Função Trigonométrica

Muitos fenômenos da natureza e da vida cotidiana se repetem em ciclos regulares:

• a altura da maré ao longo do dia;
• a temperatura de uma cidade entre o dia e a noite, ou ao longo das estações;
• a pressão do sangue nas artérias a cada batimento cardíaco;
• a altura de uma cadeira em uma roda-gigante;
• a corrente elétrica que chega às tomadas;
• as ondas sonoras.

Apresentação

Roda-gigante e função periódica. A altura oscila entre 2 m e 22 m.

Nenhuma das funções estudadas até aqui (afim, quadrática ou exponencial) descreve esse comportamento de "sobe e desce" que se repete. As funções trigonométricas foram feitas para isso.

Na Matriz de Referência, o tema pertence à Competência de área 5, com destaque para:

• H20: interpretar gráficos cartesianos que representem relações entre grandezas;
• H21: resolver situações-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

No ENEM, as questões costumam apresentar uma lei do tipo f(t) = a + b · sen(ct) e pedir valores máximos e mínimos, o instante em que ocorrem, o período do fenômeno ou a interpretação de um gráfico.

Este artigo apresenta:

1. a noção de função periódica;
2. as funções seno, cosseno e tangente, com seus gráficos e propriedades;
3. a função senoidal geral e o papel de cada parâmetro;
4. a modelagem de fenômenos periódicos e a leitura de gráficos;
5. as equações trigonométricas fundamentais e suas soluções.

Pré-requisitos: o artigo de Trigonometria (ciclo trigonométrico, radianos, sinais por quadrante, redução ao primeiro quadrante e arcos côngruos) e as noções de função dos artigos anteriores.

1. Funções periódicas

Em palavras: depois de um intervalo de comprimento P, a função repete exatamente os mesmos valores. O gráfico de uma função periódica é formado por um "padrão" que se repete indefinidamente.

O inverso do período é a frequência: o número de ciclos por unidade da variável.

2. A função seno

2.1 Definição

No ciclo trigonométrico, a cada número real x corresponde um ponto da circunferência, e o seno de x é a ordenada desse ponto. A função seno associa cada número real x ao valor sen x:

O uso de radianos permite que a variável x seja um número real qualquer, como em todas as outras funções estudadas.

2.2 Propriedades

• Domínio: todos os números reais.
• Imagem: [−1, 1].
• Período: 2π. Depois de uma volta completa no ciclo, os valores se repetem: sen(x + 2π) = sen x.

2.3 Valores principais

x	0	π/6	π/2	5π/6	π	7π/6	3π/2	11π/6	2π
sen x	0	1/2	1	1/2	0	−1/2	−1	−1/2	0

2.4 Gráfico: a senoide

O gráfico da função seno é a senoide, uma onda que oscila entre −1 e 1. No intervalo [0, 2π]:

• começa em 0;
• sobe até o máximo 1, em x = π/2;
• desce, passando por 0 em x = π;
• atinge o mínimo −1, em x = 3π/2;
• volta a 0 em x = 2π.

Depois, o padrão se repete.

Características:

• zeros: x = kπ, com k inteiro;
• máximos: x = π/2 + 2kπ;
• mínimos: x = 3π/2 + 2kπ;
• simetria: sen(−x) = −sen x. A função é ímpar, e seu gráfico é simétrico em relação à origem.

3. A função cosseno

3.1 Definição e propriedades

• Domínio: todos os números reais.
• Imagem: [−1, 1].
• Período: 2π.

x	0	π/3	π/2	2π/3	π	4π/3	3π/2	5π/3	2π
cos x	1	1/2	0	−1/2	−1	−1/2	0	1/2	1

3.2 Gráfico

O gráfico do cosseno também é uma senoide, mas começa no máximo: vale 1 em x = 0, cai até −1 em x = π e volta a 1 em x = 2π.

Características:

• zeros: x = π/2 + kπ;
• máximos: x = 2kπ;
• mínimos: x = π + 2kπ;
• simetria: cos(−x) = cos x. A função é par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Relação com o seno. O gráfico do cosseno é o gráfico do seno deslocado π/2 para a esquerda:

Por isso, seno e cosseno têm a mesma forma, mudando apenas o ponto de partida.

