Geometria Plana, Parte 1: Ângulos, Polígonos, Triângulos e Semelhança

A geometria plana estuda as figuras contidas em um plano: pontos, retas, ângulos, polígonos e circunferências. Mais do que um catálogo de fórmulas, ela é um sistema de raciocínio dedutivo. Cada propriedade decorre de propriedades anteriores, e a maior parte dos resultados importantes pode ser demonstrada a partir de poucas ideias:

• a soma dos ângulos de um triângulo;
• o paralelismo;
• a congruência;
• a semelhança.

Apresentação

Medindo uma altura pela sombra. Raios paralelos formam triângulos semelhantes.

No ENEM, a geometria aparece em contextos concretos: pisos e ladrilhos, rampas e escadas, sombras e alturas inacessíveis, plantas de terrenos, localização de equipamentos públicos.

Na Matriz de Referência, o tema forma a Competência de área 2: utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. Essa competência reúne quatro habilidades:

• H6: interpretar a localização e a movimentação de pessoas e objetos no espaço e sua representação no plano;
• H7: identificar características de figuras planas ou espaciais;
• H8: resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma;
• H9: utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Os cálculos de medidas também mobilizam a Competência 3, especialmente H12 e H14.

Esta é a primeira parte do estudo de geometria plana. Ela trata de:

1. conceitos fundamentais e medida de ângulos;
2. relações entre ângulos, incluindo retas paralelas cortadas por uma transversal;
3. polígonos: ângulos, diagonais, ladrilhamentos e simetrias;
4. quadriláteros e suas propriedades;
5. triângulos: existência, classificação, congruência, cevianas e pontos notáveis;
6. o triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras;
7. o teorema de Tales e a semelhança de triângulos.

A Parte 2 tratará da circunferência, das áreas de figuras planas e da composição e decomposição de figuras.

Pré-requisitos: o artigo de Razão, Proporção e Regra de Três, equações do 1º e do 2º grau (bloco 7) e radiciação (bloco 0).

1. Conceitos fundamentais

1.1 Ponto, reta e plano

Ponto, reta e plano são conceitos primitivos: são aceitos sem definição e caracterizados por suas propriedades.

• O ponto não tem dimensão. É indicado por letras maiúsculas: A, B, P.
• A reta tem uma dimensão, é ilimitada nos dois sentidos e não tem espessura. É indicada por letras minúsculas (r, s) ou por dois de seus pontos (reta AB).
• O plano tem duas dimensões e é ilimitado. É indicado por letras gregas: α, β.

Duas propriedades básicas orientam todo o resto:

• por dois pontos distintos passa uma única reta;
• por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela a ela. Esse é o postulado das paralelas, que fundamenta a geometria euclidiana.

1.2 Segmento e semirreta

• Segmento de reta AB é a parte da reta compreendida entre os pontos A e B, incluindo-os. Tem medida finita, indicada por AB.
• Semirreta é a parte da reta que começa em um ponto, chamado origem, e se prolonga indefinidamente em um sentido.
• O ponto médio de um segmento é o ponto que o divide em dois segmentos de mesma medida.

1.3 Posições relativas de duas retas no plano

Posição	Pontos em comum
Concorrentes	exatamente um
Paralelas distintas	nenhum
Coincidentes	todos

Retas perpendiculares são retas concorrentes que formam ângulos de 90°.

1.4 Ângulo e suas unidades de medida

Grau. Uma volta completa mede 360°. Os submúltiplos do grau são o minuto, com 1° = 60′, e o segundo, com 1′ = 60″.

Radiano. Um ângulo de 1 radiano corresponde a um arco de comprimento igual ao raio da circunferência. Uma volta completa mede 2π rad, e daí vem a relação fundamental:

Para converter, use regra de três:

• 60° = 60 × π/180 = π/3 rad
• 3π/4 rad = (3/4) × 180° = 135°

O radiano é a unidade natural da trigonometria, estudada no bloco 13.

2. Ângulos

2.1 Classificação

Ângulo	Medida
Nulo	0°
Agudo	entre 0° e 90°
Reto	90°
Obtuso	entre 90° e 180°
Raso	180°
De uma volta	360°

2.2 Ângulos complementares, suplementares e replementares

Relação	Soma	O "outro" ângulo de x
Complementares	90°	complemento: 90° − x
Suplementares	180°	suplemento: 180° − x
Replementares	360°	replemento: 360° − x

Exemplo. Qual é o ângulo cujo suplemento é o triplo do complemento?

180° − x = 3(90° − x)
180° − x = 270° − 3x
2x = 90°
x = 45°

Verificação: o suplemento de 45° é 135°, e o complemento é 45°. De fato, 135° = 3 × 45°.

2.3 Ângulos opostos pelo vértice

Quando duas retas se cruzam, formam quatro ângulos. Os ângulos não adjacentes são chamados opostos pelo vértice.

Demonstração. Sejam x e y dois ângulos opostos pelo vértice, e z um ângulo adjacente a ambos. Como x + z = 180° e y + z = 180°, então x = y.

