Geometria Analítica

A geometria analítica une duas áreas que, por séculos, se desenvolveram separadas: a geometria, que estuda formas, e a álgebra, que estuda equações. A ideia, associada a René Descartes e Pierre de Fermat no século XVII, é atribuir coordenadas aos pontos do plano. A partir daí:

• uma reta passa a ser uma equação do 1º grau;
• uma circunferência passa a ser uma equação do 2º grau;
• perguntas geométricas, como "estas retas são perpendiculares?" ou "este ponto está dentro do círculo?", passam a ser resolvidas por cálculo.

Apresentação

Em linha reta ou pelas ruas. 5 km em linha reta; 7 km pelas ruas.

É a mesma ideia que sustenta mapas digitais, sistemas de localização por satélite e qualquer software de desenho técnico.

Na Matriz de Referência, a geometria analítica mobiliza a Competência 2, especialmente:

• H6: localização e movimentação no espaço e sua representação no plano;
• H8: resolução de problemas geométricos.

Mobiliza também a Competência 5:

• H19: identificar representações algébricas;
• H20: interpretar gráficos cartesianos;
• H21: resolver problemas modelados algebricamente.

No ENEM, os contextos mais comuns são mapas quadriculados, trajetos em cidades, localização de equipamentos públicos, alcance de antenas e áreas de terrenos.

Este artigo apresenta:

1. o plano cartesiano e as simetrias;
2. a distância entre dois pontos, incluindo a distância percorrida em ruas;
3. o ponto médio e o baricentro;
4. a área de polígonos por coordenadas e a condição de alinhamento;
5. o coeficiente angular;
6. as formas da equação da reta;
7. o paralelismo, a perpendicularidade e a distância de ponto a reta;
8. a equação da circunferência e as posições relativas.

Pré-requisitos: o artigo de Função do Primeiro Grau (plano cartesiano e coeficiente angular), o teorema de Pitágoras (Geometria Plana, Parte 1) e o artigo de Sistemas de Equações.

1. O plano cartesiano

1.1 Revisão

O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares que se cruzam na origem O(0, 0):

• o eixo horizontal é o eixo x, ou eixo das abscissas;
• o eixo vertical é o eixo y, ou eixo das ordenadas.

Cada ponto é identificado por um par ordenado (x, y). A ordem importa: (2, 5) e (5, 2) são pontos diferentes.

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes:

Quadrante	Sinal de x	Sinal de y	Exemplo
I	+	+	(3, 2)
II	−	+	(−3, 2)
III	−	−	(−3, −2)
IV	+	−	(3, −2)

Pontos sobre os eixos:

• sobre o eixo x, a ordenada é zero: (a, 0);
• sobre o eixo y, a abscissa é zero: (0, b).

Bissetrizes dos quadrantes:

• a bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III) é a reta y = x, formada pelos pontos (a, a);
• a bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) é a reta y = −x, formada pelos pontos (a, −a).

1.2 Simetrias e translações

Para um ponto P(a, b):

Transformação	Imagem de P(a, b)
Reflexão no eixo x	(a, −b)
Reflexão no eixo y	(−a, b)
Simetria em relação à origem	(−a, −b)
Reflexão na bissetriz y = x	(b, a)
Translação de h unidades em x e k unidades em y	(a + h, b + k)

Essas transformações aparecem em itens sobre mapas, mosaicos e movimentação de figuras (H6).

2. Distância entre dois pontos

2.1 A fórmula

Dados A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), o segmento AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são:

• a diferença horizontal, Δx = x₂ − x₁;
• a diferença vertical, Δy = y₂ − y₁.

Pelo teorema de Pitágoras:

Como as diferenças são elevadas ao quadrado, a ordem dos pontos não importa e os sinais negativos desaparecem.

Exemplo. A distância entre A(1, 2) e B(4, 6) é:

d = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5

2.2 Distância em linha reta e distância percorrida nas ruas

Em uma cidade planejada, com ruas em quadrícula, não é possível andar em linha reta atravessando os quarteirões. O deslocamento é feito pelas ruas, somando os trechos horizontais e verticais:

No exemplo anterior, a distância em linha reta é 5, mas o percurso pelas ruas é 3 + 4 = 7.