4. A função tangente

4.1 Definição e propriedades

• Domínio: a tangente não existe onde o cosseno se anula. O domínio é formado pelos reais com x ≠ π/2 + kπ.
• Imagem: todos os números reais.
• Período: π, e não 2π. A tangente se repete a cada meia volta, porque arcos que diferem de π têm seno e cosseno opostos, e o quociente entre eles é o mesmo.

4.2 Gráfico

O gráfico da tangente é formado por ramos que se repetem a cada intervalo de comprimento π. Em cada ramo, a função é crescente e assume todos os valores reais.

Nas retas verticais x = π/2 + kπ, onde a tangente não está definida, o gráfico tem assíntotas verticais: aproxima-se delas sem nunca tocá-las.

A tangente é ímpar: tg(−x) = −tg x.

5. A função senoidal geral

5.1 O modelo

Fenômenos periódicos reais não oscilam necessariamente entre −1 e 1, nem têm período 2π. Eles são descritos por funções da forma:

Cada parâmetro tem um papel geométrico preciso.

Parâmetro	Efeito no gráfico
a	desloca o gráfico verticalmente. A linha média, em torno da qual a função oscila, é a reta y = a
|b|	é a amplitude: a distância entre a linha média e o máximo (ou o mínimo). Se b < 0, o gráfico é refletido em relação à linha média
c	altera o período: P = 2π ÷ |c|. Para a tangente, P = π ÷ |c|
d	desloca o gráfico horizontalmente. O deslocamento é de −d/c

Consequências imediatas:

5.2 Lendo os parâmetros de um gráfico

Dado o gráfico de um fenômeno senoidal:

5.3 Exemplos

Exemplo 1. f(x) = 3 + 2 sen(2x)

• Linha média: y = 3.
• Amplitude: 2.
• Imagem: [1, 5].
• Período: 2π ÷ 2 = π.

Exemplo 2. f(x) = 1 − 3 cos(x/2)

• Linha média: y = 1.
• Amplitude: 3. Como b é negativo, o gráfico do cosseno aparece refletido: começa no mínimo.
• Imagem: [−2, 4].
• Período: 2π ÷ (1/2) = 4π.

Atenção ao período. Quanto maior o valor de c, menor o período: a função oscila mais depressa. Em sen(2x), o padrão se completa duas vezes mais rápido que em sen x.

5.4 Modelos com o tempo

Quando a variável é o tempo t e o fenômeno tem período P, conhecido em horas, minutos ou segundos, é natural escrever:

Assim, quando t aumenta P, o argumento aumenta 2π, e o ciclo se completa.

Exemplo 1: maré. A altura da maré em um porto, em metros, é h(t) = 2 + 1,5 · sen(πt/6), com t em horas.

• Período: 2π ÷ (π/6) = 12 horas.
• Altura máxima: 2 + 1,5 = 3,5 m, quando sen(πt/6) = 1, ou seja, πt/6 = π/2, em t = 3 h.
• Altura mínima: 2 − 1,5 = 0,5 m, quando πt/6 = 3π/2, em t = 9 h.

Exemplo 2: roda-gigante. Uma roda-gigante tem raio de 10 m, e seu centro está a 12 m do solo. Ela completa uma volta a cada 4 minutos. Uma cadeira parte do ponto mais baixo. A altura da cadeira, em metros, é:

h(t) = 12 − 10 · cos(πt/2), com t em minutos

• Em t = 0: h = 12 − 10 = 2 m, o ponto mais baixo.
• Em t = 2: h = 12 − 10 · cos π = 12 + 10 = 22 m, o ponto mais alto.
• Período: 2π ÷ (π/2) = 4 minutos.

O sinal negativo antes do cosseno faz a função começar no mínimo, como a cadeira.

Exemplo 3: temperatura ao longo do dia. Em uma cidade, a temperatura varia de forma aproximadamente senoidal ao longo do dia, entre 20 °C e 30 °C. A máxima ocorre às 15 h, e a mínima, às 3 h. Um modelo é:

T(t) = 25 + 5 · sen[π(t − 9)/12], com t em horas

• Linha média: (30 + 20) ÷ 2 = 25.
• Amplitude: (30 − 20) ÷ 2 = 5.
• Período: 24 horas, porque c = π/12 e 2π ÷ (π/12) = 24.
• Em t = 15: sen(π/2) = 1, e T = 30 °C.
• Em t = 3: sen(−π/2) = −1, e T = 20 °C.

O deslocamento (t − 9) posiciona a máxima às 15 h.

