Matemática Financeira Avançada

O sistema financeiro funciona, na prática, com juros compostos: poupança, financiamentos de imóveis e veículos, cartão de crédito, cheque especial, empréstimos e investimentos. Entender esse regime é entender por que uma dívida de cartão de crédito cresce tão depressa, por que antecipar parcelas gera desconto, por que um financiamento longo custa muito mais que o valor financiado e por que "receber depois" nem sempre vale o mesmo que "receber hoje".

Apresentação

Juros simples e juros compostos. R$ 1.000,00 aplicados a 10% ao mês.

Na Matriz de Referência, o tema mobiliza a Competência 1:

• H3: resolver situações-problema com conhecimentos numéricos;
• H4: avaliar a razoabilidade de resultados;
• H5: avaliar propostas de intervenção na realidade.

Mobiliza também a Competência 5, especialmente a H21 e a H23, porque os juros compostos são uma função exponencial do tempo. Itens que pedem para comparar propostas (à vista ou a prazo, aplicar ou quitar, receber hoje ou depois) são característicos do exame.

Este artigo apresenta:

1. o regime de juros compostos e sua comparação com o regime simples;
2. o valor do dinheiro no tempo e a equivalência de capitais;
3. as taxas equivalentes, nominais, efetivas, reais e aparentes;
4. o uso de logaritmos para calcular prazos e taxas;
5. a capitalização por depósitos periódicos;
6. os financiamentos, a amortização pelos sistemas SAC e Price e a antecipação de parcelas.

Pré-requisitos: os artigos de Matemática Financeira Básica, Porcentagem, Progressões, Função Exponencial e Função Logarítmica.

1. Juros compostos

1.1 Conceito

No regime simples, estudado no bloco 4, os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Nos compostos, a base de cálculo cresce a cada período.

1.2 A fórmula

A cada período, o montante é multiplicado pelo fator (1 + i). Partindo de um capital C:

• após 1 período: C · (1 + i);
• após 2 períodos: C · (1 + i)²;
• após n períodos: C · (1 + i)ⁿ.

Os montantes sucessivos formam uma progressão geométrica de razão (1 + i), e o montante é uma função exponencial do tempo.

A taxa e o número de períodos devem estar na mesma unidade: taxa mensal com tempo em meses, taxa anual com tempo em anos.

1.3 Exemplo e comparação com os juros simples

R$ 1.000,00 aplicados a 10% ao mês:

Mês	Juros simples (montante)	Juros compostos (montante)	Juros compostos do mês
0	1.000,00	1.000,00	–
1	1.100,00	1.100,00	100,00
2	1.200,00	1.210,00	110,00
3	1.300,00	1.331,00	121,00
4	1.400,00	1.464,10	133,10
5	1.500,00	1.610,51	146,41

• Nos juros simples, os juros são sempre R$ 100,00 por mês, e o montante cresce de forma linear.
• Nos juros compostos, os juros mensais aumentam a cada mês, e o montante cresce de forma exponencial.

No primeiro período, os dois regimes coincidem. A partir do segundo, os compostos superam os simples, e a diferença aumenta com o tempo.

Curiosidade. Para prazos menores que um período (n < 1), ocorre o contrário: os juros simples são maiores que os compostos. Em meio mês, por exemplo, 1 + 0,05 = 1,05 é maior que (1,1)^(1/2) ≈ 1,049.

1.4 Os quatro problemas

Calcular o montante. R$ 5.000,00 a 10% ao ano, durante 2 anos:

M = 5.000 · 1,1² = 5.000 · 1,21 = R$ 6.050,00

Calcular o capital, ou valor presente. Quanto aplicar hoje, a 10% ao mês, para ter R$ 12.100,00 em 2 meses?

C = M ÷ (1 + i)ⁿ = 12.100 ÷ 1,21 = R$ 10.000,00

Calcular a taxa. Um capital de R$ 5.000,00 virou R$ 7.200,00 em 2 anos. Qual foi a taxa anual?

(1 + i)² = 7.200 ÷ 5.000 = 1,44
1 + i = 1,2
i = 20% ao ano

Calcular o tempo. Exige logaritmos (seção 4).

2. O valor do dinheiro no tempo

2.1 O princípio

Por causa dos juros, R$ 1.000,00 hoje não valem o mesmo que R$ 1.000,00 daqui a um ano. O dinheiro disponível hoje pode ser aplicado e crescer. Para comparar valores em datas diferentes, é preciso levá-los à mesma data:

Dois valores em datas diferentes são equivalentes quando, levados à mesma data com a mesma taxa, resultam no mesmo valor.

