Matemática Financeira Básica

A matemática financeira estuda como o dinheiro se transforma ao longo do tempo e nas trocas comerciais. É o conteúdo do ENEM mais próximo das decisões concretas da vida adulta: comprar à vista ou a prazo, aceitar um empréstimo, calcular a margem de um negócio, entender a multa de um boleto atrasado.

Apresentação

Juros simples. O montante aumenta sempre a mesma quantia.

Na Matriz de Referência, os itens de matemática financeira mobilizam sobretudo habilidades da Competência de área 1:

• H3: resolver situações-problema com conhecimentos numéricos;
• H4: avaliar a razoabilidade de resultados;
• H5: avaliar propostas de intervenção na realidade.

Também mobilizam a Competência de área 4, porque os juros simples crescem de forma proporcional ao tempo. A habilidade H5, em particular, aparece nos itens que pedem a comparação entre formas de pagamento.

Este artigo organiza o tema em três eixos:

1. as relações entre custo, receita e lucro, incluindo margens percentuais e ponto de equilíbrio;
2. o regime de juros simples, suas fórmulas e sua interpretação gráfica;
3. os descontos simples comercial e racional, com aplicação à comparação entre pagamento à vista e a prazo.

A ideia que atravessa todo o artigo é a identificação da base sobre a qual cada taxa incide. Esse é o mesmo princípio central do artigo de Porcentagem.

Pré-requisitos: os artigos de Porcentagem e de Razão, Proporção e Regra de Três, e equações do 1º grau.

1. Custo, receita e lucro

1.1 Conceitos fundamentais

• Custo (C): tudo o que se gasta para produzir ou adquirir o que será vendido.
• Receita (R), ou faturamento: o valor total obtido com as vendas.
• Lucro (L): a diferença entre receita e custo.

Se L > 0, há lucro. Se L < 0, há prejuízo. Se L = 0, a operação está em equilíbrio.

Um erro conceitual comum é tratar faturamento e lucro como sinônimos. Uma empresa pode faturar milhões e ainda assim ter prejuízo, se seus custos forem maiores que a receita.

1.2 Custo fixo e custo variável

Os custos de um negócio se dividem em dois tipos.

• O custo fixo (CF) não depende da quantidade produzida: aluguel, salários administrativos, mensalidade de um sistema.
• O custo variável depende da quantidade produzida: matéria-prima, embalagem, comissão por venda. Chamando de cv o custo variável por unidade, o custo variável total é cv · x, em que x é o número de unidades.

Para x unidades produzidas e vendidas ao preço p cada uma:

As três expressões são funções afins de x. A diferença p − cv é a margem de contribuição de cada unidade: quanto cada venda contribui para pagar os custos fixos e, depois, para gerar lucro.

1.3 Ponto de equilíbrio

O ponto de equilíbrio é a quantidade de unidades em que a receita iguala o custo, ou seja, em que o lucro é zero:

Exemplo. Uma confeitaria tem custo fixo mensal de R$ 3.000,00. Cada bolo custa R$ 15,00 para ser produzido e é vendido por R$ 40,00.

• Margem de contribuição por bolo: 40 − 15 = R$ 25,00.
• Ponto de equilíbrio: 3.000 ÷ 25 = 120 bolos por mês.
• Abaixo de 120 bolos, há prejuízo. Acima disso, cada bolo vendido acrescenta R$ 25,00 ao lucro.
• Com 200 bolos vendidos, o lucro é 200 × 25 − 3.000 = R$ 2.000,00.

No gráfico, o ponto de equilíbrio é a interseção entre a reta da receita e a reta do custo. Esse é um tema que dialoga diretamente com o artigo de Função do Primeiro Grau.

1.4 Lucro percentual: sobre o custo ou sobre a venda?

O lucro pode ser expresso como porcentagem de duas bases diferentes. As duas formas produzem números diferentes para a mesma operação.

Exemplo. Um produto comprado por R$ 80,00 é vendido por R$ 100,00. O lucro é de R$ 20,00.

