Geometria Espacial, Parte 1: Poliedros, Prismas, Cilindro, Pirâmide e Cone

A geometria espacial estuda as figuras que ocupam as três dimensões: comprimento, largura e altura. Caixas, latas, reservatórios, embalagens, telhados, silos, funis, casquinhas de sorvete e edifícios são, quase sempre, combinações de alguns poucos sólidos.

Apresentação

As duas perguntas centrais do tema são práticas:

• Quanto material é necessário para construir o objeto? Essa é uma pergunta sobre área.
• Quanto cabe dentro dele? Essa é uma pergunta sobre volume.

Na Matriz de Referência, o tema mobiliza a Competência 2:

• H6: interpretar a localização e a movimentação de objetos no espaço tridimensional e sua representação no plano;
• H7: identificar características de figuras espaciais;
• H8: resolver situações-problema envolvendo conhecimentos geométricos;
• H9: selecionar argumentos com base nesses conhecimentos.

Mobiliza também a Competência 3, com a H12 (medidas) e a H14 (avaliação de propostas de intervenção). Geometria espacial está entre os temas mais cobrados da prova, quase sempre em contextos de embalagens, reservatórios e construção civil.

Esta é a primeira parte do estudo de geometria espacial. Ela trata de:

1. conceitos fundamentais e posições relativas no espaço;
2. poliedros e a relação de Euler;
3. prismas, com destaque para o paralelepípedo e o cubo;
4. o cilindro;
5. a pirâmide;
6. o cone;
7. as relações de volume entre esses sólidos.

A Parte 2 tratará da esfera, dos troncos, dos sólidos de revolução, da transferência de volumes, das projeções e planificações e dos sólidos inscritos e circunscritos.

Pré-requisitos: Geometria Plana, Partes 1 e 2 (Pitágoras, semelhança e áreas) e o artigo de Grandezas e Medidas (unidades de volume e capacidade).

1. Conceitos fundamentais do espaço

1.1 Determinação de um plano

No espaço, um plano fica determinado por:

• três pontos não alinhados;
• uma reta e um ponto fora dela;
• duas retas concorrentes;
• duas retas paralelas distintas.

É por isso que uma mesa de três pernas nunca balança, e uma de quatro pernas pode balançar. Três pontos de apoio sempre determinam um plano; quatro, nem sempre.

1.2 Posições relativas de duas retas

No plano, duas retas distintas ou se cruzam ou são paralelas. No espaço, surge uma terceira possibilidade.

Posição	Estão no mesmo plano?	Pontos em comum
Concorrentes	sim	um
Paralelas distintas	sim	nenhum
Coincidentes	sim	todos
Reversas	não	nenhum

Retas reversas não se cruzam e não são paralelas: elas estão em planos diferentes. Em um cubo, uma aresta da face superior e uma aresta vertical que não a toca, e que não é paralela a ela, são reversas.

Perpendiculares e ortogonais.

• Retas perpendiculares são concorrentes e formam ângulo de 90°.
• Retas ortogonais são reversas, mas formariam 90° se uma delas fosse deslocada paralelamente até encontrar a outra.

1.3 Reta e plano

Uma reta pode estar:

• contida no plano, com todos os pontos em comum;
• paralela ao plano, sem pontos em comum;
• secante ao plano, cortando-o em um único ponto.

Uma reta é perpendicular a um plano quando é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto de interseção. Para garantir isso, basta que seja perpendicular a duas retas concorrentes do plano.

1.4 Dois planos

• Paralelos: não têm pontos em comum.
• Secantes: cortam-se segundo uma reta.
• Coincidentes: são o mesmo plano.

Planos secantes que formam ângulo de 90° são perpendiculares, como uma parede e o piso.

1.5 Distância de ponto a plano

A distância de um ponto a um plano é o comprimento do segmento perpendicular que liga o ponto ao plano. A altura de todos os sólidos deste artigo é uma distância desse tipo: do vértice, ou da base superior, até o plano da base.

