Função Logarítmica

A função exponencial responde à pergunta: "se o expoente é x, qual é o resultado?" O logaritmo responde à pergunta inversa: "a que expoente devo elevar a base para obter este resultado?"

Apresentação

A escala de pH. Cada unidade de pH corresponde a um fator 10.

Essa inversão é indispensável sempre que a incógnita está no expoente e as bases não podem ser igualadas. Ela permite calcular, por exemplo:

• em quanto tempo uma população dobra;
• quando uma aplicação atinge um valor desejado;
• há quanto tempo um fóssil morreu;
• quanto tempo um medicamento leva para atingir uma concentração mínima.

Os logaritmos também organizam as escalas logarítmicas, usadas para grandezas que variam em ordens de grandeza muito diferentes: o pH, os decibéis e a magnitude dos terremotos.

Na Matriz de Referência, o tema pertence à Competência de área 5, com as habilidades H19, H20 e H21 (representação algébrica, gráficos e resolução de problemas). Os enunciados do ENEM costumam fornecer os valores dos logaritmos necessários. O que se avalia é o uso correto da definição e das propriedades.

Este artigo apresenta:

1. o conceito de logaritmo e suas condições de existência;
2. os logaritmos decimais e naturais;
3. as propriedades operatórias, com suas demonstrações;
4. a mudança de base;
5. as equações e inequações logarítmicas;
6. a função logarítmica e sua relação com a exponencial;
7. as escalas logarítmicas e o cálculo de tempos em processos exponenciais.

Pré-requisitos: o artigo de Função Exponencial e as propriedades das potências (bloco 0).

1. Conceito de logaritmo

1.1 Motivação

A equação 2ˣ = 8 se resolve igualando bases: x = 3. Mas a equação 2ˣ = 10 não tem essa saída, porque 10 não é potência inteira de 2. A solução existe (está entre 3 e 4, já que 2³ = 8 e 2⁴ = 16), e é preciso um nome para ela. Esse número é o logaritmo de 10 na base 2.

1.2 Definição

• a é a base;
• b é o logaritmando;
• x é o logaritmo.

Em palavras: o logaritmo é o expoente. Calcular log_a b é perguntar "a que expoente devo elevar a para obter b?".

Exemplos:

Logaritmo	Pergunta	Resposta
log₂ 8	2 elevado a quanto dá 8?	3
log₃ 81	3 elevado a quanto dá 81?	4
log₁₀ 1.000	10 elevado a quanto dá 1.000?	3
log₂ (1/4)	2 elevado a quanto dá 1/4?	−2
log₅ √5	5 elevado a quanto dá √5?	1/2
log₄ 8	4 elevado a quanto dá 8?	3/2

No último exemplo, escreva os dois números como potências de 2: 4ˣ = 8 equivale a 2²ˣ = 2³. Então 2x = 3, e x = 3/2.

1.3 Condições de existência

Condição	Motivo
b > 0	uma potência de base positiva nunca é zero nem negativa
a > 0	evita expoentes que não definem números reais
a ≠ 1	1ˣ = 1 para todo x, e o logaritmo não ficaria determinado

Não existem, por exemplo, log₂ 0, log₂ (−4) ou log₁ 5.

1.4 Consequências imediatas da definição

A quarta propriedade é chamada de potência da base. Ela afirma que elevar a base ao logaritmo "desfaz" o logaritmo. Por exemplo, 3^(log₃ 7) = 7.

1.5 Logaritmos decimais e naturais

• O logaritmo decimal tem base 10 e é escrito sem a base: log b = log₁₀ b.
• O logaritmo natural tem base e ≈ 2,718 e é escrito ln b.

Valores aproximados frequentes, geralmente fornecidos nos enunciados:

log 2	log 3	log 5	log 7
0,301	0,477	0,699	0,845

O valor de log 5 pode ser obtido a partir de log 2, porque log 5 = log(10/2) = 1 − log 2 = 0,699.

1.6 Interpretação do logaritmo decimal

O logaritmo decimal mede quantas vezes é preciso multiplicar 10 para chegar a um número. Por isso, ele está ligado ao número de algarismos:

Exemplo. Quantos algarismos tem 2¹⁰⁰?

1. log 2¹⁰⁰ = 100 · 0,301 = 30,1.
2. A parte inteira é 30, logo o número tem 31 algarismos.
3. De fato, 2¹⁰⁰ ≈ 1,27 × 10³⁰.

