Função Exponencial

Alguns fenômenos crescem somando sempre a mesma quantidade: um salário que aumenta R$ 100 por ano, uma pilha que ganha um tijolo por minuto. São os fenômenos lineares. Muitos outros crescem ou diminuem multiplicando por um mesmo fator a cada intervalo:

• bactérias que dobram a cada vinte minutos;
• uma dívida que cresce 10% ao mês;
• uma mensagem que cada pessoa repassa a três outras;
• um remédio que perde metade da concentração a cada seis horas;
• uma substância radioativa que decai pela metade a cada certo tempo.

Apresentação

Crescimento por duplicação. 1, 2, 4, 8, … = 2ⁿ

São os fenômenos exponenciais. A função exponencial é o modelo matemático desses processos.

Na Matriz de Referência, o tema pertence à Competência de área 5:

• H19: identificar representações algébricas de relações entre grandezas;
• H20: interpretar gráficos cartesianos;
• H21: resolver situações-problema com modelagem algébrica;
• H22: argumentar com base nesses conhecimentos;
• H23: avaliar propostas de intervenção.

Ele também se relaciona com a Competência 6, na leitura de gráficos. No ENEM, é frequente em contextos de crescimento populacional, epidemias, decaimento radioativo, medicamentos e juros compostos.

Este artigo apresenta:

1. uma revisão das propriedades das potências;
2. a função exponencial: definição, domínio, imagem e gráfico;
3. a propriedade que distingue crescimento exponencial de crescimento linear;
4. as equações exponenciais e seus métodos de resolução;
5. as inequações exponenciais;
6. os modelos de crescimento e decrescimento, incluindo duplicação e meia-vida;
7. uma introdução aos juros compostos e à base e.

Pré-requisitos: potenciação e radiciação (bloco 0), progressão geométrica (bloco 10) e o artigo de Função do Primeiro Grau.

1. Revisão: propriedades das potências

Propriedade	Exemplo
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ · 2⁴ = 2⁷
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	5⁶ ÷ 5² = 5⁴
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ	(3²)³ = 3⁶
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(2 · 5)³ = 2³ · 5³
a⁰ = 1, com a ≠ 0	7⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)	8^(2/3) = ∛64 = 4

Exemplos:

• (1/2)⁻³ = 2³ = 8;
• 27^(−1/3) = 1/∛27 = 1/3;
• 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8.

Estratégia central. Escrever os números como potências de uma mesma base: 8 = 2³, 1/4 = 2⁻², √2 = 2^(1/2), 27 = 3³, 0,2 = 5⁻¹. Esse é o primeiro passo de quase todo problema deste artigo.

2. A função exponencial

2.1 Definição

O número a é a base, e a variável x está no expoente. É isso que distingue a função exponencial da função potência, como x², em que a variável está na base.

Por que as restrições.

• Se a = 1, então 1ˣ = 1 para todo x: a função seria constante.
• Se a < 0, a função não estaria definida para muitos valores de x. Por exemplo, (−2)^(1/2) = √(−2) não é um número real.
• Se a = 0, a expressão 0ˣ não está definida para x ≤ 0.

2.2 Domínio, imagem e ponto notável

• Domínio: todos os números reais.
• Imagem: os reais positivos, ]0, +∞[. Uma exponencial nunca vale zero e nunca é negativa.
• Ponto notável: como a⁰ = 1, o gráfico de toda função f(x) = aˣ passa pelo ponto (0, 1).

2.3 Gráfico

x	−2	−1	0	1	2	3
2ˣ	1/4	1/2	1	2	4	8
(1/2)ˣ	4	2	1	1/2	1/4	1/8

• Se a > 1, a função é crescente. É o caso de 2ˣ.
• Se 0 < a < 1, a função é decrescente. É o caso de (1/2)ˣ.

Nos dois casos, o gráfico se aproxima do eixo x sem nunca tocá-lo. O eixo x é uma assíntota horizontal da função.

