Geometria Plana, Parte 2: Circunferência, Áreas e Composição de Figuras

Medir superfícies é uma das atividades matemáticas mais antigas e mais presentes no cotidiano:

• calcular quantos pisos cobrem uma sala ou quanta tinta é necessária para uma parede;
• avaliar a área de um terreno, comparar o preço de pizzas de tamanhos diferentes;
• estimar o desperdício de material em um corte.

Apresentação

A circunferência, por sua vez, está em rodas, engrenagens, pistas, arcos de pontes e reservatórios.

Esta segunda parte completa o estudo de geometria plana. Na Matriz de Referência, o tema mobiliza a Competência 2, com as habilidades:

• H7: identificar características de figuras planas;
• H8: resolver situação-problema envolvendo conhecimentos geométricos;
• H9: usar conhecimentos geométricos para selecionar argumentos.

Mobiliza também a Competência 3, com:

• H12: resolver problemas que envolvam medidas de grandezas;
• H13: avaliar o resultado de uma medição;
• H14: avaliar propostas de intervenção com base em conhecimentos geométricos de grandezas e medidas.

Itens de área de regiões compostas e de aproveitamento de material estão entre os mais frequentes da prova.

Este artigo apresenta:

1. a circunferência e o círculo: elementos, comprimento e arcos;
2. as posições relativas entre ponto, reta e circunferência;
3. os ângulos na circunferência;
4. as áreas dos polígonos, com a dedução de cada fórmula;
5. as áreas do círculo e de suas partes;
6. as fórmulas especiais de área do triângulo;
7. a composição e decomposição de figuras.

Como na Parte 1, as fórmulas são deduzidas. Quase todas as áreas derivam de uma única ideia: a área do retângulo.

Pré-requisitos: Geometria Plana, Parte 1 (ângulos, polígonos, triângulos, Pitágoras e semelhança) e o artigo de Grandezas e Medidas (unidades de área).

1. Circunferência e círculo

1.1 Definições

A distinção importa: a circunferência é uma linha, que tem comprimento. O círculo é uma região, que tem área.

1.2 Elementos

• Raio (r): segmento que liga o centro a um ponto da circunferência.
• Corda: segmento que liga dois pontos da circunferência.
• Diâmetro (d): corda que passa pelo centro. É a maior corda possível, e vale d = 2r.
• Arco: parte da circunferência compreendida entre dois de seus pontos.
• Flecha: segmento perpendicular a uma corda, ligando o ponto médio da corda ao ponto mais afastado do arco correspondente.

1.3 Corda, flecha e distância ao centro

A perpendicular traçada do centro a uma corda passa pelo ponto médio da corda. Isso forma um triângulo retângulo com:

• hipotenusa r, que é o raio;
• um cateto igual à metade da corda;
• outro cateto igual à distância do centro à corda.

Exemplo 1: distância do centro à corda. Em uma circunferência de raio 13 cm, uma corda mede 24 cm. A que distância do centro está a corda?

d² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, logo d = 5 cm

Exemplo 2: raio a partir da corda e da flecha. Um arco de ponte, com forma de arco de circunferência, tem vão (corda) de 8 m e altura (flecha) de 2 m. Qual é o raio?

1. A distância do centro à corda é r − 2.
2. Por Pitágoras: r² = 4² + (r − 2)².
3. r² = 16 + r² − 4r + 4, então 4r = 20 e r = 5 m.

1.4 Comprimento da circunferência e o número π

A razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro é sempre o mesmo número, chamado π:

O número π é irracional, com π ≈ 3,14159… Nas questões do ENEM, o enunciado indica a aproximação a ser usada, geralmente π ≈ 3 ou π ≈ 3,14. Use sempre a aproximação fornecida: a resposta correta depende dela.

1.5 Comprimento de arco

O comprimento de um arco é proporcional ao ângulo central correspondente.

Em graus:

Em radianos:

Essa segunda forma é a própria definição de radiano. Um ângulo de 1 radiano subtende um arco de comprimento igual ao raio.