2. Poliedros

2.1 Definição e elementos

Um poliedro é convexo quando qualquer segmento que liga dois de seus pontos fica inteiramente contido nele.

2.2 Relação de Euler

Verificação no cubo: 8 − 12 + 6 = 2.

Contagem de arestas a partir das faces. Cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces. Por isso, a soma do número de lados de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas:

Exemplo 1. Um poliedro convexo tem 6 faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Quantos vértices tem?

1. F = 14.
2. 2A = 6 · 4 + 8 · 3 = 48, logo A = 24.
3. Pela relação de Euler: V = 2 + 24 − 14 = 12.

Exemplo 2: a bola de futebol. O modelo clássico de bola de futebol é um poliedro com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.

1. F = 32.
2. 2A = 12 · 5 + 20 · 6 = 180, logo A = 90.
3. V = 2 + 90 − 32 = 60.

2.3 Poliedros de Platão

Os poliedros regulares, ou de Platão, têm todas as faces formadas por polígonos regulares congruentes, com o mesmo número de arestas concorrendo em cada vértice. Existem apenas cinco:

Poliedro	Faces	V	A	F
Tetraedro	triângulos	4	6	4
Hexaedro (cubo)	quadrados	8	12	6
Octaedro	triângulos	6	12	8
Dodecaedro	pentágonos	20	30	12
Icosaedro	triângulos	12	30	20

Por que só cinco. Em cada vértice, os ângulos das faces que se encontram precisam somar menos de 360°, senão o vértice "achata" e vira um plano. Com triângulos equiláteros (60°), cabem 3, 4 ou 5 faces por vértice. Com quadrados (90°), apenas 3. Com pentágonos (108°), apenas 3. Com hexágonos (120°), três já somam 360°, e não formam vértice. Isso dá exatamente cinco possibilidades.

Esse raciocínio é o mesmo do ladrilhamento estudado na Geometria Plana, Parte 1.

3. Prismas

3.1 Definição e elementos

Seus elementos são:

• bases: os dois polígonos congruentes e paralelos;
• faces laterais: os paralelogramos que ligam as bases;
• arestas laterais: as arestas comuns a duas faces laterais, todas congruentes e paralelas;
• altura (h): a distância entre os planos das bases.

3.2 Classificação

• Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases. As faces laterais são retângulos, e a altura é igual à aresta lateral.
• Prisma oblíquo: as arestas laterais são inclinadas em relação às bases. A altura é menor que a aresta lateral.
• Prisma regular: é um prisma reto cuja base é um polígono regular.

O prisma recebe o nome do polígono da base: triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal.

3.3 Áreas

• Área da base (A_b): a área de uma das bases.
• Área lateral (A_l): a soma das áreas das faces laterais. No prisma reto, como as faces laterais são retângulos de altura h:

• Área total (A_t):

Uma forma eficiente de visualizar as áreas é a planificação: abrir o sólido sobre o plano. A planificação de um prisma reto é um retângulo, formado pelas faces laterais lado a lado, com as duas bases presas a ele.

3.4 Volume

Por que funciona. Um prisma pode ser imaginado como uma pilha de "fatias" finíssimas, todas congruentes à base. O volume é a área de cada fatia multiplicada pela altura da pilha.

Princípio de Cavalieri. Dois sólidos com a mesma altura cujas seções, feitas na mesma altura, têm sempre a mesma área, têm volumes iguais. Imagine uma pilha de moedas: inclinando a pilha, a altura e a área de cada moeda não mudam, e o volume também não. Por isso, a fórmula V = A_b · h vale também para prismas oblíquos, desde que h seja a altura perpendicular, e não a aresta lateral.

3.5 Exemplos

Exemplo 1: prisma triangular regular. A aresta da base mede 4 cm, e a altura, 10 cm.

• Área da base (triângulo equilátero): 4²√3/4 = 4√3 ≈ 6,93 cm².
• Área lateral: perímetro × altura = 12 × 10 = 120 cm².
• Área total: 120 + 2 · 4√3 = 120 + 8√3 ≈ 133,86 cm².
• Volume: 4√3 × 10 = 40√3 ≈ 69,28 cm³.