Simetria. Como (1/2)ˣ = 2⁻ˣ, os gráficos de 2ˣ e de (1/2)ˣ são simétricos em relação ao eixo y.

2.4 A forma usada em modelos

Nas aplicações, a função exponencial aparece com um valor inicial k:

• Para x = 0, f(0) = k: esse é o valor inicial, ou seja, o ponto em que o gráfico corta o eixo y.
• O número a é o fator pelo qual o valor é multiplicado a cada unidade de x.

Também aparecem translações verticais:

Nesse caso, a assíntota horizontal passa a ser a reta y = b, e a imagem fica deslocada. Por exemplo, a imagem de 2ˣ + 3 é ]3, +∞[.

2.5 A propriedade que define o crescimento exponencial

Compare duas funções, calculadas para valores de x igualmente espaçados:

x	0	1	2	3	4
Linear: 3x + 1	1	4	7	10	13
Exponencial: 3ˣ	1	3	9	27	81

• Na função linear, cada aumento de 1 em x soma uma quantidade constante (+3). As diferenças são constantes.
• Na função exponencial, cada aumento de 1 em x multiplica por uma quantidade constante (×3). As razões são constantes.

Esse é o critério para reconhecer um comportamento exponencial em uma tabela de dados. É também a ligação com as progressões: valores lineares formam uma PA, e valores exponenciais formam uma PG (bloco 10).

2.6 Injetividade

Como a função exponencial é sempre crescente ou sempre decrescente, ela nunca repete valores:

Essa propriedade é a base da resolução das equações exponenciais.

3. Equações exponenciais

3.1 Igualação de bases

Método: escreva os dois membros como potências da mesma base e iguale os expoentes.

Exemplo 1. 2ˣ = 32

2ˣ = 2⁵, logo x = 5

Exemplo 2. 9ˣ = 27

(3²)ˣ = 3³
3²ˣ = 3³
2x = 3, logo x = 3/2

Exemplo 3. (1/4)ˣ = 8

(2⁻²)ˣ = 2³
2⁻²ˣ = 2³
−2x = 3, logo x = −3/2

Exemplo 4. 5^(x² − 3x) = 1/25

5^(x² − 3x) = 5⁻²
x² − 3x = −2
x² − 3x + 2 = 0, logo x = 1 ou x = 2

Exemplo 5. √(2ˣ) = 16

2^(x/2) = 2⁴
x/2 = 4, logo x = 8

3.2 Fator comum em evidência

Quando aparecem potências da mesma base com expoentes que diferem por uma constante, coloque a menor potência em evidência.

Exemplo 1. 2^(x + 1) + 2ˣ = 24

2ˣ · 2 + 2ˣ = 24
2ˣ(2 + 1) = 24
2ˣ = 8, logo x = 3

Exemplo 2. 3^(x + 2) − 3ˣ = 72

3ˣ · 9 − 3ˣ = 72
3ˣ(9 − 1) = 72
3ˣ = 9, logo x = 2

3.3 Mudança de variável

Quando a equação envolve uma potência e o seu quadrado, como 4ˣ e 2ˣ, faz-se a substituição y = 2ˣ. Assim, 4ˣ = (2ˣ)² = y², e a equação vira uma equação do 2º grau.

Exemplo 1. 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0

1. Com y = 2ˣ: y² − 6y + 8 = 0, cujas raízes são y = 2 ou y = 4.
2. Voltando: 2ˣ = 2 leva a x = 1; 2ˣ = 4 leva a x = 2.
3. S = {1, 2}.

Exemplo 2. 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0

1. Com y = 3ˣ: y² − 4y + 3 = 0, cujas raízes são y = 1 ou y = 3.
2. Voltando: x = 0 ou x = 1.
3. S = {0, 1}.

Atenção: descarte valores negativos de y. Como y = aˣ é sempre positivo, raízes negativas da equação auxiliar não têm correspondente.

