produto cujo preço sem imposto é R$ 80,00, sujeito a um imposto de 20%.

• Imposto por fora: a taxa incide sobre o preço sem imposto. O preço final é 80 × 1,20 = R$ 96,00.
• Imposto por dentro: a taxa incide sobre o próprio preço final, e o imposto representa 20% do valor cobrado. Assim, os R$ 80,00 correspondem a 80% do preço final, e o preço final é 80 ÷ 0,80 = R$ 100,00.

A mesma alíquota produz preços finais diferentes conforme a base de cálculo. Esse é mais um exemplo da importância de identificar a base.

9.4 Concentrações percentuais

Em Química e nas Ciências da Saúde, concentrações são frequentemente expressas em porcentagem.

O soro fisiológico a 0,9% (m/V) contém 0,9 g de cloreto de sódio em cada 100 mL de solução, ou seja, 9 g por litro. Esse é o mesmo valor usado no artigo de Razão e Proporção. Uma bolsa de 500 mL contém:

0,9 g × 5 = 4,5 g de sal

O álcool 70% contém 70 mL de álcool em cada 100 mL de solução.

9.5 Gráficos de setores

Em um gráfico de setores, o ângulo de cada setor é proporcional à porcentagem que ele representa:

Um setor de 25% ocupa 90°. Um setor de 18% ocupa 0,18 × 360° = 64,8°.

Na leitura de gráficos, é preciso identificar se as porcentagens se referem ao mesmo total. Somar porcentagens de grupos diferentes é um erro frequente.

9.6 Razoabilidade dos resultados

A habilidade H4 pede que o candidato avalie se um resultado numérico é plausível. Algumas verificações rápidas:

• um desconto nunca pode deixar o preço negativo;
• após um aumento, o valor final é maior que o inicial;
• a porcentagem de um grupo dentro de outro não pode superar 100%;
• dois aumentos sucessivos de i resultam em mais de 2i;
• a porcentagem do conjunto fica entre as porcentagens dos grupos que o compõem.

10. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Taxa percentual (i)	Parte (P)	A taxa é um número puro; a parte tem a unidade da base
Variação em pontos percentuais	Variação percentual	A primeira é a diferença entre taxas; a segunda é relativa à taxa inicial
Aumento de i seguido de redução de i	Retorno ao valor original	O resultado final é menor que o original, pelo fator 1 − i²
Soma de taxas sucessivas	Taxa acumulada	A acumulada é o produto dos fatores menos 1
Porcentagem reversa (dividir pelo fator)	Retirar a taxa do valor final	A taxa se aplica à base original, não ao valor final
Média simples de porcentagens	Porcentagem do conjunto	A do conjunto é ponderada pelos tamanhos dos grupos
Fator 2,5	Aumento de 250%	Fator 2,5 indica aumento de 150%
Imposto por fora	Imposto por dentro	Bases de cálculo diferentes: preço sem imposto ou preço final

11. Erros recorrentes e como evitá-los

Aplicar a taxa à base errada. É o erro de maior impacto, presente na porcentagem reversa e nas variações sucessivas. Controle: antes de calcular, identifique explicitamente o todo de referência.

Somar taxas sucessivas. Dois aumentos de 20% não resultam em 40%. Controle: multiplique os fatores.

Supor que aumentar e reduzir pela mesma taxa devolve o valor original. Controle: lembre que (1 + i)(1 − i) = 1 − i², que é sempre menor que 1.

Confundir pontos percentuais com variação percentual. Controle: quando a grandeza já é uma taxa, pergunte se o enunciado pede a diferença ou a variação relativa.

Ler o fator como taxa. Um fator de 1,38 indica aumento de 38%, e não de 138%. Controle: subtraia 1 do fator.

Fazer média simples de porcentagens de grupos de tamanhos diferentes. Controle: volte às quantidades absolutas.

Usar a base final na variação percentual. Controle: a base é sempre o valor inicial.

12. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H3, nível fácil)

Duas lojas vendem o mesmo produto por R$ 45,00 a unidade. A loja A oferece a promoção "leve 3, pague 2", e a loja B concede 30% de desconto em cada unidade. Um cliente que comprar 3 unidades pagará:

A) menos na loja A, com diferença de R$ 4,50.
B) menos na loja B, com diferença de R$ 4,50.
C) o mesmo valor nas duas lojas.
D) menos na loja A, com diferença de R$ 13,50.
E) menos na loja B, com diferença de R$ 9,00.

Gabarito: A

Resolução.