Exemplo. Um arco de 60° em uma circunferência de raio 6 cm mede:

ℓ = (60/360) · 2π · 6 = 2π ≈ 6,28 cm

1.6 Aplicações: rodas e engrenagens

Rodas. Em uma volta completa, sem deslizar, uma roda percorre uma distância igual ao comprimento de sua circunferência. Então:

Uma roda com 60 cm de diâmetro, com π ≈ 3, percorre 3 · 0,6 = 1,8 m por volta. Para percorrer 900 m, dá 500 voltas.

Engrenagens e correias. Em duas engrenagens acopladas, ou duas polias ligadas por uma correia, os pontos de contato percorrem a mesma distância. Por isso, o número de voltas é inversamente proporcional ao raio, ou ao número de dentes.

Em uma bicicleta com coroa de 48 dentes e catraca de 16 dentes, cada volta do pedal faz a roda traseira dar 48 ÷ 16 = 3 voltas.

2. Posições relativas

2.1 Ponto e circunferência

Seja d a distância do ponto ao centro:

Condição	Posição do ponto
d < r	interior
d = r	sobre a circunferência
d > r	exterior

2.2 Reta e circunferência

Seja d a distância do centro à reta:

Condição	Posição da reta	Pontos em comum
d < r	secante	dois
d = r	tangente	um
d > r	exterior	nenhum

Duas propriedades da tangente:

• a reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência;
• de um ponto exterior, traçam-se duas tangentes, e os segmentos de tangente, do ponto exterior até os pontos de tangência, têm a mesma medida.

2.3 Duas circunferências

Sejam R e r os raios (com R ≥ r) e d a distância entre os centros:

Condição	Posição
d > R + r	exteriores
d = R + r	tangentes exteriormente
R − r < d < R + r	secantes (dois pontos comuns)
d = R − r	tangentes interiormente
d < R − r	uma interior à outra
d = 0	concêntricas

Exemplo. Com R = 5 e r = 3:

• d = 8 = 5 + 3: tangentes exteriormente;
• d = 2 = 5 − 3: tangentes interiormente;
• d = 6, entre 2 e 8: secantes.

3. Ângulos na circunferência

3.1 Ângulo central

O ângulo central tem o vértice no centro da circunferência. Sua medida é igual à medida do arco que ele determina.

3.2 Ângulo inscrito

O ângulo inscrito tem o vértice sobre a circunferência, e seus lados são cordas.

Demonstração (caso em que um lado passa pelo centro). Seja o ângulo inscrito ∠ACB, com o lado CA passando pelo centro O.

1. O triângulo OCB é isósceles, porque OC = OB = r. Seus ângulos da base são iguais: ambos medem x.
2. O ângulo central ∠AOB é ângulo externo desse triângulo. Pela Parte 1, é a soma dos dois internos não adjacentes: x + x = 2x.
3. Portanto, o ângulo inscrito (x) é metade do central (2x).

Os demais casos se reduzem a este, somando ou subtraindo ângulos.

Consequências:

• Ângulos inscritos que determinam o mesmo arco são congruentes, qualquer que seja a posição do vértice sobre o restante da circunferência.
• Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto, porque determina um arco de 180°. Assim, todo triângulo inscrito com um lado igual ao diâmetro é retângulo. Esse é o mesmo resultado da Parte 1: o circuncentro do triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa.

Exemplo. Um ângulo central mede 100°. Qualquer ângulo inscrito que determine o mesmo arco mede 50°.

3.3 Quadrilátero inscrito

Em um quadrilátero inscrito em uma circunferência, os ângulos opostos são suplementares.

O motivo: dois ângulos opostos determinam, juntos, a circunferência inteira (360°). Cada um mede metade do seu arco, e a soma dos dois é 180°.