Itens do ENEM sobre mapas quadriculados frequentemente pedem uma dessas duas distâncias. Identificar qual delas o enunciado pede é o passo decisivo.

2.3 Aplicações

Classificar um triângulo. Com os três vértices, calculam-se os três lados. Lados iguais indicam triângulo isósceles ou equilátero. A recíproca de Pitágoras indica se ele é retângulo.

Ponto equidistante. Uma rodovia retilínea coincide com o eixo x. Deseja-se construir um posto sobre a rodovia à mesma distância das cidades A(1, 3) e B(5, 1). Onde deve ficar o posto?

1. O posto é P(x, 0). Iguale os quadrados das distâncias: (x − 1)² + 9 = (x − 5)² + 1.
2. Desenvolvendo: x² − 2x + 10 = x² − 10x + 26.
3. Então 8x = 16, e x = 2. O posto fica em P(2, 0).
4. Verificação: d(P, A) = √(1 + 9) = √10 e d(P, B) = √(9 + 1) = √10.

Dica: para comparar distâncias, compare seus quadrados. Isso evita lidar com raízes.

3. Ponto médio e baricentro

3.1 Ponto médio

O ponto médio de um segmento AB tem coordenadas iguais às médias das coordenadas das extremidades:

Exemplo. O ponto médio de A(1, 2) e B(7, 10) é M(4, 6).

Encontrar uma extremidade. Se M(3, 4) é o ponto médio de AB, com A(1, 1), então:

• (1 + x)/2 = 3, logo x = 5;
• (1 + y)/2 = 4, logo y = 7;
• B(5, 7).

3.2 Quarto vértice de um paralelogramo

No paralelogramo, as diagonais se cortam ao meio: as duas diagonais têm o mesmo ponto médio. Para o paralelogramo ABCD:

Exemplo. Com A(1, 1), B(5, 2) e C(6, 5):

D = (1 + 6 − 5, 1 + 5 − 2) = (2, 4)

Verificação: o ponto médio de AC é (3,5; 3), e o de BD é ((5 + 2)/2, (2 + 4)/2) = (3,5; 3).

3.3 Baricentro

O baricentro de um triângulo, encontro das medianas, tem coordenadas iguais às médias das coordenadas dos três vértices:

4. Área por coordenadas e condição de alinhamento

4.1 Área de um triângulo

Para um triângulo de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), calcula-se:

D = x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)

Esse número D é o determinante de uma matriz 3 × 3 formada pelas coordenadas, como se verá no artigo de Matrizes.

Exemplo. Triângulo de vértices A(1, 1), B(5, 1) e C(3, 4).

D = 1(1 − 4) + 5(4 − 1) + 3(1 − 1) = −3 + 15 + 0 = 12
Área = 12 ÷ 2 = 6

Verificação: a base AB mede 4, e a altura, 3. A área é 4 · 3 ÷ 2 = 6.

4.2 Área de um polígono qualquer (fórmula do cadarço)

Liste os vértices em ordem, percorrendo o contorno, e repita o primeiro no final. Some os produtos "cruzados" de cada par de vértices consecutivos, x_i · y_(i+1) − x_(i+1) · y_i. A área é metade do valor absoluto dessa soma.

Exemplo. Quadrilátero de vértices (0, 0), (6, 0), (8, 5) e (2, 6).

Par de vértices consecutivos	x_i · y_(i+1) − x_(i+1) · y_i
(0, 0) → (6, 0)	0 · 0 − 6 · 0 = 0
(6, 0) → (8, 5)	6 · 5 − 8 · 0 = 30
(8, 5) → (2, 6)	8 · 6 − 2 · 5 = 38
(2, 6) → (0, 0)	2 · 0 − 0 · 6 = 0
Soma	68

Área = 68 ÷ 2 = 34.

Os vértices devem ser listados na ordem do contorno. Uma ordem fora de sequência produz um resultado errado.

4.3 Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados quando o triângulo que formariam tem área zero:

Uma forma equivalente, e muitas vezes mais rápida, é verificar se o coeficiente angular de AB é igual ao de BC (seção 5).

Exemplo 1. Os pontos A(1, 2), B(3, 6) e C(5, 10) estão alinhados?