2.4 Bissetriz

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice e divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

Todo ponto da bissetriz está à mesma distância dos dois lados do ângulo. Essa propriedade será usada na construção do incentro (seção 5.8).

2.5 Retas paralelas cortadas por uma transversal

Quando duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal t, formam-se oito ângulos: quatro em cada ponto de cruzamento. Eles se relacionam assim:

Par de ângulos	Posição	Relação
Correspondentes	mesma posição relativa em cada cruzamento	congruentes
Alternos internos	entre as paralelas, em lados opostos da transversal	congruentes
Alternos externos	fora das paralelas, em lados opostos da transversal	congruentes
Colaterais internos	entre as paralelas, do mesmo lado da transversal	suplementares
Colaterais externos	fora das paralelas, do mesmo lado da transversal	suplementares

Regra prática. Na figura formada por duas paralelas e uma transversal não perpendicular, só existem duas medidas de ângulo: uma aguda e uma obtusa, e elas somam 180°. Todo ângulo agudo é igual a todo outro agudo, e todo obtuso é igual a todo outro obtuso.

Exemplo 1. Dois ângulos alternos internos medem 2x + 10° e 3x − 20°. Qual é a medida de cada um?

Como são congruentes: 2x + 10 = 3x − 20, então x = 30, e cada ângulo mede 70°.

Exemplo 2. Dois ângulos colaterais internos medem 2x + 10° e x + 20°. Quais são suas medidas?

Como são suplementares: 3x + 30 = 180, então x = 50. Os ângulos medem 110° e 70°.

Recíproca. Se uma transversal forma com duas retas ângulos correspondentes congruentes, então as retas são paralelas. Esse é o critério usado para provar paralelismo.

2.6 Aplicação: ângulo entre os ponteiros de um relógio

• O ponteiro dos minutos dá uma volta (360°) em 60 minutos: anda 6° por minuto.
• O ponteiro das horas dá uma volta em 12 horas: anda 30° por hora, ou 0,5° por minuto.

Às h horas e m minutos, medindo a partir do 12:

• o ponteiro das horas está em 30h + 0,5m;
• o ponteiro dos minutos está em 6m.

O ângulo entre eles é:

Se o resultado for maior que 180°, o menor ângulo é 360° − θ.

Exemplo. Às 3h30, θ = |90 − 165| = 75°.

O erro comum é responder 90°, supondo que o ponteiro das horas está exatamente sobre o 3. Na verdade, às 3h30 ele já está na metade do caminho entre o 3 e o 4.

3. Polígonos

3.1 Conceito e elementos

Seus elementos são:

• os lados e os vértices;
• os ângulos internos, formados por dois lados consecutivos;
• os ângulos externos, formados por um lado e o prolongamento do lado consecutivo. Cada ângulo externo é suplementar ao interno correspondente;
• as diagonais, segmentos que ligam dois vértices não consecutivos.

Convexo e côncavo.

• Um polígono é convexo quando qualquer segmento que liga dois de seus pontos fica inteiramente dentro dele. Todos os ângulos internos são menores que 180°.
• É côncavo quando tem pelo menos um ângulo interno maior que 180°: tem uma "reentrância".

Regular. Um polígono é regular quando tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. As duas condições são necessárias:

• o losango tem os lados iguais, mas não necessariamente os ângulos: não é regular;
• o retângulo tem os ângulos iguais, mas não necessariamente os lados: não é regular;
• o quadrado satisfaz as duas condições: é regular.

3.2 Nomenclatura

Lados	Nome	Lados	Nome
3	triângulo	8	octógono
4	quadrilátero	9	eneágono
5	pentágono	10	decágono
6	hexágono	11	undecágono
7	heptágono	12	dodecágono
		20	icoságono

3.3 Soma dos ângulos internos

Dedução. A partir de um vértice de um polígono convexo de n lados, traçam-se todas as diagonais possíveis. Elas dividem o polígono em n − 2 triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é 180° (seção 5.3), a soma total é (n − 2) · 180°.

Polígono	n	Sᵢ
Triângulo	3	180°
Quadrilátero	4	360°
Pentágono	5	540°
Hexágono	6	720°
Octógono	8	1.080°

3.4 Soma dos ângulos externos

Interpretação. Imagine uma pessoa caminhando sobre o contorno do polígono. Em cada vértice, ela gira exatamente o ângulo externo. Ao voltar ao ponto de partida, terá completado uma volta inteira: 360°.

Verificação algébrica. Em cada vértice, interno + externo = 180°. Somando os n vértices, Sᵢ + Sₑ = 180n. Logo, Sₑ = 180n − (n − 2) · 180 = 360°.

3.5 Ângulos do polígono regular

Em um polígono regular de n lados, todos os ângulos internos são iguais, assim como todos os externos:

O ângulo central é formado por dois segmentos que ligam o centro do polígono a dois vértices consecutivos. No polígono regular, ele é igual ao ângulo externo.