• Sobre o custo: 20 ÷ 80 = 25%. No comércio, essa taxa é chamada de markup.
• Sobre a venda: 20 ÷ 100 = 20%. Essa taxa é chamada de margem.

O enunciado costuma indicar a base. Na ausência de indicação, a convenção mais usual é considerar o lucro sobre o custo.

1.5 Calculando o preço de venda

Com lucro i sobre o custo, o preço de venda é o custo aumentado em i:

Com lucro i sobre a venda, o lucro é i · V, e o custo corresponde à fração (1 − i) do preço de venda:

Exemplo. Um produto custa R$ 120,00.

• Para lucrar 25% sobre o custo: V = 120 × 1,25 = R$ 150,00.
• Para lucrar 25% sobre a venda: V = 120 ÷ 0,75 = R$ 160,00.

Relação entre as duas taxas. Se o lucro sobre o custo é i_c, o lucro sobre a venda é:

Por exemplo, 25% sobre o custo equivale a 0,25 ÷ 1,25 = 20% sobre a venda. O lucro sobre a venda é sempre menor que o lucro sobre o custo, porque a base (o preço de venda) é maior.

1.6 Prejuízo percentual

O prejuízo também é medido em relação a uma base, que normalmente é o custo.

Um produto que custou R$ 120,00 e foi vendido por R$ 90,00 gerou prejuízo de R$ 30,00. Isso corresponde a 30 ÷ 120 = 25% do custo.

1.7 Remarcação e desconto

Uma estratégia comercial frequente é aumentar o preço e depois anunciar um desconto. O resultado final se obtém multiplicando os fatores, como em qualquer sequência de variações percentuais.

Exemplo. Um comerciante marca seus produtos com preço 50% acima do custo e, em uma liquidação, oferece 20% de desconto. Qual é o lucro final sobre o custo?

1,50 × 0,80 = 1,20 → lucro de 20% sobre o custo

A subtração 50% − 20% = 30% está errada, porque o desconto incide sobre o preço remarcado, e não sobre o custo.

2. Juros simples

2.1 O que são juros

Juros são a remuneração pelo uso de um capital durante um período. Quem empresta dinheiro deixa de usá-lo e cobra por isso. Quem aplica dinheiro recebe juros pelo mesmo motivo.

Os elementos de toda operação com juros são:

Elemento	Símbolo	Significado
Capital	C	Valor inicial emprestado ou aplicado
Taxa de juros	i	Porcentagem cobrada por período, usada na forma decimal
Tempo	t	Número de períodos
Juros	J	Valor acrescido ao capital
Montante	M	Valor final: capital mais juros

2.2 O regime de juros simples

Por isso, o valor dos juros é o mesmo em todos os períodos.

Exemplo. R$ 1.000,00 aplicados a juros simples de 2% ao mês:

Mês	Juros do mês	Montante
0	–	1.000
1	20	1.020
2	20	1.040
3	20	1.060
4	20	1.080

O montante cresce R$ 20,00 por mês, sempre. Os juros do mês 2 não incidem sobre os juros do mês 1. Essa é a diferença essencial em relação aos juros compostos, tratados no bloco 21.

2.3 As fórmulas

Como os juros de cada período são C · i, em t períodos:

E o montante é o capital somado aos juros:

2.4 Compatibilidade entre taxa e tempo

A taxa e o tempo precisam estar na mesma unidade. Se a taxa é mensal, o tempo deve estar em meses. Se a taxa é anual, em anos.

No regime simples, a conversão de taxas é feita por proporcionalidade. As taxas obtidas assim são chamadas de taxas proporcionais.

Taxa dada	Taxa mensal proporcional
24% ao ano	24 ÷ 12 = 2% ao mês
18% ao semestre	18 ÷ 6 = 3% ao mês
9% ao trimestre	9 ÷ 3 = 3% ao mês

Em operações contadas em dias, usa-se em geral o ano comercial, de 360 dias, com meses de 30 dias.