• Inclinação de AB: (6 − 2) ÷ (3 − 1) = 2.
• Inclinação de BC: (10 − 6) ÷ (5 − 3) = 2.
• As inclinações são iguais: os pontos estão alinhados.

Exemplo 2. Para que valor de k os pontos (1, 1), (3, 5) e (k, 9) estão alinhados?

1. A inclinação entre os dois primeiros é (5 − 1) ÷ (3 − 1) = 2.
2. Para manter essa inclinação: 9 − 1 = 2(k − 1).
3. Logo, k = 5.

5. Coeficiente angular

5.1 Definição

O coeficiente angular de uma reta não vertical mede sua inclinação. Para dois pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) da reta:

Se α é o ângulo que a reta forma com o sentido positivo do eixo x:

Exemplo. A reta que passa por A(1, 2) e B(4, 8) tem m = 6 ÷ 3 = 2.

5.2 Interpretação

Coeficiente angular	Reta	Ângulo α
m > 0	crescente	agudo
m < 0	decrescente	obtuso
m = 0	horizontal	0°
não definido	vertical	90°

Ângulos e coeficientes conhecidos:

m	α
1	45°
√3	60°
√3/3	30°
−1	135°

O coeficiente angular é a taxa de variação de y em relação a x: quanto y muda quando x aumenta uma unidade. É o mesmo conceito estudado no artigo de Função do Primeiro Grau.

6. Equação da reta

6.1 Forma ponto-inclinação

Conhecendo um ponto (x₀, y₀) e o coeficiente angular m:

Exemplo. Reta que passa por (2, 3) com m = 4:

y − 3 = 4(x − 2), logo y = 4x − 5

6.2 Forma reduzida

• m é o coeficiente angular;
• n é o coeficiente linear: a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

6.3 Forma geral

Para passar à forma reduzida, isole y. Quando b ≠ 0:

Exemplo. A reta 2x + 3y − 6 = 0 tem forma reduzida y = −(2/3)x + 2.

6.4 Reta que passa por dois pontos

1. Calcule m pelos dois pontos.
2. Use a forma ponto-inclinação com qualquer um deles.

Exemplo. Reta por (1, 2) e (3, 8):

1. m = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 3.
2. y − 2 = 3(x − 1), logo y = 3x − 1.
3. Verificação com o segundo ponto: 3 · 3 − 1 = 8.

6.5 Forma segmentária

Quando a reta corta os eixos nos pontos (p, 0) e (0, q), com p e q não nulos:

Exemplo. A reta 2x + 3y = 6, dividida por 6, fica x/3 + y/2 = 1. Ela corta o eixo x em (3, 0) e o eixo y em (0, 2). O triângulo que ela forma com os eixos tem área 3 · 2 ÷ 2 = 3.

6.6 Casos especiais

Reta	Equação
Horizontal pelo ponto (0, k)	y = k
Vertical pelo ponto (k, 0)	x = k (não tem coeficiente angular)
Que passa pela origem	y = mx

6.7 Interseção de duas retas

O ponto de interseção é a solução do sistema formado pelas duas equações, como estudado no artigo de Sistemas de Equações.

Exemplo. As retas y = 2x + 1 e y = −x + 7 se cruzam quando 2x + 1 = −x + 7. Então x = 2 e y = 5. O ponto é (2, 5).

7. Paralelismo, perpendicularidade e distâncias

7.1 Retas paralelas

Se, além disso, os coeficientes lineares também forem iguais, as retas são coincidentes.

Exemplo. A reta paralela a y = 2x + 1 que passa por (3, 1):

y − 1 = 2(x − 3), logo y = 2x − 5

7.2 Retas perpendiculares

Em outras palavras, o coeficiente angular de uma é o inverso do oposto do coeficiente da outra: m₂ = −1/m₁.

Por que funciona. Uma reta de coeficiente m tem a direção do deslocamento (1, m): andar 1 para a direita e m para cima. Girando esse deslocamento em 90°, obtém-se (−m, 1), que corresponde ao coeficiente angular 1/(−m) = −1/m.

Exemplo. A reta perpendicular a y = 2x + 1 que passa por (2, 3):

1. m = −1/2.
2. y − 3 = −(1/2)(x − 2), logo y = −x/2 + 4.

O erro mais comum é trocar apenas o sinal (usar −2) ou apenas inverter (usar 1/2). As duas operações são necessárias.

7.3 Distância de ponto a reta

A distância do ponto P(x₀, y₀) à reta ax + by + c = 0 é medida pela perpendicular:

A reta precisa estar na forma geral.

Exemplo. Distância de P(1, 2) à reta 3x + 4y − 1 = 0:

d = |3 + 8 − 1| ÷ √(9 + 16) = 10 ÷ 5 = 2

Aplicações:

• calcular a altura de um triângulo relativa a um lado;
• verificar se uma reta é tangente a uma circunferência (seção 8.6);
• calcular a distância entre retas paralelas, tomando um ponto qualquer de uma delas.

7.4 Mediatriz de um segmento

A mediatriz de AB é a reta perpendicular a AB que passa pelo seu ponto médio. Todos os seus pontos são equidistantes de A e de B.

Exemplo. Mediatriz de A(1, 1) e B(5, 3):

1. Ponto médio: M(3, 2).
2. Coeficiente angular de AB: 2/4 = 1/2. O da mediatriz é −2.
3. y − 2 = −2(x − 3), logo y = −2x + 8.

O ponto equidistante de três pontos não alinhados, o circuncentro, é a interseção de duas mediatrizes, como estudado na Geometria Plana, Parte 1.

8. Circunferência

8.1 Equação reduzida

A circunferência de centro C(a, b) e raio r é o conjunto dos pontos P(x, y) cuja distância a C é r. Elevando a fórmula da distância ao quadrado:

Exemplo. Circunferência de centro (2, −3) e raio 4:

(x − 2)² + (y + 3)² = 16

Atenção aos sinais. O centro aparece com sinal trocado dentro dos parênteses. Em (y + 3)², a ordenada do centro é −3.

8.2 Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtém-se a forma geral:

Exemplo. Desenvolvendo (x − 2)² + (y + 3)² = 16:

x² − 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 16
x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0

8.3 Da forma geral para o centro e o raio

Pelo completamento de quadrados. Para x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0:

1. Agrupe: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12.
2. Complete os quadrados: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4.
3. (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
4. Centro C(3, −2) e raio r = 5.

Pelo atalho. Na equação x² + y² + Dx + Ey + F = 0:

No exemplo: a = 3, b = −2 e r² = 9 + 4 + 12 = 25.

Condições para que a equação represente uma circunferência:

• os coeficientes de x² e de y² são iguais (e, depois de dividir, iguais a 1);
• não há termo em xy;
• r² > 0.

Se r² = 0, a equação representa apenas um ponto. Se r² < 0, não representa nenhum ponto.

8.4 Circunferência a partir do diâmetro

Se A(1, 2) e B(7, 10) são as extremidades de um diâmetro:

1. O centro é o ponto médio: (4, 6).
2. O raio é metade de AB: AB = √(36 + 64) = 10, logo r = 5.
3. (x − 4)² + (y − 6)² = 25.

8.5 Posição de um ponto em relação à circunferência

Substitua as coordenadas do ponto na expressão (x − a)² + (y − b)² e compare com r²:

Resultado	Posição do ponto
menor que r²	interior
igual a r²	sobre a circunferência
maior que r²	exterior

Exemplo. Para a circunferência (x − 3)² + (y + 2)² = 25:

• P(6, 2): 9 + 16 = 25. O ponto está sobre a circunferência.
• Q(4, 0): 1 + 4 = 5 < 25. O ponto é interior.

8.6 Posição de uma reta em relação à circunferência

Compare a distância do centro à reta com o raio, como na Geometria Plana, Parte 2:

Distância	Reta
d < r	secante
d = r	tangente
d > r	exterior

Exemplo. A circunferência x² + y² = 25 tem centro na origem e raio 5. A distância do centro à reta 3x + 4y − 25 = 0 é:

d = |0 + 0 − 25| ÷ 5 = 5

A reta é tangente. O ponto de tangência é (3, 4).

8.7 Aplicação: área de cobertura

Uma antena localizada no ponto (2, 3) de um mapa, com escala em quilômetros, tem alcance de 5 km. Quais localidades são atendidas?

A região atendida é o círculo (x − 2)² + (y − 3)² ≤ 25.

• O ponto (6, 6) está a √(16 + 9) = 5 km: na borda, é atendido.
• O ponto (6, 7) está a √(16 + 16) ≈ 5,66 km: fora do alcance.
• O ponto (2, −1) está a 4 km: atendido.

9. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Distância em linha reta	Distância pelas ruas	√(Δx² + Δy²) versus |Δx| + |Δy|
Ponto médio	Baricentro	Média de dois pontos ou de três vértices
Coeficiente angular (m)	Coeficiente linear (n)	m é a inclinação; n é o corte no eixo y
Retas paralelas	Retas perpendiculares	m₁ = m₂ versus m₁ · m₂ = −1
−1/m	−m ou 1/m	A perpendicular exige inverter e trocar o sinal
Reta vertical x = k	Reta horizontal y = k	A vertical não tem coeficiente angular
Centro (a, b)	Sinais na equação	Em (x − a)², o centro aparece com sinal trocado
r²	r	A equação traz r²; o raio é a raiz
Área D/2	Área D	É preciso dividir por 2 e tomar o valor absoluto
Ponto na circunferência	Ponto no círculo	Sobre a linha (= r²) ou na região (≤ r²)

10. Erros recorrentes e como evitá-los

Confundir distância em linha reta com distância pelas ruas. Controle: verifique se o deslocamento pode atravessar quarteirões.

Esquecer a raiz na fórmula da distância. Controle: a distância tem a mesma unidade das coordenadas, e não unidade ao quadrado.

Inverter a ordem no coeficiente angular. Calcular Δx/Δy. Controle: é sempre a variação vertical dividida pela horizontal.

Para a perpendicular, só trocar o sinal ou só inverter. Controle: confira se m₁ · m₂ = −1.

Ler o centro da circunferência com o sinal errado. Controle: em (x − 3)² + (y + 2)² = 25, o centro é (3, −2).

Usar r² como raio. Controle: extraia a raiz do segundo membro.

Aplicar a distância ponto-reta com a reta na forma reduzida. Controle: passe a reta para a forma geral antes.

Listar os vértices fora de ordem na fórmula do cadarço. Controle: percorra o contorno em um único sentido.

Esquecer de dividir por 2 na área por coordenadas. Controle: teste em um triângulo simples, de base e altura conhecidas.

Verificação geral. Substitua os pontos dados na equação obtida. Eles devem satisfazê-la.

11. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H6, nível fácil)

No mapa quadriculado de um bairro, cada unidade corresponde a 1 km. Uma escola está no ponto (1, 2), e um hospital, no ponto (5, 5). A distância em linha reta entre a escola e o hospital é:

A) 3 km
B) 4 km
C) 5 km
D) 7 km
E) 25 km

Gabarito: C

Resolução.

d = √[(5 − 1)² + (5 − 2)²] = √(16 + 9) = √25 = 5 km

Análise dos distratores.

• D: é a distância percorrida pelas ruas (4 + 3).
• E: é o quadrado da distância, sem extrair a raiz.
• A e B: são os catetos isolados.

Questão 2 (H8, nível médio)

Uma rodovia retilínea coincide com o eixo x de um sistema de coordenadas cuja unidade é o quilômetro. Duas cidades estão nos pontos A(1, 3) e B(5, 1). Um posto de saúde será construído às margens da rodovia, à mesma distância das duas cidades. O posto deve ficar no ponto:

A) (2, 0)
B) (3, 0)
C) (3, 2)
D) (0, 2)
E) (4, 0)

Gabarito: A

Resolução. Com P(x, 0):

(x − 1)² + 9 = (x − 5)² + 1
8x = 16
x = 2

Análise dos distratores.

• C: é o ponto médio de AB, que é equidistante das duas cidades, mas não está na rodovia.
• B: toma a abscissa do ponto médio, sem verificar a equidistância. Na verdade, P(3, 0) está a √13 de A e a √5 de B.

Questão 3 (H19, nível médio)

A equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 8) é:

A) y = 3x + 1
B) y = 3x − 1
C) y = x/3 + 5/3
D) y = −3x + 5
E) y = 6x − 4

Gabarito: B

Resolução.

1. m = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 3.
2. y − 2 = 3(x − 1), logo y = 3x − 1.

Análise dos distratores.

• C: calcula Δx/Δy, invertendo o coeficiente angular.
• A: usa o coeficiente angular correto, mas erra o sinal do coeficiente linear.
• D: erra o sinal do coeficiente angular.
• E: não divide Δy por Δx.

Questão 4 (H21, nível médio)

No mapa de uma cidade, uma avenida é representada pela reta y = 2x + 1. Uma nova rua será construída perpendicular à avenida, passando pelo ponto (2, 3). A equação da nova rua é:

A) y = 2x − 1
B) y = −2x + 7
C) y = x/2 + 2
D) y = −x/2 + 4
E) y = −x/2 + 3

Gabarito: D

Resolução.

1. O coeficiente angular da perpendicular é −1/2.
2. y − 3 = −(1/2)(x − 2), logo y = −x/2 + 4.

Análise dos distratores.

• A: dá uma reta paralela à avenida.
• B: apenas troca o sinal do coeficiente angular.
• C: apenas inverte o coeficiente, sem trocar o sinal.
• E: usa o coeficiente correto, mas erra o cálculo do coeficiente linear.

Questão 5 (H19, nível médio)

A circunferência de equação x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 tem centro e raio, respectivamente:

A) C(−3, 2) e r = 5
B) C(3, −2) e r = 5
C) C(3, −2) e r = √12
D) C(6, −4) e r = 12
E) C(3, −2) e r = 25

Gabarito: B

Resolução. Completando quadrados:

(x − 3)² + (y + 2)² = 12 + 9 + 4 = 25

O centro é (3, −2), e o raio, 5.

Análise dos distratores.

• A: lê o centro com os sinais dos coeficientes, sem trocá-los.
• C: usa o termo independente como r², esquecendo de somar os quadrados completados.
• D: toma os coeficientes de x e de y, sem dividir por 2.
• E: dá r² no lugar de r.

Questão 6 (H6, nível médio)

Em um mapa com escala em quilômetros, uma antena está no ponto (2, 3) e atende todas as localidades a até 5 km de distância. Das localidades abaixo, a única que não é atendida pela antena é a situada no ponto:

A) (2, −1)
B) (5, 7)
C) (−1, −1)
D) (6, 7)
E) (6, 6)

Gabarito: D

Resolução. Calculando as distâncias até a antena:

Ponto	Distância	Situação
(2, −1)	4 km	atendido
(5, 7)	√(9 + 16) = 5 km	atendido (na borda)
(−1, −1)	√(9 + 16) = 5 km	atendido (na borda)
(6, 7)	√(16 + 16) ≈ 5,66 km	não atendido
(6, 6)	√(16 + 9) = 5 km	atendido (na borda)

Análise dos distratores. As alternativas B, C e E estão exatamente sobre a borda da região atendida. Elas atraem quem exclui os pontos com distância igual a 5 km, quando o enunciado diz "até 5 km".

Questão 7 (H8, nível difícil)

A planta de um terreno foi desenhada em um sistema de coordenadas no qual cada unidade corresponde a 10 m. Os vértices do terreno, na ordem do contorno, são (0, 0), (6, 0), (8, 5) e (2, 6). A área real do terreno é:

A) 34 m²
B) 340 m²
C) 3.400 m²
D) 6.800 m²
E) 34.000 m²

Gabarito: C

Resolução.

1. Pela fórmula do cadarço, a soma dos produtos cruzados é 0 + 30 + 38 + 0 = 68. A área no desenho é 34 unidades quadradas.
2. Cada unidade quadrada corresponde a 10 m × 10 m = 100 m².
3. Área real: 34 × 100 = 3.400 m².

Análise dos distratores.

• B: aplica a escala linear (×10) à área, quando a escala de áreas é o quadrado (×100).
• D: esquece de dividir por 2.
• A: não aplica a escala.

12. Perguntas frequentes

De onde vem a fórmula da distância entre dois pontos?

Do teorema de Pitágoras. As diferenças de x e de y são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento.

Qual a diferença entre distância em linha reta e distância pelas ruas?

A primeira é a hipotenusa, √(Δx² + Δy²). A segunda é a soma dos catetos, |Δx| + |Δy|, porque o deslocamento é feito ao longo de ruas perpendiculares.

O que o coeficiente angular representa?

A inclinação da reta: quanto y varia quando x aumenta uma unidade. É a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x.

Como saber se duas retas são perpendiculares?

Multiplique os coeficientes angulares. Se o produto for −1, elas são perpendiculares.

Por que a reta vertical não tem coeficiente angular?

Porque Δx = 0, e o coeficiente seria uma divisão por zero.

Como verificar se três pontos estão alinhados?

Compare os coeficientes angulares dos segmentos AB e BC, ou verifique se a área do triângulo que eles formariam é zero.

Como encontrar o centro e o raio a partir da equação geral da circunferência?

Complete os quadrados, ou use a = −D/2, b = −E/2 e r² = a² + b² − F.

Toda equação do tipo x² + y² + Dx + Ey + F = 0 é uma circunferência?

Não. É preciso que r² = a² + b² − F seja positivo. Se for zero, a equação representa um ponto; se for negativo, nenhum ponto.

Como saber se uma reta é tangente a uma circunferência?

Calcule a distância do centro à reta. Se for igual ao raio, a reta é tangente.

14. Síntese

A geometria analítica traduz figuras em equações por meio de coordenadas. No plano cartesiano, cada ponto é um par ordenado, e reflexões e translações alteram as coordenadas de forma previsível.

A distância entre dois pontos é √(Δx² + Δy²), consequência do teorema de Pitágoras. Em percursos pelas ruas de uma quadrícula, a distância é |Δx| + |Δy|. O ponto médio é a média das coordenadas, e o baricentro é a média dos três vértices. A área de polígonos pode ser obtida pelas coordenadas, e três pontos estão alinhados quando formam um triângulo de área zero, ou quando têm a mesma inclinação dois a dois.

O coeficiente angular, m = Δy/Δx = tg α, mede a inclinação da reta. A equação da reta pode ser escrita nas formas ponto-inclinação, reduzida (y = mx + n), geral (ax + by + c = 0) ou segmentária. Retas paralelas têm coeficientes angulares iguais, e retas perpendiculares têm produto −1. A distância de um ponto a uma reta é |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).

A circunferência de centro (a, b) e raio r tem equação (x − a)² + (y − b)² = r². A forma geral se converte na reduzida por completamento de quadrados. A posição de um ponto se decide comparando sua distância ao centro com o raio, e a de uma reta, comparando a distância do centro à reta com o raio.

Situação	Ferramenta
Distância em linha reta	√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Distância pelas ruas	|Δx| + |Δy|
Ponto médio	média das coordenadas
Baricentro	média dos três vértices
Área do triângulo	|D|/2
Área de polígono	fórmula do cadarço
Alinhamento	inclinações iguais ou D = 0
Coeficiente angular	Δy/Δx = tg α
Reta por um ponto	y − y₀ = m(x − x₀)
Paralelas	m₁ = m₂
Perpendiculares	m₁ · m₂ = −1
Distância de ponto a reta	|ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)
Circunferência	(x − a)² + (y − b)² = r²
Centro e raio da forma geral	completar quadrados
Ponto e circunferência	comparar com r²
Reta e circunferência	comparar a distância ao centro com r

15. Glossário

Termo	Definição
Plano cartesiano	Plano com dois eixos perpendiculares que permitem localizar pontos por coordenadas
Abscissa	Coordenada x de um ponto
Ordenada	Coordenada y de um ponto
Quadrante	Cada uma das quatro regiões em que os eixos dividem o plano
Ponto médio	Ponto que divide um segmento em duas partes iguais
Baricentro	Encontro das medianas de um triângulo
Coeficiente angular	Razão Δy/Δx; inclinação da reta
Coeficiente linear	Ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y
Equação reduzida da reta	y = mx + n
Equação geral da reta	ax + by + c = 0
Retas paralelas	Retas com o mesmo coeficiente angular
Retas perpendiculares	Retas cujos coeficientes angulares têm produto −1
Mediatriz	Reta perpendicular a um segmento pelo seu ponto médio
Equação reduzida da circunferência	(x − a)² + (y − b)² = r²
Completamento de quadrados	Técnica para escrever uma expressão quadrática como quadrado de um binômio mais uma constante
Reta tangente	Reta cuja distância ao centro da circunferência é igual ao raio