Exemplo 2: prisma hexagonal regular. A aresta da base mede 2 cm, e a altura, 5 cm.

• Área da base: 3 · 4 · √3/2 = 6√3 cm².
• Área lateral: 6 · 2 · 5 = 60 cm².
• Volume: 6√3 × 5 = 30√3 ≈ 51,96 cm³.

Exemplo 3: piscina com fundo inclinado. Uma piscina tem 10 m de comprimento e 5 m de largura. A profundidade varia uniformemente de 1 m, em uma extremidade, a 2 m, na outra. Qual é sua capacidade?

1. A piscina é um prisma deitado, cuja base é a face lateral em forma de trapézio, com bases 1 m e 2 m e altura 10 m.
2. Área do trapézio: (1 + 2) · 10 ÷ 2 = 15 m².
3. A "altura" do prisma é a largura da piscina: 5 m.
4. Volume: 15 × 5 = 75 m³ = 75.000 litros.

Reconhecer qual face é a base é o passo decisivo nesse tipo de problema. A base de um prisma nem sempre é a face apoiada no chão.

4. Paralelepípedo e cubo

4.1 Paralelepípedo retângulo

O paralelepípedo retângulo, ou bloco retangular, é o prisma reto de base retangular. Suas seis faces são retângulos, e ele é determinado por três dimensões: a, b e c.

Dedução da diagonal.

1. A diagonal da base é d = √(a² + b²), pelo teorema de Pitágoras.
2. A diagonal do bloco é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são d e a altura c.
3. Logo, D² = d² + c² = a² + b² + c².

Exemplo. Uma caixa mede 3 cm × 4 cm × 12 cm.

• Diagonal: √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.
• Volume: 3 × 4 × 12 = 144 cm³.
• Área total: 2(12 + 36 + 48) = 192 cm².

O resultado da diagonal tem uma consequência prática: uma vareta de até 13 cm cabe inteira dentro da caixa, apoiada de um canto ao canto oposto.

4.2 Cubo

O cubo é o paralelepípedo com as três dimensões iguais à aresta a:

Exemplo. Um cubo tem diagonal de 6√3 cm. A aresta é 6 cm, e o volume, 216 cm³.

4.3 Efeito da mudança de escala

Como visto no artigo de Razão e Proporção, se todas as medidas lineares de um sólido são multiplicadas por k:

• as áreas ficam multiplicadas por k²;
• o volume fica multiplicado por k³.

Dobrando a aresta de um cubo, sua área total quadruplica, e seu volume fica 8 vezes maior.

4.4 Cubo pintado e cortado

Um cubo de aresta n, com todas as faces pintadas, é cortado em n³ cubinhos de aresta 1. Quantos cubinhos têm cada quantidade de faces pintadas?

Faces pintadas	Localização	Quantidade
3	vértices	8
2	arestas, sem os vértices	12(n − 2)
1	faces, sem as bordas	6(n − 2)²
0	interior	(n − 2)³

Exemplo: n = 5, com 125 cubinhos.

• 3 faces pintadas: 8.
• 2 faces: 12 · 3 = 36.
• 1 face: 6 · 9 = 54.
• Nenhuma: 3³ = 27.
• Verificação: 8 + 36 + 54 + 27 = 125.

4.5 Volume por deslocamento de líquido

Quando um objeto é totalmente submerso em um recipiente com água, o nível sobe. O volume de água deslocada é igual ao volume do objeto. Esse é o princípio atribuído a Arquimedes.

Exemplo. Um aquário tem base retangular de 40 cm × 25 cm. Ao mergulhar uma pedra, o nível sobe 2 cm. O volume da pedra é:

40 × 25 × 2 = 2.000 cm³ = 2 litros

5. Cilindro

5.1 Definição e elementos

O cilindro circular reto tem duas bases que são círculos congruentes e paralelos, ligadas por uma superfície lateral curva. Seus elementos são:

• raio da base (r);
• altura (h): a distância entre as bases;
• geratriz (g): segmento da superfície lateral que liga as duas bases. No cilindro reto, g = h;
• eixo: a reta que passa pelos centros das bases.