• Na loja A, o cliente paga 2 × 45 = R$ 90,00.
• Na loja B, paga 3 × 45 × 0,70 = R$ 94,50.

A loja A é mais barata em R$ 4,50.

Análise dos distratores. A alternativa C atrai quem aproxima o desconto de 1/3 (cerca de 33%) a 30% sem calcular. A alternativa D corresponde ao desconto de uma única unidade na loja B (30% de 45 = 13,50), comparado de forma equivocada.

Questão 2 (H3, nível médio)

O preço de um produto sofreu um reajuste de 20% em janeiro e outro de 15% em fevereiro, sempre sobre o preço vigente. O aumento acumulado no período foi de:

A) 3%
B) 30%
C) 35%
D) 38%
E) 138%

Gabarito: D

Resolução. O fator acumulado é 1,20 × 1,15 = 1,38, o que corresponde a um aumento de 38%.

Análise dos distratores.

• C: soma das taxas.
• E: leitura do fator como taxa.
• A: subtração das taxas.

Questão 3 (H4, nível médio)

A taxa de desemprego de uma região passou de 8% para 10% da população economicamente ativa. Sobre essa mudança, a afirmação correta é:

A) a taxa de desemprego aumentou 2%.
B) a taxa de desemprego aumentou 20%.
C) a taxa aumentou 2 pontos percentuais, o que corresponde a um aumento relativo de 25%.
D) a taxa aumentou 2 pontos percentuais, o que corresponde a um aumento relativo de 20%.
E) a taxa aumentou 25 pontos percentuais.

Gabarito: C

Resolução. A diferença entre as taxas é 10 − 8 = 2 pontos percentuais. A variação relativa é 2 ÷ 8 = 0,25, ou seja, 25%.

Análise dos distratores.

• A: confunde pontos percentuais com variação percentual.
• D: calcula a variação sobre a taxa final (2 ÷ 10).
• E: troca a variação relativa por pontos percentuais.

Questão 4 (H3, nível médio)

Uma pessoa pagou R$ 255,00 por uma peça de roupa após receber um desconto de 15%. O preço da peça sem desconto era:

A) R$ 270,00
B) R$ 293,25
C) R$ 300,00
D) R$ 340,00
E) R$ 1.700,00

Gabarito: C

Resolução. O valor pago é o preço original multiplicado por 0,85. Então o preço original é 255 ÷ 0,85 = R$ 300,00.

Análise dos distratores.

• B: o candidato acrescenta 15% sobre o valor pago, aplicando a taxa à base errada.
• A: soma 15 reais ao valor pago.
• D: divide por 0,75.
• E: divide pela taxa (0,15) em vez de dividir pelo fator.

Questão 5 (H5, nível difícil)

Uma categoria profissional recebeu reajuste salarial de 6% em um ano no qual a inflação acumulada foi de 10%. A perda de poder de compra dessa categoria foi de, aproximadamente:

A) 3,6%
B) 4,0%
C) 4,6%
D) 6,0%
E) 16,0%

Gabarito: A

Resolução. O poder de compra é dado por 1,06 ÷ 1,10 ≈ 0,9636. A perda é de aproximadamente 3,6%.

Análise dos distratores.

• B: o candidato subtrai as taxas.
• C: multiplica o fator do salário por (1 − 0,10), tratando a inflação como um desconto no salário.

O item avalia a compreensão de que a comparação entre variações relativas exige divisão de fatores.

Questão 6 (H3 e leitura de dados, nível médio)

Em uma escola, a turma A tem 30 alunos e taxa de aprovação de 70%. A turma B tem 50 alunos e taxa de aprovação de 90%. A taxa de aprovação considerando as duas turmas em conjunto é:

A) 75,0%
B) 80,0%
C) 82,5%
D) 85,0%
E) 160,0%

Gabarito: C

Resolução.

• Aprovados em A: 0,70 × 30 = 21.
• Aprovados em B: 0,90 × 50 = 45.
• Taxa do conjunto: 66 ÷ 80 = 0,825 = 82,5%.

Análise dos distratores.

• B: média simples das porcentagens, que ignora o tamanho das turmas.
• E: soma das porcentagens.

Questão 7 (H4, nível difícil)

As ações de uma empresa sofreram uma desvalorização de 40% em um mês. Para que voltem ao valor que tinham antes da queda, precisam se valorizar, aproximadamente:

A) 40,0%
B) 60,0%
C) 66,7%
D) 140,0%
E) 166,7%

Gabarito: C

Resolução. O fator da queda é 0,60. Para retornar ao valor inicial, o fator da alta deve ser 1 ÷ 0,60 ≈ 1,667, o que corresponde a uma valorização de aproximadamente 66,7%.

