Fundamentos da Álgebra e Equações

A álgebra é a parte da matemática que usa letras para representar números. Ela serve a três propósitos:

• generalizar relações, como "a soma de dois números é igual à soma deles em ordem inversa", que se escreve a + b = b + a;
• descobrir valores desconhecidos, como em "qual número somado ao seu dobro dá 36?";
• modelar situações reais, como o preço de uma corrida, a altura de um projétil ou o lucro de uma empresa.

Apresentação

A equação como balança. 3x + 7 = 22

Quase toda a matemática do ensino médio depende da fluência algébrica. Funções, geometria analítica, progressões, matemática financeira e trigonometria são escritas nessa linguagem.

Na Matriz de Referência, o tema forma a Competência de área 5: modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. Essa competência reúne cinco habilidades:

• H19: identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas;
• H20: interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas;
• H21: resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos;
• H22: usar conhecimentos algébricos como recurso para a construção de argumentos;
• H23: avaliar propostas de intervenção na realidade usando conhecimentos algébricos.

No ENEM, a álgebra raramente aparece "pura". O que se avalia é a capacidade de traduzir um enunciado em linguagem algébrica e resolver o modelo obtido.

Este artigo segue o percurso:

1. linguagem algébrica e tradução de enunciados;
2. monômios e polinômios;
3. operações algébricas;
4. produtos notáveis;
5. fatoração;
6. equações do 1º grau;
7. equações do 2º grau, incluindo a dedução da fórmula de Bhaskara;
8. inequações do 1º e do 2º grau.

Pré-requisitos: operações com números inteiros e racionais, potenciação e radiciação (bloco 0).

1. Linguagem algébrica

1.1 Variável, incógnita e parâmetro

Uma mesma letra pode desempenhar papéis diferentes conforme o contexto.

• Variável é uma letra que pode assumir diversos valores. Na fórmula do perímetro do quadrado, P = 4ℓ, tanto ℓ quanto P são variáveis.
• Incógnita é uma letra que representa um valor específico, desconhecido, a ser determinado. Em 3x + 7 = 22, x é a incógnita, e seu valor é 5.
• Parâmetro é uma letra que representa um valor fixo em determinada situação, mas que pode mudar de uma situação para outra. Na função y = ax + b, os coeficientes a e b são parâmetros.

1.2 Traduzindo o português para a álgebra

A tradução do enunciado é o passo em que mais se erra. Os padrões abaixo aparecem com frequência.

Enunciado	Expressão algébrica
o dobro de um número	2x
a metade de um número	x/2
o triplo de um número, menos 4	3x − 4
o triplo da diferença entre um número e 4	3(x − 4)
o quadrado de um número	x²
o quadrado da soma de dois números	(x + y)²
a soma dos quadrados de dois números	x² + y²
o inverso de um número	1/x
o oposto de um número	−x
dois números consecutivos	n e n + 1
dois números pares consecutivos	2n e 2n + 2
dois números ímpares consecutivos	2n + 1 e 2n + 3
x excede y em 5	x = y + 5, ou x − y = 5
um número de dois algarismos, a (dezenas) e b (unidades)	10a + b
p% de um número	(p/100) · x

Duas armadilhas merecem destaque.

• A vírgula muda o significado: "o triplo de um número, menos 4" é 3x − 4, enquanto "o triplo da diferença entre um número e 4" é 3(x − 4).
• O quadrado da soma é diferente da soma dos quadrados: (x + y)² ≠ x² + y².

1.3 Expressões algébricas e valor numérico

Expressão algébrica é uma combinação de números e letras ligados por operações. O valor numérico de uma expressão é o número obtido quando as letras são substituídas por valores específicos.

Exemplo. Valor numérico de 2x² − 3x + 1:

• para x = 2: 2·(2)² − 3·(2) + 1 = 8 − 6 + 1 = 3;
• para x = −1: 2·(−1)² − 3·(−1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.

Atenção aos sinais. Ao substituir valores negativos, use parênteses:

• (−3)² = 9, porque o sinal faz parte da base;
• −3² = −9, porque o sinal fica fora da potência.

Aplicação: fórmulas. Toda fórmula é uma expressão algébrica. A conversão de temperatura de Celsius para Fahrenheit é F = 1,8C + 32. Para C = 25:

F = 1,8 × 25 + 32 = 45 + 32 = 77 °F

2. Monômios e polinômios

2.1 Monômios

Exemplos: 5x, −3x²y, (2/3)ab³ e 7, que é um monômio sem parte literal.

Em um monômio, distinguem-se:

• o coeficiente, que é a parte numérica;
• a parte literal, formada pelas letras e seus expoentes;
• o grau, que é a soma dos expoentes das letras.

Monômio	Coeficiente	Parte literal	Grau
5x	5	x	1
−3x²y	−3	x²y	3
(2/3)ab³	2/3	ab³	4
7	7	–	0

Monômios semelhantes são os que têm a mesma parte literal. Por exemplo, 3x²y e −5x²y são semelhantes; 3x²y e 3xy² não são.

2.2 Polinômios

• Com dois termos, o polinômio se chama binômio, como x + 3.
• Com três termos, trinômio, como x² − 5x + 6.

O grau de um polinômio é o maior grau entre seus termos, depois de reduzidos os termos semelhantes. O polinômio 4x³ − 2x² + x − 9 tem grau 3.