5.2 Planificação

A superfície lateral do cilindro, desenrolada, é um retângulo:

• a base do retângulo é o comprimento da circunferência: 2πr;
• a altura do retângulo é a altura do cilindro: h.

A planificação completa é esse retângulo junto com os dois círculos das bases.

5.3 Áreas e volume

O cilindro segue a mesma lógica do prisma: o volume é a área da base vezes a altura.

5.4 Seção meridiana e cilindro equilátero

A seção meridiana é o corte feito por um plano que contém o eixo. No cilindro reto, é um retângulo de lados 2r e h.

Quando a seção meridiana é um quadrado, ou seja, quando h = 2r, o cilindro é chamado equilátero.

5.5 Exemplos

Exemplo 1: lata. Uma lata cilíndrica tem raio de 3 cm e altura de 10 cm. Use π ≈ 3,14.

• Volume: 3,14 × 9 × 10 = 282,6 cm³, cerca de 283 mL.
• Área lateral, que é a área do rótulo sem sobreposição: 2 × 3,14 × 3 × 10 = 188,4 cm².
• Área total: 188,4 + 2 × 3,14 × 9 = 188,4 + 56,52 = 244,92 cm².

Exemplo 2: reservatório. Um reservatório cilíndrico tem 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Use π ≈ 3.

V = 3 × 1² × 3 = 9 m³ = 9.000 litros

Exemplo 3: raio × altura. Dobrar o raio de um cilindro multiplica seu volume por 4, porque o raio aparece ao quadrado. Dobrar a altura multiplica o volume apenas por 2. Dois cilindros podem ter formatos bem diferentes e o mesmo volume.

6. Pirâmide

6.1 Definição e elementos

Seus elementos são:

• altura (h): distância do vértice ao plano da base;
• arestas laterais (ℓ): ligam o vértice aos vértices da base;
• apótema da pirâmide (g): altura de uma face lateral, traçada a partir do vértice da pirâmide;
• apótema da base (m): distância do centro da base ao ponto médio de um de seus lados;
• raio da base (R): distância do centro da base a um de seus vértices.

6.2 Pirâmide regular

Uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção do vértice sobre a base coincide com o centro da base. Nesse caso, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

6.3 Os triângulos retângulos da pirâmide regular

A pirâmide regular esconde três triângulos retângulos que resolvem quase todos os problemas:

Triângulo	Catetos	Hipotenusa	Relação
Altura e apótema da base	h e m	g	g² = h² + m²
Altura e raio da base	h e R	ℓ	ℓ² = h² + R²
Apótema da pirâmide e meia aresta da base	g e a/2	ℓ	ℓ² = g² + (a/2)²

Apótema e raio das bases mais comuns (com aresta da base a):

Base	Apótema da base (m)	Raio da base (R)
Quadrado	a/2	a√2/2
Triângulo equilátero	a√3/6	a√3/3
Hexágono regular	a√3/2	a

6.4 Áreas

• Área lateral: soma das áreas das faces laterais. Na pirâmide regular de n faces, cada face é um triângulo de base a e altura g:

• Área total:

A pirâmide tem uma única base, e não duas como o prisma.

6.5 Volume

Por que um terço. Um cubo pode ser dividido em três pirâmides congruentes, cada uma com base igual a uma face do cubo e vértice em um mesmo vértice do cubo oposto a essas faces. Cada pirâmide tem, portanto, um terço do volume do cubo, que tem a mesma base e a mesma altura.

Experimentalmente: são necessárias três pirâmides cheias de água para encher um prisma de mesma base e mesma altura. Pelo princípio de Cavalieri, o resultado vale para qualquer pirâmide.

6.6 Exemplos

Exemplo 1: pirâmide quadrangular regular. A aresta da base mede 6 m, e a altura, 4 m.

