Geometria Espacial, Parte 2: Esfera, Troncos, Sólidos de Revolução, Transferência de Volumes, Projeções e Sólidos Inscritos

A segunda parte da geometria espacial reúne os temas mais característicos das questões contextualizadas do ENEM:

• reservatórios esféricos e semiesféricos;
• baldes, copos e vasos com forma de tronco de cone;
• objetos torneados, que nascem da rotação de uma figura plana;
• líquidos transferidos de um recipiente para outro;
• sólidos vistos de frente, de lado e de cima;
• peças que cabem exatamente dentro de outras.

Apresentação

A esfera dentro do cilindro. A esfera ocupa 2/3 do volume do cilindro.

São problemas que exigem visualização espacial, e não apenas aplicação de fórmulas.

Na Matriz de Referência, o tema mobiliza intensamente a H6: interpretar a localização e a movimentação de objetos no espaço tridimensional e sua representação no plano. Esse é o núcleo dos itens sobre vistas, projeções e planificações. Mobiliza também as habilidades H7, H8 e H9 da Competência 2 e as habilidades H12 e H14 da Competência 3.

Este artigo apresenta:

1. a esfera, com área, volume e suas partes;
2. os troncos de pirâmide e de cone;
3. os sólidos de revolução;
4. a transferência de volumes entre recipientes;
5. as projeções ortogonais, as vistas, as planificações e o menor caminho sobre superfícies;
6. os sólidos inscritos e circunscritos.

Pré-requisitos: Geometria Espacial, Parte 1 (prismas, cilindro, pirâmide, cone e princípio de Cavalieri) e Geometria Plana, Partes 1 e 2.

1. Esfera

1.1 Definições e elementos

A distinção é a mesma que existe entre circunferência e círculo. A superfície esférica tem área; a esfera tem volume.

Elementos:

• raio (R) e diâmetro (2R);
• círculo máximo: seção feita por um plano que passa pelo centro. Tem o mesmo raio da esfera;
• polos, equador e meridianos: os mesmos nomes usados na Terra, que é aproximadamente esférica.

1.2 Seção plana

Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Seu raio r depende da distância d entre o plano e o centro, por Pitágoras:

Exemplo. Uma esfera de raio 13 cm é cortada por um plano a 5 cm do centro. O raio da seção é:

r = √(169 − 25) = √144 = 12 cm

Quanto mais longe do centro, menor a seção. Quando d = R, o plano apenas tangencia a esfera.

1.3 Área da superfície esférica

A área da superfície esférica é igual à área de quatro círculos máximos.

1.4 Volume da esfera

Dedução pelo princípio de Cavalieri (ideia). Considere uma semiesfera de raio R e, ao lado, um cilindro de raio R e altura R do qual foi retirado um cone de mesmo raio e mesma altura, com o vértice apoiado na base do cilindro.

A uma altura y qualquer, as seções dos dois sólidos têm a mesma área:

• na semiesfera, a seção é um círculo de raio √(R² − y²), com área π(R² − y²);
• no cilindro sem o cone, a seção é uma coroa de raios R e y, com área π(R² − y²).

Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo volume:

V_semiesfera = πR³ − πR³/3 = 2πR³/3

Portanto, a esfera inteira tem volume (4/3)πR³.

1.5 Exemplos

Exemplo 1. Uma bola tem 20 cm de diâmetro. Use π ≈ 3,14.

• Área: 4 · 3,14 · 100 = 1.256 cm².
• Volume: (4/3) · 3,14 · 1.000 ≈ 4.186,7 cm³, cerca de 4,19 litros.

Exemplo 2. Para R = 3, a área é 4π · 9 = 36π e o volume é (4/3)π · 27 = 36π. Os números coincidem, mas as grandezas são diferentes: um resultado está em unidades quadradas, e o outro, em unidades cúbicas.

1.6 Semiesfera

A semiesfera é metade da esfera:

1.7 Fuso e cunha esféricos

Dois semiplanos que contêm o diâmetro da esfera e formam entre si um ângulo α determinam:

• na superfície, um fuso esférico, como um gomo de casca de laranja;
• no sólido, uma cunha esférica, como o gomo inteiro.

As medidas são proporcionais ao ângulo:

Aplicação: fusos horários. A Terra completa uma rotação de 360° em 24 horas. Cada hora corresponde a 15°. Um fuso horário teórico de 15° ocupa 15/360 = 1/24 da superfície terrestre.

