Matrizes

Uma tabela de números é uma das formas mais comuns de organizar informação: as notas de uma turma em vários bimestres, as vendas de várias lojas em vários meses, os preços de produtos em diferentes fornecedores, as distâncias entre cidades. Na matemática, uma tabela retangular de números, tratada como um único objeto, é uma matriz.

Apresentação

A multiplicação de matrizes como conta de lanchonete. Cada elemento do produto é uma linha vezes uma coluna.

A força das matrizes está em permitir operar com a tabela inteira de uma só vez:

• somar vendas de dois meses;
• aplicar um reajuste a todos os preços;
• calcular o custo total de vários pedidos em vários fornecedores com uma única multiplicação.

As matrizes são a base da computação gráfica, da criptografia, da resolução de grandes sistemas de equações e da análise de redes.

No ENEM, o tema aparece sobretudo na leitura e na operação com dados organizados em tabelas. Mobiliza a Competência 6 (H24 e H25, interpretação de dados em tabelas) e a Competência 5 (H19 e H21, representação algébrica e resolução de problemas). Comparada à de outros conteúdos, sua incidência é menor. Mas, quando aparece, costuma exigir a compreensão do significado da multiplicação de matrizes, e não apenas o algoritmo.

Este artigo apresenta:

1. o conceito de matriz e sua notação;
2. os tipos de matrizes, a transposta e a igualdade;
3. a adição, a subtração e a multiplicação por número;
4. a multiplicação de matrizes, seu significado e suas propriedades;
5. aplicações em redes de conexões;
6. o determinante (noção), com suas ligações à geometria analítica e aos sistemas;
7. a matriz inversa (noção) e uma aplicação em criptografia.

Pré-requisitos: operações com números inteiros e o artigo de Sistemas de Equações.

1. Conceito de matriz

1.1 Da tabela à matriz

Considere as notas de três alunos em quatro bimestres:

	1º bim.	2º bim.	3º bim.	4º bim.
Ana	7	8	6	9
Bruno	5	6	7	8
Clara	9	9	8	10

Retirando os rótulos, sobra uma disposição retangular de números com 3 linhas e 4 colunas. Essa disposição é uma matriz 3 × 4 (lê-se "três por quatro").

A ordem é sempre "linhas por colunas", nessa sequência.

1.2 Notação e elementos

As matrizes são indicadas por letras maiúsculas, e seus elementos por letras minúsculas com dois índices:

Na matriz de notas, a₂₃ = 7: é a nota de Bruno (linha 2) no 3º bimestre (coluna 3).

A matriz inteira é escrita entre colchetes ou parênteses, ou abreviada por A = (aᵢⱼ)ₘₓₙ.

1.3 Lei de formação

Uma matriz pode ser definida por uma regra que dá cada elemento em função da sua posição.

Exemplo 1. Construir a matriz A, de ordem 2 × 3, com aᵢⱼ = 2i − j.

	j = 1	j = 2	j = 3
i = 1	2 − 1 = 1	2 − 2 = 0	2 − 3 = −1
i = 2	4 − 1 = 3	4 − 2 = 2	4 − 3 = 1

A = [ 1 0 −1 ; 3 2 1 ]

Nesta notação, o ponto e vírgula separa as linhas.

Exemplo 2. A matriz 3 × 3 definida por aᵢⱼ = 1 se i = j, e aᵢⱼ = 0 se i ≠ j, é:

[ 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1 ]

Essa é a matriz identidade (seção 2.3).

2. Tipos de matrizes

2.1 Quanto à forma

Tipo	Ordem	Exemplo
Matriz linha	1 × n	[ 2 5 −1 ]
Matriz coluna	m × 1	[ 3 ; 0 ; 7 ]
Matriz quadrada	n × n	[ 1 2 ; 3 4 ]
Matriz nula	qualquer, com todos os elementos iguais a 0	[ 0 0 ; 0 0 ]

2.2 Elementos da matriz quadrada

Em uma matriz quadrada de ordem n:

• a diagonal principal é formada pelos elementos com i = j: a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ;
• a diagonal secundária é formada pelos elementos com i + j = n + 1;
• o traço é a soma dos elementos da diagonal principal.