Polígono regular	Interno	Externo e central
Triângulo equilátero	60°	120°
Quadrado	90°	90°
Pentágono	108°	72°
Hexágono	120°	60°
Octógono	135°	45°
Dodecágono	150°	30°

Estratégia: comece pelo ângulo externo. Para descobrir o número de lados a partir do ângulo interno, é mais rápido usar o externo.

Exemplo. Um polígono regular tem ângulo interno de 140°. Quantos lados tem?

1. Ângulo externo: 180° − 140° = 40°.
2. n = 360° ÷ 40° = 9 lados (eneágono).

3.6 Diagonais

Dedução. De cada vértice partem diagonais para todos os outros vértices, exceto para ele mesmo e para os dois vizinhos. São n − 3 diagonais por vértice. Multiplicando por n vértices, cada diagonal é contada duas vezes, uma em cada extremidade. Por isso, divide-se por 2.

• Hexágono: d = 6 · 3 ÷ 2 = 9 diagonais.
• Decágono: d = 10 · 7 ÷ 2 = 35 diagonais.

Diagonais que passam pelo centro. Em um polígono regular com número par de lados, há n/2 diagonais que passam pelo centro, ligando vértices opostos. As demais não passam:

• Hexágono: 3 passam pelo centro e 6 · 2 ÷ 2 = 6 não passam. Total: 9.
• Octógono: 4 passam pelo centro e 8 · 4 ÷ 2 = 16 não passam. Total: 20.

Em polígonos regulares com número ímpar de lados, nenhuma diagonal passa pelo centro.

3.7 Ladrilhamento do plano

Para que polígonos regulares cubram um piso sem sobreposições e sem espaços vazios, os ângulos que se encontram em cada vértice devem somar exatamente 360°.

Com um único tipo de polígono regular, o ângulo interno precisa ser um divisor de 360°. Só três polígonos satisfazem essa condição:

Polígono	Ângulo interno	Peças por vértice
Triângulo equilátero	60°	6
Quadrado	90°	4
Hexágono regular	120°	3

O pentágono regular (108°) não serve, porque 360 ÷ 108 não é inteiro. Também não serve nenhum polígono regular com mais de 6 lados, pois seu ângulo interno fica entre 120° e 180°, e duas peças deixariam uma lacuna menor que o próprio ângulo.

Com dois tipos de polígono, há outras combinações. Por exemplo, dois octógonos regulares e um quadrado: 135° + 135° + 90° = 360°. Esse é o padrão de muitos pisos cerâmicos.

3.8 Simetrias de figuras planas

Uma figura tem simetria quando existe uma transformação que a leva sobre si mesma.

• Reflexão: espelhamento em relação a uma reta, o eixo de simetria.
• Rotação: giro em torno de um ponto, o centro de rotação, por um ângulo menor que 360°.
• Translação: deslocamento em uma direção. Só deixa invariantes figuras ilimitadas, como faixas decorativas e padrões de piso.

Figura	Eixos de simetria	Menor rotação que a deixa invariante
Polígono regular de n lados	n	360° ÷ n
Retângulo (não quadrado)	2	180°
Losango (não quadrado)	2	180°
Paralelogramo (sem ser retângulo ou losango)	0	180°
Trapézio isósceles	1	não tem

4. Quadriláteros: propriedades

Esta seção trata das propriedades dos quadriláteros. Suas áreas são desenvolvidas na Parte 2.

Quadrilátero	Definição	Propriedades principais
Trapézio	pelo menos um par de lados paralelos (as bases)	ângulos de um mesmo lado não paralelo são suplementares
Trapézio isósceles	trapézio com lados não paralelos congruentes	ângulos de cada base congruentes; diagonais congruentes
Trapézio retângulo	trapézio com dois ângulos retos	um lado não paralelo é perpendicular às bases
Paralelogramo	dois pares de lados paralelos	lados opostos congruentes; ângulos opostos congruentes; diagonais se cortam ao meio
Retângulo	paralelogramo com quatro ângulos retos	diagonais congruentes
Losango	paralelogramo com quatro lados congruentes	diagonais perpendiculares e bissetrizes dos ângulos
Quadrado	retângulo e losango ao mesmo tempo	todas as propriedades anteriores

Hierarquia de inclusão. Todo quadrado é retângulo e é losango. Todo retângulo e todo losango são paralelogramos. Os quadrados formam a interseção dos retângulos com os losangos, como no artigo de Conjuntos.

Atenção à convenção. Muitos livros brasileiros definem trapézio como o quadrilátero com exatamente um par de lados paralelos. Nessa convenção, o paralelogramo não é trapézio. Este artigo adota a definição inclusiva (pelo menos um par), na qual todo paralelogramo é trapézio, e a fórmula de área do trapézio também vale para o paralelogramo. Em uma questão, prevalece a definição adotada pelo enunciado.

Perímetro é a soma das medidas dos lados. Um retângulo de lados 8 cm e 5 cm tem perímetro 2 · (8 + 5) = 26 cm.