Exemplo 4: pressão arterial. A pressão nas artérias de uma pessoa, em mmHg, pode ser modelada por:

P(t) = 100 + 20 · sen(8πt/3), com t em segundos

• Pressão máxima (sistólica): 100 + 20 = 120 mmHg.
• Pressão mínima (diastólica): 100 − 20 = 80 mmHg.
• Período: 2π ÷ (8π/3) = 3/4 = 0,75 s. Esse é o tempo de um batimento cardíaco.
• Frequência cardíaca: 60 ÷ 0,75 = 80 batimentos por minuto.

5.5 Leitura de intervalos

Muitas questões perguntam durante quanto tempo a função fica acima ou abaixo de certo valor.

Exemplo. Durante quanto tempo, em cada ciclo, a maré do exemplo 1 fica com altura de pelo menos 2,75 m?

1. 2 + 1,5 · sen(πt/6) ≥ 2,75 equivale a sen(πt/6) ≥ 1/2.
2. No primeiro ciclo, o seno é maior ou igual a 1/2 quando o argumento está entre π/6 e 5π/6.
3. π/6 ≤ πt/6 ≤ 5π/6, ou seja, 1 ≤ t ≤ 5.
4. A maré fica acima de 2,75 m durante 4 horas por ciclo.

6. Equações trigonométricas

6.1 Equações do tipo sen x = k

Condição de existência: só há solução se −1 ≤ k ≤ 1.

No ciclo, a reta horizontal y = k corta a circunferência em dois pontos simétricos em relação ao eixo vertical. Se α é uma solução no intervalo [0, 2π), a outra é π − α.

Exemplo 1. sen x = 1/2

• No intervalo [0, 2π): x = π/6 ou x = 5π/6.
• Solução geral: x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ.

Exemplo 2. sen x = −√2/2

• O seno é negativo no III e no IV quadrantes, e o arco do 1º quadrante correspondente é π/4.
• No intervalo [0, 2π): x = 5π/4 ou x = 7π/4.

Exemplo 3. sen x = 1

• Só há uma solução por volta: x = π/2 + 2kπ.

Exemplo 4. sen x = 2

• Não há solução, porque o seno nunca passa de 1.

6.2 Equações do tipo cos x = k

A reta vertical x = k corta o ciclo em dois pontos simétricos em relação ao eixo horizontal. As soluções são α e −α (ou, equivalentemente, 2π − α).

Exemplo 1. cos x = 1/2. No intervalo [0, 2π): x = π/3 ou x = 5π/3.

Exemplo 2. cos x = −1/2. O cosseno é negativo no II e no III quadrantes: x = 2π/3 ou x = 4π/3.

6.3 Equações do tipo tg x = k

A tangente tem período π, então as soluções se repetem a cada meia volta.

Exemplo 1. tg x = 1. No intervalo [0, 2π): x = π/4 ou x = 5π/4.

Exemplo 2. tg x = −√3. A tangente é negativa no II e no IV quadrantes: x = 2π/3 ou x = 5π/3.

6.4 Equações com o argumento multiplicado

Quando a incógnita aparece multiplicada, como em sen(2x), o número de soluções em um intervalo pode mudar.

Exemplo. Resolver sen(2x) = 1/2 no intervalo [0, 2π).

1. Se x vai de 0 a 2π, então 2x vai de 0 a 4π: são duas voltas no ciclo.
2. Em duas voltas, sen θ = 1/2 tem quatro soluções: θ = π/6, 5π/6, 13π/6 e 17π/6.
3. Dividindo por 2: x = π/12, 5π/12, 13π/12 e 17π/12.

O erro comum é encontrar apenas as duas primeiras soluções, esquecendo que o argumento percorre mais de uma volta.

6.5 Equações redutíveis a equações algébricas

Por mudança de variável. Resolver 2 sen² x − sen x − 1 = 0 no intervalo [0, 2π).

1. Com y = sen x: 2y² − y − 1 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = −1/2.
2. sen x = 1 leva a x = π/2.
3. sen x = −1/2 leva a x = 7π/6 ou x = 11π/6.
4. S = {π/2, 7π/6, 11π/6}.

Usando a relação fundamental. Resolver 2 cos² x + 3 sen x − 3 = 0 no intervalo [0, 2π).

1. Substituindo cos² x = 1 − sen² x: 2 − 2 sen² x + 3 sen x − 3 = 0, ou seja, 2 sen² x − 3 sen x + 1 = 0.
2. Com y = sen x, as raízes são y = 1 e y = 1/2.
3. S = {π/6, π/2, 5π/6}.