Exemplo 3. 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0

1. Com y = 2ˣ: y² − 3y − 4 = 0, cujas raízes são y = 4 ou y = −1.
2. A raiz y = −1 é descartada, porque 2ˣ nunca é negativo.
3. 2ˣ = 4 leva a x = 2.

3.4 Quando as bases não podem ser igualadas

Equações como 2ˣ = 10 não podem ser resolvidas por igualação de bases, porque 10 não é potência inteira de 2. Elas exigem logaritmos, estudados no bloco 20.

4. Inequações exponenciais

4.1 A regra

Depois de igualar as bases:

Por que funciona. Se a > 1, a função é crescente: potências maiores têm expoentes maiores. Se 0 < a < 1, a função é decrescente: potências maiores têm expoentes menores.

4.2 Exemplos

Exemplo 1. 2ˣ > 16

2ˣ > 2⁴. Como a base é maior que 1, x > 4.

Exemplo 2. (1/3)ˣ ≥ 9

(1/3)ˣ ≥ (1/3)⁻². Como a base está entre 0 e 1, a desigualdade se inverte: x ≤ −2.

Exemplo 3. 3^(x² − 1) < 27

3^(x² − 1) < 3³
x² − 1 < 3
x² < 4, logo −2 < x < 2

Exemplo 4. 0,5^(2x − 1) > 0,25

0,5^(2x − 1) > 0,5²
Como a base é menor que 1: 2x − 1 < 2, logo x < 3/2

5. Modelos de crescimento e decrescimento

5.1 O modelo geral

Uma grandeza que varia por um fator constante a cada período é descrita por:

• Q₀ é o valor inicial;
• t é o número de períodos;
• a é o fator por período.

O fator vem diretamente da taxa percentual, como no artigo de Porcentagem:

• crescimento de i por período: a = 1 + i;
• decrescimento de i por período: a = 1 − i.

5.2 Quando o período não é a unidade de tempo

Se a grandeza é multiplicada por um fator a a cada intervalo de duração T, depois de um tempo t houve t/T intervalos:

Dois casos aparecem com muita frequência:

• tempo de duplicação T: Q(t) = Q₀ · 2^(t/T);
• meia-vida T: Q(t) = Q₀ · (1/2)^(t/T).

5.3 Crescimento exponencial

Bactérias. Uma colônia de 1.000 bactérias dobra a cada 20 minutos. Quantas haverá depois de 2 horas?

Q = 1.000 · 2^(120/20) = 1.000 · 2⁶ = 64.000 bactérias

População. Uma cidade cresce 2% ao ano. Depois de 10 anos, sua população fica multiplicada por:

1,02¹⁰ ≈ 1,219

O aumento é de cerca de 21,9%, e não de 20%, porque cada ano incide sobre a população já aumentada.

Regra prática do tempo de duplicação. Para taxas pequenas, o tempo para uma grandeza dobrar é aproximadamente:

Com crescimento de 2% ao ano, a população dobra em cerca de 70 ÷ 2 = 35 anos. De fato, 1,02³⁵ ≈ 2,0. Essa regra é uma aproximação, útil para estimativas rápidas.

Propagação. Se cada pessoa que recebe uma mensagem a repassa para 3 novas pessoas a cada hora, o número de novos recebimentos na hora t é proporcional a 3ᵗ. Essa é a origem da expressão "viralizar".

5.4 Decrescimento exponencial

Meia-vida de radioisótopos. O iodo-131, usado em medicina, tem meia-vida de cerca de 8 dias. De uma amostra de 80 mg, depois de 24 dias, que correspondem a 3 meias-vidas, restam:

80 · (1/2)³ = 10 mg

Datação por carbono-14. O carbono-14 tem meia-vida de cerca de 5.730 anos. Um fóssil que conserva 25% do carbono-14 original passou por 2 meias-vidas, pois (1/2)² = 1/4. Sua idade é estimada em 2 · 5.730 = 11.460 anos.