1. Apótema da base: m = 6/2 = 3 m.
2. Apótema da pirâmide: g = √(4² + 3²) = 5 m.
3. Área lateral: 4 · (6 · 5)/2 = 60 m².
4. Área da base: 36 m². Área total: 96 m².
5. Volume: 36 · 4/3 = 48 m³.

Exemplo 2: tetraedro regular. No tetraedro regular de aresta a, todas as faces são triângulos equiláteros. Valem:

Para a = 6 cm: V = 216√2/12 = 18√2 ≈ 25,46 cm³.

7. Cone

7.1 Definição e elementos

O cone circular reto tem uma base circular e um vértice situado sobre a reta perpendicular à base que passa pelo seu centro. Seus elementos são:

• raio da base (r);
• altura (h): distância do vértice ao plano da base;
• geratriz (g): segmento que liga o vértice a um ponto da circunferência da base.

As três medidas formam um triângulo retângulo:

7.2 Planificação

A superfície lateral do cone, desenrolada, é um setor circular:

• o raio do setor é a geratriz g do cone;
• o comprimento do arco do setor é a circunferência da base: 2πr.

O ângulo do setor é:

7.3 Áreas e volume

Dedução da área lateral. O setor tem arco 2πr e raio g. Pela fórmula da área do setor em função do arco (Geometria Plana, Parte 2), A = (arco · raio)/2 = (2πr · g)/2 = πrg.

O cone está para o cilindro assim como a pirâmide está para o prisma: seu volume é um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura.

7.4 Cone equilátero

A seção meridiana do cone, o corte por um plano que contém o eixo, é um triângulo isósceles de lados g, g e 2r. Quando esse triângulo é equilátero, ou seja, quando g = 2r, o cone é chamado equilátero. Nesse caso, h = r√3.

7.5 Exemplos

Exemplo 1. Um cone tem raio 3 cm e altura 4 cm.

1. Geratriz: g = √(9 + 16) = 5 cm.
2. Área lateral: π · 3 · 5 = 15π cm².
3. Área total: 15π + 9π = 24π cm².
4. Volume: π · 9 · 4/3 = 12π cm³.
5. Ângulo do setor da planificação: 360° · 3/5 = 216°.

Exemplo 2: do setor ao cone. Um chapéu de festa é feito com um setor circular de papel de raio 10 cm e ângulo de 216°. Quais são as dimensões do cone obtido?

1. A geratriz do cone é o raio do setor: g = 10 cm.
2. O arco do setor mede (216/360) · 2π · 10 = 12π cm.
3. Esse arco vira a circunferência da base: 2πr = 12π, logo r = 6 cm.
4. A altura é h = √(100 − 36) = 8 cm.

8. Relações entre os sólidos

8.1 Mesmo base e mesma altura

Sólido "cheio"	Sólido "pontudo"	Razão entre volumes
Prisma	Pirâmide	a pirâmide tem 1/3 do volume
Cilindro	Cone	o cone tem 1/3 do volume

A família prisma–cilindro segue V = A_b · h. A família pirâmide–cone segue V = A_b · h/3.

8.2 Recipientes cônicos e semelhança

Um copo ou uma taça com forma de cone, com o vértice para baixo, cheio de líquido até metade da altura, contém uma porção de líquido que forma um cone semelhante ao cone total, com razão de semelhança 1/2. Logo:

Esse resultado surpreende quem raciocina linearmente. Pelo mesmo motivo, para que a taça fique com metade do volume, o líquido precisa atingir cerca de 79% da altura, porque (0,794)³ ≈ 0,5.

9. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Retas reversas	Retas paralelas	As reversas não estão no mesmo plano
Perpendiculares	Ortogonais	As perpendiculares se cruzam; as ortogonais são reversas
Prisma	Pirâmide	O prisma tem duas bases; a pirâmide, uma base e um vértice
A_b · h	A_b · h/3	O primeiro é volume de prisma e cilindro; o segundo, de pirâmide e cone
Altura da pirâmide (h)	Apótema da pirâmide (g)	h é perpendicular à base; g é a altura de uma face lateral
Apótema da base (m)	Raio da base (R)	m vai ao meio do lado; R vai ao vértice
Altura do cone (h)	Geratriz do cone (g)	g é a hipotenusa: g² = h² + r²
Área lateral	Área total	A total inclui as bases
Altura do prisma oblíquo	Aresta lateral	A altura é perpendicular; a aresta é inclinada
Volume	Capacidade	Medem o mesmo espaço, em unidades diferentes (m³ e L)
Metade da altura de um cone	Metade do volume	Metade da altura corresponde a 1/8 do volume