3.4 Ângulos com vértice fora do centro (noção)

• Vértice no interior da circunferência: o ângulo é a média dos arcos determinados por ele e por seu oposto pelo vértice: (arco₁ + arco₂) ÷ 2.
• Vértice no exterior: o ângulo é a metade da diferença entre o arco maior e o arco menor: (arco maior − arco menor) ÷ 2.

4. Áreas dos polígonos

4.1 O que é área

Área é a medida da superfície ocupada por uma figura. Medir uma área é contar quantas vezes uma unidade quadrada, como 1 m² ou 1 cm², cabe na figura.

As conversões entre unidades de área usam o fator 100 por degrau, como visto no artigo de Grandezas e Medidas.

4.2 Retângulo e quadrado

Um retângulo de base b e altura h pode ser dividido em b fileiras de h quadradinhos unitários:

Todas as demais fórmulas de área decorrem desta.

4.3 Paralelogramo

Recortando um triângulo retângulo de um lado do paralelogramo e encaixando-o do outro lado, obtém-se um retângulo de mesma base e mesma altura:

A altura é a distância perpendicular entre as bases, e não a medida do lado inclinado. Essa é a fonte de erro mais comum nessa fórmula.

4.4 Triângulo

Dois triângulos congruentes, unidos por um lado, formam um paralelogramo. Logo, cada triângulo tem metade da área do paralelogramo:

A altura deve ser relativa à base escolhida: perpendicular a ela, partindo do vértice oposto.

Casos particulares:

• Triângulo retângulo: um cateto é a altura relativa ao outro. A = (b · c) ÷ 2.
• Triângulo equilátero de lado ℓ: com a altura ℓ√3/2, obtida na Parte 1:

4.5 Trapézio

Dois trapézios congruentes, um deles girado, formam um paralelogramo de base (B + b) e altura h. Cada trapézio tem metade dessa área:

Em palavras: a média das bases vezes a altura.

4.6 Losango

As diagonais do losango são perpendiculares. O losango ocupa exatamente metade do retângulo cujos lados são iguais às diagonais:

Como o quadrado é um losango, sua área também pode ser calculada pela diagonal: A = d² ÷ 2.

4.7 Hexágono regular

O hexágono regular de lado ℓ é formado por seis triângulos equiláteros de lado ℓ, com vértice comum no centro:

Exemplo. Um hexágono regular de lado 2 cm tem área 3 · 4 · √3 ÷ 2 = 6√3 ≈ 10,39 cm².

4.8 Quadro-resumo

Figura	Área
Retângulo	b · h
Quadrado	ℓ² ou d²/2
Paralelogramo	b · h
Triângulo	b · h/2
Triângulo retângulo	(cateto · cateto)/2
Triângulo equilátero	ℓ²√3/4
Trapézio	(B + b) · h/2
Losango	D · d/2
Hexágono regular	3ℓ²√3/2

5. Áreas do círculo e de suas partes

5.1 Área do círculo

Ideia da dedução. Divida o círculo em muitos setores estreitos e disponha-os lado a lado, alternando a ponta para cima e para baixo. A figura obtida se aproxima de um paralelogramo cada vez mais parecido com um retângulo:

• a base é metade da circunferência, πr;
• a altura é o raio r.

Sua área é πr · r = πr².

Cuidado com o diâmetro. Um círculo com diâmetro 10 cm tem raio 5 cm, e área 25π ≈ 78,5 cm². Usar o diâmetro no lugar do raio quadruplica a área.

5.2 Setor circular

O setor circular é a "fatia" do círculo limitada por dois raios e um arco. Sua área é proporcional ao ângulo central:

A terceira forma lembra a área do triângulo: o setor se comporta como um "triângulo" de base ℓ e altura r.

Exemplo. Um setor de 90° em um círculo de raio 4 cm tem área (1/4) · 16π = 4π ≈ 12,56 cm².

5.3 Segmento circular

O segmento circular é a região entre uma corda e o arco correspondente:

O triângulo é formado pelos dois raios e pela corda.