Depreciação. Um carro de R$ 50.000 perde 20% do valor a cada ano. Seu valor é V(t) = 50.000 · 0,8ᵗ. Depois de 3 anos:

50.000 · 0,512 = R$ 25.600

5.5 Determinando o modelo a partir de dados

Exemplo 1. O gráfico de uma grandeza exponencial passa pelos pontos (0, 500) e (2, 2.000).

1. O valor inicial é Q₀ = 500.
2. Em dois períodos, o valor foi multiplicado por 2.000 ÷ 500 = 4. Então a² = 4, e a = 2.
3. Q(t) = 500 · 2ᵗ.

Exemplo 2. Uma grandeza passa de 1.200, em t = 0, para 150, em t = 3.

1. O fator em 3 períodos é 150 ÷ 1.200 = 1/8. Então a³ = 1/8, e a = 1/2.
2. Q(t) = 1.200 · (1/2)ᵗ. A grandeza cai pela metade a cada período.

5.6 Crescimento exponencial supera o linear

Uma grandeza que cresce exponencialmente, com fator a > 1, pode começar menor que outra que cresce linearmente. Mas, a partir de certo momento, sempre a ultrapassa, e a diferença aumenta cada vez mais rápido. Esse comportamento foi observado no artigo de Sequências e Progressões, na comparação entre PA e PG.

5.7 Aproximação de um valor-limite

Algumas grandezas se aproximam exponencialmente de um valor fixo. É o caso de uma bebida quente esfriando até a temperatura ambiente.

Uma xícara de café a 100 °C está em uma sala a 20 °C. A diferença de temperatura cai pela metade a cada 10 minutos:

T(t) = 20 + 80 · (1/2)^(t/10)

• Depois de 10 minutos: 20 + 40 = 60 °C.
• Depois de 20 minutos: 20 + 20 = 40 °C.

O café nunca chega exatamente a 20 °C pelo modelo, mas se aproxima cada vez mais. A reta y = 20 é a assíntota horizontal.

6. Juros compostos (noção)

Nos juros compostos, os juros de cada período são calculados sobre o montante acumulado, que inclui os juros anteriores. O montante após t períodos, à taxa i, é:

Essa é exatamente uma função exponencial do tempo.

Exemplo. R$ 1.000,00 aplicados a 10% ao mês durante 3 meses:

• juros compostos: 1.000 · 1,1³ = R$ 1.331,00;
• juros simples: 1.000 + 3 · 100 = R$ 1.300,00.

A diferença aumenta com o tempo. O tema é aprofundado no bloco 21, em que os logaritmos permitem calcular o tempo e a taxa.

7. A base e (noção)

Em ciências, aparece com frequência a função exponencial de base e, em que e é um número irracional, e ≈ 2,718. Ela descreve processos de crescimento ou decrescimento contínuo, como o decaimento radioativo, o crescimento de populações em condições ideais e a capitalização contínua.

Todas as propriedades estudadas aqui valem para a base e. Nas questões do ENEM, quando aparece, o valor das potências de e é fornecido no enunciado.

8. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
Função exponencial (2ˣ)	Função potência (x²)	Na exponencial, a variável está no expoente
Crescimento linear	Crescimento exponencial	Linear soma uma constante; exponencial multiplica por uma constante
Diferenças constantes	Razões constantes	Indicam, respectivamente, PA (linear) e PG (exponencial)
Base a > 1	Base 0 < a < 1	Crescente ou decrescente; a segunda inverte as inequações
Imagem ]0, +∞[	Imagem ℝ	A exponencial nunca é zero nem negativa
Taxa de 20%	Fator 0,2	Uma perda de 20% corresponde ao fator 0,8; um ganho de 20%, ao fator 1,2
Meia-vida	Tempo para acabar	Após cada meia-vida, resta metade; a quantidade nunca chega exatamente a zero
Juros compostos	Juros simples	Compostos crescem exponencialmente; simples, linearmente
y = 2ˣ na mudança de variável	Raízes negativas de y	Valores negativos de y são descartados

9. Erros recorrentes e como evitá-los

Usar a taxa no lugar do fator. Modelar uma perda de 25% como 0,25ᵗ. Controle: o fator de uma perda é 1 − i; o de um ganho, 1 + i.