10. Erros recorrentes e como evitá-los

Esquecer o 1/3 nos volumes da pirâmide e do cone. Controle: sólidos "pontudos" têm 1/3 do volume do sólido "cheio" correspondente.

Usar a altura no lugar do apótema na área lateral da pirâmide. Controle: a área de cada face usa a altura da própria face, que é o apótema g.

Usar a geratriz no lugar da altura no volume do cone. Controle: o volume usa h; a área lateral usa g.

Contar duas bases na área total da pirâmide ou do cone. Controle: esses sólidos têm uma base só.

Confundir diâmetro com raio. Controle: verifique qual medida o enunciado fornece.

Identificar errado a base de um prisma deitado. Controle: a base é a face que se repete, congruente e paralela, nas duas extremidades.

Esquecer de converter volume em capacidade. Controle: 1 dm³ = 1 L e 1 m³ = 1.000 L.

Raciocinar linearmente com recipientes cônicos. Controle: volumes de sólidos semelhantes variam com o cubo da razão.

Contar arestas sem dividir por 2. Controle: cada aresta pertence a duas faces.

Verificação geral. Confira as unidades: área em unidades quadradas, volume em unidades cúbicas.

11. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H7, nível fácil)

O modelo clássico de bola de futebol corresponde a um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é:

A) 32
B) 60
C) 90
D) 120
E) 180

Gabarito: B

Resolução.

1. F = 32 e 2A = 12 · 5 + 20 · 6 = 180, logo A = 90.
2. Pela relação de Euler: V = 2 + A − F = 2 + 90 − 32 = 60.

Análise dos distratores.

• A: dá o número de faces.
• C: dá o número de arestas.
• E: soma os lados das faces sem dividir por 2.

Questão 2 (H8, nível fácil)

Um aquário tem base retangular de 50 cm por 30 cm. Uma pedra é colocada no aquário e fica totalmente submersa, fazendo o nível da água subir 4 cm, sem transbordar. O volume da pedra é:

A) 0,6 L
B) 6 L
C) 60 L
D) 1,5 L
E) 600 L

Gabarito: B

Resolução. O volume da pedra é igual ao volume de água deslocada:

50 × 30 × 4 = 6.000 cm³ = 6 L

Análise dos distratores.

• A, C e E: resultam de conversões erradas de cm³ para litros.
• D: considera apenas a área da base (1.500 cm²), sem multiplicar pela elevação do nível.

Questão 3 (H8, nível médio)

Uma empresa produz dois potes cilíndricos. O pote A tem raio de 4 cm e altura de 10 cm. O pote B tem raio de 8 cm e altura de 5 cm. A razão entre o volume do pote B e o volume do pote A é:

A) 1/2
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8

Gabarito: C

Resolução.

V_B/V_A = (π · 64 · 5) ÷ (π · 16 · 10) = 320/160 = 2

Análise dos distratores.

• B: supõe que dobrar o raio e reduzir a altura à metade se compensam. Mas o raio entra ao quadrado no volume.
• D: considera apenas o efeito do raio.
• E: eleva a razão dos raios ao cubo.

Questão 4 (H8, nível médio)

Uma taça tem a forma de um cone circular reto, com o vértice voltado para baixo. Ela é preenchida com líquido até a metade de sua altura. O volume de líquido corresponde a que porcentagem da capacidade total da taça?

A) 12,5%
B) 25%
C) 33,3%
D) 50%
E) 87,5%

Gabarito: A

Resolução. O líquido forma um cone semelhante ao da taça, com razão de semelhança 1/2. A razão entre os volumes é (1/2)³ = 1/8 = 12,5%.

Análise dos distratores.

• D: raciocina linearmente.
• B: usa a razão de áreas, (1/2)².
• E: dá a porcentagem da parte vazia.

Questão 5 (H8, nível médio)

O telhado de um quiosque tem a forma de uma pirâmide quadrangular regular, com aresta da base de 10 m e altura de 12 m. As quatro faces laterais serão revestidas com telhas. A área a ser revestida é:

A) 240 m²
B) 260 m²
C) 360 m²
D) 400 m²
E) 520 m²

Gabarito: B

Resolução.

1. Apótema da base: 5 m.
2. Apótema da pirâmide: g = √(144 + 25) = 13 m.
3. Área lateral: 4 · (10 · 13)/2 = 260 m².

Análise dos distratores.

• A: usa a altura da pirâmide no lugar do apótema.
• C: inclui a base, que não é telhado.
• D: calcula o volume.
• E: esquece de dividir por 2 a área de cada triângulo.

Questão 6 (H6, nível médio)

Um cubo de madeira de 5 cm de aresta teve todas as suas faces pintadas. Em seguida, foi cortado em 125 cubinhos de 1 cm de aresta. O número de cubinhos com exatamente duas faces pintadas é:

A) 8
B) 27
C) 36
D) 54
E) 98

Gabarito: C

Resolução. Os cubinhos com exatamente duas faces pintadas ficam nas arestas do cubo, sem contar os vértices. Cada aresta tem 5 − 2 = 3 desses cubinhos, e o cubo tem 12 arestas: 12 × 3 = 36.

Análise dos distratores.

• A: corresponde aos cubinhos dos vértices, com três faces pintadas.
• B: corresponde aos cubinhos do interior, sem pintura.
• D: corresponde aos cubinhos com exatamente uma face pintada.
• E: corresponde aos cubinhos com pelo menos uma face pintada.

Questão 7 (H7, nível difícil)

Um chapéu de festa com forma de cone circular reto será montado a partir de um setor circular de papel com 10 cm de raio e ângulo central de 216°, unindo-se as bordas retas do setor sem sobreposição. A altura do chapéu é:

A) 6 cm
B) 8 cm
C) 10 cm
D) 12 cm
E) 16 cm

Gabarito: B

Resolução.

1. O raio do setor torna-se a geratriz do cone: g = 10 cm.
2. O arco do setor mede (216/360) · 2π · 10 = 12π cm e torna-se a circunferência da base: 2πr = 12π, logo r = 6 cm.
3. Altura: h = √(100 − 36) = 8 cm.

Análise dos distratores.

• A: dá o raio da base.
• C: dá a geratriz.
• D: confunde o comprimento do arco (12π) com a altura.
• E: soma o raio da base com a geratriz.

12. Perguntas frequentes

O que são retas reversas?

São retas que não se cruzam e não são paralelas, porque estão em planos diferentes. Só existem no espaço.

Para que serve a relação de Euler?

Para encontrar o número de vértices, arestas ou faces de um poliedro convexo quando os outros dois são conhecidos.

Por que existem só cinco poliedros regulares?

Porque a soma dos ângulos das faces em cada vértice precisa ser menor que 360°, e isso só é possível em cinco combinações.

Por que o volume da pirâmide é um terço do volume do prisma?

Porque três pirâmides de mesma base e mesma altura preenchem exatamente um prisma. No cubo, isso pode ser visto dividindo-o em três pirâmides congruentes.

Qual a diferença entre altura e apótema da pirâmide?

A altura é perpendicular à base e vai do vértice ao centro da base. O apótema é a altura de uma face lateral, medida sobre a própria face.

Quando usar a geratriz e quando usar a altura do cone?

A geratriz entra na área lateral (πrg). A altura entra no volume (πr²h/3). As duas se relacionam por g² = h² + r².

Prismas oblíquos têm a mesma fórmula de volume?

Sim, desde que se use a altura perpendicular entre as bases, e não a aresta lateral. Isso decorre do princípio de Cavalieri.

Como converter volume em litros?