5. Triângulos

5.1 Condição de existência

Nem toda terna de números forma um triângulo.

Interpretação. Se a soma de dois lados fosse menor que o terceiro, os dois lados menores não conseguiriam "se encontrar". Se fosse igual, eles ficariam deitados sobre o terceiro, sem formar triângulo.

Na prática, basta verificar se o maior lado é menor que a soma dos outros dois.

• 3, 4 e 8: como 8 > 3 + 4, não formam triângulo.
• 5, 7 e 10: como 10 < 5 + 7, formam triângulo.

Exemplo. Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 9 cm. Quais valores pode ter o terceiro lado?

9 − 4 < x < 9 + 4, ou seja, 5 < x < 13.

5.2 Classificação

Quanto aos lados:

• equilátero: três lados congruentes;
• isósceles: pelo menos dois lados congruentes;
• escaleno: três lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos:

• acutângulo: três ângulos agudos;
• retângulo: um ângulo reto;
• obtusângulo: um ângulo obtuso.

Todo triângulo equilátero é isósceles, e seus ângulos medem 60°.

5.3 Soma dos ângulos internos

Demonstração. Pelo vértice A do triângulo ABC, trace a reta paralela ao lado BC. Os ângulos que essa reta forma com os lados AB e AC são alternos internos aos ângulos B e C. Junto com o ângulo A, eles formam um ângulo raso:

B + A + C = 180°

Esta é uma aplicação direta da seção 2.5.

5.4 Ângulo externo

Demonstração. O ângulo externo em C é 180° − C. Como A + B + C = 180°, temos 180° − C = A + B.

Exemplo. Em um triângulo, dois ângulos internos medem 50° e 65°. O ângulo externo no terceiro vértice mede 50° + 65° = 115°.

5.5 Relação entre lados e ângulos

• Em todo triângulo, o maior lado é oposto ao maior ângulo, e o menor lado é oposto ao menor ângulo.
• No triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes, os ângulos da base, também são congruentes.

5.6 Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes quando têm lados e ângulos correspondentes de mesma medida: podem ser sobrepostos exatamente. Não é preciso verificar os seis elementos. Bastam os casos de congruência:

Caso	Elementos congruentes
LLL	os três lados
LAL	dois lados e o ângulo entre eles
ALA	dois ângulos e o lado entre eles
LAAo	um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado

Para triângulos retângulos, vale ainda o caso especial cateto-hipotenusa: a hipotenusa e um cateto congruentes.

Dois "falsos casos":

• AAA (três ângulos iguais) não garante congruência, apenas semelhança. Os triângulos podem ter tamanhos diferentes.
• LLA (dois lados e um ângulo que não está entre eles) não garante congruência em geral.

5.7 Cevianas

Ceviana é qualquer segmento que liga um vértice do triângulo a um ponto da reta que contém o lado oposto.

• Mediana: liga o vértice ao ponto médio do lado oposto.
• Bissetriz interna: divide o ângulo do vértice em dois ângulos congruentes.
• Altura: é perpendicular ao lado oposto ou ao seu prolongamento.

A mediatriz de um lado, que é a reta perpendicular ao lado pelo seu ponto médio, não é uma ceviana: em geral, não passa pelo vértice oposto.

No triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz e a altura relativas à base coincidem, e estão sobre a mediatriz da base. No triângulo equilátero, isso vale para os três lados.

5.8 Pontos notáveis

Ponto	Encontro das	Propriedade	Aplicação
Baricentro	medianas	divide cada mediana na razão 2 : 1, a partir do vértice; é o centro de massa de uma placa triangular homogênea	ponto de equilíbrio
Incentro	bissetrizes internas	equidista dos três lados; é o centro da circunferência inscrita	ponto equidistante de três estradas
Circuncentro	mediatrizes	equidista dos três vértices; é o centro da circunferência circunscrita	ponto equidistante de três locais
Ortocentro	retas que contêm as alturas	–	–

Posição do circuncentro:

• no triângulo acutângulo, fica dentro do triângulo;
• no retângulo, fica no ponto médio da hipotenusa;
• no obtusângulo, fica fora do triângulo.

No triângulo equilátero, os quatro pontos notáveis coincidem.

Aplicação típica. Para construir um posto de saúde à mesma distância de três vilas, situadas nos vértices de um triângulo, o local procurado é o circuncentro. Se a exigência for a mesma distância de três estradas retas, o local é o incentro.

6. Triângulo retângulo e teorema de Pitágoras

6.1 Elementos

Em um triângulo retângulo:

• a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e é sempre o maior lado;
• os catetos são os lados que formam o ângulo reto.

Os dois ângulos agudos são complementares, porque somam 90°.