Exemplo. Em um círculo de raio 6 cm, com ângulo central de 90°:

• setor: (1/4) · 36π = 9π;
• triângulo retângulo de catetos 6 e 6: 18;
• segmento: 9π − 18 ≈ 10,26 cm², usando π ≈ 3,14.

5.4 Coroa circular

A coroa circular é a região entre duas circunferências concêntricas de raios R e r:

Exemplo. Com R = 5 cm e r = 3 cm: A = π(25 − 9) = 16π ≈ 50,24 cm².

Atenção: π(R² − r²) é diferente de π(R − r)². No exemplo, π(5 − 3)² = 4π, valor muito menor que o correto.

6. Fórmulas especiais para a área do triângulo

6.1 Dois lados e o ângulo entre eles

Dedução. Tomando a como base, a altura relativa é h = b · sen θ. Logo, A = a · b · sen θ ÷ 2.

Os valores de seno mais usados são:

θ	30°	45°	60°	90°
sen θ	1/2	√2/2	√3/2	1

Esses valores são estudados no artigo de Trigonometria (bloco 13).

Exemplo. Um triângulo tem lados de 8 cm e 10 cm, formando um ângulo de 30°:

A = 8 · 10 · (1/2) ÷ 2 = 20 cm²

6.2 Fórmula de Heron: os três lados

Exemplo 1. Um terreno triangular tem lados de 13 m, 14 m e 15 m.

1. p = 42 ÷ 2 = 21.
2. A = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7.056 = 84 m².

Exemplo 2. Para conferir com um caso conhecido, o triângulo 3, 4, 5 tem p = 6:

A = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6

Esse é o mesmo valor obtido por (3 · 4) ÷ 2.

6.3 Triângulo inscrito em uma circunferência

Se o triângulo de lados a, b e c está inscrito em uma circunferência de raio R:

6.4 Triângulo circunscrito a uma circunferência

Se a circunferência de raio r está inscrita no triângulo, tangenciando seus três lados:

Dedução. Ligando o incentro aos três vértices, o triângulo se divide em três triângulos, cada um com base igual a um lado e altura r. A soma é (a + b + c) · r ÷ 2 = p · r.

Exemplo. No triângulo 13, 14, 15, com área 84 e p = 21:

• raio da circunferência inscrita: r = 84 ÷ 21 = 4 m;
• raio da circunferência circunscrita: R = (13 · 14 · 15) ÷ (4 · 84) = 2.730 ÷ 336 = 8,125 m.

6.5 Qual fórmula usar

Dados disponíveis	Fórmula
Base e altura	b · h/2
Dois lados e o ângulo entre eles	a · b · sen θ/2
Os três lados	Heron
Três lados e o raio da circunferência circunscrita	abc/(4R)
Semiperímetro e raio da circunferência inscrita	p · r
Lado do triângulo equilátero	ℓ²√3/4

7. Composição e decomposição de figuras

7.1 As duas estratégias

Quase toda área "complicada" se resolve por uma de duas estratégias:

• decomposição (soma): dividir a figura em partes de área conhecida e somar;
• complementação (subtração): calcular a área de uma figura maior e conhecida, e subtrair o que não faz parte da região desejada.

7.2 Decomposição

Exemplo: terreno em forma de L. Um terreno é um retângulo de 10 m × 8 m do qual foi retirado um retângulo de 4 m × 3 m em um dos cantos.

• Por subtração: 80 − 12 = 68 m².
• Por decomposição em dois retângulos, o resultado é o mesmo.

Dica: quando uma das estratégias exige muitas partes, a outra geralmente é mais rápida.

7.3 Regiões sombreadas com arcos

Exemplo 1: quadrado com círculo inscrito. Um quadrado de lado 10 cm tem um círculo inscrito. Qual é a área da região do quadrado fora do círculo? Use π ≈ 3,14.