1.8 Efeito da mudança de raio

Dobrando o raio, a área fica 4 vezes maior, e o volume, 8 vezes maior.

Consequência prática. Uma laranja de raio R tem o mesmo volume que oito laranjas de raio R/2. A casca, porém, é diferente: as oito laranjas pequenas têm área total 8 · 4π(R/2)² = 8πR², o dobro da área da laranja grande. Muitos objetos pequenos têm, juntos, mais superfície que um grande de mesmo volume.

2. Troncos

2.1 Tronco de pirâmide

Um plano paralelo à base de uma pirâmide a divide em duas partes:

• uma pirâmide menor, no topo, semelhante à original;
• um tronco de pirâmide, na parte de baixo, com duas bases paralelas: a base maior (área B) e a base menor (área b).

Volume por diferença. O tronco é a pirâmide grande menos a pirâmide pequena:

Volume por fórmula. Sendo h a altura do tronco:

Exemplo. Uma pirâmide quadrangular regular tem base de aresta 6 cm e altura 12 cm. Ela é cortada por um plano paralelo à base, a 8 cm da base. Qual é o volume do tronco?

1. A pirâmide pequena tem altura 12 − 8 = 4 cm. A razão de semelhança é 4/12 = 1/3, e a aresta de sua base é 2 cm.
2. Por diferença: V_grande = 36 · 12/3 = 144 cm³. V_pequena = 144 · (1/3)³ = 16/3 cm³. V_tronco = 144 − 16/3 = 416/3 ≈ 138,67 cm³.
3. Por fórmula: B = 36, b = 4, √(36 · 4) = 12. V = (8/3) · (36 + 12 + 4) = (8/3) · 52 = 416/3. O resultado confere.

2.2 Tronco de cone

O tronco de cone é obtido do mesmo modo, cortando um cone por um plano paralelo à base. Com raio maior R, raio menor r e altura h:

Exemplo: balde. Um balde com forma de tronco de cone tem raio da boca de 15 cm, raio do fundo de 10 cm e altura de 30 cm. Use π ≈ 3.

V = (3 · 30/3) · (225 + 150 + 100) = 30 · 475 = 14.250 cm³ = 14,25 litros

Baldes, copos, vasos e cúpulas de abajur são exemplos frequentes desse sólido.

2.3 Troncos e semelhança

Se um cone é cortado na metade da altura, o cone menor do topo tem razão de semelhança 1/2 com o original. Então:

• o cone pequeno tem (1/2)³ = 1/8 do volume total;
• o tronco tem 7/8 do volume total.

Esse é o mesmo raciocínio da taça cônica da Parte 1, visto pelo outro lado.

3. Sólidos de revolução

3.1 Conceito

Um sólido de revolução é gerado pela rotação completa de uma figura plana em torno de uma reta do seu plano, chamada eixo de rotação. É o princípio do torno de oleiro e do torno mecânico.

3.2 Cilindro: rotação de um retângulo

Um retângulo girando em torno de um de seus lados gera um cilindro:

• o lado sobre o eixo é a altura;
• o outro lado é o raio.

Exemplo. Um retângulo de 3 cm × 5 cm gira em torno de um de seus lados.

• Em torno do lado de 5 cm: r = 3 cm e h = 5 cm. V = π · 9 · 5 = 45π cm³.
• Em torno do lado de 3 cm: r = 5 cm e h = 3 cm. V = π · 25 · 3 = 75π cm³.

O eixo escolhido muda o resultado. Como o raio entra ao quadrado, girar em torno do lado menor gera um sólido de volume maior.

3.3 Cone: rotação de um triângulo retângulo

Um triângulo retângulo girando em torno de um cateto gera um cone:

• o cateto sobre o eixo é a altura;
• o outro cateto é o raio;
• a hipotenusa é a geratriz.

Exemplo. Um triângulo de catetos 3 cm e 4 cm.

• Em torno do cateto de 4 cm: r = 3 e h = 4. V = π · 9 · 4/3 = 12π cm³.
• Em torno do cateto de 3 cm: r = 4 e h = 3. V = π · 16 · 3/3 = 16π cm³.

Rotação em torno da hipotenusa. O sólido gerado são dois cones unidos pela base. O raio comum é a altura relativa à hipotenusa: 3 · 4/5 = 2,4 cm. As alturas dos dois cones somam a hipotenusa, 5 cm:

V = π · 2,4² · 5/3 = π · 5,76 · 5/3 = 9,6π cm³

3.4 Esfera: rotação de um semicírculo

Um semicírculo girando em torno de seu diâmetro gera uma esfera.

3.5 Tronco de cone: rotação de um trapézio retângulo

Um trapézio retângulo girando em torno do lado perpendicular às bases gera um tronco de cone:

• as bases do trapézio viram os raios;
• o lado perpendicular vira a altura.

4. Transferência de volumes

4.1 O princípio

Quando um líquido passa de um recipiente para outro, o volume se conserva. Se o novo recipiente é um prisma ou um cilindro, a altura atingida pelo líquido é:

4.2 Exemplos

Exemplo 1: do cubo para o cilindro. Um recipiente cúbico de 20 cm de aresta, cheio de água, é esvaziado em um recipiente cilíndrico de raio 10 cm. Que altura a água atinge? Use π ≈ 3,14.

1. Volume: 20³ = 8.000 cm³.
2. Área da base do cilindro: 3,14 · 100 = 314 cm².
3. Altura: 8.000 ÷ 314 ≈ 25,5 cm.

Exemplo 2: cone e cilindro. Um cone cheio de água é despejado em um cilindro de mesma base e mesma altura. O cilindro fica com 1/3 de sua capacidade preenchida. São necessários três cones para enchê-lo.

Exemplo 3: copos servidos. Uma jarra contém 2 litros de suco. Os copos são cilíndricos, com raio de 3 cm e altura de 10 cm, e cada um é servido até 80% da altura. Quantos copos cheios podem ser servidos? Use π ≈ 3,14.

1. Capacidade de um copo: 3,14 · 9 · 10 = 282,6 cm³.
2. Volume servido por copo: 0,8 · 282,6 = 226,08 mL.
3. Número de copos: 2.000 ÷ 226,08 ≈ 8,85.
4. É possível servir 8 copos completos.

Aqui o arredondamento é para baixo, porque o nono copo não pode ser completado. Na compra de pisos, visto na Geometria Plana, Parte 2, o arredondamento era para cima. O contexto define o sentido do arredondamento.

Exemplo 4: fundição. Uma esfera de chumbo de raio 6 cm é derretida, e o material é usado para fazer esferas de raio 2 cm. Quantas esferas são obtidas?

A razão entre os raios é 3. A razão entre os volumes é 3³ = 27. São obtidas 27 esferas.

5. Projeções, vistas e planificações

5.1 Projeção ortogonal e vistas

A projeção ortogonal de um objeto sobre um plano é a "sombra" que ele projetaria se a luz incidisse perpendicularmente ao plano.

Em desenho técnico, um objeto é representado por três vistas:

• vista frontal: o objeto visto de frente;
• vista lateral: o objeto visto de lado;
• vista superior: o objeto visto de cima.

5.2 Vistas dos sólidos mais comuns

Para sólidos apoiados pela base em uma superfície horizontal:

Sólido	Vista frontal	Vista lateral	Vista superior
Cubo	quadrado	quadrado	quadrado
Paralelepípedo	retângulo	retângulo	retângulo
Cilindro	retângulo	retângulo	círculo
Cone	triângulo isósceles	triângulo isósceles	círculo com o centro marcado
Esfera	círculo	círculo	círculo
Pirâmide quadrangular	triângulo	triângulo	quadrado com as diagonais
Tronco de cone	trapézio isósceles	trapézio isósceles	dois círculos concêntricos

Identificar o sólido pelas vistas. É preciso combinar as informações:

• frontal e lateral triangulares com superior circular indicam um cone;
• frontal retangular com superior circular indica um cilindro;
• frontal triangular com superior quadrada indica uma pirâmide quadrangular.

Uma única vista nunca basta. Um cilindro e um cubo podem ter vistas frontais semelhantes; só a vista superior os distingue.

5.3 Pilhas de cubos

Uma estrutura feita de cubos empilhados pode ser descrita pela vista superior com a altura de cada pilha anotada em cada quadrado. O número total de cubos é a soma das alturas.

Exemplo. Uma vista superior 2 × 2 tem alturas 3, 1, 2 e 2. A estrutura tem 3 + 1 + 2 + 2 = 8 cubos. A vista frontal mostra, em cada coluna, a maior altura daquela coluna.

5.4 Planificações

A planificação de um poliedro é a figura plana obtida ao "abrir" sua superfície ao longo de algumas arestas.

O cubo tem 11 planificações distintas. Em qualquer planificação válida de um cubo, duas faces opostas nunca são vizinhas. Em uma faixa de faces alinhadas, faces opostas aparecem separadas por exatamente uma face.

Esse é o raciocínio dos problemas com dados: em um dado comum, a soma das faces opostas é 7. Logo, 1 e 6, 2 e 5, e 3 e 4 nunca aparecem lado a lado na planificação.

5.5 Menor caminho sobre uma superfície

Para encontrar o menor caminho entre dois pontos sobre a superfície de um sólido, planifique a superfície. O menor caminho é o segmento de reta na planificação.

Exemplo 1: formiga no cilindro. Uma formiga sai de um ponto da borda inferior de uma lata cilíndrica e chega ao ponto da borda superior situado exatamente acima, dando uma volta completa em torno da lata. A lata tem raio de 4 cm e altura de 18 cm. Use π ≈ 3.

1. A superfície lateral planificada é um retângulo de base 2πr = 24 cm e altura 18 cm.
2. O caminho é a diagonal desse retângulo: √(24² + 18²) = √(576 + 324) = √900 = 30 cm.

Na lata, esse caminho é uma hélice, como o fio de um parafuso. Na planificação, é uma reta.

Exemplo 2: formiga no cubo. Uma formiga anda sobre a superfície de um cubo de aresta 10 cm, de um vértice até o vértice oposto.

1. Planificando duas faces vizinhas, forma-se um retângulo de 10 cm por 20 cm.
2. O menor caminho é √(100 + 400) = 10√5 ≈ 22,4 cm.

A diagonal interna do cubo, 10√3 ≈ 17,3 cm, é mais curta, mas atravessa o sólido. A formiga, que anda sobre a superfície, não pode usá-la.

6. Sólidos inscritos e circunscritos

6.1 Definições

Um sólido está inscrito em outro quando está dentro dele e o toca no maior número possível de pontos: os vértices do sólido interno tocam a superfície do externo, ou as faces do externo tangenciam o interno.

O sólido externo é chamado circunscrito.

Estratégia geral: reduza o problema ao plano. Faça um corte que contenha os elementos essenciais, como a seção meridiana de sólidos de revolução ou o plano diagonal de um cubo, e resolva com geometria plana.

6.2 Esfera e cubo

Para um cubo de aresta a:

Situação	Toca	Raio da esfera
Esfera inscrita no cubo	o centro de cada face	r = a/2
Esfera tangente às arestas	o ponto médio de cada aresta	r = a√2/2
Esfera circunscrita ao cubo	os oito vértices	R = a√3/2

Justificativa.

• A esfera inscrita tem diâmetro igual à aresta.
• A esfera circunscrita tem diâmetro igual à diagonal do cubo, a√3.
• A esfera tangente às arestas tem diâmetro igual à diagonal da face, a√2.

6.3 Cilindro e esfera

Cilindro circunscrito à esfera. O cilindro que envolve exatamente uma esfera de raio R tem raio R e altura 2R: é um cilindro equilátero.

Arquimedes demonstrou que:

Esse resultado teria sido considerado pelo próprio Arquimedes uma de suas descobertas mais importantes.

Cilindro inscrito na esfera. Um cilindro de raio r e altura h inscrito em uma esfera de raio R satisfaz:

Essa relação vem do triângulo retângulo formado pelo centro da esfera, pelo centro de uma base do cilindro e por um ponto da borda dessa base.

6.4 Cone e esfera

Para um cone equilátero de altura h, a seção meridiana é um triângulo equilátero. Seu incentro e seu circuncentro coincidem com o baricentro, que divide a altura na razão 2 : 1. Por isso:

• esfera inscrita no cone: r = h/3;
• esfera circunscrita ao cone: R = 2h/3.

Exemplo. Um cone equilátero tem raio da base 3 cm, logo h = 3√3 cm.

• Raio da esfera inscrita: √3 cm.
• Raio da esfera circunscrita: 2√3 cm.

6.5 Esfera e tetraedro regular

No tetraedro regular de altura h = a√6/3, o centro das esferas inscrita e circunscrita divide a altura na razão 1 : 3:

• esfera inscrita: r = h/4;
• esfera circunscrita: R = 3h/4.

7. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Superfície esférica	Esfera	Uma tem área; a outra tem volume
4πR²	(4/3)πR³	Área e volume da esfera
Seção da esfera	Círculo máximo	Só a seção pelo centro tem o raio da esfera
Fuso esférico	Cunha esférica	O fuso é parte da superfície; a cunha, do sólido
Tronco	Pirâmide ou cone inteiro	O tronco tem duas bases paralelas
Raio médio do tronco	Cálculo exato	Usar a média dos raios dá apenas uma aproximação
Eixo de rotação no lado maior	Eixo no lado menor	Geram sólidos de volumes diferentes
Vista frontal	Vista superior	Uma única vista não identifica o sólido
Caminho sobre a superfície	Caminho pelo interior	O da superfície se calcula pela planificação
Esfera inscrita no cubo	Esfera circunscrita ao cubo	Diâmetro igual à aresta ou à diagonal do cubo
Arredondar para baixo (copos)	Arredondar para cima (pisos)	O contexto define o sentido

8. Erros recorrentes e como evitá-los

Confundir área e volume da esfera. Controle: área tem R², volume tem R³ e o fator 4/3.

Esquecer o 1/3 no volume do tronco. Controle: o tronco vem de uma pirâmide ou de um cone, e herda o fator 1/3.

Calcular o tronco de cone com a média dos raios. Controle: use a fórmula exata ou a diferença entre dois cones.

Trocar raio e altura no sólido de revolução. Controle: o lado sobre o eixo é a altura; o lado perpendicular ao eixo é o raio.

Identificar um sólido por uma única vista. Controle: combine as três vistas.

Medir o menor caminho pelo interior do sólido. Controle: se o trajeto é sobre a superfície, planifique.

Arredondar no sentido errado. Controle: pergunte se a fração restante é aproveitável no contexto.

Usar a aresta como diâmetro da esfera circunscrita ao cubo. Controle: a esfera circunscrita passa pelos vértices, e seu diâmetro é a diagonal do cubo.

Verificação geral. O volume de uma parte é sempre menor que o do sólido inteiro. Um sólido inscrito tem volume menor que o circunscrito.

9. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H8, nível fácil)

Um reservatório de gás tem a forma de uma esfera de raio interno de 2 m. Considerando π ≈ 3, a capacidade do reservatório é:

A) 32 L
B) 3.200 L
C) 32.000 L
D) 48.000 L
E) 96.000 L

Gabarito: C

Resolução.

V = (4/3) · 3 · 8 = 32 m³ = 32.000 L

Análise dos distratores.

• D: usa a fórmula da área (4πR² = 48) como se fosse volume.
• E: esquece de dividir por 3.
• A e B: erram a conversão de m³ para litros.

Questão 2 (H8, nível médio)

Um balde tem a forma de um tronco de cone, com raio da boca de 15 cm, raio do fundo de 10 cm e altura de 30 cm. Considerando π ≈ 3, a capacidade do balde é:

A) 6,75 L
B) 14,06 L
C) 14,25 L
D) 20,25 L
E) 42,75 L

Gabarito: C

Resolução.

V = (3 · 30/3) · (15² + 15 · 10 + 10²) = 30 · 475 = 14.250 cm³ = 14,25 L

Análise dos distratores.

• B: aproxima o balde por um cilindro com a média dos raios (12,5 cm). O resultado é próximo, mas não exato.
• D: trata o balde como um cilindro de raio 15 cm.
• A: calcula um cone de raio 15 cm e altura 30 cm.
• E: esquece o fator 1/3.

Questão 3 (H6, nível médio)

As vistas de um objeto maciço são:

• frontal: triângulo isósceles;
• lateral: triângulo isósceles idêntico ao da vista frontal;
• superior: círculo com um ponto marcado no centro.

Esse objeto é um:

A) cilindro
B) cone
C) pirâmide quadrangular
D) esfera
E) tronco de cone

Gabarito: B

Resolução. As vistas triangulares indicam um sólido que se afina até um vértice. A vista superior circular indica base circular. O ponto no centro é o vértice visto de cima.

Análise dos distratores.

• C: a pirâmide quadrangular teria vista superior quadrada.
• E: o tronco de cone teria vistas frontal e lateral em forma de trapézio e vista superior com dois círculos concêntricos.
• A: o cilindro teria vistas frontal e lateral retangulares.

Questão 4 (H8, nível médio)

Um recipiente cúbico de 20 cm de aresta, completamente cheio de água, é esvaziado em um recipiente cilíndrico de 10 cm de raio, sem transbordar. Considerando π ≈ 3,14, a altura atingida pela água no cilindro é, aproximadamente:

A) 8,0 cm
B) 12,7 cm
C) 20,0 cm
D) 25,5 cm
E) 80,0 cm

Gabarito: D

Resolução.

1. Volume de água: 8.000 cm³.
2. Área da base do cilindro: 314 cm².
3. Altura: 8.000 ÷ 314 ≈ 25,5 cm.

Análise dos distratores.

• B: usa 2πr² como área da base.
• E: esquece o π na área da base.
• C: supõe que a altura se mantém de um recipiente para o outro.

Questão 5 (H8, nível médio)

Uma esfera maciça de chumbo de raio 6 cm é derretida, e todo o material é usado para fabricar esferas de raio 2 cm, sem perdas. O número de esferas fabricadas é:

A) 3
B) 9
C) 27
D) 54
E) 216

Gabarito: C

Resolução. A razão entre os raios é 6/2 = 3. A razão entre os volumes é 3³ = 27.

Análise dos distratores.

• A: raciocina linearmente.
• B: usa a razão das áreas.
• E: eleva ao cubo o raio maior, e não a razão entre os raios.

Questão 6 (H6, nível difícil)

Uma formiga parte de um ponto da borda inferior de uma lata cilíndrica e chega ao ponto da borda superior situado exatamente acima do ponto de partida. Ela caminha sobre a superfície lateral, dando exatamente uma volta completa em torno da lata, pelo menor percurso possível. A lata tem 4 cm de raio e 18 cm de altura. Considerando π ≈ 3, o comprimento do percurso da formiga é:

A) 18 cm
B) 24 cm
C) 30 cm
D) 42 cm
E) 900 cm

Gabarito: C

Resolução.

1. A superfície lateral planificada é um retângulo de 24 cm (2πr) por 18 cm.
2. O menor percurso é a diagonal: √(576 + 324) = √900 = 30 cm.

Análise dos distratores.

• A: considera só a subida, sem dar a volta.
• B: considera só a volta, sem subir.
• D: soma as duas medidas em vez de aplicar Pitágoras.
• E: não extrai a raiz quadrada.

Questão 7 (H9, nível difícil)

Uma bola de raio R é guardada em uma lata cilíndrica que a envolve exatamente: o raio da lata é R, e sua altura, 2R. A fração do volume interno da lata ocupada pela bola é, aproximadamente:

A) 33,3%
B) 52,4%
C) 66,7%
D) 75,0%
E) 78,5%

Gabarito: C

Resolução.

V_bola ÷ V_lata = (4/3)πR³ ÷ (πR² · 2R) = (4/3) ÷ 2 = 2/3 ≈ 66,7%

Esse é o resultado clássico de Arquimedes.

Análise dos distratores.

• A: confunde a esfera com um cone inscrito no cilindro.
• B: é a fração ocupada por uma esfera inscrita em um cubo (π/6).
• E: é a fração da área de um quadrado ocupada pelo círculo inscrito (π/4), aplicada indevidamente ao espaço.

10. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre esfera e superfície esférica?

A superfície esférica é a "casca", e tem área 4πR². A esfera é o sólido, e tem volume (4/3)πR³.

Toda seção de uma esfera é um círculo?

Sim. O raio da seção depende da distância ao centro: r² = R² − d².

Como calcular o volume de um balde com forma de tronco de cone?

Use V = (πh/3)(R² + Rr + r²), ou calcule a diferença entre o cone completo e o cone que foi retirado.

Girar um retângulo em torno de lados diferentes gera o mesmo cilindro?

Não. O lado sobre o eixo vira a altura, e o outro vira o raio. Como o raio entra ao quadrado, os volumes são diferentes.

Como identificar um sólido pelas vistas?

Combine as três vistas. Vistas frontal e lateral indicam o perfil; a vista superior indica a forma da base.

Por que o menor caminho sobre um cilindro é calculado pela planificação?

Porque, na planificação, a superfície vira um plano, e o menor caminho entre dois pontos de um plano é o segmento de reta.

Quando arredondar para cima e quando arredondar para baixo?

Para cima quando falta material, como em pisos e latas de tinta. Para baixo quando a fração não forma uma unidade completa, como copos servidos ou peças fabricadas.

Qual é o raio da esfera circunscrita a um cubo?

Metade da diagonal do cubo: a√3/2.

O que Arquimedes descobriu sobre a esfera e o cilindro?

Que a esfera inscrita em um cilindro equilátero tem 2/3 do volume e 2/3 da área total do cilindro.

12. Síntese

A esfera é o sólido limitado pelos pontos a uma distância R do centro. Toda seção plana é um círculo de raio √(R² − d²). A área da superfície é 4πR², igual a quatro círculos máximos, e o volume é (4/3)πR³, obtido pelo princípio de Cavalieri. A semiesfera tem metade do volume, e fusos e cunhas são proporcionais ao ângulo.

Os troncos surgem do corte de pirâmides e cones por planos paralelos à base. Seu volume é a diferença entre o sólido completo e a parte retirada, que é semelhante ao original. Para o tronco de cone, vale V = (πh/3)(R² + Rr + r²).

Os sólidos de revolução nascem da rotação de figuras planas:

• o retângulo gera o cilindro;
• o triângulo retângulo gera o cone;
• o semicírculo gera a esfera;
• o trapézio retângulo gera o tronco de cone.

O eixo de rotação define qual medida é altura e qual é raio.

Na transferência de volumes, o volume se conserva, e a altura no novo recipiente é o volume dividido pela área da base. O sentido do arredondamento depende do contexto.

As vistas ortogonais (frontal, lateral e superior) representam o sólido no plano e só o identificam quando combinadas. O menor caminho sobre uma superfície é um segmento de reta na planificação.

Em sólidos inscritos e circunscritos, o problema se resolve em um corte plano conveniente:

• a esfera inscrita no cubo tem diâmetro igual à aresta;
• a esfera circunscrita ao cubo tem diâmetro igual à diagonal do cubo;
• a esfera ocupa 2/3 do cilindro que a envolve exatamente.

Situação	Ferramenta
Área da esfera	4πR²
Volume da esfera	(4/3)πR³
Seção da esfera	r² = R² − d²
Fuso e cunha	proporcionais a α/360°
Tronco de pirâmide	(h/3)(B + √(Bb) + b)
Tronco de cone	(πh/3)(R² + Rr + r²)
Sólido de revolução	lado no eixo = altura; lado perpendicular = raio
Altura após transferência	volume ÷ área da base
Fundir e moldar	razão de volumes = k³
Identificar sólido	combinar as três vistas
Menor caminho na superfície	segmento na planificação
Esfera no cubo	r = a/2; R = a√3/2
Esfera no cilindro equilátero	2/3 do volume e da área

13. Glossário

Termo	Definição
Superfície esférica	Conjunto dos pontos do espaço a uma distância fixa de um centro
Esfera	Sólido limitado pela superfície esférica
Círculo máximo	Seção da esfera por um plano que passa pelo centro
Fuso esférico	Parte da superfície esférica entre dois semiplanos que contêm o diâmetro
Cunha esférica	Parte do sólido esférico entre dois semiplanos que contêm o diâmetro
Semiesfera	Metade da esfera
Tronco de pirâmide	Parte da pirâmide entre a base e um plano paralelo a ela
Tronco de cone	Parte do cone entre a base e um plano paralelo a ela
Sólido de revolução	Sólido gerado pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo
Eixo de rotação	Reta em torno da qual a figura gira
Projeção ortogonal	Representação de um objeto por projeção perpendicular sobre um plano
Vista frontal, lateral e superior	Projeções ortogonais do objeto visto de frente, de lado e de cima
Planificação	Abertura da superfície de um sólido sobre o plano
Hélice	Curva descrita por um ponto que gira em torno de um cilindro enquanto avança ao longo dele
Sólido inscrito	Sólido contido em outro, tocando sua superfície
Sólido circunscrito	Sólido que envolve outro, tocando-o