6.2 O teorema

Demonstração por áreas. Construa um quadrado de lado b + c e disponha dentro dele quatro cópias do triângulo retângulo, uma em cada canto, com a hipotenusa voltada para dentro. O espaço central é um quadrado de lado a. Calculando a área do quadrado grande de duas formas:

(b + c)² = a² + 4 · (bc/2)
b² + 2bc + c² = a² + 2bc
b² + c² = a²

6.3 Exemplos e aplicações

Calcular a hipotenusa. Catetos 6 e 8:

a² = 36 + 64 = 100, logo a = 10

Calcular um cateto. Hipotenusa 13 e cateto 5:

c² = 169 − 25 = 144, logo c = 12

Escada. Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede, com o pé a 3 m dela. A que altura está o topo?

h² = 25 − 9 = 16, logo h = 4 m

Diagonal do quadrado de lado ℓ:

d² = ℓ² + ℓ² = 2ℓ², logo d = ℓ√2

Altura do triângulo equilátero de lado ℓ. A altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos, com hipotenusa ℓ e cateto ℓ/2:

h² = ℓ² − ℓ²/4 = 3ℓ²/4, logo h = ℓ√3 ÷ 2

6.4 Ternos pitagóricos

Ternos de números inteiros que satisfazem o teorema permitem resolver muitas questões sem conta:

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17
• 7, 24, 25

Os múltiplos de um terno também são ternos: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 30, 40, 50.

6.5 Recíproca e classificação pelos lados

A recíproca do teorema permite classificar um triângulo quanto aos ângulos conhecendo apenas os lados. Sendo a o maior lado:

Comparação	Triângulo
a² = b² + c²	retângulo
a² < b² + c²	acutângulo
a² > b² + c²	obtusângulo

Exemplos:

• 5, 6 e 8: 64 > 25 + 36 = 61. O triângulo é obtusângulo.
• 6, 7 e 8: 64 < 36 + 49 = 85. O triângulo é acutângulo.

6.6 Relações métricas no triângulo retângulo

Traçando a altura h relativa à hipotenusa, ela divide a hipotenusa a em duas projeções: m, adjacente ao cateto b, e n, adjacente ao cateto c. Valem:

A demonstração usa semelhança de triângulos e está na seção 7.6.

Exemplo. No triângulo retângulo de catetos 6 e 8 e hipotenusa 10:

• altura: h = 6 · 8 ÷ 10 = 4,8;
• projeções: m = 36 ÷ 10 = 3,6 e n = 64 ÷ 10 = 6,4;
• verificação: h² = 23,04 e m · n = 3,6 × 6,4 = 23,04.

A relação b · c = a · h tem uma leitura simples: as duas expressões representam o dobro da área do triângulo, calculada tomando como base um cateto ou a hipotenusa.

6.7 Mediana relativa à hipotenusa

Isso acontece porque o ponto médio da hipotenusa é o circuncentro, e está à mesma distância dos três vértices. Em um triângulo retângulo de hipotenusa 10, a mediana relativa à hipotenusa mede 5.

7. Teorema de Tales e semelhança de triângulos

7.1 Teorema de Tales

Exemplo. Três retas paralelas cortam uma transversal em segmentos de 3 cm e 5 cm. Na outra transversal, o segmento correspondente ao de 3 cm mede 4,5 cm. Quanto mede o correspondente ao de 5 cm?

3/5 = 4,5/x
3x = 22,5
x = 7,5 cm

7.2 Semelhança

Triângulos semelhantes têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Uma ampliação ou redução fotográfica produz figuras semelhantes.

7.3 Casos de semelhança

Caso	Condição
AA	dois ângulos congruentes. O terceiro é automaticamente igual, pela soma 180°
LAL	dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente
LLL	os três lados proporcionais

O caso AA é de longe o mais usado: basta identificar dois ângulos iguais. Eles costumam vir de um ângulo comum, de ângulos retos ou de retas paralelas.

7.4 Paralela a um lado do triângulo

Se uma reta paralela ao lado BC corta os lados AB e AC nos pontos D e E, o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC. Eles têm o ângulo A em comum, e os ângulos em D e B são correspondentes.

Exemplo. No triângulo ABC, DE é paralelo a BC, com AD = 4, DB = 6 e BC = 15. Quanto mede DE?

1. AB = 4 + 6 = 10.
2. Pela semelhança: DE/BC = AD/AB, ou seja, DE/15 = 4/10.
3. DE = 6.

Atenção: a razão correta é AD/AB, que é parte/todo. Usar AD/DB, que compara duas partes, é um erro muito comum.

Base média. Quando D e E são os pontos médios de AB e AC, o segmento DE é chamado base média. Ele é paralelo a BC e mede metade de BC.

7.5 Razões entre perímetros, áreas e volumes

Se a razão de semelhança entre duas figuras é k:

• a razão entre os perímetros é k;
• a razão entre as áreas é k²;
• a razão entre os volumes (de sólidos semelhantes) é k³.

Esses resultados são os mesmos estudados nos artigos de Razão e Proporção (seção 3.7) e de Grandezas e Medidas (escalas).

7.6 Aplicações

Altura pela sombra. Em um mesmo instante, os raios de sol são paralelos. Um poste de 2 m projeta uma sombra de 1,5 m, e um prédio projeta uma sombra de 18 m. Qual é a altura do prédio?