2. Propriedades operatórias

2.1 As três propriedades

Sendo a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0:

Demonstração da propriedade do produto. Sejam log_a b = x e log_a c = y. Então b = aˣ e c = aʸ, e b · c = aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ. Logo, log_a (b · c) = x + y.

As outras duas propriedades se demonstram do mesmo modo, usando aˣ ÷ aʸ = aˣ⁻ʸ e (aˣ)ⁿ = aⁿˣ.

As propriedades dos logaritmos são as propriedades das potências "vistas pelo expoente":

• multiplicar potências de mesma base é somar expoentes;
• dividir é subtrair expoentes;
• elevar a uma potência é multiplicar o expoente.

Raízes são potências de expoente fracionário: log √b = log b^(1/2) = (1/2) · log b.

2.2 Exemplos com log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477

Logaritmo	Decomposição	Valor
log 6	log 2 + log 3	0,778
log 12	2 log 2 + log 3	1,079
log 72	3 log 2 + 2 log 3	1,857
log 1,5	log 3 − log 2	0,176
log 5	log 10 − log 2	0,699
log 0,02	log 2 − log 100	−1,699
log √3	(1/2) log 3	0,2385

Estratégia: decomponha o número em fatores primos e potências de 10.

2.3 Simplificação de expressões

• log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ (40/5) = log₂ 8 = 3
• 2 log 5 + log 4 = log 25 + log 4 = log 100 = 2

2.4 O que as propriedades não dizem

Errado	Correto
log(b + c) = log b + log c	Não existe propriedade para o logaritmo de uma soma
log b ÷ log c = log(b/c)	log(b/c) = log b − log c
(log b)ⁿ = n · log b	n · log b = log(bⁿ)

3. Mudança de base

3.1 A fórmula

Demonstração. Seja log_a b = x, ou seja, aˣ = b. Aplicando o logaritmo de base c aos dois lados: x · log_c a = log_c b. Logo, x = log_c b ÷ log_c a.

Para que serve. Calculadoras e tabelas costumam trazer apenas logaritmos decimais ou naturais. A mudança de base permite calcular logaritmos em qualquer base a partir deles.

3.2 Consequências

3.3 Exemplos

• log₂ 3 = log 3 ÷ log 2 = 0,477 ÷ 0,301 ≈ 1,585
• log₄ 32 = log₂ 32 ÷ log₂ 4 = 5/2
• log₃ 5 · log₅ 9 = log₃ 9 = 2, pela regra da cadeia

4. Equações logarítmicas

4.1 O cuidado fundamental

Toda equação logarítmica exige a verificação das condições de existência. Antes ou depois de resolver, confirme que todos os logaritmandos são positivos e que as bases são positivas e diferentes de 1. Soluções que violam essas condições devem ser descartadas.

4.2 Resolução pela definição

Exemplo. log₂ (x − 1) = 3

1. Pela definição: x − 1 = 2³ = 8, logo x = 9.
2. Verificação: x − 1 = 8 > 0. A solução é válida.

S = {9}

4.3 Logaritmos de mesma base nos dois membros

Exemplo. log₃ (2x + 1) = log₃ (x + 5)

1. Pela injetividade: 2x + 1 = x + 5, logo x = 4.
2. Verificação: 2 · 4 + 1 = 9 > 0 e 4 + 5 = 9 > 0.

S = {4}

4.4 Usando as propriedades

Exemplo. log₂ x + log₂ (x − 2) = 3

1. Condições de existência: x > 0 e x − 2 > 0, ou seja, x > 2.
2. Pela propriedade do produto: log₂ [x(x − 2)] = 3.
3. Pela definição: x(x − 2) = 8, ou seja, x² − 2x − 8 = 0.
4. As raízes são x = 4 e x = −2.
5. Como x deve ser maior que 2, a raiz −2 é descartada.

S = {4}

Esse é o tipo de equação em que mais se erra: resolver corretamente a equação do 2º grau e esquecer de descartar a raiz que não satisfaz as condições.

4.5 Mudança de variável

Exemplo. (log x)² − 3 · log x + 2 = 0

1. Com y = log x: y² − 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2.
2. log x = 1 leva a x = 10; log x = 2 leva a x = 100.

S = {10, 100}

4.6 Equações exponenciais resolvidas com logaritmos

Quando as bases não podem ser igualadas, aplica-se o logaritmo aos dois lados.