Exemplo. Na matriz [ 2 7 1 ; 0 5 3 ; 4 6 −1 ]:

• diagonal principal: 2, 5, −1;
• diagonal secundária: 1, 5, 4;
• traço: 2 + 5 − 1 = 6.

2.3 Matrizes quadradas especiais

• Matriz diagonal: todos os elementos fora da diagonal principal são nulos.
• Matriz identidade (Iₙ): matriz diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Ela desempenha, na multiplicação de matrizes, o papel que o número 1 desempenha na multiplicação de números (seção 4.5).
• Matriz triangular superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.
• Matriz triangular inferior: todos os elementos acima da diagonal principal são nulos.

2.4 Matriz transposta

Se A é m × n, então Aᵗ é n × m.

Exemplo. Se A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ], de ordem 2 × 3, então:

Aᵗ = [ 1 4 ; 2 5 ; 3 6 ], de ordem 3 × 2

Uma matriz quadrada é simétrica quando A = Aᵗ, ou seja, quando aᵢⱼ = aⱼᵢ. Os elementos são espelhados em relação à diagonal principal.

Uma tabela de distâncias entre cidades é um exemplo natural de matriz simétrica: a distância de A até B é a mesma que de B até A.

2.5 Igualdade de matrizes

Exemplo. Determinar x e y para que:

[ x + y 3 ; 2 x − y ] = [ 7 3 ; 2 1 ]

1. Igualando os elementos correspondentes: x + y = 7 e x − y = 1.
2. Resolvendo o sistema: x = 4 e y = 3.

3. Adição, subtração e multiplicação por número

3.1 Adição e subtração

Exemplo.

[ 1 −2 ; 0 3 ] + [ 4 2 ; −1 1 ] = [ 5 0 ; −1 4 ]

Matrizes de ordens diferentes não podem ser somadas.

Exemplo em contexto. Duas lojas vendem três produtos. As matrizes de vendas de janeiro (J) e fevereiro (F) têm as lojas nas linhas e os produtos nas colunas:

J = [ 10 15 20 ; 12 18 25 ]
F = [ 14 11 22 ; 9 20 30 ]

O total do bimestre é:

J + F = [ 24 26 42 ; 21 38 55 ]

O elemento 55, na linha 2 e coluna 3, é o total de unidades do produto 3 vendidas pela loja 2 nos dois meses.

Propriedades da adição:

• comutativa: A + B = B + A;
• associativa: (A + B) + C = A + (B + C);
• elemento neutro: A + 0 = A, em que 0 é a matriz nula;
• matriz oposta: A + (−A) = 0, em que −A tem todos os elementos com sinal trocado.

3.2 Multiplicação por um número

Exemplo.

3 · [ 1 −2 ; 0 3 ] = [ 3 −6 ; 0 9 ]

Exemplo em contexto. Uma tabela de preços P sofre um reajuste de 10%. A nova tabela é 1,1 · P: todos os preços são multiplicados pelo fator 1,1, como no artigo de Porcentagem.

4. Multiplicação de matrizes

4.1 Condição de existência

Uma forma de memorizar: escreva as ordens lado a lado, (m × n) · (n × p). Os números "de dentro" devem ser iguais, e os "de fora" dão a ordem do resultado.

Exemplo. Se A é 3 × 2 e B é 2 × 4:

• AB existe e é 3 × 4;
• BA não existe, porque B tem 4 colunas e A tem 3 linhas.

4.2 A regra: linha por coluna

Exemplo. Sejam A = [ 1 2 ; 3 4 ] e B = [ 5 6 ; 7 8 ].