Análise dos distratores.

• A: supõe simetria entre queda e alta.
• B: confunde o fator remanescente (0,60) com a taxa.
• E: lê o fator 1,667 como taxa.

13. Perguntas frequentes

Porcentagem é uma razão?

Sim. É uma razão cujo consequente é 100. Por isso, tudo o que vale para razões e proporções vale para porcentagens.

Existe porcentagem maior que 100%?

Sim. Ela indica uma quantidade maior que a base. Um aumento de 150% leva o valor a 2,5 vezes o original.

Por que dois aumentos de 10% não dão 20%?

Porque o segundo aumento incide sobre o valor já aumentado. O fator acumulado é 1,1 × 1,1 = 1,21, ou seja, 21%.

Se um preço sobe 10% e depois cai 10%, ele volta ao valor inicial?

Não. Termina 1% abaixo do original, porque 1,1 × 0,9 = 0,99.

Como calcular o preço antes de um desconto?

Divida o valor com desconto pelo fator. Por exemplo, após 20% de desconto, divida por 0,80. Retirar a taxa do valor final dá resultado errado.

Qual a diferença entre ponto percentual e porcentagem?

Ponto percentual é a diferença entre duas taxas. Porcentagem, nesse contexto, é a variação relativa. De 4% para 5%, a alta é de 1 ponto percentual, ou 25%.

Como calcular porcentagens sem calculadora?

Use as porcentagens de referência (1%, 5%, 10%, 25%, 50%) e decomponha a taxa procurada. Quando for mais fácil, troque os números: 8% de 50 é igual a 50% de 8.

Por que não posso fazer a média das porcentagens de dois grupos?

Porque os grupos podem ter tamanhos diferentes. A porcentagem do conjunto é uma média ponderada pelos tamanhos dos grupos.

O que é o fator multiplicador?

É o número pelo qual se multiplica um valor para aplicar uma variação percentual: 1 + i para aumentos e 1 − i para reduções.

15. Síntese

Porcentagem é uma razão de consequente 100. Ela pode ser expressa nas formas percentual, fracionária e decimal, e só ganha significado quando aplicada a uma base, cuja identificação correta é o primeiro passo de qualquer resolução.

Os problemas elementares se resumem a uma equação, P = i · V, resolvida para a parte, a taxa ou a base.

O fator multiplicador, (1 + i) para aumentos e (1 − i) para reduções, unifica todo o tema:

• variações sucessivas se acumulam pelo produto dos fatores;
• variações se desfazem pelo inverso do fator;
• a porcentagem reversa se resolve dividindo o valor final pelo fator.

A variação percentual tem sempre como base o valor inicial, o que gera a assimetria entre aumentos e reduções. Quando a grandeza já é uma taxa, é preciso distinguir pontos percentuais de variação relativa. Porcentagens de grupos diferentes se combinam por média ponderada.

Situação	Operação
Calcular a parte	P = i · V
Calcular a taxa	i = P ÷ V
Calcular a base	V = P ÷ i
Aumento de i	multiplicar por (1 + i)
Redução de i	multiplicar por (1 − i)
Variações sucessivas	multiplicar os fatores
Mesma taxa repetida n vezes	(1 + i)ⁿ
Valor antes da variação	dividir pelo fator
Desfazer uma variação	aplicar o inverso do fator
Variação percentual	(final − inicial) ÷ inicial
Diferença entre duas taxas	pontos percentuais
Porcentagem do conjunto	média ponderada pelos tamanhos dos grupos

16. Glossário

Termo	Definição
Porcentagem	Razão de consequente 100, indicada por %
Taxa percentual	Número que expressa a porcentagem, geralmente usado na forma decimal nos cálculos
Base	Valor total ao qual a taxa se aplica
Parte	Valor correspondente à aplicação da taxa sobre a base
Fator multiplicador	Número (1 + i) ou (1 − i) que aplica uma variação percentual
Fator acumulado	Produto dos fatores de variações sucessivas
Variação percentual	Razão entre a variação absoluta e o valor inicial
Ponto percentual	Unidade da diferença entre duas taxas percentuais
Porcentagem reversa	Determinação do valor original a partir do valor após a variação
Ganho (ou perda) real	Variação do poder de compra, obtida pela divisão entre o fator do rendimento e o fator da inflação
Por mil (‰)	Razão de consequente 1.000