Um polinômio está na forma reduzida quando não tem termos semelhantes. Está ordenado quando os termos aparecem em ordem decrescente de grau.

2.3 Polinômios em uma variável

Um polinômio em x é indicado por P(x). O valor numérico P(a) é obtido substituindo x por a.

Quando P(a) = 0, o número a é uma raiz do polinômio.

Exemplo. Para P(x) = x² − 5x + 6:

P(2) = 4 − 10 + 6 = 0

Portanto, 2 é raiz de P. Encontrar raízes é o mesmo que resolver a equação P(x) = 0, tema das seções 6 e 7.

3. Operações com monômios e polinômios

3.1 Adição e subtração

Somam-se ou subtraem-se apenas os termos semelhantes, operando os coeficientes e mantendo a parte literal.

• 3x + 5x = 8x
• 7x²y − 2x²y = 5x²y
• 3x + 5y continua 3x + 5y, porque os termos não são semelhantes.

Subtração de polinômios. O sinal de menos antes dos parênteses troca o sinal de todos os termos do polinômio subtraído:

(3x² − 2x + 5) − (x² − 4x − 1)
= 3x² − 2x + 5 − x² + 4x + 1
= 2x² + 2x + 6

Esquecer de trocar o sinal do último termo é um erro muito frequente.

3.2 Multiplicação de monômios

Multiplicam-se os coeficientes entre si e as partes literais entre si. Pela propriedade das potências de mesma base, somam-se os expoentes de letras iguais:

(−2x²y) · (3xy³) = −6x³y⁴

3.3 Multiplicação de polinômio por monômio

Aplica-se a propriedade distributiva: o monômio multiplica cada termo do polinômio.

3x · (2x² − x + 4) = 6x³ − 3x² + 12x

3.4 Multiplicação de polinômio por polinômio

Cada termo do primeiro polinômio multiplica cada termo do segundo. Em seguida, reduzem-se os termos semelhantes.

Exemplo 1.

(2x + 3)(x − 4)
= 2x² − 8x + 3x − 12
= 2x² − 5x − 12

Exemplo 2.

(x + 2)(x² − x + 3)
= x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6
= x³ + x² + x + 6

Interpretação geométrica. O produto (a + b)(c + d) é a área de um retângulo de lados a + b e c + d. Esse retângulo pode ser dividido em quatro retângulos menores, de áreas ac, ad, bc e bd. A soma dessas quatro áreas é exatamente o resultado da distributiva.

3.5 Divisão

Monômio por monômio. Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes de letras iguais. O divisor precisa ser diferente de zero.

12x⁵y² ÷ 4x²y = 3x³y

Polinômio por monômio. Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio:

(6x³ − 9x²) ÷ 3x = 2x² − 3x, para x ≠ 0

4. Produtos notáveis

Alguns produtos aparecem com tanta frequência que vale conhecer seu resultado diretamente. São os produtos notáveis.

4.1 Quadrado da soma

Dedução algébrica:

(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Dedução geométrica. Um quadrado de lado a + b pode ser dividido em quatro partes:

• um quadrado de área a²;
• um quadrado de área b²;
• dois retângulos de área ab cada.

Regra verbal: o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplos:

• (x + 3)² = x² + 6x + 9
• (2x + 5)² = 4x² + 2·(2x)·5 + 25 = 4x² + 20x + 25

4.2 Quadrado da diferença

O último termo é positivo, porque (−b)² = b².

Exemplo:

(3x − 2)² = 9x² − 2·(3x)·2 + 4 = 9x² − 12x + 4

4.3 Produto da soma pela diferença

Dedução. Os termos cruzados se anulam:

(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²

Exemplo:

(x + 7)(x − 7) = x² − 49

4.4 Produtos notáveis no cálculo mental

Os produtos notáveis permitem calcular mentalmente produtos e quadrados que parecem difíceis.

• 21 × 19 = (20 + 1)(20 − 1) = 400 − 1 = 399
• 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10.000 − 9 = 9.991
• 31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961
• 49² = (50 − 1)² = 2.500 − 100 + 1 = 2.401

4.5 Cubo da soma e cubo da diferença (noção)

Exemplo:

(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1

4.6 O erro mais grave da álgebra elementar

A forma mais rápida de se convencer é testar com números. Para a = b = 1:

• (1 + 1)² = 4;
• 1² + 1² = 2.

O termo 2ab, que corresponde aos dois retângulos da figura geométrica, não pode ser esquecido. O mesmo vale para raízes: √(a² + b²) ≠ a + b.

5. Fatoração

5.1 O que é fatorar

Fatorar é escrever uma expressão como um produto de fatores. É o caminho inverso da propriedade distributiva e dos produtos notáveis.

A fatoração tem duas utilidades principais:

• simplificar frações algébricas, cancelando fatores comuns;
• resolver equações, usando o fato de que um produto é zero somente quando algum fator é zero.

5.2 Fator comum em evidência

Identifica-se o maior fator comum a todos os termos e coloca-se esse fator "em evidência", ou seja, do lado de fora dos parênteses.

• 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
• 4a²b − 6ab² + 2ab = 2ab(2a − 3b + 1)

Verificação. Aplique a distributiva no resultado. A expressão original deve reaparecer.

5.3 Agrupamento

Agrupam-se os termos de modo que cada grupo tenha um fator comum. Depois, coloca-se em evidência o fator comum aos grupos.

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

x³ + 2x² + 3x + 6 = x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3)

5.4 Trinômio quadrado perfeito

Um trinômio é quadrado perfeito quando é o resultado de (a + b)² ou de (a − b)². Para reconhecê-lo, verifique três condições:

1. dois termos são quadrados perfeitos, a² e b²;
2. o terceiro termo é igual a ± 2ab;
3. o sinal do termo do meio indica se o quadrado é de uma soma ou de uma diferença.

Exemplos:

• x² + 10x + 25: os quadrados são x² e 5², e 2·x·5 = 10x. Logo, x² + 10x + 25 = (x + 5)².
• 4x² − 12x + 9: os quadrados são (2x)² e 3², e 2·2x·3 = 12x, com sinal negativo. Logo, 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².

Contraexemplo. x² + 10x + 16 não é trinômio quadrado perfeito. Embora 16 = 4², o termo do meio deveria ser 2·x·4 = 8x.

5.5 Diferença de dois quadrados

• x² − 49 = (x + 7)(x − 7)
• 9a² − 16b² = (3a + 4b)(3a − 4b)
• x⁴ − 1 = (x² + 1)(x² − 1) = (x² + 1)(x + 1)(x − 1)

Aplicação ao cálculo numérico:

2026² − 2025² = (2026 + 2025)(2026 − 2025) = 4.051 × 1 = 4.051

Atenção: a soma de dois quadrados, a² + b², não pode ser fatorada nos números reais.

5.6 Trinômio do 2º grau por soma e produto

Quando o coeficiente de x² é 1, o trinômio x² + bx + c pode ser fatorado procurando dois números cuja soma é −b e cujo produto é c. Se esses números são r₁ e r₂, vale:

Exemplo 1. Em x² − 5x + 6, procuram-se dois números com soma 5 e produto 6. São 2 e 3. Logo:

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Exemplo 2. Em x² + x − 12, procuram-se dois números com soma −1 e produto −12. São −4 e 3. Logo:

x² + x − 12 = (x − (−4))(x − 3) = (x + 4)(x − 3)

Verificação. Aplique a distributiva no resultado. A expressão original deve reaparecer.

Esse procedimento será aprofundado no artigo de Função do Segundo Grau, com as relações de Girard.

5.7 Estratégia de fatoração

Diante de uma expressão, siga esta ordem:

1. Coloque o fator comum em evidência, se houver.
2. Verifique se o que sobrou é diferença de quadrados ou trinômio quadrado perfeito.
3. Tente o agrupamento ou a soma e produto.
4. Repita até que nenhum fator possa ser fatorado.

Exemplo:

2x³ − 18x = 2x(x² − 9) = 2x(x + 3)(x − 3)

5.8 Simplificação de frações algébricas

Para simplificar uma fração algébrica, fatore o numerador e o denominador e cancele os fatores comuns. É preciso indicar as restrições: os valores que anulam o denominador original.

Exemplo 1:

(x² − 9) ÷ (x − 3) = (x + 3)(x − 3) ÷ (x − 3) = x + 3, para x ≠ 3

Exemplo 2:

(x² − 9) ÷ (x² + 6x + 9) = (x + 3)(x − 3) ÷ (x + 3)² = (x − 3) ÷ (x + 3), para x ≠ −3

O erro fundamental: cancelar parcelas. Só se cancelam fatores, nunca parcelas de uma soma.

• (x + 3) ÷ 3 não é igual a x. O 3 do numerador é uma parcela, não um fator.
• 3x ÷ 3 = x está correto, porque o 3 é fator.

6. Equações do 1º grau

6.1 Conceito

Uma equação do 1º grau em x pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Sua solução é x = −b/a.

6.2 O princípio da balança

Uma equação funciona como uma balança em equilíbrio. A igualdade se mantém se fizermos a mesma operação nos dois membros:

• princípio aditivo: somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados;
• princípio multiplicativo: multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo número diferente de zero.

Exemplo:

3x + 7 = 22
3x + 7 − 7 = 22 − 7 (subtraindo 7 dos dois lados)
3x = 15
3x ÷ 3 = 15 ÷ 3 (dividindo os dois lados por 3)
x = 5

Verificação: 3 × 5 + 7 = 22.

A conhecida "transposição de termos" é um atalho para esses princípios: "passar o 7 para o outro lado com sinal trocado" é o mesmo que subtrair 7 dos dois membros. Entender a origem do atalho evita erros como "passar dividindo" um termo que está somando.

6.3 Equações com parênteses e frações

Com parênteses: primeiro aplique a distributiva, com atenção aos sinais.

4(x − 2) − 3 = 2(x + 5)
4x − 8 − 3 = 2x + 10
4x − 2x = 10 + 11
2x = 21
x = 10,5

Com frações: multiplique todos os termos pelo MMC dos denominadores.

Exemplo 1:

x/2 + x/3 = 10
Multiplicando por 6: 3x + 2x = 60
5x = 60
x = 12

Exemplo 2:

(x + 1)/4 − (x − 2)/3 = 1
Multiplicando por 12: 3(x + 1) − 4(x − 2) = 12
3x + 3 − 4x + 8 = 12
−x + 11 = 12
x = −1

Verificação: (−1 + 1)/4 − (−1 − 2)/3 = 0 − (−1) = 1.

Atenção: o sinal de menos antes de uma fração afeta todo o numerador. Por isso, −4(x − 2) = −4x + 8.

6.4 Casos especiais

Algumas equações, ao serem simplificadas, perdem a incógnita.

• Impossível: a equação chega a uma falsidade, como 0x = 5. Não há solução, e S = ∅.
• Indeterminada (identidade): a equação chega a 0x = 0. Qualquer valor real é solução, e S = ℝ.

Exemplos:

• 2(x + 3) = 2x + 1 leva a 6 = 1, que é falso. A equação é impossível.
• 2(x + 3) = 2x + 6 leva a 6 = 6, que é sempre verdadeiro. A equação é uma identidade.

6.5 Resolução de problemas

Roteiro:

1. Identifique a incógnita. Escreva por extenso o que x representa.
2. Traduza o enunciado em uma equação.
3. Resolva a equação.
4. Verifique no enunciado original, e não apenas na equação.
5. Responda exatamente o que foi perguntado.

Exemplo 1: idades. Um pai tem o triplo da idade do filho. Daqui a 12 anos, terá o dobro. Quais são as idades atuais?

• Seja f a idade atual do filho. O pai tem 3f.
• Daqui a 12 anos: 3f + 12 = 2(f + 12).
• Resolvendo: 3f + 12 = 2f + 24, e f = 12. O pai tem 36 anos.
• Verificação: daqui a 12 anos, o pai terá 48, e o filho, 24. De fato, 48 é o dobro de 24.

Exemplo 2: partes de um todo. Uma pessoa gasta 1/3 do salário com aluguel e 1/4 com alimentação. Sobram R$ 1.500,00. Qual é o salário?

• Seja x o salário. O que sobra é x − x/3 − x/4.
• Multiplicando por 12: 12x − 4x − 3x = 18.000.
• 5x = 18.000, e x = R$ 3.600,00.
• Verificação: o aluguel é R$ 1.200 e a alimentação, R$ 900. Sobram 3.600 − 2.100 = R$ 1.500.

Exemplo 3: números consecutivos. Três números consecutivos somam 84. Quais são?

• n + (n + 1) + (n + 2) = 84
• 3n + 3 = 84, e n = 27.
• Os números são 27, 28 e 29.

Exemplo 4: comparação de planos. O plano A cobra R$ 50,00 mais R$ 0,20 por minuto. O plano B cobra R$ 80,00 mais R$ 0,10 por minuto. Para quantos minutos os dois planos custam o mesmo?

• 50 + 0,2t = 80 + 0,1t
• 0,1t = 30
• t = 300 minutos

Para menos de 300 minutos, o plano A é mais barato. Para mais de 300, o plano B. Essa análise usa as inequações da seção 8.

7. Equações do 2º grau

7.1 Forma geral

Os números a, b e c são os coeficientes. Identificá-los corretamente, com os sinais, é o primeiro passo.

Equação	a	b	c
x² − 5x + 6 = 0	1	−5	6
3x² − x = 0	3	−1	0
−2x² + 8 = 0	−2	0	8

Quando a equação não está na forma geral, ela deve ser reorganizada antes de qualquer cálculo:

(x − 1)(x + 2) = 4
x² + x − 2 = 4
x² + x − 6 = 0

7.2 Equações incompletas

Quando b = 0 ou c = 0, a equação é incompleta e pode ser resolvida sem a fórmula geral.

Caso c = 0: ax² + bx = 0. Coloque x em evidência e use a propriedade do produto nulo: se um produto é zero, algum fator é zero.

x(ax + b) = 0 ⟹ x = 0 ou x = −b/a

Exemplo: 2x² − 8x = 0 leva a 2x(x − 4) = 0. Logo, x = 0 ou x = 4.

Um erro comum é dividir os dois lados por x. Isso "perde" a raiz x = 0. Nunca divida por uma expressão que pode valer zero.

Caso b = 0: ax² + c = 0. Isole x²:

x² = −c/a

• Se −c/a > 0, há duas raízes opostas.
• Se −c/a < 0, não há raízes reais.

Exemplos:

• x² − 16 = 0 leva a x² = 16, e x = ±4.
• 2x² − 50 = 0 leva a x² = 25, e x = ±5.
• x² + 9 = 0 leva a x² = −9. Não há raiz real.

Outro erro comum é esquecer a raiz negativa. Se x² = 16, x pode ser 4 ou −4.

Caso b = c = 0: ax² = 0. A única raiz é x = 0, chamada de raiz dupla.

7.3 A fórmula de Bhaskara e sua dedução

Para a equação completa, usa-se a fórmula resolutiva, conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara:

A fórmula não é um truque: ela vem da técnica de completar quadrados.

1. Parta de ax² + bx + c = 0 e multiplique tudo por 4a:
   4a²x² + 4abx + 4ac = 0
2. Some b² aos dois lados e passe 4ac para a direita:
   4a²x² + 4abx + b² = b² − 4ac
3. O lado esquerdo é um trinômio quadrado perfeito:
   (2ax + b)² = b² − 4ac = Δ
4. Extraindo a raiz quadrada:
   2ax + b = ±√Δ
5. Isolando x:
   x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

A dedução mostra por que o discriminante decide o número de raízes: se Δ for negativo, não existe número real cujo quadrado seja Δ.

7.4 O discriminante

O número Δ = b² − 4ac é o discriminante da equação.

Valor de Δ	Raízes reais
Δ > 0	duas raízes reais e distintas
Δ = 0	duas raízes reais e iguais (uma raiz dupla)
Δ < 0	nenhuma raiz real

7.5 Exemplos resolvidos

Exemplo 1: x² − 5x + 6 = 0

• a = 1, b = −5, c = 6
• Δ = 25 − 24 = 1
• x = (5 ± 1) ÷ 2, logo x = 3 ou x = 2

Exemplo 2: 2x² + 3x − 2 = 0

• a = 2, b = 3, c = −2
• Δ = 9 + 16 = 25
• x = (−3 ± 5) ÷ 4, logo x = 1/2 ou x = −2

Exemplo 3: x² − 6x + 9 = 0

• Δ = 36 − 36 = 0
• x = 6 ÷ 2 = 3 (raiz dupla)
• O trinômio é quadrado perfeito: (x − 3)² = 0.

Exemplo 4: x² + x + 1 = 0

• Δ = 1 − 4 = −3
• Não há raízes reais, S = ∅.

Atenção ao sinal de b. Em −b, se b = −5, então −b = 5. E em b², o quadrado é sempre positivo: (−5)² = 25.

7.6 Soma e produto das raízes

Para a equação ax² + bx + c = 0, com raízes x₁ e x₂:

Quando a = 1, essas relações permitem encontrar raízes inteiras mentalmente. Em x² − 7x + 10 = 0, procuram-se dois números com soma 7 e produto 10: são 2 e 5.

7.7 Equações na forma de produto

Se a equação já está fatorada, não expanda. Use a propriedade do produto nulo:

(x − 3)(2x + 1) = 0 ⟹ x = 3 ou x = −1/2

7.8 Problemas com equações do 2º grau

Exemplo 1: área. Um terreno retangular tem comprimento 5 m maior que a largura e área de 84 m². Quais são suas dimensões?

1. Seja x a largura. Então x(x + 5) = 84, ou seja, x² + 5x − 84 = 0.
2. Δ = 25 + 336 = 361, e √Δ = 19.
3. x = (−5 ± 19) ÷ 2, logo x = 7 ou x = −12.
4. Como a largura não pode ser negativa, descartamos −12.
5. O terreno mede 7 m por 12 m.

Exemplo 2: interpretação das duas raízes. A altura de uma bola lançada para cima é h(t) = −5t² + 20t, em metros, com t em segundos. Em que instantes a bola está a 15 m de altura?

1. −5t² + 20t = 15, ou seja, −5t² + 20t − 15 = 0.
2. Dividindo por −5: t² − 4t + 3 = 0.
3. Por soma e produto (soma 4, produto 3): t = 1 s ou t = 3 s.

As duas raízes têm significado físico. A bola passa pelos 15 m subindo, em t = 1 s, e descendo, em t = 3 s. Nem sempre uma das raízes deve ser descartada. É o contexto que decide.

Exemplo 3: número. A soma de um número com o seu quadrado é 30. Que número é esse?

x² + x − 30 = 0 leva a x = 5 ou x = −6. Ambos satisfazem o enunciado.

7.9 Equações biquadradas

Uma equação da forma ax⁴ + bx² + c = 0 se reduz a uma equação do 2º grau com a substituição y = x².

Exemplo: x⁴ − 13x² + 36 = 0

1. Com y = x²: y² − 13y + 36 = 0.
2. Resolvendo: y = 4 ou y = 9.
3. Voltando para x: x² = 4 dá x = ±2, e x² = 9 dá x = ±3.
4. S = {−3, −2, 2, 3}.

8. Inequações

8.1 Conceito

Inequação é uma desigualdade que contém incógnita. Os símbolos são:

• < (menor que);
• > (maior que);
• ≤ (menor ou igual);
• ≥ (maior ou igual).

A solução de uma inequação costuma ser um intervalo, ou uma união de intervalos, e não um número isolado.

8.2 Os princípios das inequações

Os princípios são os mesmos das equações, com uma exceção crucial:

• somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados mantém o sentido da desigualdade;
• multiplicar ou dividir por um número positivo mantém o sentido;
• multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sentido.

Por que inverte. Considere a desigualdade 2 < 5. Multiplicando os dois lados por −1, obtemos −2 e −5. Na reta numérica, −2 está à direita de −5, ou seja, −2 > −5. A ordem se inverteu.

8.3 Inequações do 1º grau

Exemplo 1:

3x − 7 < 11
3x < 18
x < 6

Exemplo 2:

−2x + 5 ≥ 13
−2x ≥ 8
x ≤ −4 (o sentido se inverteu na divisão por −2)

Exemplo 3, com frações:

(x − 1)/2 ≤ (x + 3)/3
Multiplicando por 6, que é positivo: 3x − 3 ≤ 2x + 6
x ≤ 9

8.4 Representação do conjunto solução

O conjunto solução pode ser escrito de três formas:

• Notação de conjunto: S = {x ∈ ℝ | x < 6}.
• Notação de intervalo: S = ]−∞, 6[. O colchete voltado para fora indica que o extremo não está incluído.
• Reta numérica: bolinha aberta quando o extremo não está incluído (< ou >), e fechada quando está (≤ ou ≥).

8.5 Inequações simultâneas

Quando a incógnita está entre duas desigualdades, as operações são aplicadas aos três membros ao mesmo tempo:

−1 < 2x + 3 ≤ 9
−4 < 2x ≤ 6
−2 < x ≤ 3

8.6 Aplicações

Exemplo 1. Um serviço de transporte cobra R$ 5,00 fixos mais R$ 3,00 por quilômetro. Com R$ 50,00, qual é a distância máxima que se pode percorrer?

5 + 3d ≤ 50
3d ≤ 45
d ≤ 15 km

Exemplo 2. Retomando os planos da seção 6.5, quando o plano A é mais barato?

50 + 0,2t < 80 + 0,1t
0,1t < 30
t < 300 minutos

8.7 Inequações do 2º grau

Uma inequação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c > 0, ou com <, ≥, ≤. A resolução se baseia no estudo do sinal da parábola y = ax² + bx + c.

Método:

1. Escreva a inequação com zero de um lado.
2. Encontre as raízes da expressão.
3. Esboce a parábola: a concavidade é para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.
4. Identifique os intervalos em que a expressão tem o sinal pedido.

Resumo do sinal, quando há duas raízes x₁ < x₂:

	Entre as raízes	Fora das raízes
a > 0	negativo	positivo
a < 0	positivo	negativo

Quando Δ = 0, a expressão tem o sinal de a em todos os pontos, exceto na raiz, onde vale zero.

Quando Δ < 0, a expressão tem o sinal de a em todos os pontos.

8.8 Exemplos

Exemplo 1: x² − 5x + 6 < 0

• Raízes: 2 e 3. Como a > 0, a expressão é negativa entre as raízes.
• S = {x ∈ ℝ | 2 < x < 3}

Exemplo 2: x² − 5x + 6 ≥ 0

• A mesma parábola, agora com a parte não negativa.
• S = {x ∈ ℝ | x ≤ 2 ou x ≥ 3}

Exemplo 3: −x² + 4x > 0

• Raízes: 0 e 4. Como a < 0, a expressão é positiva entre as raízes.
• S = {x ∈ ℝ | 0 < x < 4}

Exemplo 4: x² − 6x + 9 > 0

• Δ = 0, com raiz dupla 3. A expressão é positiva em todos os pontos, exceto em x = 3.
• S = {x ∈ ℝ | x ≠ 3}

Exemplo 5: x² + x + 1 > 0 e x² + x + 1 < 0

• Δ < 0 e a > 0, então a expressão é sempre positiva.
• Para > 0, S = ℝ. Para < 0, S = ∅.

8.9 Um erro clássico

Problema: resolver x² > 9.

• Errado: "tirando a raiz", x > 3. Esse procedimento perde metade das soluções.
• Correto: x² − 9 > 0, com raízes −3 e 3 e a > 0. A expressão é positiva fora das raízes, então x < −3 ou x > 3.

Para conferir, teste x = −5: (−5)² = 25 > 9. O valor −5 é solução, e o resultado errado o excluiria.

8.10 Aplicação: intervalo de lucro

O lucro de uma empresa, em milhares de reais, é L(x) = −x² + 40x − 300, em que x é a quantidade produzida em centenas de unidades. Para que valores de x há lucro?

1. −x² + 40x − 300 > 0. Multiplicando por −1, o sentido se inverte: x² − 40x + 300 < 0.
2. Δ = 1.600 − 1.200 = 400, e as raízes são x = (40 ± 20) ÷ 2, ou seja, 10 e 30.
3. Como a nova expressão tem a > 0, ela é negativa entre as raízes.
4. Há lucro para 10 < x < 30, ou seja, entre 1.000 e 3.000 unidades.

9. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Variável	Incógnita	A variável assume vários valores; a incógnita é um valor a descobrir
3x − 4	3(x − 4)	Os parênteses mudam a ordem das operações
(a + b)²	a² + b²	O primeiro tem o termo 2ab
(−3)² = 9	−3² = −9	O sinal fora dos parênteses não é elevado
Fator	Parcela	Só fatores podem ser cancelados em frações
Equação impossível (S = ∅)	Equação indeterminada (S = ℝ)	0x = k, com k ≠ 0, versus 0x = 0
x² = 16	x = 4	A equação tem duas raízes: 4 e −4
Δ = 0	Sem raízes	Δ = 0 indica raiz dupla; sem raiz real é Δ < 0
Equação	Inequação	A inequação tem, em geral, um intervalo como solução
Dividir uma inequação por um positivo	Dividir por um negativo	O negativo inverte o sentido da desigualdade
x² > 9	x > 3	A solução é x < −3 ou x > 3

10. Erros recorrentes e como evitá-los

Expandir (a + b)² como a² + b². Controle: teste com números ou lembre da figura geométrica.

Não trocar todos os sinais ao subtrair um polinômio. Controle: reescreva o polinômio subtraído com os sinais trocados antes de somar.

Cancelar parcelas em frações algébricas. Controle: fatore antes. Só se cancelam fatores.

Esquecer a raiz negativa em x² = k. Controle: escreva sempre x = ±√k.

Dividir por x e perder a raiz x = 0. Controle: coloque x em evidência em vez de dividir.

Errar o sinal de b na fórmula de Bhaskara. Controle: escreva os valores de a, b e c com os sinais antes de substituir.

Não inverter o sentido da inequação ao multiplicar ou dividir por um número negativo. Controle: sempre que dividir por um número negativo, inverta o sinal da desigualdade no mesmo passo.

Resolver uma inequação do 2º grau como se fosse equação. Controle: depois de encontrar as raízes, faça o estudo do sinal.

Traduzir o enunciado sem atenção às vírgulas e parênteses. Controle: releia a tradução comparando com o texto original.

Verificação geral. Substitua a solução encontrada no enunciado original. Em inequações, teste um valor de cada intervalo.

11. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H19, nível fácil)

O preço de uma corrida em um aplicativo de transporte é composto de uma tarifa fixa de R$ 4,50 mais R$ 2,20 por quilômetro rodado. A expressão que fornece o preço P, em reais, de uma corrida de x quilômetros é:

A) P = 4,50x + 2,20
B) P = 6,70x
C) P = 4,50 + 2,20x
D) P = (4,50 + 2,20)x
E) P = 2,20(x + 4,50)

Gabarito: C

Resolução. A tarifa fixa é cobrada uma vez, e a parte variável é proporcional à distância: P = 4,50 + 2,20x.

Análise dos distratores.

• A: troca a parte fixa com a parte variável.
• B e D: tratam a tarifa fixa como se fosse cobrada por quilômetro.
• E: multiplica a tarifa fixa por 2,20.

Questão 2 (H21, nível médio)

Uma pessoa destinou 2/5 do seu salário ao aluguel e 1/3 do que restou à alimentação. Depois desses gastos, sobraram R$ 1.200,00. O salário dessa pessoa é:

A) R$ 2.000,00
B) R$ 2.400,00
C) R$ 3.000,00
D) R$ 4.500,00
E) R$ 6.000,00

Gabarito: C

Resolução.

1. Depois do aluguel, resta 3x/5.
2. A alimentação consome 1/3 desse restante: (1/3) · (3x/5) = x/5.
3. Sobra 3x/5 − x/5 = 2x/5.
4. Então 2x/5 = 1.200, e x = R$ 3.000,00.

Análise dos distratores. A alternativa D resulta de calcular 1/3 do salário, e não do restante: x − 2x/5 − x/3 = 4x/15 = 1.200 leva a x = 4.500. O item avalia a identificação da base de cada fração.

Questão 3 (H21, nível médio)

Um terreno retangular tem comprimento 5 m maior que a largura e área de 84 m². O perímetro desse terreno é:

A) 19 m
B) 24 m
C) 38 m
D) 42 m
E) 84 m

Gabarito: C

Resolução.

1. Sendo x a largura, x(x + 5) = 84, ou seja, x² + 5x − 84 = 0.
2. A raiz positiva é x = 7. O terreno mede 7 m por 12 m.
3. Perímetro: 2 · (7 + 12) = 38 m.

Análise dos distratores.

• A: corresponde ao semiperímetro (7 + 12).
• E: confunde perímetro com área.

Questão 4 (H22, nível médio)

Um estudante afirmou que (x + 3)² = x² + 9 para todo número real x. Sobre essa afirmação, é correto dizer que ela é:

A) verdadeira, pois o quadrado se aplica a cada parcela.
B) verdadeira apenas para x positivo.
C) falsa, pois (x + 3)² = x² + 6x + 9, e as duas expressões só coincidem para x = 0.
D) falsa, pois (x + 3)² = x² + 3x + 9.
E) falsa, pois (x + 3)² = 2x + 6.

Gabarito: C

Resolução. Pelo produto notável, (x + 3)² = x² + 6x + 9. Igualando a x² + 9, obtemos 6x = 0, ou seja, x = 0. A igualdade só vale nesse caso.

Análise dos distratores.

• A: reproduz o erro conceitual.
• D: esquece o fator 2 no termo do meio.
• E: confunde elevar ao quadrado com multiplicar por 2.

Questão 5 (H21, nível médio)

A altura h, em metros, de uma bola lançada verticalmente para cima é dada por h(t) = −5t² + 30t, em que t é o tempo em segundos após o lançamento. Durante quanto tempo a bola permanece acima de 40 m de altura?

A) 1 s
B) 2 s
C) 3 s
D) 4 s
E) 6 s

Gabarito: B

Resolução.

1. −5t² + 30t > 40 equivale a t² − 6t + 8 < 0, depois de dividir por −5 e inverter o sentido.
2. As raízes são 2 e 4.
3. Como a nova expressão tem a > 0, é negativa entre as raízes: 2 < t < 4.
4. A bola permanece acima de 40 m durante 4 − 2 = 2 s.

Análise dos distratores.

• D: é o instante em que a bola volta a passar pelos 40 m, descendo.
• E: é o tempo total de voo, já que h = 0 em t = 0 e t = 6.
• C: é o instante da altura máxima.

Questão 6 (H23, nível médio)

Uma operadora oferece dois planos:

• Plano A: R$ 60,00 mensais mais R$ 0,25 por minuto de ligação.
• Plano B: R$ 90,00 mensais mais R$ 0,10 por minuto.

O plano B passa a ser mais vantajoso que o A quando o número de minutos mensais for superior a:

A) 120
B) 200
C) 240
D) 300
E) 600

Gabarito: B

Resolução. O plano B é mais barato quando 90 + 0,10t < 60 + 0,25t. Isso leva a 30 < 0,15t, ou seja, t > 200 minutos.

Análise dos distratores.

• A: divide a diferença das tarifas fixas apenas pela tarifa do plano A (30 ÷ 0,25).
• D: divide apenas pela tarifa do plano B (30 ÷ 0,10).

A diferença das tarifas fixas deve ser dividida pela diferença das tarifas por minuto.

Questão 7 (H21, nível difícil)

O lucro mensal de uma empresa, em milhares de reais, é dado por L(x) = −x² + 40x − 300, em que x é a quantidade produzida, em centenas de unidades. O número de valores inteiros de x para os quais a empresa tem lucro positivo é:

A) 10
B) 19
C) 20
D) 21
E) 30

Gabarito: B

Resolução.

1. L(x) > 0 equivale a x² − 40x + 300 < 0, com raízes 10 e 30.
2. A solução é 10 < x < 30.
3. Os inteiros nesse intervalo vão de 11 a 29: são 29 − 11 + 1 = 19 valores.

Análise dos distratores.

• D: inclui os dois extremos, em que o lucro é zero.
• C: inclui apenas um dos extremos.
• A: conta só até a menor raiz.

12. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre variável e incógnita?

A variável pode assumir vários valores, como nas fórmulas. A incógnita representa um valor específico a ser descoberto em uma equação.

Por que (a + b)² não é a² + b²?

Porque (a + b)(a + b) gera os termos cruzados ab e ba, que somam 2ab. Geometricamente, eles são os dois retângulos que completam o quadrado.

Quando posso cancelar termos em uma fração algébrica?

Somente quando são fatores, ou seja, quando multiplicam todo o numerador e todo o denominador. Parcelas de uma soma não podem ser canceladas.

O que a "transposição de termos" significa de verdade?

É um atalho para aplicar a mesma operação aos dois lados da igualdade. Passar um termo "com sinal trocado" equivale a somar ou subtrair esse termo dos dois membros.

Quando uma equação do 2º grau não tem solução?

Quando Δ < 0. Nesse caso, não existe número real cujo quadrado seja o discriminante.

Devo sempre descartar a raiz negativa?

Não. O contexto decide. Medidas de comprimento não podem ser negativas, mas números, temperaturas e posições podem. No lançamento de um projétil, as duas raízes positivas têm significado.

Por que a desigualdade se inverte ao multiplicar por um número negativo?

Porque a multiplicação por um número negativo inverte a posição dos números na reta. Se 2 < 5, então −2 > −5.

Como resolver x² < 25?

Faça o estudo do sinal de x² − 25: raízes −5 e 5, com a > 0. A expressão é negativa entre as raízes, então −5 < x < 5.

Toda equação do 2º grau precisa de Bhaskara?

Não. As incompletas se resolvem por fatoração ou isolando x². Muitas completas se resolvem por soma e produto.

14. Síntese

A álgebra usa letras como variáveis, incógnitas ou parâmetros. A tradução precisa do enunciado, atenta a vírgulas, parênteses e expressões como "quadrado da soma", é o passo decisivo na modelagem.

Monômios têm coeficiente, parte literal e grau. Polinômios são somas de monômios. Nas operações:

• só se somam termos semelhantes;
• na multiplicação, aplica-se a distributiva e somam-se os expoentes;
• na divisão, subtraem-se os expoentes.

Os produtos notáveis são (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² e (a + b)(a − b) = a² − b². A fatoração percorre o caminho inverso, por fator comum, agrupamento, trinômio quadrado perfeito, diferença de quadrados ou soma e produto. Em frações algébricas, só se cancelam fatores.

As equações se resolvem pelo princípio da balança. A do 1º grau tem solução única, salvo os casos impossível e indeterminado. A do 2º grau, ax² + bx + c = 0, tem raízes x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, fórmula obtida completando quadrados. O discriminante Δ = b² − 4ac define o número de raízes reais. As equações incompletas se resolvem por fatoração ou isolando x², sempre com atenção ao ±.

Nas inequações, multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sentido. As do 2º grau se resolvem pelo estudo do sinal da parábola: com a > 0, a expressão é negativa entre as raízes e positiva fora delas.

Situação	Ferramenta
Quadrado de uma soma ou diferença	(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Produto da soma pela diferença	a² − b²
Fatorar	evidência → produtos notáveis → agrupamento → soma e produto
Simplificar fração algébrica	fatorar e cancelar fatores
Equação do 1º grau	princípios aditivo e multiplicativo
Equação do 2º grau incompleta (c = 0)	x em evidência
Equação do 2º grau incompleta (b = 0)	isolar x², usar ±
Equação do 2º grau completa	Bhaskara ou soma e produto
Número de raízes	sinal de Δ
Inequação do 1º grau	inverter o sentido ao dividir por negativo
Inequação do 2º grau	raízes + concavidade + estudo do sinal

15. Glossário

Termo	Definição
Variável	Letra que pode assumir diferentes valores
Incógnita	Letra que representa um valor desconhecido a ser determinado
Parâmetro	Letra que representa um valor fixo em uma situação específica
Expressão algébrica	Combinação de números e letras ligados por operações
Valor numérico	Resultado obtido ao substituir as letras por números
Monômio	Produto de um número por letras com expoentes naturais
Termos semelhantes	Monômios com a mesma parte literal
Polinômio	Soma algébrica de monômios
Grau	Maior soma de expoentes entre os termos de um polinômio
Produto notável	Produto de resultado padronizado, como (a + b)²
Fatoração	Escrita de uma expressão como produto de fatores
Trinômio quadrado perfeito	Trinômio igual ao quadrado de um binômio
Equação	Igualdade que contém incógnita
Raiz	Valor da incógnita que satisfaz a equação
Conjunto solução	Conjunto de todas as raízes de uma equação ou inequação
Discriminante (Δ)	b² − 4ac, que determina o número de raízes reais
Equação biquadrada	Equação da forma ax⁴ + bx² + c = 0
Inequação	Desigualdade que contém incógnita
Estudo do sinal	Análise dos intervalos em que uma expressão é positiva, negativa ou nula