Elemento	Linha de A × coluna de B	Valor
c₁₁	1 · 5 + 2 · 7	19
c₁₂	1 · 6 + 2 · 8	22
c₂₁	3 · 5 + 4 · 7	43
c₂₂	3 · 6 + 4 · 8	50

AB = [ 19 22 ; 43 50 ]

Exemplo com matrizes não quadradas. Sejam A = [ 2 1 0 ; 1 3 2 ], de ordem 2 × 3, e B = [ 4 ; 5 ; 1 ], de ordem 3 × 1. O produto é 2 × 1:

• primeira linha: 2 · 4 + 1 · 5 + 0 · 1 = 13;
• segunda linha: 1 · 4 + 3 · 5 + 2 · 1 = 21.

AB = [ 13 ; 21 ]

4.3 O significado da multiplicação

A regra "linha por coluna" não é arbitrária. Ela corresponde exatamente ao cálculo de "quantidade vezes preço, somado".

Exemplo. Em uma lanchonete, duas mesas fizeram os seguintes pedidos:

	Sanduíche	Suco	Sobremesa
Mesa 1	2	2	1
Mesa 2	3	1	2

Os preços dos itens, em reais, em duas unidades da rede, X e Y, são:

	Unidade X	Unidade Y
Sanduíche	15	14
Suco	6	7
Sobremesa	8	7

O produto da matriz de pedidos (2 × 3) pela matriz de preços (3 × 2) é uma matriz 2 × 2:

	Unidade X	Unidade Y
Mesa 1	2·15 + 2·6 + 1·8 = 50	2·14 + 2·7 + 1·7 = 49
Mesa 2	3·15 + 1·6 + 2·8 = 67	3·14 + 1·7 + 2·7 = 63

Cada elemento do produto é o valor da conta de uma mesa em uma unidade. A condição de existência também ganha sentido: a matriz de pedidos tem uma coluna para cada item, e a de preços, uma linha para cada item. Os itens precisam "casar".

Média ponderada como produto de matrizes. As notas de um aluno, [ 7 8 6 ], multiplicadas pela coluna de pesos [ 2 ; 3 ; 5 ], dão 14 + 24 + 30 = 68. Dividindo pela soma dos pesos, a média ponderada é 6,8, como no artigo de Estatística.

4.4 A multiplicação não é comutativa

Com as matrizes A e B da seção 4.2:

BA = [ 5·1 + 6·3 5·2 + 6·4 ; 7·1 + 8·3 7·2 + 8·4 ] = [ 23 34 ; 31 46 ]

Como AB = [ 19 22 ; 43 50 ], temos AB ≠ BA.

Em muitos casos, apenas um dos produtos existe, como visto na seção 4.1.

4.5 Propriedades

Propriedade	Vale?
Comutativa: AB = BA	não, em geral
Associativa: (AB)C = A(BC)	sim
Distributiva: A(B + C) = AB + AC	sim
Elemento neutro: A · I = I · A = A	sim, para A quadrada de mesma ordem que I
Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0	não

O último caso merece atenção. Com números, se a · b = 0, então a = 0 ou b = 0. Com matrizes, isso não vale:

[ 1 0 ; 0 0 ] · [ 0 0 ; 0 1 ] = [ 0 0 ; 0 0 ]

Nenhuma das duas matrizes é nula, mas o produto é.

4.6 Potências de matrizes

Para uma matriz quadrada, A² = A · A, A³ = A · A · A, e assim por diante.

Exemplo. Com A = [ 1 1 ; 0 1 ]:

• A² = [ 1 2 ; 0 1 ];
• A³ = [ 1 3 ; 0 1 ];
• em geral, Aⁿ = [ 1 n ; 0 1 ].

Atenção: A² não é obtida elevando cada elemento ao quadrado. No exemplo, elevando elemento a elemento, obteríamos [ 1 1 ; 0 1 ], que é diferente de A².

5. Aplicação: matrizes de conexões

Uma rede de conexões entre locais pode ser representada por uma matriz de adjacência: o elemento da linha i e coluna j é 1 se há ligação direta do local i para o local j, e 0 caso contrário.