2.2 Exemplo de decisão

Uma pessoa pode receber R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.100,00 daqui a um mês.

• Se ela consegue aplicar o dinheiro a 8% ao mês, os R$ 1.000,00 de hoje virariam R$ 1.080,00. É melhor esperar, porque R$ 1.100,00 é mais.
• Se a aplicação rende 12% ao mês, os R$ 1.000,00 virariam R$ 1.120,00. É melhor receber hoje.

A decisão depende da taxa disponível. Sem conhecê-la, não é possível dizer qual opção é melhor.

3. Taxas

3.1 Taxas proporcionais e taxas equivalentes

• Taxas proporcionais são usadas no regime simples. Convertem-se por divisão ou multiplicação: 12% ao ano equivale a 1% ao mês.
• Taxas equivalentes são usadas no regime composto. Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo prazo total, produzem o mesmo montante.

Para converter uma taxa mensal i_m em anual i_a:

De forma geral, eleva-se o fator ao número de subperíodos.

Exemplos:

• 1% ao mês: 1,01¹² ≈ 1,1268, ou seja, 12,68% ao ano, e não 12%.
• 2% ao mês: 1,02¹² ≈ 1,2682, ou seja, 26,82% ao ano, e não 24%.
• 21% ao ano em taxa semestral: (1 + i)² = 1,21, logo 10% ao semestre.
• 44% ao bimestre em taxa mensal: (1 + i)² = 1,44, logo 20% ao mês.

3.2 Taxa nominal e taxa efetiva

Contratos e anúncios às vezes informam uma taxa nominal, cujo período não coincide com o período de capitalização. Por exemplo: "24% ao ano, capitalizados mensalmente".

1. A taxa nominal é convertida proporcionalmente para o período de capitalização: 24% ÷ 12 = 2% ao mês.
2. A taxa efetiva anual é obtida pela equivalência composta: 1,02¹² ≈ 1,2682, ou seja, 26,82% ao ano.

A taxa efetiva é a que de fato mede o custo ou o rendimento. Uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal, rende efetivamente mais que 24% ao ano.

3.3 Taxa aparente e taxa real

A taxa aparente é o rendimento nominal de uma aplicação. A taxa real é o ganho de poder de compra, descontada a inflação. As três se relacionam pelos fatores:

Exemplo. Uma aplicação rendeu 12% em um ano em que a inflação foi de 5%.

1 + i_real = 1,12 ÷ 1,05 ≈ 1,0667, ou seja, ganho real de cerca de 6,67%

O ganho real não é 12% − 5% = 7%. A subtração é apenas uma aproximação, que piora quanto maiores as taxas. Esse é o mesmo raciocínio do artigo de Porcentagem, ao comparar reajuste salarial e inflação.

4. Logaritmos aplicados a juros compostos

4.1 Calcular o tempo

Da fórmula M = C · (1 + i)ⁿ, aplicando logaritmo aos dois lados:

Exemplo 1. Em quanto tempo R$ 2.000,00 se transformam em R$ 5.000,00 a 5% ao mês? Use log 2 = 0,301 e log 1,05 ≈ 0,0212.

1. 1,05ⁿ = 2,5.
2. log 2,5 = log(10/4) = 1 − 2 · 0,301 = 0,398.
3. n = 0,398 ÷ 0,0212 ≈ 18,8.
4. São necessários 19 meses para que o montante atinja pelo menos R$ 5.000,00.

Exemplo 2. Em quanto tempo um capital dobra a 10% ao mês? Use log 1,1 ≈ 0,0414.

n = 0,301 ÷ 0,0414 ≈ 7,3, ou seja, o capital passa do dobro no 8º mês.

Sobre o arredondamento. Quando os juros são creditados ao fim de cada período, um resultado como 18,8 significa que, no 18º mês, o valor ainda não foi atingido. Ele só é atingido ou ultrapassado no 19º. Por isso, o arredondamento é para cima.

4.2 Calcular a taxa

Exemplo. Um capital triplicou em 10 anos. Qual foi a taxa anual?

1. (1 + i)¹⁰ = 3, logo log(1 + i) = 0,477 ÷ 10 = 0,0477.
2. 1 + i = 10^0,0477 ≈ 1,116.
3. A taxa é de cerca de 11,6% ao ano.