Produto nulo. sen x · cos x = 0 no intervalo [0, 2π).

Um dos fatores deve ser zero: sen x = 0 ou cos x = 0. S = {0, π/2, π, 3π/2}.

6.6 Equações em contexto

Exemplo. Em que instantes da primeira volta a cadeira da roda-gigante (seção 5.4) está a 17 m de altura?

1. 12 − 10 · cos(πt/2) = 17, ou seja, cos(πt/2) = −1/2.
2. Na primeira volta, o argumento vai de 0 a 2π: πt/2 = 2π/3 ou πt/2 = 4π/3.
3. t = 4/3 min (80 s) ou t = 8/3 min (160 s).

A cadeira passa pelos 17 m na subida e na descida. Entre esses instantes, ela fica acima dessa altura por 80 segundos.

7. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Período de sen e cos (2π)	Período da tangente (π)	A tangente se repete a cada meia volta
Amplitude |b|	Diferença entre máximo e mínimo	A amplitude é metade dessa diferença
Linha média a	Valor máximo	O máximo é a + |b|
Período 2π/|c|	Período 2π · |c|	c maior gera período menor
Período	Frequência	Uma é o inverso da outra
sen(2x)	2 sen x	O primeiro altera o período; o segundo, a amplitude
Seno (função ímpar)	Cosseno (função par)	Simetria em relação à origem ou ao eixo y
Solução em [0, 2π)	Solução geral	A geral inclui todos os arcos côngruos
sen x = k, com |k| > 1	Equação com solução	Não tem solução real
Instante do máximo	Valor máximo	O instante é o valor da variável; o máximo é o valor da função

8. Erros recorrentes e como evitá-los

Usar graus na lei da função. Controle: nas funções trigonométricas, a variável é dada em radianos, salvo indicação explícita.

Calcular o período como 2π · c. Controle: o período é 2π ÷ |c|. Um c maior faz a função oscilar mais depressa.

Confundir amplitude com a distância entre máximo e mínimo. Controle: a amplitude é a metade dessa distância.

Confundir linha média com valor máximo. Controle: o máximo é a linha média mais a amplitude.

Esquecer a segunda solução das equações. Controle: desenhe o ciclo. As retas horizontais (seno) e verticais (cosseno) cortam a circunferência em dois pontos.

Encontrar poucas soluções quando o argumento é multiplicado. Controle: determine por quantas voltas o argumento passa no intervalo pedido.

Confundir o instante em que ocorre o máximo com o valor máximo. Controle: releia a pergunta.

Esquecer o sinal de b. Controle: com b negativo, a função começa no sentido oposto ao da função básica.

Verificação geral. Substitua os instantes encontrados na lei da função e confira os valores pedidos.

9. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H20, nível fácil)

A imagem da função f(x) = 3 + 2 · sen x é o intervalo:

A) [−1, 1]
B) [1, 5]
C) [2, 3]
D) [3, 5]
E) [−2, 2]

Gabarito: B

Resolução. Como sen x varia de −1 a 1, a expressão 2 · sen x varia de −2 a 2. Somando 3, a função varia de 1 a 5.

Análise dos distratores.

• D: considera apenas a variação para cima da linha média.
• A: dá a imagem da função seno básica, ignorando os parâmetros.
• E: dá a variação do termo 2 · sen x, sem somar a linha média.

Questão 2 (H20, nível médio)

O período da função f(x) = 5 · cos(4x) é:

A) 4π
B) 8π
C) π/2
D) π/4
E) 2π

Gabarito: C

Resolução. O período é 2π ÷ 4 = π/2.

Análise dos distratores.

• B: multiplica 2π por 4.
• E: ignora o coeficiente de x.
• A: confunde a amplitude ou o coeficiente com o período.

Questão 3 (H21, nível médio)

A pressão sanguínea de uma pessoa, em mmHg, é modelada por P(t) = 100 + 20 · sen(8πt/3), em que t é o tempo, em segundos. As pressões máxima e mínima e a frequência cardíaca dessa pessoa são, respectivamente:

A) 120 mmHg, 80 mmHg e 80 batimentos por minuto
B) 120 mmHg, 80 mmHg e 45 batimentos por minuto
C) 100 mmHg, 20 mmHg e 80 batimentos por minuto
D) 120 mmHg, 100 mmHg e 60 batimentos por minuto
E) 120 mmHg, 80 mmHg e 0,75 batimento por minuto

Gabarito: A

Resolução.

1. Máximo: 100 + 20 = 120. Mínimo: 100 − 20 = 80.
2. Período: 2π ÷ (8π/3) = 3/4 s, que é a duração de um batimento.
3. Frequência: 60 ÷ 0,75 = 80 batimentos por minuto.

Análise dos distratores.

• B: multiplica 60 pelo período (60 × 0,75 = 45), em vez de dividir.
• C: toma a linha média e a amplitude como valores máximo e mínimo.
• D: toma a linha média como valor mínimo.
• E: confunde o período com a frequência.

Questão 4 (H21, nível médio)

A altura da maré em um porto, em metros, é dada por h(t) = 2 + 1,5 · sen(πt/6), em que t é o tempo, em horas, com 0 ≤ t ≤ 12. A altura mínima da maré e o instante em que ela ocorre são:

A) 0,5 m, às 3 h
B) 0,5 m, às 9 h
C) 2 m, às 6 h
D) 0 m, às 12 h
E) −1,5 m, às 9 h

Gabarito: B

Resolução.

1. A altura mínima ocorre quando sen(πt/6) = −1. Nesse caso, h = 2 − 1,5 = 0,5 m.
2. sen(πt/6) = −1 quando πt/6 = 3π/2, ou seja, t = 9 h.

Análise dos distratores.

• A: dá o instante em que ocorre a altura máxima.
• C: confunde a linha média com o mínimo.
• E: dá apenas o valor do termo b · sen, sem somar a linha média.

Questão 5 (H21, nível médio)

O número de soluções da equação sen(2x) = 1/2 no intervalo [0, 2π) é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8

Gabarito: D

Resolução. Quando x varia de 0 a 2π, o argumento 2x varia de 0 a 4π, ou seja, percorre duas voltas no ciclo. Em cada volta, sen θ = 1/2 tem duas soluções. São 4 soluções: x = π/12, 5π/12, 13π/12 e 17π/12.

Análise dos distratores. A alternativa B considera apenas uma volta do argumento.

Questão 6 (H21, nível difícil)

A altura de uma cadeira de roda-gigante, em metros, é dada por h(t) = 12 − 10 · cos(πt/2), com t em minutos. Durante a primeira volta, o tempo em que a cadeira permanece acima de 17 m de altura é:

A) 40 s
B) 80 s
C) 120 s
D) 160 s
E) 240 s

Gabarito: B

Resolução.

1. h(t) = 17 quando cos(πt/2) = −1/2, ou seja, πt/2 = 2π/3 ou πt/2 = 4π/3.
2. Os instantes são t = 4/3 min e t = 8/3 min. Entre eles, a cadeira fica acima de 17 m.
3. O intervalo dura 8/3 − 4/3 = 4/3 min = 80 s.

Análise dos distratores.

• C: supõe que a cadeira fica acima de 17 m durante meia volta. Isso só valeria para a altura do centro, 12 m.
• D: toma o segundo instante como duração.
• E: dá o tempo de uma volta completa.

Questão 7 (H20, nível difícil)

Em uma cidade, a temperatura varia de forma aproximadamente senoidal ao longo do dia. A máxima de 30 °C ocorre às 15 h, e a mínima de 20 °C ocorre às 3 h. Um modelo adequado para a temperatura T, em °C, em função da hora t do dia, é:

A) T(t) = 25 + 5 · sen[π(t − 9)/12]
B) T(t) = 25 + 10 · sen[π(t − 9)/12]
C) T(t) = 30 + 5 · sen[π(t − 9)/12]
D) T(t) = 25 + 5 · sen[π(t − 9)/24]
E) T(t) = 25 + 5 · sen(πt/12)

Gabarito: A

Resolução.

• Linha média: (30 + 20) ÷ 2 = 25.
• Amplitude: (30 − 20) ÷ 2 = 5.
• Período de 24 h: c = 2π ÷ 24 = π/12.
• Em t = 15, o argumento é π(15 − 9)/12 = π/2, e o seno vale 1: a temperatura é máxima, como deveria.

Análise dos distratores.

• B: toma como amplitude a diferença total entre máximo e mínimo.
• C: usa o valor máximo como linha média.
• D: tem período de 48 h.
• E: sem o deslocamento, a temperatura máxima ocorreria às 6 h.

10. Perguntas frequentes

O que é uma função periódica?

É uma função cujos valores se repetem em intervalos regulares de comprimento P, o período.

Por que se usam radianos nas funções trigonométricas?

Porque, em radianos, a medida do arco é um número real, como a variável de qualquer função.

Qual é a diferença entre os gráficos do seno e do cosseno?

Têm a mesma forma, mas o cosseno está deslocado π/2 para a esquerda: começa no máximo, enquanto o seno começa em zero, subindo.

Por que a tangente tem período π?

Porque arcos que diferem de π têm seno e cosseno com sinais opostos, e o quociente entre eles é o mesmo.

Como encontrar a amplitude a partir do gráfico?

Calcule a metade da diferença entre o valor máximo e o valor mínimo.

Como o coeficiente c altera o gráfico?

Ele altera o período, que passa a ser 2π ÷ |c|. Valores maiores de c fazem a função oscilar mais depressa.

Quantas soluções tem sen x = k em uma volta?

Duas, se −1 < k < 1. Uma, se k = 1 ou k = −1. Nenhuma, se |k| > 1.

Como relacionar período e frequência?

A frequência é o inverso do período. Um período de 0,75 s corresponde a 1/0,75 ≈ 1,33 ciclo por segundo, ou 80 ciclos por minuto.

Como saber em que instante ocorre o máximo?

Iguale o seno, ou o cosseno, ao valor que maximiza a função (1, se b > 0) e resolva para a variável.

12. Síntese

Uma função é periódica quando seus valores se repetem a cada intervalo P, o período. A frequência é o inverso do período.

As funções trigonométricas estendem o ciclo trigonométrico a todos os números reais:

• seno e cosseno têm domínio real, imagem [−1, 1] e período 2π. Seus gráficos são senoides, e o cosseno é o seno deslocado π/2;
• o seno é ímpar, e o cosseno é par;
• a tangente tem período π, imagem real e assíntotas verticais onde o cosseno se anula.

A função senoidal geral, f(x) = a + b · sen(cx + d), modela fenômenos periódicos:

• a é a linha média;
• |b| é a amplitude;
• o período é 2π ÷ |c|;
• d desloca o gráfico horizontalmente.

O máximo é a + |b|, e o mínimo, a − |b|. Do gráfico, obtêm-se a = (máximo + mínimo)/2, |b| = (máximo − mínimo)/2 e o período pela distância entre máximos consecutivos.

As equações trigonométricas fundamentais se resolvem no ciclo:

• sen x = k tem soluções α e π − α;
• cos x = k tem soluções ±α;
• tg x = k tem soluções α + kπ.

As soluções gerais acrescentam múltiplos do período. Quando o argumento é multiplicado, o número de soluções em um intervalo aumenta. Equações mais complexas se reduzem a equações algébricas por mudança de variável ou pela relação fundamental.

Situação	Ferramenta
Imagem de a + b · sen(…)	[a − |b|, a + |b|]
Período de sen(cx) ou cos(cx)	2π ÷ |c|
Período de tg(cx)	π ÷ |c|
Parâmetros a partir do gráfico	a = (máx + mín)/2; |b| = (máx − mín)/2
Período em contextos de tempo	f(t) = a + b · sen(2πt/P)
Frequência	1 ÷ período
sen x = k	α e π − α
cos x = k	α e −α
tg x = k	α + kπ
Argumento multiplicado	contar as voltas percorridas
Termos sen² e sen	mudança de variável
Termos cos² e sen	usar cos² = 1 − sen²

13. Glossário

Termo	Definição
Função periódica	Função cujos valores se repetem em intervalos regulares
Período	Menor intervalo após o qual a função se repete
Frequência	Número de ciclos por unidade de tempo; inverso do período
Senoide	Curva que representa o gráfico das funções seno e cosseno
Amplitude	Distância entre a linha média e o valor máximo de uma função senoidal
Linha média	Reta horizontal em torno da qual uma função senoidal oscila
Deslocamento de fase	Translação horizontal do gráfico de uma função trigonométrica
Assíntota vertical	Reta vertical da qual o gráfico se aproxima sem tocá-la
Função par	Função com f(−x) = f(x); gráfico simétrico em relação ao eixo y
Função ímpar	Função com f(−x) = −f(x); gráfico simétrico em relação à origem
Equação trigonométrica	Equação em que a incógnita aparece em uma função trigonométrica
Solução geral	Expressão que reúne todas as soluções, incluindo os arcos côngruos