Exemplo. Uma companhia aérea tem voos diretos de A para B, de A para C, de B para C e de C para A. Com as cidades A, B e C nas linhas (origem) e nas colunas (destino):

M = [ 0 1 1 ; 0 0 1 ; 1 0 0 ]

O produto M² conta o número de trajetos com exatamente uma escala:

M² = [ 1 0 1 ; 1 0 0 ; 0 1 1 ]

Por exemplo, o elemento da linha A e coluna C é 1. Há um trajeto de A até C com uma escala: A → B → C. O elemento da linha A e coluna A também é 1: é o trajeto A → C → A.

A regra "linha por coluna" está contando, para cada par de cidades, quantas cidades intermediárias permitem a conexão.

6. Determinante (noção)

6.1 Definição para matrizes 2 × 2

Toda matriz quadrada tem associado um número chamado determinante, indicado por det A.

Para a matriz A = [ a b ; c d ]:

Isto é, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

Exemplo. det [ 3 2 ; 1 4 ] = 3 · 4 − 2 · 1 = 10.

6.2 Regra de Sarrus para matrizes 3 × 3

1. Repita as duas primeiras colunas à direita da matriz.
2. Some os produtos das três diagonais que descem da esquerda para a direita.
3. Subtraia os produtos das três diagonais que sobem da esquerda para a direita.

Exemplo. det [ 1 2 3 ; 0 1 4 ; 5 6 0 ]:

• diagonais descendentes: 1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6 = 0 + 40 + 0 = 40;
• diagonais ascendentes: 3·1·5 + 1·4·6 + 2·0·0 = 15 + 24 + 0 = 39;
• determinante: 40 − 39 = 1.

6.3 Ligações com outros artigos

Área de um triângulo (Geometria Analítica). Para os vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C):

Para A(1, 1), B(5, 1) e C(3, 4):

• descendentes: 1·1·1 + 1·1·3 + 1·5·4 = 24;
• ascendentes: 1·1·3 + 1·1·4 + 1·5·1 = 12;
• D = 12, e a área é 6, o mesmo resultado obtido no artigo de Geometria Analítica.

Quando D = 0, os três pontos estão alinhados.

Sistemas lineares (Sistemas de Equações). Para o sistema a₁x + b₁y = c₁ e a₂x + b₂y = c₂, o determinante da matriz dos coeficientes é a₁b₂ − a₂b₁:

• se o determinante é diferente de zero, o sistema tem solução única;
• se é zero, o sistema é impossível ou indeterminado.

Esse é o mesmo critério do artigo de Sistemas de Equações, agora com seu nome próprio.

7. Matriz inversa (noção)

7.1 Definição

A inversa existe somente quando det A ≠ 0.

Para A = [ a b ; c d ], com det A ≠ 0:

Em palavras: troque os elementos da diagonal principal de lugar, troque o sinal dos elementos da diagonal secundária e divida tudo pelo determinante.

Exemplo. Para A = [ 3 2 ; 1 4 ], com det A = 10:

A⁻¹ = (1/10) · [ 4 −2 ; −1 3 ] = [ 0,4 −0,2 ; −0,1 0,3 ]

Verificação: A · A⁻¹ = [ 3·0,4 + 2·(−0,1) 3·(−0,2) + 2·0,3 ; 1·0,4 + 4·(−0,1) 1·(−0,2) + 4·0,3 ] = [ 1 0 ; 0 1 ].

7.2 Aplicação: codificação de mensagens

Uma forma simples de criptografia associa letras a números (A = 1, B = 2, …, Z = 26), agrupa a mensagem em pares e multiplica cada par por uma matriz codificadora M. Quem recebe a mensagem multiplica pela inversa M⁻¹ e recupera o original.

Exemplo. Com M = [ 3 2 ; 1 4 ], a palavra "OI" corresponde ao par (15, 9). Codificando:

• 3 · 15 + 2 · 9 = 63;
• 1 · 15 + 4 · 9 = 51.

A mensagem codificada é (63, 51). Para decodificar, multiplica-se por M⁻¹ = (1/10) · [ 4 −2 ; −1 3 ]:

• (4 · 63 − 2 · 51) ÷ 10 = 150 ÷ 10 = 15;
• (−63 + 3 · 51) ÷ 10 = 90 ÷ 10 = 9.