Nas questões do ENEM, os valores necessários de logaritmos e potências são fornecidos.

5. Capitalização: depósitos periódicos

Quando uma pessoa deposita o mesmo valor P ao fim de cada período, durante n períodos, a uma taxa i, cada depósito rende juros por um tempo diferente:

• o primeiro rende por n − 1 períodos;
• o segundo, por n − 2;
• …
• o último não rende nada.

O montante final é a soma de uma progressão geométrica:

Exemplo. Uma pessoa deposita R$ 500,00 ao fim de cada mês, durante 12 meses, em uma aplicação que rende 1% ao mês. Use 1,01¹² ≈ 1,1268.

S = 500 · (1,1268 − 1) ÷ 0,01 = 500 · 12,68 = R$ 6.340,00

Ela depositou R$ 6.000,00. Os juros somaram cerca de R$ 340,00.

6. Financiamento e amortização

6.1 Conceitos

• Financiamento: empréstimo de um valor D, a ser devolvido em parcelas, com juros.
• Prestação (ou parcela): valor pago em cada período.
• Juros do período: taxa i aplicada sobre o saldo devedor do início do período.
• Amortização: parte da prestação que efetivamente reduz a dívida.
• Saldo devedor: quanto ainda se deve depois de cada pagamento.

Em todo financiamento:

6.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)

No SAC, a amortização é sempre a mesma: a dívida dividida pelo número de parcelas. Como o saldo devedor diminui, os juros diminuem, e as prestações decrescem.

Exemplo. Financiamento de R$ 12.000,00 em 4 parcelas mensais, a 2% ao mês, pelo SAC.

A amortização é 12.000 ÷ 4 = R$ 3.000,00 por mês.

Mês	Saldo inicial	Juros (2%)	Amortização	Prestação	Saldo final
1	12.000	240	3.000	3.240	9.000
2	9.000	180	3.000	3.180	6.000
3	6.000	120	3.000	3.120	3.000
4	3.000	60	3.000	3.060	0

• Total de juros: R$ 600,00.
• As prestações formam uma PA decrescente de razão −60.

6.3 Sistema Price (francês)

No sistema Price, as prestações são iguais. No início, a maior parte da prestação é de juros, e a amortização é pequena. Com o tempo, os juros diminuem e a amortização aumenta.

O valor da prestação é obtido igualando a dívida ao valor presente de todas as prestações. Essa soma é uma PG, e o resultado é:

Exemplo. O mesmo financiamento: R$ 12.000,00 em 4 parcelas mensais, a 2% ao mês. Com 1,02⁴ ≈ 1,0824, a prestação é de aproximadamente R$ 3.151,49.

Mês	Saldo inicial	Juros (2%)	Amortização	Prestação	Saldo final
1	12.000,00	240,00	2.911,49	3.151,49	9.088,51
2	9.088,51	181,77	2.969,72	3.151,49	6.118,79
3	6.118,79	122,38	3.029,11	3.151,49	3.089,68
4	3.089,68	61,79	3.089,70	3.151,49	0,00

A diferença de centavos na última linha decorre de arredondamentos. O total de juros é de cerca de R$ 605,96.

6.4 SAC × Price

Característica	SAC	Price
Prestações	decrescentes	constantes
Amortização	constante	crescente
Juros por período	decrescentes	decrescentes
Primeira prestação	maior	menor
Total de juros pagos	menor	maior

No SAC, a dívida é reduzida mais rapidamente no início, e por isso o total de juros é menor. No Price, as prestações iniciais são mais baixas, o que pode caber melhor no orçamento, mas o custo total é maior.

6.5 Antecipação de parcelas

Antecipar uma parcela significa pagá-la antes do vencimento. O valor justo a pagar é o seu valor presente:

Exemplo. Uma parcela de R$ 1.000,00 vence daqui a 3 meses, com juros compostos de 2% ao mês. Para quitá-la hoje:

1.000 ÷ 1,02³ = 1.000 ÷ 1,0612 ≈ R$ 942,32

O desconto é de cerca de R$ 57,68. Antecipar parcelas reduz os juros pagos, porque a dívida deixa de crescer sobre o valor antecipado.

6.6 À vista ou a prazo

Para comparar uma compra à vista com uma parcelada, traga todas as parcelas ao valor presente, usando a taxa que a pessoa obtém em suas aplicações. Se o valor presente das parcelas for maior que o preço à vista, comprar à vista é melhor.