Os triângulos formados pelo objeto, pela sombra e pelo raio de sol são semelhantes (AA: ângulo reto e mesma inclinação do sol):

h/18 = 2/1,5
h = 24 m

Demonstração das relações métricas. A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulos menores. Cada um deles tem um ângulo reto e um ângulo agudo em comum com o triângulo original. Pelo caso AA, os três triângulos são semelhantes entre si. Das proporções entre seus lados correspondentes vêm as relações da seção 6.6. Por exemplo, comparando os dois triângulos menores:

h/m = n/h, logo h² = m · n

7.7 Teorema da bissetriz interna

No triângulo ABC, se a bissetriz de A corta BC em D:

Exemplo. AB = 6, AC = 9 e BC = 10. Quanto medem BD e DC?

1. BD/DC = 6/9 = 2/3. Escrevendo BD = 2k e DC = 3k: 5k = 10, logo k = 2.
2. BD = 4 e DC = 6.

7.8 Teorema da bissetriz externa

Exemplo. Com AB = 6, AC = 9 e BC = 10, o ponto E fica no prolongamento de BC, do lado de B, porque AB < AC.

1. EB/(EB + 10) = 6/9.
2. 9EB = 6EB + 60, logo EB = 20 e EC = 30.
3. Verificação: 20/30 = 2/3 = 6/9.

Quando AB = AC, a bissetriz externa é paralela a BC e não encontra seu prolongamento.

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Complementares (90°)	Suplementares (180°)	As somas são diferentes
Alternos internos	Colaterais internos	Os alternos são congruentes; os colaterais, suplementares
Polígono regular	Polígono com lados iguais	O regular exige também ângulos iguais
Ângulo interno	Ângulo externo	São suplementares no mesmo vértice
Soma dos internos	Soma dos externos	Sᵢ depende de n; Sₑ é sempre 360°
Diagonais n(n − 3)/2	Segmentos entre vértices n(n − 1)/2	O segundo inclui os lados
Mediana	Mediatriz	A mediana sai do vértice; a mediatriz é perpendicular ao lado pelo ponto médio
Incentro	Circuncentro	O incentro equidista dos lados; o circuncentro, dos vértices
Congruência	Semelhança	Na congruência, os tamanhos são iguais; na semelhança, só a forma
AAA	Caso de congruência	AAA garante apenas semelhança
Razão AD/AB	Razão AD/DB	Na semelhança, compara-se parte com o lado inteiro correspondente
Razão de semelhança k	Razão entre áreas	A razão entre áreas é k²

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Confundir complemento com suplemento. Controle: complemento completa 90°; suplemento completa 180°.

Supor que o ponteiro das horas está parado sobre o número. Controle: use a fórmula |30h − 5,5m|.

Esquecer de dividir por 2 na fórmula das diagonais. Controle: cada diagonal tem duas extremidades e é contada duas vezes.

Calcular diretamente o número de lados pelo ângulo interno. Controle: passe pelo ângulo externo: n = 360° ÷ aₑ.

Aceitar qualquer terna como lados de um triângulo. Controle: verifique se o maior lado é menor que a soma dos outros dois.

Aplicar Pitágoras a um triângulo que não é retângulo. Controle: confirme que há um ângulo de 90°.

Errar quem é a hipotenusa. Controle: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior.

Confundir altura com mediana relativa à hipotenusa. Controle: a mediana vai ao ponto médio; a altura é perpendicular.

Usar parte/parte em vez de parte/todo na semelhança. Controle: compare os lados correspondentes dos dois triângulos.

Confundir incentro com circuncentro. Controle: distância aos lados indica incentro; distância aos vértices, circuncentro.

Verificação geral. Confira se os ângulos de cada triângulo somam 180° e se o maior lado está oposto ao maior ângulo.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H8, nível fácil)

Um arquiteto quer revestir um piso usando apenas ladrilhos com a forma de um único tipo de polígono regular, todos do mesmo tamanho, sem sobreposições e sem espaços vazios. Entre as opções abaixo, o único polígono que permite esse revestimento é o:

A) pentágono regular.
B) hexágono regular.
C) heptágono regular.
D) octógono regular.
E) decágono regular.

Gabarito: B

Resolução. Os ângulos que se encontram em cada vértice devem somar 360°. O ângulo interno do hexágono regular é 120°, e três hexágonos completam 360°.

Análise dos distratores.

• A: o pentágono tem ângulo de 108°, e 360 ÷ 108 não é inteiro.
• D: o octógono, com 135°, só ladrilha combinado com quadrados.
• C e E: têm ângulos internos maiores que 120° e menores que 180°. Nenhum múltiplo deles completa 360°.