Use 1 dm³ = 1 L, 1 m³ = 1.000 L e 1 cm³ = 1 mL.

Por que uma taça cônica cheia até a metade da altura tem tão pouco líquido?

Porque o líquido forma um cone semelhante ao da taça, e o volume varia com o cubo da razão de semelhança: (1/2)³ = 1/8.

14. Síntese

No espaço, duas retas podem ser concorrentes, paralelas, coincidentes ou reversas. As reversas, sem ponto comum e em planos diferentes, só existem nessa geometria. A altura de um sólido é sempre uma distância perpendicular a um plano.

Os poliedros convexos satisfazem a relação de Euler, V − A + F = 2. O número de arestas é metade da soma dos lados de todas as faces. Existem apenas cinco poliedros regulares.

Prismas e cilindros têm duas bases congruentes e paralelas. Seu volume é a área da base vezes a altura, válido também para sólidos oblíquos pelo princípio de Cavalieri. No paralelepípedo retângulo, a diagonal é √(a² + b² + c²). No cubo, √3 vezes a aresta. A superfície lateral do cilindro, planificada, é um retângulo de lados 2πr e h.

Pirâmides e cones têm uma base e um vértice, e seu volume é um terço do volume do prisma ou do cilindro de mesma base e mesma altura. Na pirâmide regular, três triângulos retângulos relacionam altura, apótemas, raio da base e aresta lateral. No cone, a geratriz se relaciona com a altura e o raio por g² = h² + r², e a superfície lateral planificada é um setor circular de raio g e arco 2πr.

Em sólidos semelhantes, as áreas variam com o quadrado da razão de semelhança, e os volumes, com o cubo. Por isso, um recipiente cônico cheio até metade da altura contém apenas 1/8 da sua capacidade.

Sólido	Área lateral	Área total	Volume
Prisma reto	perímetro da base × h	A_l + 2A_b	A_b · h
Paralelepípedo	–	2(ab + ac + bc)	abc
Cubo	–	6a²	a³
Cilindro	2πrh	2πr(h + r)	πr²h
Pirâmide regular	n · a · g/2	A_l + A_b	A_b · h/3
Cone	πrg	πr(g + r)	πr²h/3

Situação	Ferramenta
Vértices, arestas ou faces	V − A + F = 2
Arestas a partir das faces	2A = soma dos lados
Diagonal do bloco	√(a² + b² + c²)
Volume de objeto irregular	água deslocada
Elementos da pirâmide regular	triângulos retângulos com h, m, R, g e ℓ
Elementos do cone	g² = h² + r²
Setor que forma um cone	raio do setor = g; arco = 2πr
Recipiente cônico parcialmente cheio	razão de volumes = k³

15. Glossário

Termo	Definição
Retas reversas	Retas que não estão em um mesmo plano
Retas ortogonais	Retas reversas que formam ângulo de 90°
Poliedro	Sólido limitado por polígonos planos
Relação de Euler	V − A + F = 2, válida para poliedros convexos
Poliedros de Platão	Os cinco poliedros regulares
Prisma	Poliedro com duas bases congruentes e paralelas e faces laterais em forma de paralelogramo
Prisma regular	Prisma reto cuja base é um polígono regular
Paralelepípedo retângulo	Prisma reto de base retangular
Princípio de Cavalieri	Sólidos de mesma altura com seções de áreas iguais em cada nível têm volumes iguais
Cilindro	Sólido com duas bases circulares congruentes e paralelas e superfície lateral curva
Geratriz	Segmento que gera a superfície lateral de um cilindro ou cone
Seção meridiana	Corte de um sólido de revolução por um plano que contém o eixo
Pirâmide	Poliedro com uma base poligonal e faces laterais triangulares com vértice comum
Apótema da pirâmide	Altura de uma face lateral de uma pirâmide regular
Apótema da base	Distância do centro da base ao ponto médio de um lado
Cone	Sólido com base circular e um vértice fora do plano da base
Planificação	Representação plana da superfície de um sólido
Capacidade	Volume interno de um recipiente, geralmente em litros