Exemplo. Um produto custa R$ 2.000,00 à vista, ou duas parcelas de R$ 1.100,00, com vencimento em 30 e em 60 dias. O comprador consegue aplicar seu dinheiro a 3% ao mês.

• Valor presente da 1ª parcela: 1.100 ÷ 1,03 ≈ R$ 1.067,96.
• Valor presente da 2ª parcela: 1.100 ÷ 1,03² ≈ R$ 1.036,86.
• Total: R$ 2.104,82.

Como esse valor é maior que R$ 2.000,00, a compra à vista é mais vantajosa.

Se o comprador conseguisse uma taxa muito maior em suas aplicações, a conclusão poderia se inverter. Como no exemplo da seção 2.2, a resposta depende da taxa.

7. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Juros compostos	Juros simples	Compostos incidem sobre o montante; simples, sobre o capital inicial
Montante (M)	Juros (J)	J = M − C
Taxas equivalentes	Taxas proporcionais	Equivalentes valem para compostos; proporcionais, para simples
2% ao mês	24% ao ano	Em juros compostos, 2% ao mês equivalem a 26,82% ao ano
Taxa nominal	Taxa efetiva	A efetiva é o rendimento real no período informado
Taxa aparente	Taxa real	A real desconta a inflação, por divisão de fatores
Amortização	Prestação	A prestação inclui juros e amortização
SAC	Price	SAC tem amortização constante; Price, prestação constante
Valor futuro	Valor presente	Multiplica-se ou divide-se por (1 + i)ⁿ
n calculado = 18,8	18 períodos	Com crédito ao fim de cada período, arredonda-se para 19

8. Erros recorrentes e como evitá-los

Usar juros simples quando o problema é de juros compostos. Controle: verifique se os juros incidem sobre o montante acumulado.

Converter taxas compostas por proporção. Dizer que 2% ao mês equivalem a 24% ao ano. Controle: em juros compostos, eleve o fator ao número de períodos.

Confundir montante com juros. Controle: releia a pergunta e subtraia o capital, se for pedido apenas o juro.

Subtrair a inflação da taxa aparente. Controle: divida os fatores.

Comparar valores em datas diferentes sem levá-los à mesma data. Controle: traga todos os valores ao presente, ou leve todos ao futuro.

Calcular os juros de um financiamento sobre a dívida inicial em todos os períodos. Controle: os juros de cada período incidem sobre o saldo devedor daquele período.

Arredondar o tempo para baixo. Controle: se o montante só é atingido depois de 18,8 meses, a resposta é 19.

Multiplicar, em vez de dividir, ao antecipar parcelas. Controle: trazer ao presente é dividir por (1 + i)ᵏ.

Verificação geral. Em juros compostos, o montante deve ser maior que o de juros simples para n > 1. O valor presente de uma parcela futura é sempre menor que a própria parcela.

9. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H3, nível fácil)

Uma pessoa aplicou R$ 5.000,00 a juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos. Os juros obtidos foram de:

A) R$ 1.000,00
B) R$ 1.050,00
C) R$ 6.050,00
D) R$ 6.000,00
E) R$ 10.500,00

Gabarito: B

Resolução.

M = 5.000 · 1,1² = 6.050, logo J = 6.050 − 5.000 = R$ 1.050,00

Análise dos distratores.

• A: calcula juros simples.
• C: dá o montante, e não os juros.
• D: dá o montante a juros simples.

Questão 2 (H3, nível médio)

Um cartão de crédito cobra juros compostos de 2% ao mês. Considerando 1,02¹² ≈ 1,268, a taxa anual equivalente é de, aproximadamente:

A) 24,0%
B) 26,8%
C) 12,0%
D) 2,4%
E) 126,8%

Gabarito: B

Resolução. O fator anual é 1,02¹² ≈ 1,268, o que corresponde a uma taxa de 26,8% ao ano.

Análise dos distratores.

• A: usa a taxa proporcional (2% × 12), válida apenas para juros simples.
• E: lê o fator como taxa.