Exemplo 1. 2ˣ = 10

x = log₂ 10 = 1 ÷ log 2 ≈ 1 ÷ 0,301 ≈ 3,32

Exemplo 2. 3ˣ = 20

x = log 20 ÷ log 3 = (1 + 0,301) ÷ 0,477 ≈ 2,73

Exemplo 3. 1,02ᵗ = 2, com log 1,02 ≈ 0,0086

t = log 2 ÷ log 1,02 ≈ 0,301 ÷ 0,0086 ≈ 35

Esse é o tempo de duplicação de uma população que cresce 2% ao ano, o mesmo valor obtido pela regra prática do artigo de Função Exponencial.

5. Inequações logarítmicas

5.1 A regra

Depois de escrever os dois membros como logaritmos de mesma base:

Além disso, os logaritmandos precisam ser positivos. A solução final é a interseção entre o resultado da inequação e as condições de existência.

5.2 Exemplos

Exemplo 1. log₂ (x − 3) > 2

1. Condição de existência: x > 3.
2. x − 3 > 2² = 4, logo x > 7.
3. Interseção: x > 7.

Exemplo 2. log_(1/2) x ≥ −3

1. Condição de existência: x > 0.
2. Como a base está entre 0 e 1, a desigualdade se inverte: x ≤ (1/2)⁻³ = 8.
3. Interseção: 0 < x ≤ 8.

Exemplo 3. log (2x − 4) < 1

1. Condição de existência: 2x − 4 > 0, ou seja, x > 2.
2. 2x − 4 < 10, logo x < 7.
3. Interseção: 2 < x < 7.

6. A função logarítmica

6.1 Definição e propriedades

• Domínio: os reais positivos, ]0, +∞[.
• Imagem: todos os números reais.
• Ponto notável: o gráfico passa por (1, 0), porque log_a 1 = 0.
• Comportamento: a função é crescente se a > 1, e decrescente se 0 < a < 1.
• Assíntota: o gráfico se aproxima do eixo y sem tocá-lo. O eixo y é uma assíntota vertical.

6.2 Gráfico

x	1/4	1/2	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

O gráfico cresce muito lentamente: para que log₁₀ x aumente 1, o valor de x precisa ser multiplicado por 10.

6.3 Relação com a função exponencial

A função logarítmica f(x) = log_a x é a inversa da função exponencial g(x) = aˣ:

Uma função "desfaz" a outra. Graficamente, os gráficos das duas são simétricos em relação à reta y = x: se o ponto (p, q) pertence ao gráfico de aˣ, então o ponto (q, p) pertence ao gráfico de log_a x.

Por exemplo, (3, 8) está no gráfico de 2ˣ, e (8, 3) está no gráfico de log₂ x.

Característica	g(x) = aˣ	f(x) = log_a x
Domínio	todos os reais	reais positivos
Imagem	reais positivos	todos os reais
Ponto notável	(0, 1)	(1, 0)
Assíntota	eixo x (horizontal)	eixo y (vertical)

Domínio e imagem se trocam, como em toda função inversa.

6.4 Domínio de funções logarítmicas compostas

Para determinar o domínio, imponha as condições de existência a cada logaritmo.

Exemplo 1. f(x) = log (x² − 4)

É preciso x² − 4 > 0. A expressão é positiva fora das raízes −2 e 2:

x < −2 ou x > 2

Exemplo 2. f(x) = log_(x − 1) (5 − x)

• Base: x − 1 > 0 e x − 1 ≠ 1, ou seja, x > 1 e x ≠ 2.
• Logaritmando: 5 − x > 0, ou seja, x < 5.
• Domínio: 1 < x < 5, com x ≠ 2.

7. Escalas logarítmicas e aplicações

Algumas grandezas variam em faixas tão amplas que é mais conveniente medi-las pelo expoente. Nessas escalas, somar uma unidade corresponde a multiplicar a grandeza original por um fator fixo.

7.1 pH

O pH mede a acidez de uma solução a partir da concentração de íons hidrogênio, em mol/L:

• Se [H⁺] = 10⁻³ mol/L, então pH = 3.
• Se [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L, então pH = 7 (solução neutra).

Consequência. Cada unidade a menos no pH corresponde a uma concentração de H⁺ 10 vezes maior. Uma solução de pH 3 é 10² = 100 vezes mais ácida que uma de pH 5.

O sangue humano tem pH normal em torno de 7,4, em uma faixa estreita. Pequenas variações no pH correspondem a variações relevantes na concentração de H⁺.