O par original, (15, 9), corresponde a "OI".

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Ordem m × n	Ordem n × m	A ordem é sempre linhas por colunas
aᵢⱼ	aⱼᵢ	O primeiro índice é a linha; o segundo, a coluna
Adição de matrizes	Multiplicação de matrizes	A adição é elemento a elemento; a multiplicação é linha por coluna
Multiplicação por número	Multiplicação de matrizes	No primeiro caso, cada elemento é multiplicado pelo número
AB	BA	Em geral, são diferentes, e às vezes só um deles existe
A²	elementos ao quadrado	A² = A · A, linha por coluna
Matriz transposta	Matriz inversa	A transposta troca linhas e colunas; a inversa satisfaz A · A⁻¹ = I
Diagonal principal	Diagonal secundária	i = j versus i + j = n + 1
det A = 0	A nula	Uma matriz não nula pode ter determinante zero
Matriz identidade	Matriz de uns	A identidade tem 1 apenas na diagonal principal

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Inverter a ordem de uma matriz. Dizer que uma matriz com 2 linhas e 3 colunas é 3 × 2. Controle: sempre linhas primeiro.

Trocar linha e coluna na leitura de aᵢⱼ. Controle: o primeiro índice indica a linha.

Multiplicar matrizes elemento a elemento. Controle: na multiplicação de matrizes, cada elemento do produto vem de uma linha inteira de A e de uma coluna inteira de B.

Supor que AB = BA. Controle: teste com um exemplo, ou verifique se os dois produtos existem.

Multiplicar matrizes de ordens incompatíveis. Controle: o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda.

Somar matrizes de ordens diferentes. Controle: só se somam matrizes de mesma ordem.

Calcular A² elevando cada elemento ao quadrado. Controle: A² = A · A.

Errar os sinais no determinante e na inversa. Controle: determinante é diagonal principal menos diagonal secundária; na inversa 2 × 2, trocam-se os elementos da principal e os sinais da secundária.

Verificação geral. No produto de matrizes em contexto, confira o significado de cada elemento: ele deve corresponder a uma combinação de "linha" com "coluna" que faça sentido.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H19, nível fácil)

A matriz A, de ordem 3 × 3, é definida por aᵢⱼ = 2i − j. O elemento a₃₂ é:

A) 1
B) 4
C) 5
D) 6
E) −1

Gabarito: B

Resolução. Para i = 3 e j = 2: a₃₂ = 2 · 3 − 2 = 4.

Análise dos distratores.

• A: troca os índices e calcula a₂₃ = 2 · 2 − 3 = 1.
• D: calcula apenas 2i.

Questão 2 (H24, nível fácil)

As matrizes abaixo mostram as quantidades vendidas de três produtos (colunas) por duas lojas (linhas), em janeiro (J) e em fevereiro (F):

J = [ 10 15 20 ; 12 18 25 ]
F = [ 14 11 22 ; 9 20 30 ]

A quantidade total do produto 3 vendida pela loja 2 nos dois meses é:

A) 30
B) 45
C) 55
D) 42
E) 750

Gabarito: C

Resolução. O elemento da linha 2 e coluna 3 de J + F é 25 + 30 = 55.

Análise dos distratores.

• D: soma os elementos da linha 1 (loja 1), em vez da linha 2.
• E: multiplica os elementos, em vez de somá-los.
• A: considera apenas fevereiro.

Questão 3 (H19, nível médio)

A matriz A tem ordem 3 × 2, e a matriz B tem ordem 2 × 4. Sobre os produtos AB e BA, é correto afirmar que:

A) AB tem ordem 3 × 4, e BA não está definido.
B) AB tem ordem 2 × 2.
C) AB e BA têm ordem 3 × 4.
D) AB não está definido.
E) AB tem ordem 4 × 3.

Gabarito: A

Resolução.

• Em AB, o número de colunas de A (2) é igual ao número de linhas de B (2). O produto existe e tem ordem 3 × 4.
• Em BA, o número de colunas de B (4) é diferente do número de linhas de A (3). O produto não existe.

Análise dos distratores.

• B: usa os números "de dentro" como ordem do resultado.
• C: supõe que a multiplicação é comutativa.
• E: inverte a ordem do produto.

Questão 4 (H21, nível médio)

Duas mesas de uma lanchonete fizeram os seguintes pedidos:

	Sanduíche	Suco	Sobremesa
Mesa 1	2	2	1
Mesa 2	3	1	2

Os preços, em reais, em duas unidades da rede são:

	Unidade X	Unidade Y
Sanduíche	15	14
Suco	6	7
Sobremesa	8	7

O valor da conta da mesa 2, se o pedido for feito na unidade Y, é:

A) R$ 49,00
B) R$ 63,00
C) R$ 67,00
D) R$ 28,00
E) R$ 229,00

Gabarito: B

Resolução. É o elemento da linha 2 e coluna 2 do produto das matrizes:

3 · 14 + 1 · 7 + 2 · 7 = 42 + 7 + 14 = 63

Análise dos distratores.

• A: é a conta da mesa 1 na unidade Y.
• C: é a conta da mesa 2 na unidade X.
• E: soma todas as contas.

Questão 5 (H21, nível médio)

Sendo A = [ 1 2 ; 3 4 ] e B = [ 5 6 ; 7 8 ], o elemento da linha 2 e coluna 1 da matriz AB é:

A) 19
B) 21
C) 31
D) 43
E) 50

Gabarito: D

Resolução. Linha 2 de A pela coluna 1 de B: 3 · 5 + 4 · 7 = 15 + 28 = 43.

Análise dos distratores.

• B: multiplica apenas os elementos correspondentes a₂₁ · b₂₁ = 3 · 7.
• C: é o elemento da linha 2 e coluna 1 de BA, e não de AB.
• A e E: são outros elementos de AB.

Questão 6 (H19, nível médio)

O sistema

kx + 2y = 1
3x + 6y = 4

não tem solução única quando k é igual a:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 6

Gabarito: B

Resolução. O determinante da matriz dos coeficientes é k · 6 − 2 · 3 = 6k − 6. O sistema não tem solução única quando esse determinante é zero: 6k − 6 = 0, ou seja, k = 1.

Com k = 1, a primeira equação multiplicada por 3 dá 3x + 6y = 3, incompatível com 3x + 6y = 4. O sistema é impossível.

Análise dos distratores.

• D: iguala apenas os coeficientes de x.
• A: supõe que o sistema perde a solução única quando um coeficiente se anula.

Questão 7 (H21, nível difícil)

Em um sistema de codificação, cada letra corresponde a um número (A = 1, B = 2, …, Z = 26). Cada par (x, y) da mensagem é transformado no par (2x + y, x + y), o que equivale a multiplicá-lo pela matriz M = [ 2 1 ; 1 1 ]. Uma mensagem codificada chegou como (39, 24). O par original é:

A) (15, 9)
B) (9, 15)
C) (102, 63)
D) (39, 24)
E) (63, 39)

Gabarito: A

Resolução.

1. O determinante de M é 2 · 1 − 1 · 1 = 1. A inversa é M⁻¹ = [ 1 −1 ; −1 2 ].
2. Multiplicando: x = 39 − 24 = 15 e y = −39 + 2 · 24 = 9.
3. O par original é (15, 9), que corresponde a "OI".

Verificação: 2 · 15 + 9 = 39 e 15 + 9 = 24.

Análise dos distratores.

• B: inverte a ordem do par.
• C: multiplica novamente pela matriz M, em vez de usar a inversa.
• D: não decodifica a mensagem.

11. Perguntas frequentes

O que significa uma matriz 3 × 4?

Que ela tem 3 linhas e 4 colunas. A ordem é sempre linhas por colunas.

Como identificar o elemento a₂₃?

É o elemento da segunda linha e da terceira coluna.

Quando duas matrizes podem ser somadas?

Quando têm a mesma ordem. A soma é feita elemento a elemento.

Quando duas matrizes podem ser multiplicadas?

Quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda.

Por que a multiplicação de matrizes é feita linha por coluna?

Porque corresponde a cálculos do tipo "quantidade vezes preço, somado". Cada elemento do produto combina uma linha da primeira matriz com uma coluna da segunda.

AB é sempre igual a BA?

Não. Em geral, são diferentes, e muitas vezes apenas um dos produtos existe.

O que é a matriz identidade?

É a matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. Multiplicar por ela não altera a matriz.

Para que serve o determinante?

Entre outros usos, indica se um sistema tem solução única, se a matriz tem inversa, se três pontos estão alinhados e qual é a área de um triângulo dado por coordenadas.

Toda matriz quadrada tem inversa?

Não. Apenas as que têm determinante diferente de zero.

13. Síntese

Uma matriz m × n é uma tabela de números com m linhas e n colunas. O elemento aᵢⱼ ocupa a linha i e a coluna j. Matrizes podem ser definidas por uma lei de formação e classificadas em linha, coluna, quadrada e nula. Nas quadradas, destacam-se as diagonais principal e secundária, o traço e as matrizes diagonal, identidade e triangulares. A transposta troca linhas por colunas, e uma matriz simétrica é igual à sua transposta. Duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem e os mesmos elementos nas mesmas posições.

A adição e a subtração são feitas elemento a elemento, entre matrizes de mesma ordem. A multiplicação por número multiplica cada elemento.

A multiplicação de matrizes exige que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. O resultado tem o número de linhas da primeira e o de colunas da segunda. Cada elemento do produto é obtido multiplicando uma linha por uma coluna, termo a termo, e somando. Essa regra corresponde a cálculos do tipo "quantidade vezes preço, somado". A multiplicação é associativa e distributiva, tem a identidade como elemento neutro, mas não é comutativa, e um produto pode ser nulo sem que nenhum dos fatores seja nulo.

O determinante de uma matriz 2 × 2 é ad − bc, e o de uma 3 × 3 se calcula pela regra de Sarrus. Ele indica se um sistema tem solução única, se três pontos estão alinhados e qual é a área de um triângulo por coordenadas. A matriz inversa existe quando o determinante é diferente de zero e permite, entre outras aplicações, decodificar mensagens.

Situação	Ferramenta
Ler aᵢⱼ	linha i, coluna j
Transposta	trocar linhas por colunas
Igualdade	mesma ordem e elementos correspondentes iguais
Adição	elemento a elemento, mesma ordem
Multiplicação por número	multiplicar cada elemento
Existência de AB	colunas de A = linhas de B
Ordem de AB	linhas de A × colunas de B
Elemento cᵢⱼ de AB	linha i de A × coluna j de B
Contexto quantidade × preço	produto de matrizes
Determinante 2 × 2	ad − bc
Determinante 3 × 3	regra de Sarrus
Inversa 2 × 2	(1/det) · [ d −b ; −c a ]
Solução única de sistema	det ≠ 0

14. Glossário

Termo	Definição
Matriz	Tabela retangular de números organizada em linhas e colunas
Ordem	Número de linhas e de colunas de uma matriz, na forma m × n
Elemento aᵢⱼ	Número na linha i e na coluna j
Matriz quadrada	Matriz com o mesmo número de linhas e de colunas
Diagonal principal	Elementos com i = j
Diagonal secundária	Elementos com i + j = n + 1
Traço	Soma dos elementos da diagonal principal
Matriz identidade	Matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições
Matriz transposta	Matriz obtida trocando linhas por colunas
Matriz simétrica	Matriz igual à sua transposta
Matriz de adjacência	Matriz que registra as conexões diretas entre elementos de uma rede
Determinante	Número associado a uma matriz quadrada
Regra de Sarrus	Procedimento para calcular o determinante de matrizes 3 × 3
Matriz inversa	Matriz A⁻¹ tal que A · A⁻¹ = I