Tratar um crescimento exponencial como linear. Somar o mesmo valor a cada período. Controle: verifique se o enunciado fala em multiplicar, dobrar, reduzir pela metade ou em uma porcentagem constante.

Contar errado o número de períodos. Em 3 horas, com duplicação a cada 30 minutos, há 6 períodos, e não 3. Controle: calcule t/T.

Esquecer de inverter a inequação quando a base está entre 0 e 1. Controle: verifique a base depois de igualar.

Não descartar raízes negativas na mudança de variável. Controle: lembre que aˣ é sempre positivo.

Igualar expoentes de bases diferentes. Controle: só se igualam expoentes depois de escrever os dois membros na mesma base.

Errar o sinal ao reescrever frações como potências. Controle: 1/4 = 2⁻², e não 2².

Supor que a meia-vida leva a grandeza a zero. Controle: após n meias-vidas, resta (1/2)ⁿ do valor inicial.

Verificação geral. Substitua a solução na equação original. Em modelos, confira o valor em t = 0 e o comportamento esperado: crescente ou decrescente.

10. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H20, nível fácil)

O gráfico de uma função exponencial f é uma curva que passa pelos pontos (0, 3) e (1, 6). A lei de formação de f é:

A) f(x) = 2ˣ
B) f(x) = 3ˣ
C) f(x) = 3 · 2ˣ
D) f(x) = 2 · 3ˣ
E) f(x) = 3x + 3

Gabarito: C

Resolução.

1. Pela forma f(x) = k · aˣ, f(0) = k = 3.
2. f(1) = 3a = 6, logo a = 2.
3. f(x) = 3 · 2ˣ.

Análise dos distratores.

• E: é uma função afim que passa pelos dois pontos, mas seu gráfico é uma reta, e não uma curva exponencial.
• A: não passa por (0, 3), porque 2⁰ = 1.
• D: troca o valor inicial com o fator.

Questão 2 (H21, nível fácil)

Uma cultura começa com 500 bactérias, e sua população dobra a cada 30 minutos. Após 3 horas, o número de bactérias será:

A) 3.000
B) 3.500
C) 16.000
D) 32.000
E) 64.000

Gabarito: D

Resolução. Em 3 horas, há 6 períodos de 30 minutos. A população é 500 · 2⁶ = 500 · 64 = 32.000.

Análise dos distratores.

• A: multiplica 500 pelo número de períodos, tratando o crescimento como linear.
• B: soma 500 a cada período, também linearmente.
• C: usa 5 períodos.
• E: usa 7 períodos.

Questão 3 (H21, nível médio)

O carbono-14 tem meia-vida de aproximadamente 5.730 anos. Em um fóssil, verificou-se que restavam 12,5% do carbono-14 que o organismo tinha quando estava vivo. A idade estimada do fóssil é:

A) 5.730 anos
B) 11.460 anos
C) 17.190 anos
D) 45.840 anos
E) 716 anos

Gabarito: C

Resolução. Como 12,5% = 1/8 = (1/2)³, passaram-se 3 meias-vidas: 3 · 5.730 = 17.190 anos.

Análise dos distratores.

• B: corresponde a 2 meias-vidas, ou seja, a 25% restante.
• D: multiplica a meia-vida por 8, confundindo a fração 1/8 com o número de meias-vidas.
• E: divide a meia-vida por 8.

Questão 4 (H21, nível médio)

A soma das soluções da equação 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 8

Gabarito: C

Resolução.

1. Com y = 2ˣ: y² − 6y + 8 = 0, com raízes y = 2 e y = 4.
2. Voltando: x = 1 e x = 2.
3. A soma é 3.

Análise dos distratores.

• D: soma os valores de y, e não os de x.
• E: multiplica os valores de y.
• B: considera apenas a maior solução.

Questão 5 (H19, nível médio)

Uma máquina industrial custa hoje R$ 80.000,00 e perde 25% do seu valor a cada ano, sempre em relação ao valor do ano anterior. O valor V da máquina, t anos após a compra, é dado por:

A) V = 80.000 − 25t
B) V = 80.000 · 0,25ᵗ
C) V = 80.000 · 0,75ᵗ
D) V = 80.000 · (1 − 0,25t)
E) V = 80.000 · 1,25⁻ᵗ

Gabarito: C

Resolução. A cada ano, o valor fica multiplicado por 1 − 0,25 = 0,75. Então V = 80.000 · 0,75ᵗ.

Análise dos distratores.

• B: usa a taxa de perda como fator, como se a máquina mantivesse apenas 25% do valor a cada ano.
• D: calcula a perda sempre sobre o valor inicial, o que é um modelo linear.
• E: corresponde a um fator de 1/1,25 = 0,8, ou seja, a uma perda de 20% ao ano.
• A: desconta R$ 25,00 por ano.

Questão 6 (H23, nível difícil)

A cidade A tem hoje 100.000 habitantes, e sua população cresce 5.000 habitantes por ano. A cidade B tem hoje 50.000 habitantes, e sua população dobra a cada 10 anos. Mantidas essas tendências, as populações das duas cidades serão iguais daqui a:

A) 10 anos
B) 15 anos
C) 20 anos
D) 30 anos
E) nunca, pois a cidade A começou com o dobro da população.

Gabarito: C

Resolução.

• A(t) = 100.000 + 5.000t.
• B(t) = 50.000 · 2^(t/10).
• Para t = 20: A = 200.000 e B = 50.000 · 2² = 200.000.

As populações se igualam em 20 anos. Depois disso, B passa à frente: em 30 anos, A terá 250.000 habitantes, e B, 400.000.

Análise dos distratores.

• E: supõe que a vantagem inicial de um crescimento linear se mantém, ignorando que todo crescimento exponencial com fator maior que 1 acaba superando o linear.
• A: em 10 anos, A tem 150.000 habitantes, e B, apenas 100.000.

Questão 7 (H21, nível difícil)

A concentração de um medicamento no sangue, em mg/L, é dada por C(t) = 64 · (1/2)^(t/4), em que t é o tempo, em horas, desde a administração. O medicamento é considerado eficaz enquanto a concentração for de pelo menos 4 mg/L. O tempo máximo de eficácia é:

A) 4 horas
B) 12 horas
C) 15 horas
D) 16 horas
E) 20 horas

Gabarito: D

Resolução.

1. 64 · (1/2)^(t/4) ≥ 4 equivale a (1/2)^(t/4) ≥ 1/16 = (1/2)⁴.
2. Como a base está entre 0 e 1, a desigualdade se inverte: t/4 ≤ 4.
3. Logo, t ≤ 16 horas.

Análise dos distratores.

• B: considera 3 meias-vidas, em que a concentração ainda é de 8 mg/L.
• E: considera 5 meias-vidas, em que a concentração já é de 2 mg/L.
• C: supõe uma queda linear de 4 mg/L por hora.
• A: considera apenas uma meia-vida.

11. Perguntas frequentes

Qual a diferença entre função exponencial e função potência?

Na exponencial, a variável está no expoente, como em 2ˣ. Na potência, a variável está na base, como em x².

Por que a base da exponencial precisa ser positiva e diferente de 1?

Com base 1, a função seria constante. Com base negativa ou zero, a função não estaria definida para muitos valores de x.

Uma função exponencial pode valer zero?

Não. Sua imagem são os reais positivos. O gráfico se aproxima do eixo x sem nunca tocá-lo.

Como saber se dados de uma tabela seguem um modelo exponencial?