1. O círculo tem raio 5 cm, e área 25π ≈ 78,5 cm².
2. Região: 100 − 78,5 = 21,5 cm².

Exemplo 2: a "folha" entre dois quartos de círculo. Em um quadrado de lado a, traçam-se dois quartos de círculo de raio a, centrados em dois vértices opostos. A região comum aos dois quartos de círculo tem forma de folha.

1. Cada quarto de círculo tem área πa²/4.
2. A folha é formada por dois segmentos circulares, cada um igual ao quarto de círculo menos um triângulo de área a²/2.
3. Área da folha: 2 · (πa²/4 − a²/2) = a²(π/2 − 1).

Para a = 10 cm, a área é 100 · (1,5708 − 1) ≈ 57,08 cm².

7.4 Figuras em malha quadriculada

Em uma malha quadriculada, a área pode ser obtida de três formas:

• contando quadradinhos inteiros e completando os parciais;
• decompondo a figura em retângulos e triângulos;
• inscrevendo a figura em um retângulo e subtraindo os triângulos dos cantos. Essa costuma ser a forma mais rápida para polígonos inclinados.

Curiosidade: teorema de Pick. Para polígonos com vértices nos nós da malha:

em que I é o número de pontos da malha no interior do polígono e B, o número de pontos sobre o contorno.

O triângulo de vértices (0, 0), (4, 0) e (0, 3) tem B = 8 e I = 3:

A = 3 + 4 − 1 = 6

Esse é o mesmo valor obtido por (4 · 3) ÷ 2.

7.5 Revestimento e quantidade de material

Procedimento:

1. Calcule a área a ser revestida.
2. Calcule a área de uma peça, na mesma unidade.
3. Divida a primeira pela segunda.
4. Acrescente a margem de perda, se o enunciado pedir.
5. Arredonde para cima: não se compra fração de peça.

Exemplo. Uma sala de 5 m × 4 m será revestida com pisos de 50 cm × 50 cm.

1. Área da sala: 20 m².
2. Área de cada piso: 0,5 × 0,5 = 0,25 m².
3. Número de pisos: 20 ÷ 0,25 = 80.
4. Com 10% de margem para perdas: 80 × 1,1 = 88 pisos.

7.6 Aproveitamento e desperdício

Exemplo. De uma chapa quadrada de 40 cm de lado, deseja-se cortar discos. Compare duas opções: um único disco de 40 cm de diâmetro, ou quatro discos de 20 cm de diâmetro.

• Um disco: área π · 20² = 400π.
• Quatro discos: área 4 · π · 10² = 400π.

As duas opções aproveitam a mesma área. O desperdício é:

1 − 400π/1.600 = 1 − π/4 ≈ 21,5%

Esse resultado não é coincidência. Os quatro discos menores formam quatro cópias reduzidas, na razão 1/2, da configuração "quadrado com círculo inscrito". A razão entre as áreas de cada cópia e a original é (1/2)² = 1/4, e há quatro cópias. A proporção de área aproveitada é a mesma.

7.7 Áreas e semelhança

Se duas figuras são semelhantes, com razão de semelhança k, a razão entre suas áreas é k².

• Uma pizza de 40 cm de diâmetro tem (40/30)² = 16/9 ≈ 1,78 vez a área de uma de 30 cm.
• Uma fotografia ampliada para 150% tem 1,5² = 2,25 vezes a área original.

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Circunferência	Círculo	A circunferência é a linha (tem comprimento); o círculo é a região (tem área)
Comprimento 2πr	Área πr²	Um é linear; a outra é quadrática
Raio	Diâmetro	d = 2r; usar o diâmetro na fórmula da área quadruplica o resultado
Ângulo central	Ângulo inscrito	O inscrito mede metade do central de mesmo arco
Setor circular	Segmento circular	O segmento é o setor menos o triângulo
π(R² − r²)	π(R − r)²	Só a primeira é a área da coroa
Altura do paralelogramo	Lado inclinado	A altura é a distância perpendicular entre as bases
Perímetro	Área	Perímetro mede o contorno; área mede a superfície
Razão de semelhança k	Razão entre áreas	A razão entre as áreas é k²
Número de voltas	Comprimento da circunferência	voltas = distância ÷ comprimento

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Usar o diâmetro no lugar do raio. Controle: verifique se o dado é r ou d antes de aplicar a fórmula.

Confundir comprimento com área do círculo. Controle: área tem unidade ao quadrado (cm²); comprimento, unidade linear (cm).

Usar o lado inclinado como altura. Controle: a altura é sempre perpendicular à base.

Esquecer de dividir por 2 nas áreas do triângulo e do losango. Controle: lembre que eles são metade de um paralelogramo ou de um retângulo.

Misturar unidades. Dividir metros quadrados por centímetros quadrados. Controle: converta antes de dividir.

Arredondar para baixo a quantidade de peças. Controle: em compras de material, arredonde sempre para cima.

Usar uma aproximação de π diferente da indicada. Controle: use exatamente o valor do enunciado.

Calcular a coroa como π(R − r)². Controle: calcule as duas áreas e subtraia.

Supor que o ângulo inscrito é igual ao central. Controle: o inscrito é sempre a metade.

Verificação geral. Confira se a área da parte é menor que a área do todo e se a unidade do resultado é quadrada.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H8, nível fácil)

A roda de uma bicicleta tem 60 cm de diâmetro. Considerando π ≈ 3, o número de voltas completas que essa roda dá para percorrer 900 m é:

A) 250
B) 500
C) 1.000
D) 1.500
E) 5.000

Gabarito: B

Resolução.

1. Comprimento da roda: π · d = 3 × 0,6 = 1,8 m.
2. Número de voltas: 900 ÷ 1,8 = 500.

Análise dos distratores.

• A: usa 2π · d, tratando o diâmetro como raio.
• C: usa π · r, tratando o raio como diâmetro.
• D: divide pela medida do diâmetro, sem multiplicar por π.

Questão 2 (H12, nível fácil)

Uma sala retangular de 6 m por 4,5 m será revestida com pisos quadrados de 60 cm de lado. Desconsiderando perdas, o número de pisos necessários é:

A) 45
B) 75
C) 270
D) 750
E) 7.500

Gabarito: B

Resolução.

1. Área da sala: 6 × 4,5 = 27 m².
2. Área de cada piso: 0,6 × 0,6 = 0,36 m².
3. Número de pisos: 27 ÷ 0,36 = 75.

Análise dos distratores.

• A: divide a área da sala pela medida do lado do piso (27 ÷ 0,6).
• D e E: erram a conversão da área do piso em metros quadrados.

Questão 3 (H8, nível médio)

Em uma placa quadrada de 20 cm de lado, foi recortado o maior círculo possível. Considerando π ≈ 3,14, a área da sobra da placa é:

A) 86 cm²
B) 314 cm²
C) 337,2 cm²
D) 400 cm²
E) 714 cm²

Gabarito: A

Resolução.

1. O círculo tem raio 10 cm e área 3,14 × 100 = 314 cm².
2. A sobra é 400 − 314 = 86 cm².

Análise dos distratores.

• B: é a área do círculo, e não da sobra.
• C: subtrai o comprimento da circunferência (62,8 cm) da área do quadrado, misturando medida linear com área.
• E: soma as duas áreas.

Questão 4 (H7, nível médio)

Três pontos, A, B e C, estão sobre uma pista circular de centro O. O ângulo central ∠AOB mede 140°. Um observador posicionado em C, sobre o arco maior AB, observa os pontos A e B. O ângulo ∠ACB sob o qual o observador vê esses pontos mede:

A) 35°
B) 70°
C) 110°
D) 140°
E) 220°

Gabarito: B

Resolução. O ângulo ∠ACB é inscrito e determina o mesmo arco que o ângulo central de 140°. Portanto, mede 140° ÷ 2 = 70°.

Análise dos distratores.

• D: iguala o ângulo inscrito ao central.
• C: seria a resposta se o observador estivesse sobre o arco menor, porque o ângulo inscrito determinaria o arco de 360° − 140° = 220°, e mediria 110°.

Questão 5 (H8, nível médio)

Um terreno tem a forma de um triângulo cujos lados medem 13 m, 14 m e 15 m. A área desse terreno é:

A) 42 m²
B) 84 m²
C) 91 m²
D) 105 m²
E) 2.730 m²

Gabarito: B

Resolução. Pela fórmula de Heron, com p = 21:

A = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7.056 = 84 m²

Análise dos distratores.

• C e D: supõem que o triângulo é retângulo e usam dois dos lados como catetos (13 · 14 ÷ 2 e 14 · 15 ÷ 2). Como 15² ≠ 13² + 14², o triângulo não é retângulo.
• E: é o simples produto dos lados.

Questão 6 (H8, nível difícil)

Uma ponte tem um arco com forma de arco de circunferência. O vão do arco, medido no nível da base, é de 16 m, e a altura máxima do arco em relação a essa base é de 4 m. O raio da circunferência que contém o arco é:

A) 4 m
B) 8 m
C) 10 m
D) 12 m
E) 20 m

Gabarito: C

Resolução. A corda mede 16 m, e a flecha, 4 m. Pela relação entre corda, flecha e raio:

r² = 8² + (r − 4)²
r² = 64 + r² − 8r + 16
8r = 80
r = 10 m

Análise dos distratores.

• B: toma a metade do vão como raio, supondo que o arco é uma semicircunferência. Nesse caso, a altura seria 8 m, e não 4 m.
• A: confunde a flecha com o raio.

Questão 7 (H9, nível difícil)

Uma oficina dispõe de chapas quadradas de 40 cm de lado e pode cortar, de cada uma, um disco de 40 cm de diâmetro ou quatro discos de 20 cm de diâmetro. Considerando π ≈ 3,14, sobre o desperdício de material nas duas opções, é correto afirmar que:

A) a opção com quatro discos desperdiça menos material.
B) a opção com um disco desperdiça menos material.
C) as duas opções desperdiçam a mesma área, cerca de 21,5% da chapa.
D) as duas opções desperdiçam a mesma área, cerca de 78,5% da chapa.
E) a opção com quatro discos desperdiça quatro vezes mais material.

Gabarito: C

Resolução.

• Um disco de raio 20 cm tem área 400π.
• Quatro discos de raio 10 cm têm área 4 · 100π = 400π.
• As áreas aproveitadas são iguais. O desperdício é 1 − 400π/1.600 = 1 − π/4 ≈ 21,5%.

Análise dos distratores.

• D: indica a área aproveitada, e não a desperdiçada.
• A e E: supõem que cortar mais peças sempre aumenta ou diminui a sobra.

11. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre circunferência e círculo?

A circunferência é a linha que contorna; o círculo é a região interna, incluindo a linha. A circunferência tem comprimento, e o círculo tem área.

Qual valor de π devo usar?

Sempre o indicado no enunciado. Se nenhum valor for dado, as alternativas costumam estar em função de π.

Por que o ângulo inscrito é metade do central?

Porque, no triângulo isósceles formado por dois raios, o ângulo central é ângulo externo e vale a soma dos dois ângulos iguais da base, um dos quais é o inscrito.

Por que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo?

Porque o ângulo oposto ao diâmetro é inscrito em um arco de 180° e, portanto, mede 90°.

Como calcular a área de um triângulo sem a altura?

Com dois lados e o ângulo entre eles, use a · b · sen θ ÷ 2. Com os três lados, use a fórmula de Heron.

Qual a diferença entre setor e segmento circular?

O setor é a "fatia de pizza", limitada por dois raios e um arco. O segmento é a região entre uma corda e o arco: é o setor menos o triângulo formado pelos raios e pela corda.

Como calcular a área de uma figura irregular?

Divida-a em figuras conhecidas e some as áreas, ou inscreva-a em uma figura maior e subtraia as partes que sobram.

Por que arredondar para cima a quantidade de pisos?

Porque não se compra fração de peça, e faltaria material para cobrir toda a área.

Se o diâmetro de um círculo dobra, o que acontece com a área?

A área fica multiplicada por 4, porque depende do quadrado do raio.

13. Síntese

A circunferência é o conjunto de pontos a uma distância r do centro, e o círculo é a região que ela limita. O diâmetro é a maior corda, d = 2r. O comprimento da circunferência é 2πr, e o comprimento de um arco é proporcional ao seu ângulo central, valendo θ · r quando θ está em radianos. A perpendicular do centro a uma corda passa pelo seu ponto médio, o que relaciona raio, corda e flecha por Pitágoras.

As posições relativas entre ponto, reta e circunferência dependem da comparação entre a distância ao centro e o raio. Entre duas circunferências, dependem da comparação entre a distância entre os centros e R + r ou R − r. A reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

O ângulo inscrito mede metade do central de mesmo arco. Por isso, todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto, e os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares.

Todas as áreas de polígonos derivam da área do retângulo:

• o paralelogramo é um retângulo rearranjado;
• o triângulo é metade de um paralelogramo;
• o trapézio é metade de um paralelogramo de base B + b;
• o losango é metade do retângulo das diagonais;
• o hexágono regular reúne seis triângulos equiláteros.

A área do círculo é πr². O setor é proporcional ao ângulo, o segmento é o setor menos o triângulo, e a coroa é π(R² − r²). A área do triângulo também pode ser obtida por dois lados e o seno do ângulo entre eles, pela fórmula de Heron, por abc/(4R) ou por p · r.

Áreas complexas se resolvem por decomposição (somando partes) ou complementação (subtraindo de uma figura maior). Em problemas de revestimento, as unidades devem ser compatíveis, e a quantidade de peças é arredondada para cima.

Situação	Ferramenta
Comprimento da circunferência	C = 2πr
Comprimento de arco	(α/360°) · 2πr ou θ · r
Voltas de uma roda	distância ÷ 2πr
Corda, flecha e raio	Pitágoras com metade da corda
Ângulo inscrito	metade do central
Triângulo	b · h/2
Trapézio	(B + b) · h/2
Losango	D · d/2
Triângulo equilátero	ℓ²√3/4
Hexágono regular	3ℓ²√3/2
Círculo	πr²
Setor	(α/360°) · πr²
Coroa	π(R² − r²)
Triângulo com dois lados e ângulo	a · b · sen θ/2
Triângulo com três lados	Heron
Região sombreada	área maior − área retirada
Revestimento	área ÷ área da peça, arredondando para cima

14. Glossário

Termo	Definição
Circunferência	Conjunto dos pontos do plano a uma distância fixa de um centro
Círculo	Região do plano limitada por uma circunferência
Raio	Segmento do centro a um ponto da circunferência
Corda	Segmento que liga dois pontos da circunferência
Diâmetro	Corda que passa pelo centro
Arco	Parte da circunferência entre dois de seus pontos
Flecha	Segmento do ponto médio da corda ao ponto mais afastado do arco
π	Razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência
Reta secante	Reta com dois pontos em comum com a circunferência
Reta tangente	Reta com um único ponto em comum com a circunferência
Ângulo central	Ângulo com vértice no centro da circunferência
Ângulo inscrito	Ângulo com vértice na circunferência e lados que são cordas
Área	Medida da superfície ocupada por uma figura
Setor circular	Região limitada por dois raios e um arco
Segmento circular	Região limitada por uma corda e um arco
Coroa circular	Região entre duas circunferências concêntricas
Semiperímetro	Metade do perímetro
Fórmula de Heron	Área do triângulo em função dos três lados
Decomposição	Divisão de uma figura em partes de área conhecida
Complementação	Cálculo de uma área como diferença entre uma figura maior e as partes excluídas