Exemplo. Uma aplicação de 45 dias a 3% ao mês corresponde a 1,5 mês. A taxa total é 3% × 1,5 = 4,5%.

2.5 Os cinco problemas de juros simples

A fórmula J = C · i · t relaciona quatro grandezas. Conhecendo três, determina-se a quarta. Com o montante, surgem as variações.

Calcular juros e montante. Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 3% ao mês durante 5 meses.

J = 2.000 × 0,03 × 5 = R$ 300,00
M = 2.000 + 300 = R$ 2.300,00

Calcular o capital. Que capital, aplicado a 2% ao mês durante 6 meses, gera montante de R$ 5.600,00?

M = C · (1 + i · t)
5.600 = C · (1 + 0,02 × 6)
5.600 = C · 1,12
C = R$ 5.000,00

Calcular a taxa. Um capital de R$ 4.000,00 rendeu R$ 720,00 de juros em 6 meses. Qual foi a taxa mensal?

i = J ÷ (C · t) = 720 ÷ (4.000 × 6) = 720 ÷ 24.000 = 0,03 = 3% ao mês

Calcular o tempo. Uma pessoa tomou R$ 1.500,00 emprestados a juros simples de 4% ao mês e quitou a dívida com R$ 1.860,00. Por quanto tempo durou o empréstimo?

• Juros pagos: 1.860 − 1.500 = 360.
• Juros por mês: 1.500 × 0,04 = 60.
• Tempo: 360 ÷ 60 = 6 meses.

Tempo para multiplicar o capital. Em quanto tempo um capital dobra a juros simples de 5% ao mês?

Para dobrar, os juros precisam ser iguais ao capital:

C = C × 0,05 × t
1 = 0,05t
t = 20 meses

Para triplicar, os juros precisam ser o dobro do capital (e não o triplo), porque o montante é C + J = 3C:

2C = C × 0,05 × t
t = 40 meses

2.6 Interpretação gráfica

Na fórmula M(t) = C + C · i · t, o montante é uma função afim do tempo:

• o coeficiente linear é C, o montante no instante zero;
• o coeficiente angular é C · i, o juro por período.

O gráfico do montante em função do tempo é uma reta. Os juros J(t) = C · i · t formam uma reta que passa pela origem, ou seja, os juros são diretamente proporcionais ao tempo. Por isso, juros simples se resolvem com o mesmo raciocínio da proporcionalidade.

2.7 Aplicação: boleto em atraso

Contas pagas com atraso costumam ter duas cobranças diferentes.

• A multa é um percentual fixo, cobrado uma única vez, qualquer que seja o atraso.
• Os juros de mora são proporcionais ao tempo de atraso.

Exemplo. Um boleto de R$ 500,00 prevê multa de 2% e juros de mora simples de 1% ao mês, calculados por dia de atraso. Qual é o valor a pagar com 15 dias de atraso?

• Multa: 2% de 500 = R$ 10,00.
• Juros de mora: 500 × 0,01 × (15/30) = R$ 2,50.
• Total: 500 + 10 + 2,50 = R$ 512,50.

O total não é proporcional ao atraso, porque a multa é uma parcela fixa. A estrutura é a mesma da função afim estudada no artigo de Razão e Proporção.

3. Descontos simples

3.1 O contexto

Títulos de crédito, como duplicatas, notas promissórias e boletos, têm um valor nominal (N): o valor devido na data de vencimento. Quando o título é pago ou negociado antes do vencimento, aplica-se um desconto (d), e o valor efetivamente pago é o valor atual (A):

O desconto simples pode ser calculado de duas formas, que diferem na base sobre a qual a taxa incide.

3.2 Desconto comercial, ou "por fora"

No desconto comercial, a taxa incide sobre o valor nominal:

É a modalidade usada pelos bancos e no comércio, por isso também é chamada de desconto bancário.

Exemplo. Um título de R$ 1.000,00 é descontado 2 meses antes do vencimento, à taxa de 5% ao mês.

d_c = 1.000 × 0,05 × 2 = R$ 100,00
A = 1.000 − 100 = R$ 900,00

3.3 Desconto racional, ou "por dentro"

No desconto racional, a taxa incide sobre o valor atual. O raciocínio é o inverso dos juros simples: o valor atual, aplicado a juros simples pela taxa i durante o tempo t, deve produzir o valor nominal.

Exemplo. Mesmo título, mesma taxa, mesmo prazo:

A = 1.000 ÷ (1 + 0,05 × 2) = 1.000 ÷ 1,10 ≈ R$ 909,09
d_r = 1.000 − 909,09 ≈ R$ 90,91

3.4 Comparação e taxa efetiva

Para a mesma taxa e o mesmo prazo, o desconto comercial é sempre maior que o racional, porque incide sobre uma base maior (N em vez de A). Quem recebe o desconto comercial recebe menos dinheiro.

Esse fato tem uma consequência importante. No exemplo do desconto comercial, o banco paga R$ 900,00 hoje e recebe R$ 1.000,00 em 2 meses. Os R$ 100,00 de diferença correspondem a juros sobre R$ 900,00:

taxa efetiva = 100 ÷ (900 × 2) ≈ 0,0556 = 5,56% ao mês

A taxa anunciada era de 5% ao mês, mas a taxa efetivamente cobrada sobre o dinheiro entregue é maior. No desconto racional, por definição, a taxa efetiva coincide com a anunciada.

4. À vista ou a prazo: a taxa implícita

4.1 O "sem juros" que tem juros

Lojas frequentemente oferecem duas opções: um preço à vista com desconto ou um parcelamento "sem juros" pelo preço cheio. Quando as duas opções existem, o parcelamento tem juros embutidos: a diferença entre os dois preços.

Exemplo. Uma geladeira custa R$ 2.400,00 em duas parcelas de R$ 1.200,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda em 30 dias. À vista, há 10% de desconto.

1. Preço à vista: 2.400 × 0,90 = R$ 2.160,00.
2. No parcelamento, paga-se R$ 1.200,00 na compra. O valor efetivamente financiado é 2.160 − 1.200 = R$ 960,00.
3. Esse valor é quitado com R$ 1.200,00 após um mês. Os juros são 1.200 − 960 = R$ 240,00.
4. Taxa implícita: 240 ÷ 960 = 25% ao mês.

O parcelamento "sem juros" embute, na prática, uma taxa de 25% ao mês. Para quem tem o dinheiro disponível, pagar à vista é muito mais vantajoso.

4.2 O procedimento geral

1. Determine o preço à vista, que é o valor real do bem hoje.
2. Desconte a entrada, se houver, para obter o valor financiado.
3. Compare o valor financiado com o que será pago depois. A diferença são os juros.
4. Divida os juros pelo valor financiado para obter a taxa do período.

Exemplo. Uma televisão custa R$ 2.000,00 à vista, ou R$ 1.000,00 de entrada mais R$ 1.100,00 em 30 dias.

• Valor financiado: 2.000 − 1.000 = R$ 1.000,00.
• Juros: 1.100 − 1.000 = R$ 100,00.
• Taxa: 100 ÷ 1.000 = 10% ao mês.

Se a pessoa tiver o dinheiro aplicado rendendo menos de 10% ao mês, o que é o caso de quase todas as aplicações, pagar à vista é a melhor decisão. Itens de avaliação de propostas (H5) costumam exigir exatamente esse raciocínio.

5. Uma prévia: juros simples × juros compostos

Mês	Juros simples (10% ao mês)	Juros compostos (10% ao mês)
0	1.000	1.000
1	1.100	1.100
2	1.200	1.210
3	1.300	1.331
4	1.400	1.464,10

• Nos juros simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial, e o montante cresce de forma linear.
• Nos juros compostos, os juros de cada período incidem sobre o montante acumulado, e o montante cresce de forma exponencial.

No primeiro período, os dois regimes coincidem. A partir do segundo, os compostos superam os simples, e a diferença aumenta com o tempo.

Os juros compostos são o regime usado no sistema financeiro real. Eles são estudados no bloco 21, com o apoio das funções exponencial e logarítmica.

6. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Faturamento (receita)	Lucro	Lucro é a receita menos o custo
Lucro sobre o custo	Lucro sobre a venda	Bases diferentes; o primeiro é sempre maior
Custo fixo	Custo variável	O fixo não depende da quantidade produzida
Juros (J)	Montante (M)	Montante é capital mais juros
Juros simples	Juros compostos	Nos simples, os juros incidem só sobre o capital inicial
Taxa proporcional	Taxa equivalente	Proporcional vale para juros simples; equivalente, para compostos
Multa	Juros de mora	A multa é fixa; os juros crescem com o atraso
Desconto comercial	Desconto racional	O comercial incide sobre o valor nominal e é maior
"Parcelado sem juros"	Ausência de juros	Havendo desconto à vista, há juros embutidos
Triplicar o capital	Juros iguais ao triplo do capital	Para triplicar, os juros devem ser o dobro do capital

7. Erros recorrentes e como evitá-los

Confundir as bases do lucro percentual. Calcular sobre a venda quando o enunciado pede sobre o custo. Controle: identifique a palavra que define a base. Na falta dela, use o custo.

Somar ou subtrair taxas de remarcação e desconto. Controle: multiplique os fatores.

Usar taxa e tempo em unidades diferentes. Aplicar taxa anual com tempo em meses. Controle: converta antes de usar a fórmula. No regime simples, as taxas são proporcionais.

Usar a taxa na forma percentual dentro da fórmula. Calcular J = 2.000 × 3 × 5 em vez de J = 2.000 × 0,03 × 5. Controle: sempre transforme a taxa em decimal.

Confundir juros com montante. Responder com os juros quando o enunciado pede o valor final, ou o contrário. Controle: releia a pergunta antes de marcar.

Supor que, para triplicar, os juros devem ser o triplo do capital. Controle: o montante é 3C, e os juros são 3C − C = 2C.

Tratar como desconto racional um desconto comercial, ou o contrário. Controle: "por fora" ou "bancário" indica a base N; "por dentro" ou "racional" indica a base A.

Calcular a taxa implícita sobre o preço cheio. Controle: a base é o valor efetivamente financiado: o preço à vista menos a entrada.

8. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H3, nível fácil)

Um comerciante compra um produto por R$ 60,00 e o revende por R$ 75,00. O lucro percentual obtido, em relação ao preço de custo, é de:

A) 15%
B) 20%
C) 25%
D) 75%
E) 125%

Gabarito: C

Resolução. O lucro é 75 − 60 = R$ 15,00. Sobre o custo, 15 ÷ 60 = 0,25 = 25%.

Análise dos distratores.

• B: calcula o lucro sobre a venda (15 ÷ 75).
• E: lê o fator 75 ÷ 60 = 1,25 como taxa.
• A: toma o valor do lucro como se fosse a porcentagem.

Questão 2 (H3, nível médio)

Uma loja aumenta em 50% o preço de custo de seus produtos para formar o preço de etiqueta. Durante uma promoção, oferece 20% de desconto sobre o preço de etiqueta. Na promoção, o lucro da loja em relação ao preço de custo é de:

A) 10%
B) 20%
C) 30%
D) 40%
E) 70%

Gabarito: B

Resolução. O fator acumulado é 1,50 × 0,80 = 1,20, o que corresponde a lucro de 20% sobre o custo.

Análise dos distratores.

• C: subtrai as taxas.
• E: soma as taxas.

O item avalia o reconhecimento de que o desconto incide sobre o preço já remarcado.

Questão 3 (H3, nível fácil)

Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 a juros simples de 1,5% ao mês, durante 8 meses. Ao final do período, o montante obtido foi de:

A) R$ 360,00
B) R$ 3.045,00
C) R$ 3.360,00
D) R$ 3.379,48
E) R$ 39.000,00

Gabarito: C

Resolução.

J = 3.000 × 0,015 × 8 = R$ 360,00
M = 3.000 + 360 = R$ 3.360,00

Análise dos distratores.

• A: apresenta apenas os juros.
• B: aplica a taxa de um único mês.
• D: usa juros compostos (3.000 × 1,015⁸).
• E: usa a taxa na forma percentual (1,5 em vez de 0,015).

Questão 4 (H3, nível médio)

Um capital aplicado a juros simples de 4% ao mês triplica de valor em:

A) 25 meses
B) aproximadamente 28 meses
C) 50 meses
D) 75 meses
E) 300 meses

Gabarito: C

Resolução. Para triplicar, o montante é 3C, e os juros são 2C:

2C = C × 0,04 × t
t = 2 ÷ 0,04 = 50 meses

Análise dos distratores.

• A: é o tempo para dobrar o capital.
• D: o candidato iguala os juros a 3C.
• B: corresponde ao regime de juros compostos.

Questão 5 (H5, nível difícil)

Uma geladeira é vendida por R$ 2.400,00 em duas parcelas iguais "sem juros", a primeira no ato da compra e a segunda 30 dias depois. Para pagamento à vista, a loja concede 10% de desconto. A taxa mensal de juros embutida no parcelamento é de:

A) 0%
B) 10%
C) 11,1%
D) 20%
E) 25%

Gabarito: E

Resolução.

1. Preço à vista: R$ 2.160,00.
2. Com a entrada de R$ 1.200,00, o valor financiado é 2.160 − 1.200 = R$ 960,00.
3. A segunda parcela, de R$ 1.200,00, embute juros de R$ 240,00.
4. Taxa: 240 ÷ 960 = 25% ao mês.

Análise dos distratores.

• A: aceita o anúncio "sem juros".
• B: confunde a taxa com o desconto à vista.
• C: divide os juros pelo preço à vista (240 ÷ 2.160).
• D: divide os juros pela parcela (240 ÷ 1.200).

O item exige identificar o valor efetivamente financiado como base.

Questão 6 (H3, nível médio)

Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de valor nominal R$ 4.000,00, três meses antes do vencimento, sob regime de desconto comercial simples, à taxa de 2,5% ao mês. O valor recebido pela empresa é de:

A) R$ 300,00
B) R$ 3.700,00
C) R$ 3.720,93
D) R$ 3.900,00
E) R$ 4.300,00

Gabarito: B

Resolução.

d = 4.000 × 0,025 × 3 = R$ 300,00
A = 4.000 − 300 = R$ 3.700,00

Análise dos distratores.

• A: apresenta apenas o desconto.
• C: aplica o desconto racional (4.000 ÷ 1,075).
• D: considera apenas um mês.
• E: soma o desconto ao valor nominal.

Questão 7 (H4, nível difícil)

Uma pequena fábrica tem custo fixo mensal de R$ 12.000,00. Cada unidade produzida tem custo variável de R$ 18,00 e é vendida por R$ 30,00. Para não ter prejuízo, a fábrica precisa vender, no mínimo, quantas unidades por mês?

A) 400
B) 667
C) 1.000
D) 1.200
E) 2.500

Gabarito: C

Resolução. A margem de contribuição por unidade é 30 − 18 = R$ 12,00. O ponto de equilíbrio é 12.000 ÷ 12 = 1.000 unidades.

Análise dos distratores.

• A: divide o custo fixo pelo preço de venda, ignorando o custo variável.
• B: divide o custo fixo pelo custo variável.

O item avalia a compreensão de que cada unidade vendida contribui apenas com a diferença entre preço e custo variável.

9. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre faturamento e lucro?

Faturamento é tudo o que entra com as vendas. Lucro é o que sobra depois de descontados os custos.

Quando o enunciado não diz a base do lucro percentual, qual devo usar?

O padrão é o preço de custo. Quando a base for o preço de venda, o enunciado costuma indicá-lo.

Por que, nos juros simples, os juros são iguais todo mês?

Porque incidem sempre sobre o capital inicial, que não muda. Os juros já acumulados não rendem novos juros.

Posso usar taxa anual com tempo em meses?

Não. Converta antes. No regime simples, a taxa mensal proporcional é a anual dividida por 12.

Por que, para triplicar um capital, os juros devem ser o dobro dele?

Porque o montante é o capital mais os juros. Se o montante é 3C, os juros são 3C − C = 2C.

Qual desconto é melhor para quem antecipa o pagamento de um título?

Para quem recebe o desconto, o comercial é maior, ou seja, quem paga desembolsa menos. Para quem desconta um título no banco, recebendo dinheiro antecipado, o desconto comercial significa receber menos.

Parcelado sem juros é sempre igual ao preço à vista?

Só se não houver desconto à vista. Se houver, a diferença corresponde a juros embutidos no parcelamento.

O gráfico dos juros simples é uma reta?

Sim. O montante é uma função afim do tempo, e os juros, uma função linear.

O que é ponto de equilíbrio?

É a quantidade vendida em que a receita iguala o custo total. Abaixo dela, há prejuízo; acima, lucro.

11. Síntese

O lucro é a diferença entre receita e custo, e o custo se divide em fixo e variável. A margem de contribuição por unidade (preço menos custo variável) determina o ponto de equilíbrio: a quantidade que zera o lucro.

O lucro percentual depende da base:

• sobre o custo, o preço de venda é C(1 + i);
• sobre a venda, é C ÷ (1 − i).

Sequências de remarcação e desconto se resolvem pelo produto dos fatores.

Nos juros simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Valem J = C · i · t e M = C(1 + i · t), com taxa e tempo na mesma unidade. O montante cresce linearmente, e os juros são proporcionais ao tempo.

No desconto simples, o comercial incide sobre o valor nominal, e o racional, sobre o valor atual. O comercial é sempre maior e implica uma taxa efetiva superior à anunciada.

Quando há desconto à vista, o parcelamento "sem juros" embute uma taxa. Ela se calcula sobre o valor efetivamente financiado.

Situação	Ferramenta
Lucro	L = R − C
Custo total	C(x) = CF + cv · x
Ponto de equilíbrio	x = CF ÷ (p − cv)
Venda com lucro i sobre o custo	V = C(1 + i)
Venda com lucro i sobre a venda	V = C ÷ (1 − i)
Juros simples	J = C · i · t
Montante	M = C(1 + i · t)
Taxas proporcionais	dividir ou multiplicar pelo número de períodos
Desconto comercial	d = N · i · t; A = N(1 − i · t)
Desconto racional	A = N ÷ (1 + i · t)
Taxa implícita a prazo	juros ÷ valor financiado

12. Glossário

Termo	Definição
Custo fixo	Gasto que não depende da quantidade produzida
Custo variável	Gasto proporcional à quantidade produzida
Receita (faturamento)	Valor total obtido com as vendas
Lucro	Diferença positiva entre receita e custo
Prejuízo	Diferença negativa entre receita e custo
Margem de contribuição	Diferença entre o preço de venda e o custo variável unitário
Ponto de equilíbrio	Quantidade vendida em que o lucro é zero
Capital	Valor inicial de uma aplicação ou empréstimo
Juros	Remuneração pelo uso do capital no tempo
Montante	Soma do capital com os juros
Juros simples	Regime em que os juros incidem apenas sobre o capital inicial
Taxas proporcionais	Taxas que, no regime simples, produzem os mesmos juros em prazos equivalentes
Valor nominal	Valor de um título na data de vencimento
Valor atual	Valor de um título em data anterior ao vencimento
Desconto comercial	Desconto calculado sobre o valor nominal
Desconto racional	Desconto calculado sobre o valor atual
Multa	Penalidade fixa por atraso
Juros de mora	Juros cobrados proporcionalmente ao tempo de atraso