Para valores de x igualmente espaçados, as razões entre valores consecutivos de y são constantes.

Por que a inequação se inverte quando a base está entre 0 e 1?

Porque, nesse caso, a função é decrescente: valores maiores da potência correspondem a expoentes menores.

O que é meia-vida?

É o tempo necessário para que uma quantidade se reduza à metade. Após n meias-vidas, resta (1/2)ⁿ da quantidade inicial.

Por que um aumento de 2% ao ano durante 10 anos não dá 20%?

Porque cada aumento incide sobre o valor já aumentado. O fator acumulado é 1,02¹⁰ ≈ 1,219.

O que fazer quando não dá para igualar as bases?

Usar logaritmos, estudados no bloco 20.

Qual a relação entre função exponencial e progressão geométrica?

Os valores de uma exponencial em pontos igualmente espaçados formam uma PG. A PG é a versão "em degraus" da função exponencial.

13. Síntese

A função exponencial f(x) = aˣ, com a > 0 e a ≠ 1, tem a variável no expoente. Seu domínio são todos os reais, e sua imagem, os reais positivos. Seu gráfico passa por (0, 1) e tem o eixo x como assíntota. É crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.

A propriedade característica do crescimento exponencial é que acréscimos iguais em x multiplicam y pelo mesmo fator. Por isso, os valores formam uma progressão geométrica. Todo crescimento exponencial com fator maior que 1 acaba superando qualquer crescimento linear.

As equações exponenciais se resolvem:

• igualando as bases e, depois, os expoentes;
• colocando a menor potência em evidência;
• por mudança de variável, descartando valores negativos.

Nas inequações, a desigualdade se mantém quando a base é maior que 1 e se inverte quando está entre 0 e 1.

Os modelos de crescimento e decrescimento têm a forma Q(t) = Q₀ · aᵗ, com fator 1 + i para crescimento e 1 − i para decrescimento. Com tempo de duplicação ou meia-vida T, o modelo é Q₀ · 2^(t/T) ou Q₀ · (1/2)^(t/T). Os juros compostos, M = C(1 + i)ᵗ, são uma função exponencial do tempo.

Situação	Ferramenta
Igualar bases	escrever como potências da mesma base
Potências com expoentes x + k	colocar aˣ em evidência
Termos aˣ e a²ˣ	mudança de variável y = aˣ (y > 0)
Inequação com a > 1	mantém o sentido
Inequação com 0 < a < 1	inverte o sentido
Crescimento de i por período	Q₀ · (1 + i)ᵗ
Decrescimento de i por período	Q₀ · (1 − i)ᵗ
Tempo de duplicação T	Q₀ · 2^(t/T)
Meia-vida T	Q₀ · (1/2)^(t/T)
Modelo a partir de dois pontos	valor inicial + fator por período
Bases não igualáveis	logaritmos (bloco 20)

14. Glossário

Termo	Definição
Função exponencial	Função f(x) = aˣ, com a > 0 e a ≠ 1
Base	Número a que é elevado à variável
Assíntota horizontal	Reta da qual o gráfico se aproxima sem tocá-la
Crescimento exponencial	Variação em que a grandeza é multiplicada por um fator maior que 1 a cada período
Decrescimento exponencial	Variação em que a grandeza é multiplicada por um fator entre 0 e 1 a cada período
Fator de crescimento	Número pelo qual a grandeza é multiplicada a cada período
Tempo de duplicação	Tempo necessário para uma grandeza dobrar
Meia-vida	Tempo necessário para uma grandeza se reduzir à metade
Equação exponencial	Equação com a incógnita no expoente
Inequação exponencial	Desigualdade com a incógnita no expoente
Mudança de variável	Substituição de uma expressão por uma nova letra para simplificar a equação
Juros compostos	Regime em que os juros incidem sobre o montante acumulado
Número e	Constante irracional, aproximadamente 2,718, base das exponenciais naturais