7.2 Nível sonoro em decibéis

O nível sonoro β, em decibéis (dB), é calculado a partir da intensidade I do som, em comparação com uma intensidade de referência I₀:

Consequências:

• +10 dB corresponde a uma intensidade 10 vezes maior;
• +20 dB corresponde a uma intensidade 100 vezes maior;
• dobrar a intensidade acrescenta cerca de 3 dB, porque 10 · log 2 ≈ 3.

Passar de 60 dB para 80 dB, portanto, não é um aumento de um terço: é uma intensidade 100 vezes maior.

7.3 Magnitude de terremotos

Na escala de magnitude de terremotos, cada unidade a mais corresponde a uma amplitude de onda registrada 10 vezes maior, e a uma energia liberada cerca de 32 vezes maior. Um terremoto de magnitude 7 não é "um pouco" mais forte que um de magnitude 6. Ele libera dezenas de vezes mais energia.

7.4 Tempo em processos exponenciais

O logaritmo isola o tempo em modelos do tipo Q(t) = Q₀ · a^(t/T).

Exemplo 1: bactérias. Uma colônia de 1.000 bactérias dobra a cada 20 minutos. Em quanto tempo chega a 100.000?

1. 1.000 · 2^(t/20) = 100.000, ou seja, 2^(t/20) = 100.
2. t/20 = log₂ 100 = 2 ÷ 0,301 ≈ 6,64.
3. t ≈ 133 minutos, ou cerca de 2 h 13 min.

Exemplo 2: juros compostos. Em quanto tempo um capital aplicado a 10% ao mês dobra? Use log 2 = 0,301 e log 1,1 ≈ 0,0414.

1. 1,1ᵗ = 2, logo t = 0,301 ÷ 0,0414 ≈ 7,3 meses.
2. Como os juros são creditados ao fim de cada mês, o capital ultrapassa o dobro no 8º mês.

O tema é aprofundado no artigo de Matemática Financeira Avançada.

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
log_a b	a · b ou b/a	O logaritmo é o expoente: aˣ = b
log(b · c)	log b · log c	O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos
log(b + c)	log b + log c	Não há propriedade para a soma
n · log b	(log b)ⁿ	Só o primeiro é igual a log(bⁿ)
Base a > 1	Base 0 < a < 1	A segunda inverte as inequações
Domínio da exponencial (ℝ)	Domínio do logaritmo (x > 0)	Domínio e imagem se trocam
Assíntota horizontal	Assíntota vertical	A exponencial tem assíntota horizontal; o logaritmo, vertical
log	ln	Base 10 ou base e
+1 no pH	+1 na concentração	Cada unidade de pH é um fator 10 na concentração
+10 dB	+10 na intensidade	+10 dB multiplica a intensidade por 10
Solução algébrica	Solução válida	É preciso verificar as condições de existência

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Não verificar as condições de existência. Controle: antes de responder, confira se todos os logaritmandos são positivos com o valor encontrado.

Aplicar propriedades inexistentes à soma. Controle: lembre que só há propriedades para produto, quociente e potência.

Confundir log b ÷ log c com log(b/c). Controle: o quociente de logaritmos é uma mudança de base, e não o logaritmo de um quociente.

Esquecer de inverter a inequação quando a base está entre 0 e 1. Controle: verifique a base antes de comparar os logaritmandos.

Tratar escalas logarítmicas como lineares. Supor que 80 dB é apenas um terço mais intenso que 60 dB. Controle: em escalas logarítmicas, diferenças de valor correspondem a razões entre as grandezas.

Errar o sinal em logaritmos de números menores que 1. Controle: logaritmos de números entre 0 e 1 são negativos quando a base é maior que 1.

Ler a mudança de base invertida. Controle: o logaritmando vai no numerador, e a base, no denominador.

Verificação geral. Substitua a solução na equação original e use a definição para conferir: se log_a b = x, então aˣ deve ser b.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H19, nível fácil)

O valor de log₄ 8 é:

A) 1/2
B) 3/2
C) 2
D) 4
E) 32

Gabarito: B

Resolução. 4ˣ = 8 equivale a 2²ˣ = 2³. Então 2x = 3, e x = 3/2.

Análise dos distratores.

• C: divide o logaritmando pela base (8 ÷ 4).
• E: multiplica os dois números.

Questão 2 (H21, nível médio)

Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log 12 é:

A) 0,78
B) 1,08
C) 0,144
D) 1,26
E) 3,60

Gabarito: B

Resolução. Como 12 = 2² · 3:

log 12 = 2 · log 2 + log 3 = 0,60 + 0,48 = 1,08

Análise dos distratores.

• A: calcula log 6 (log 2 + log 3).
• C: multiplica os logaritmos, em vez de somá-los.
• D: calcula log 18 (log 2 + 2 · log 3).
• E: multiplica 12 por log 2.

Questão 3 (H21, nível médio)

O conjunto solução da equação log₂ x + log₂ (x − 2) = 3 é:

A) {−2, 4}
B) {4}
C) {−2}
D) {8}
E) vazio

Gabarito: B

Resolução.

1. Condições de existência: x > 2.
2. log₂ [x(x − 2)] = 3 leva a x² − 2x − 8 = 0, com raízes 4 e −2.
3. Apenas x = 4 satisfaz a condição x > 2.

Análise dos distratores.

• A: não verifica as condições de existência.
• D: resolve log₂ x = 3, ignorando o segundo termo.

Questão 4 (H21, nível médio)

O pH de uma solução é definido por pH = −log [H⁺], em que [H⁺] é a concentração de íons hidrogênio, em mol/L. Um suco de limão tem pH 2, e a água pura tem pH 7. A concentração de íons H⁺ no suco de limão é quantas vezes a da água pura?

A) 5
B) 3,5
C) 10
D) 100.000
E) 10⁷

Gabarito: D

Resolução.

• No suco de limão, [H⁺] = 10⁻² mol/L.
• Na água pura, [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L.
• A razão é 10⁻² ÷ 10⁻⁷ = 10⁵ = 100.000.

Análise dos distratores.

• A: subtrai os valores de pH, tratando a escala como linear.
• B: divide os valores de pH.
• E: considera apenas a concentração da água.

Questão 5 (H21, nível médio)

O nível sonoro β, em decibéis, é dado por β = 10 · log (I/I₀), em que I é a intensidade do som e I₀ é uma intensidade de referência. Em uma obra, o nível sonoro passou de 60 dB para 80 dB. A intensidade do som ficou multiplicada por:

A) 20
B) 1,33
C) 2
D) 100
E) 10²⁰

Gabarito: D

Resolução.

1. Para 60 dB: log (I₁/I₀) = 6, logo I₁ = 10⁶ · I₀.
2. Para 80 dB: log (I₂/I₀) = 8, logo I₂ = 10⁸ · I₀.
3. A razão é I₂/I₁ = 10² = 100.

Análise dos distratores.

• A: toma a diferença de decibéis como fator multiplicativo.
• B: divide os níveis sonoros (80 ÷ 60), tratando a escala como linear.
• E: usa a diferença de 20 dB como expoente, sem dividir por 10.

Questão 6 (H23, nível difícil)

A população de uma cidade cresce 2% ao ano. Considerando log 2 = 0,301 e log 1,02 = 0,0086, o tempo necessário para que essa população dobre é de, aproximadamente:

A) 2 anos
B) 25 anos
C) 35 anos
D) 50 anos
E) 100 anos

Gabarito: C

Resolução.

1. 1,02ᵗ = 2.
2. t = log 2 ÷ log 1,02 = 0,301 ÷ 0,0086 ≈ 35 anos.

Análise dos distratores.

• D: calcula o tempo necessário para acumular 100% de crescimento com 2% ao ano de forma linear (100 ÷ 2), como em juros simples.
• A: confunde a taxa com o tempo.

Questão 7 (H19, nível difícil)

O domínio da função f(x) = log (x² − 5x + 6) é o conjunto dos números reais x tais que:

A) x > 0
B) 2 < x < 3
C) x < 2 ou x > 3
D) x ≠ 2 e x ≠ 3
E) x é qualquer número real

Gabarito: C

Resolução. É preciso x² − 5x + 6 > 0. As raízes são 2 e 3, e a parábola tem concavidade para cima. A expressão é positiva fora das raízes: x < 2 ou x > 3.

Análise dos distratores.

• B: é o intervalo em que a expressão é negativa.
• D: exclui apenas os valores que anulam a expressão, sem considerar o sinal.
• A: aplica a condição x > 0 à variável, e não ao logaritmando.

11. Perguntas frequentes

O que é, de fato, um logaritmo?

É um expoente. log_a b é o número ao qual se deve elevar a para obter b.

Por que o logaritmando precisa ser positivo?

Porque uma potência de base positiva é sempre positiva. Não existe expoente que produza zero ou um número negativo.

Existe propriedade para o logaritmo de uma soma?

Não. As propriedades valem para produto, quociente e potência.

Para que serve a mudança de base?

Para calcular logaritmos em qualquer base usando logaritmos conhecidos, geralmente decimais ou naturais.

Por que é preciso verificar as soluções das equações logarítmicas?

Porque, ao aplicar as propriedades, a equação pode ganhar soluções que tornam algum logaritmando negativo ou nulo. Essas soluções devem ser descartadas.

Qual a relação entre a função logarítmica e a exponencial?

São funções inversas. Seus gráficos são simétricos em relação à reta y = x, e domínio e imagem se trocam.

Por que se usam escalas logarítmicas?

Porque grandezas como a acidez, a intensidade sonora e a energia de terremotos variam em muitas ordens de grandeza. A escala logarítmica comprime essas variações em números mais manejáveis.

Quanto mais ácida é uma solução de pH 4 que uma de pH 6?

Cem vezes, porque cada unidade de pH corresponde a um fator 10 na concentração de H⁺.

Como calcular o tempo de duplicação em um crescimento percentual?

Resolva (1 + i)ᵗ = 2 com logaritmos: t = log 2 ÷ log(1 + i).

13. Síntese

O logaritmo é um expoente: log_a b = x significa aˣ = b, com a > 0, a ≠ 1 e b > 0. Da definição decorrem log_a 1 = 0, log_a a = 1 e a^(log_a b) = b. O logaritmo decimal tem base 10, e o natural, base e. O logaritmo decimal de um número indica, pela sua parte inteira, quantos algarismos ele tem.

As propriedades operatórias traduzem as propriedades das potências:

• o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos;
• o do quociente é a diferença;
• o da potência é o expoente vezes o logaritmo.

Não há propriedade para o logaritmo de uma soma. A mudança de base, log_a b = log_c b ÷ log_c a, permite calcular qualquer logaritmo a partir de logaritmos conhecidos.

As equações logarítmicas se resolvem pela definição, pela igualdade de logaritmos de mesma base, pelas propriedades ou por mudança de variável, sempre com verificação das condições de existência. As equações exponenciais sem bases igualáveis se resolvem aplicando logaritmos. Nas inequações, o sentido se mantém para base maior que 1 e se inverte para base entre 0 e 1, e a solução é intersectada com as condições de existência.

A função logarítmica, f(x) = log_a x, tem domínio nos reais positivos, imagem real, passa por (1, 0) e tem o eixo y como assíntota. É a inversa da exponencial, e seus gráficos são simétricos em relação à reta y = x.

Nas escalas logarítmicas (pH, decibéis e magnitude de terremotos), diferenças de uma unidade correspondem a fatores multiplicativos. Em processos exponenciais, o logaritmo isola o tempo.

Situação	Ferramenta
Calcular log_a b	encontrar x com aˣ = b
Produto	somar logaritmos
Quociente	subtrair logaritmos
Potência ou raiz	multiplicar pelo expoente
Base desconhecida	mudança de base
Equação logarítmica	resolver e verificar a existência
Incógnita no expoente sem bases iguais	aplicar logaritmo
Inequação com base maior que 1	mantém o sentido
Inequação com base entre 0 e 1	inverte o sentido
Número de algarismos	parte inteira de log N, mais 1
pH	−log [H⁺]
Decibéis	10 · log(I/I₀)
Tempo de duplicação	log 2 ÷ log(1 + i)

14. Glossário

Termo	Definição
Logaritmo	Expoente ao qual se eleva a base para obter o logaritmando
Base	Número a em log_a b
Logaritmando	Número b em log_a b
Condições de existência	b > 0, a > 0 e a ≠ 1
Logaritmo decimal	Logaritmo de base 10
Logaritmo natural	Logaritmo de base e, indicado por ln
Propriedades operatórias	Regras para o logaritmo de produtos, quocientes e potências
Mudança de base	Fórmula log_a b = log_c b ÷ log_c a
Função logarítmica	Função f(x) = log_a x, com a > 0 e a ≠ 1
Função inversa	Função que desfaz o efeito de outra
Escala logarítmica	Escala em que cada unidade corresponde a um fator multiplicativo constante
pH	Medida de acidez dada por −log [H⁺]
Decibel	Unidade de nível sonoro, em escala logarítmica