Questão 3 (H5, nível médio)

Uma pessoa pode receber R$ 10.000,00 hoje ou R$ 11.000,00 daqui a um ano. Ela tem acesso a uma aplicação segura que rende 12% ao ano. A decisão mais vantajosa é:

A) esperar um ano, pois R$ 11.000,00 é mais que R$ 10.000,00.
B) receber hoje, pois, aplicados, os R$ 10.000,00 se tornariam R$ 11.200,00 em um ano.
C) qualquer uma das opções, pois elas são equivalentes.
D) esperar um ano, pois o ganho de 10% supera a inflação.
E) esperar um ano, pois R$ 11.000,00 com 12% de juros resultam em R$ 12.320,00.

Gabarito: B

Resolução. Levando os R$ 10.000,00 ao futuro: 10.000 · 1,12 = R$ 11.200,00, que é mais que R$ 11.000,00. Receber hoje e aplicar é melhor.

Análise dos distratores.

• A: compara valores em datas diferentes sem considerar os juros.
• E: aplica os juros sobre um valor que só seria recebido no futuro.
• D: compara com uma inflação não informada, ignorando a taxa de aplicação disponível.

Questão 4 (H21, nível médio)

Um capital é aplicado a juros compostos de 5% ao mês. Considerando log 2 = 0,301 e log 1,05 = 0,0212, o número mínimo de meses completos para que o montante seja pelo menos o dobro do capital é:

A) 10
B) 14
C) 15
D) 20
E) 40

Gabarito: C

Resolução.

1. 1,05ⁿ ≥ 2 leva a n ≥ 0,301 ÷ 0,0212 ≈ 14,2.
2. Como n deve ser um número inteiro de meses, n = 15.

Análise dos distratores.

• B: arredonda para baixo. Em 14 meses, o capital ainda não dobrou.
• D: usa juros simples (100% ÷ 5% ao mês).

Questão 5 (H3, nível médio)

Um financiamento de R$ 60.000,00 será pago em 10 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com juros de 1% ao mês sobre o saldo devedor. O valor da primeira prestação é:

A) R$ 6.000,00
B) R$ 6.060,00
C) R$ 6.600,00
D) R$ 6.660,00
E) R$ 600,00

Gabarito: C

Resolução.

• Amortização mensal: 60.000 ÷ 10 = R$ 6.000,00.
• Juros do 1º mês: 1% de 60.000 = R$ 600,00.
• Primeira prestação: 6.000 + 600 = R$ 6.600,00.

Análise dos distratores.

• A: considera apenas a amortização.
• B: é o valor da última prestação, com juros de 1% sobre R$ 6.000,00.
• E: considera apenas os juros.

Questão 6 (H4, nível difícil)

Uma aplicação rendeu 10,25% em um ano no qual a inflação foi de 5%. O ganho real do investidor, em termos de poder de compra, foi de:

A) 5,25%
B) 5,00%
C) 15,76%
D) 2,05%
E) 10,25%

Gabarito: B

Resolução.

1 + i_real = 1,1025 ÷ 1,05 = 1,05, logo o ganho real é de 5%.

Análise dos distratores.

• A: subtrai as taxas.
• C: multiplica os fatores (1,1025 × 1,05), em vez de dividi-los.
• E: ignora a inflação.

Questão 7 (H5, nível difícil)

Um consumidor tem uma parcela de R$ 2.000,00 que vence daqui a 2 meses. A financeira aceita a antecipação, aplicando o desconto correspondente a juros compostos de 5% ao mês. O valor a pagar hoje para quitar essa parcela é de, aproximadamente:

A) R$ 1.800,00
B) R$ 1.814,06
C) R$ 1.900,00
D) R$ 2.000,00
E) R$ 2.205,00

Gabarito: B

Resolução.

2.000 ÷ 1,05² = 2.000 ÷ 1,1025 ≈ R$ 1.814,06

Análise dos distratores.

• A: aplica um desconto simples de 10% sobre a parcela.
• C: considera apenas um mês de antecipação.
• E: multiplica pelo fator, levando o valor ao futuro em vez de trazê-lo ao presente.

10. Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre juros simples e compostos?

Nos simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial, e o montante cresce linearmente. Nos compostos, incidem sobre o montante acumulado, e o crescimento é exponencial.

Por que 2% ao mês não equivalem a 24% ao ano em juros compostos?

Porque cada mês incide sobre o montante já aumentado. O fator anual é 1,02¹² ≈ 1,268, ou seja, 26,8%.

O que é taxa nominal?

É uma taxa informada em um período diferente do período de capitalização. Ela é convertida proporcionalmente para o período de capitalização, e a taxa efetiva é calculada pela equivalência composta.

Como calcular o ganho real descontando a inflação?

Divida o fator da aplicação pelo fator da inflação e subtraia 1.

Como calcular o tempo em juros compostos?

Use logaritmos: n = log(M/C) ÷ log(1 + i). Se os juros são creditados ao fim de cada período, arredonde para cima.

Qual a diferença entre o SAC e o sistema Price?

No SAC, a amortização é constante, e as prestações diminuem. No Price, as prestações são constantes, e a amortização aumenta com o tempo. O SAC tem prestações iniciais maiores, mas paga menos juros no total.

Por que antecipar parcelas gera desconto?

Porque o valor justo de uma parcela futura, na data de hoje, é o seu valor presente: a parcela dividida por (1 + i)ᵏ.

Como decidir entre pagar à vista ou a prazo?

Traga todas as parcelas ao valor presente, usando a taxa que você obtém em suas aplicações, e compare com o preço à vista.

Os juros compostos têm relação com progressões?

Sim. Os montantes sucessivos formam uma PG de razão (1 + i), e as fórmulas de capitalização e de financiamento vêm da soma de PG.

12. Síntese

Nos juros compostos, os juros de cada período incidem sobre o montante acumulado. O montante é M = C · (1 + i)ⁿ, uma função exponencial do tempo, cujos valores sucessivos formam uma PG de razão (1 + i). A partir do segundo período, os juros compostos superam os simples, e a diferença cresce com o tempo.

O dinheiro tem valor diferente em datas diferentes. Para comparar valores, eles são levados a uma mesma data, multiplicando ou dividindo por (1 + i)ⁿ. Decisões entre receber hoje ou depois, ou entre pagar à vista ou a prazo, dependem da taxa disponível.

Em juros compostos, as taxas se convertem por equivalência: 1 + i_a = (1 + i_m)¹². Uma taxa nominal é convertida proporcionalmente para o período de capitalização, e a taxa efetiva vem da equivalência composta. O ganho real se obtém dividindo o fator da aplicação pelo fator da inflação.

Os logaritmos isolam o tempo, n = log(M/C) ÷ log(1 + i), e permitem calcular a taxa. Depósitos periódicos acumulam S = P · [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i.

Nos financiamentos, cada prestação é a soma dos juros sobre o saldo devedor com a amortização. No SAC, a amortização é constante e as prestações decrescem. No Price, as prestações são constantes e a amortização cresce, com maior custo total de juros. Antecipar uma parcela equivale a pagar seu valor presente.

Situação	Ferramenta
Montante	M = C(1 + i)ⁿ
Valor presente	C = M ÷ (1 + i)ⁿ
Taxa a partir de M e C	(1 + i)ⁿ = M/C
Tempo	n = log(M/C) ÷ log(1 + i)
Taxa equivalente	(1 + i₁)ⁿ¹ = (1 + i₂)ⁿ²
Taxa nominal → efetiva	proporcional no período, depois equivalência
Ganho real	fator aparente ÷ fator da inflação
Depósitos periódicos	S = P[(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i
SAC	amortização = D ÷ n; juros sobre o saldo
Price	prestação constante; P = D · i(1 + i)ⁿ ÷ [(1 + i)ⁿ − 1]
Antecipação	parcela ÷ (1 + i)ᵏ
À vista ou a prazo	comparar valores presentes

13. Glossário

Termo	Definição
Juros compostos	Regime em que os juros incidem sobre o montante acumulado
Montante	Capital acrescido dos juros
Valor presente	Valor, na data de hoje, de uma quantia futura
Valor futuro	Valor, em uma data futura, de uma quantia atual
Capitais equivalentes	Valores em datas diferentes que se igualam quando levados à mesma data
Taxas equivalentes	Taxas que produzem o mesmo montante em juros compostos
Taxa nominal	Taxa cujo período difere do período de capitalização
Taxa efetiva	Taxa que expressa o rendimento ou custo real no período informado
Taxa aparente	Rendimento nominal, sem descontar a inflação
Taxa real	Ganho de poder de compra, descontada a inflação
Capitalização	Acúmulo de valor por depósitos e juros
Financiamento	Empréstimo pago em parcelas com juros
Amortização	Parte da prestação que reduz a dívida
Saldo devedor	Valor da dívida ainda não amortizado
SAC	Sistema de amortização constante, com prestações decrescentes
Sistema Price	Sistema de prestações constantes
Antecipação	Pagamento de parcela antes do vencimento, pelo valor presente