Questão 2 (H8, nível fácil)

No fim da tarde, uma pessoa de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 1,20 m. No mesmo instante, um prédio próximo projeta uma sombra de 16 m. A altura do prédio é:

A) 10,7 m
B) 17,8 m
C) 24 m
D) 28,8 m
E) 36 m

Gabarito: C

Resolução. Os triângulos formados pelo objeto, pela sombra e pelo raio de sol são semelhantes:

h/16 = 1,80/1,20
h = 16 × 1,5 = 24 m

Análise dos distratores.

• A: o candidato inverte a razão, fazendo 16 × 1,20/1,80.
• D: multiplica a sombra do prédio pela altura da pessoa, sem dividir pela sombra dela.

Questão 3 (H8, nível médio)

Uma escada de 6,5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical, com o pé a 2,5 m da base da parede, sobre um chão horizontal. A altura em que o topo da escada toca a parede é:

A) 4 m
B) 6 m
C) 6,97 m
D) 9 m
E) 36 m

Gabarito: B

Resolução.

h² = 6,5² − 2,5² = 42,25 − 6,25 = 36
h = 6 m

O triângulo é um múltiplo do terno 5, 12, 13, com fator 0,5.

Análise dos distratores.

• A: subtrai as medidas, sem aplicar Pitágoras.
• C: soma os quadrados, tratando a escada como cateto.
• E: dá o valor de h², sem extrair a raiz.

Questão 4 (H7, nível médio)

Um polígono regular tem ângulos internos de 150°. O número de diagonais desse polígono é:

A) 12
B) 24
C) 54
D) 66
E) 108

Gabarito: C

Resolução.

1. O ângulo externo é 180° − 150° = 30°, então n = 360° ÷ 30° = 12.
2. d = 12 · 9 ÷ 2 = 54.

Análise dos distratores.

• A: dá o número de lados.
• D: calcula n(n − 1)/2, que conta todos os segmentos entre vértices, incluindo os lados.
• E: esquece de dividir por 2.

Questão 5 (H9, nível médio)

Três bairros de uma cidade, A, B e C, não estão alinhados. A prefeitura quer construir um hospital à mesma distância dos três bairros. O local deve ser determinado pelo encontro das:

A) medianas do triângulo ABC.
B) bissetrizes internas do triângulo ABC.
C) mediatrizes dos lados do triângulo ABC.
D) alturas do triângulo ABC.
E) diagonais do quadrilátero formado pelos bairros e pelo centro da cidade.

Gabarito: C

Resolução. O ponto equidistante dos três vértices de um triângulo é o circuncentro, encontro das mediatrizes dos lados.

Análise dos distratores.

• A: indica o baricentro, ponto de equilíbrio.
• B: indica o incentro, que equidista dos lados, e não dos vértices. Seria a resposta se o hospital devesse ficar à mesma distância de três estradas retas.

Questão 6 (H8, nível difícil)

Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo, com catetos de 15 m e 20 m. O proprietário quer construir um muro reto, partindo do vértice do ângulo reto e perpendicular ao lado oposto a esse vértice, até encontrá-lo. O comprimento desse muro é:

A) 7,5 m
B) 12 m
C) 12,5 m
D) 17,5 m
E) 25 m

Gabarito: B

Resolução.

1. Pelo terno 3, 4, 5 com fator 5, a hipotenusa mede 25 m.
2. O muro é a altura relativa à hipotenusa. Pela relação b · c = a · h:
   15 · 20 = 25 · h, logo h = 12 m.

Análise dos distratores.

• C: é a mediana relativa à hipotenusa (metade de 25 m), confundida com a altura.
• D: é a média aritmética dos catetos.
• E: é a hipotenusa.

Questão 7 (H8, nível difícil)

Um terreno tem a forma do triângulo ABC, com BC = 40 m. Uma cerca reta DE, paralela a BC, vai dividir o terreno, com D no lado AB e E no lado AC. Sabendo que AD = 12 m e DB = 18 m, o comprimento da cerca DE é:

A) 12 m
B) 16 m
C) 24 m
D) 26,7 m
E) 60 m

Gabarito: B

Resolução.

1. Como DE é paralelo a BC, os triângulos ADE e ABC são semelhantes.
2. AB = 12 + 18 = 30 m.
3. DE/40 = 12/30, logo DE = 16 m.

Análise dos distratores.

• C: usa DB no lugar de AD (40 × 18/30).
• D: usa a razão parte/parte AD/DB (40 × 12/18).
• E: inverte essa razão (40 × 18/12).

11. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre ângulos complementares e suplementares?

Complementares somam 90°. Suplementares somam 180°.

Por que ângulos opostos pelo vértice são iguais?

Porque ambos são suplementares de um mesmo ângulo adjacente a eles.

Como lembrar quais ângulos são iguais entre paralelas?

Na figura de duas paralelas cortadas por uma transversal, só há duas medidas: uma aguda e uma obtusa, que somam 180°. Todos os agudos são iguais, e todos os obtusos também.

Por que a soma dos ângulos externos é sempre 360°?

Porque, ao percorrer o contorno do polígono, gira-se exatamente uma volta completa, somando os ângulos externos de cada vértice.

Todo polígono com lados iguais é regular?

Não. O losango tem lados iguais, mas seus ângulos podem ser diferentes. O regular exige lados e ângulos iguais.

Por que só triângulos, quadrados e hexágonos regulares ladrilham o plano sozinhos?

Porque são os únicos polígonos regulares cujo ângulo interno é divisor de 360°.

Como saber se três medidas formam um triângulo?

Verifique se o maior lado é menor que a soma dos outros dois.

Pitágoras vale para qualquer triângulo?

Não. Vale apenas para triângulos retângulos. Para os demais, usa-se a lei dos cossenos (bloco 13).

Qual a diferença entre congruência e semelhança?

Figuras congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho. Figuras semelhantes têm a mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes.

Se a razão de semelhança é 2, a área dobra?

Não. A área fica multiplicada por 2² = 4.

13. Síntese

Ponto, reta e plano são conceitos primitivos. Ângulos são medidos em graus ou em radianos, com π rad = 180°. Ângulos complementares somam 90°, suplementares somam 180°, e ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Quando duas paralelas são cortadas por uma transversal, ângulos correspondentes e alternos são congruentes, e colaterais são suplementares.

Em um polígono de n lados:

• a soma dos ângulos internos é (n − 2) · 180°;
• a soma dos externos é sempre 360°;
• o número de diagonais é n(n − 3)/2.

No polígono regular, o ângulo externo e o central medem 360°/n. Só triângulos, quadrados e hexágonos regulares ladrilham o plano sozinhos, porque seus ângulos internos dividem 360°.

Nos triângulos:

• cada lado é menor que a soma dos outros dois;
• os ângulos internos somam 180°;
• o ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes;
• o maior lado se opõe ao maior ângulo.

A congruência é garantida pelos casos LLL, LAL, ALA e LAAo. Os pontos notáveis têm propriedades características: o baricentro divide as medianas na razão 2 : 1, o incentro equidista dos lados, e o circuncentro equidista dos vértices.

No triângulo retângulo, vale a² = b² + c². A recíproca classifica qualquer triângulo pelos lados. As relações métricas h² = mn, b² = am, c² = an e bc = ah decorrem da semelhança.

O teorema de Tales garante a proporcionalidade de segmentos determinados por paralelas. Triângulos semelhantes, identificados principalmente pelo caso AA, têm lados proporcionais na razão k, áreas na razão k² e volumes na razão k³. Os teoremas das bissetrizes dividem o lado oposto na razão dos lados adjacentes.

Situação	Ferramenta
Conversão de ângulos	π rad = 180°
Ângulos entre paralelas	agudos iguais, obtusos iguais, agudo + obtuso = 180°
Ponteiros do relógio	|30h − 5,5m|
Soma dos ângulos internos	(n − 2) · 180°
Ângulo externo do polígono regular	360° ÷ n
Número de diagonais	n(n − 3) ÷ 2
Ladrilhamento	ângulos em cada vértice somam 360°
Existência do triângulo	maior lado < soma dos outros dois
Ângulo externo do triângulo	soma dos internos não adjacentes
Ponto equidistante de três locais	circuncentro
Ponto equidistante de três retas	incentro
Triângulo retângulo	a² = b² + c²
Altura relativa à hipotenusa	h = bc ÷ a
Paralelas cortadas por transversais	teorema de Tales
Altura inacessível	semelhança (sombras)
Bissetriz interna	BD/DC = AB/AC

14. Glossário

Termo	Definição
Ângulo	Figura formada por duas semirretas de mesma origem
Radiano	Ângulo correspondente a um arco de comprimento igual ao raio
Ângulos complementares	Ângulos cuja soma é 90°
Ângulos suplementares	Ângulos cuja soma é 180°
Ângulos opostos pelo vértice	Ângulos não adjacentes formados por duas retas concorrentes
Transversal	Reta que corta outras duas ou mais retas
Polígono regular	Polígono com todos os lados e todos os ângulos congruentes
Diagonal	Segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono
Ladrilhamento	Cobertura do plano por figuras, sem sobreposições nem lacunas
Eixo de simetria	Reta em relação à qual uma figura é invariante por reflexão
Ceviana	Segmento que liga um vértice a um ponto da reta do lado oposto
Mediana	Ceviana que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto
Bissetriz	Semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes
Altura	Segmento perpendicular ao lado oposto, partindo do vértice
Mediatriz	Reta perpendicular a um segmento pelo seu ponto médio
Baricentro	Encontro das medianas
Incentro	Encontro das bissetrizes internas
Circuncentro	Encontro das mediatrizes
Ortocentro	Encontro das retas suporte das alturas
Hipotenusa	Lado oposto ao ângulo reto no triângulo retângulo
Catetos	Lados que formam o ângulo reto
Terno pitagórico	Três inteiros que satisfazem a² = b² + c²
Congruência	Igualdade de forma e tamanho
Semelhança	Igualdade de forma, com lados proporcionais
Razão de semelhança	Razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes
Base média	Segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo