Função do Segundo Grau

A função do segundo grau, ou função quadrática, descreve situações em que uma grandeza cresce até um ponto e depois decresce, ou decresce até um ponto e depois volta a crescer. Alguns exemplos:

• a trajetória de uma bola chutada;
• a área de um cercado construído com uma quantidade fixa de tela;
• a receita de uma empresa que reduz o preço para vender mais;
• o lucro que aumenta com a produção até certo nível e depois cai.

Apresentação

A trajetória parabólica. O vértice é o ponto mais alto.

O gráfico de todas essas situações é uma parábola, e o ponto de virada, o vértice, costuma ser a resposta procurada: a altura máxima, a área máxima, o lucro máximo, o custo mínimo.

Na Matriz de Referência, o tema pertence à Competência de área 5 e mobiliza todas as suas habilidades:

• H19: identificar a representação algébrica de uma relação entre grandezas;
• H20: interpretar o gráfico cartesiano dessa relação;
• H21: resolver situações-problema modeladas por ela;
• H22: usar esses conhecimentos para argumentar;
• H23: avaliar propostas de intervenção na realidade com base neles.

Itens de máximo e mínimo e de leitura de gráficos de parábolas estão entre os mais recorrentes do exame.

Este artigo apresenta:

1. a lei de formação e as situações que ela modela;
2. o significado geométrico de cada coeficiente;
3. as raízes, o discriminante e as relações de soma e produto;
4. as três formas de escrever a função (geral, fatorada e canônica);
5. o vértice, com a dedução de suas fórmulas;
6. a construção do gráfico, os intervalos de crescimento e o estudo do sinal;
7. os problemas de máximo e mínimo;
8. a interação entre funções do 1º e do 2º grau.

Pré-requisitos: equação do 2º grau (bloco 7) e o artigo de Função do Primeiro Grau (plano cartesiano, noção de função, domínio e imagem).

1. Lei de formação

1.1 Definição

Se a = 0, a função deixa de ser quadrática e passa a ser afim.

Função	a	b	c
f(x) = x² − 5x + 6	1	−5	6
f(x) = 3 − 2x²	−2	0	3
f(x) = 4x² + x	4	1	0
f(x) = (x − 1)(x + 4) = x² + 3x − 4	1	3	−4

Quando a lei aparece fatorada ou com os termos fora de ordem, é preciso desenvolver e ordenar antes de identificar os coeficientes.

1.2 Situações modeladas por funções quadráticas

Área. Um retângulo de perímetro 2L tem lados x e L − x. Sua área é:

A(x) = x(L − x) = −x² + Lx

Movimento uniformemente variado. A posição de um corpo com aceleração constante α é:

s(t) = s₀ + v₀t + (α/2)t²

Nessa fórmula, s₀ é a posição inicial, v₀ é a velocidade inicial e α é a aceleração. Usamos α, e não a, para não confundir a aceleração com o coeficiente a da função quadrática. A altura de um objeto lançado verticalmente para cima, desprezando a resistência do ar, tem essa forma.

Receita com preço variável. Se o preço de um produto depende da quantidade vendida segundo p = 50 − x, a receita é:

R(x) = x · p = x(50 − x) = −x² + 50x

Em todos os casos, a função quadrática surge do produto de duas grandezas que variam linearmente.

1.3 Valor numérico e equações

Para f(x) = x² − 5x + 6:

• f(2) = 4 − 10 + 6 = 0;
• f(−1) = 1 + 5 + 6 = 12.

A pergunta inversa, "para que valores de x temos f(x) = 2?", leva a uma equação:

x² − 5x + 6 = 2
x² − 5x + 4 = 0
x = 1 ou x = 4

1.4 Reconhecendo uma função quadrática em uma tabela

Na função afim, as diferenças entre valores consecutivos de y, para valores de x igualmente espaçados, são constantes. Na função quadrática, as diferenças das diferenças é que são constantes.

x	0	1	2	3	4
f(x) = x²	0	1	4	9	16
1ª diferença		1	3	5	7
2ª diferença			2	2	2

Para x variando de 1 em 1, a segunda diferença é igual a 2a. Esse critério permite identificar uma relação quadrática em dados tabelados, como os itens do ENEM costumam apresentar.

2. Os coeficientes e o gráfico

2.1 A parábola e o coeficiente a

O gráfico de toda função quadrática é uma parábola. O coeficiente a determina:

A concavidade (o sinal de a):

• a > 0: a concavidade é voltada para cima, e a função tem um ponto de mínimo;
• a < 0: a concavidade é voltada para baixo, e a função tem um ponto de máximo.

Uma forma de lembrar: a > 0 tem a forma de um sorriso, e a < 0, de uma careta.

A abertura (o valor absoluto de a):

Quanto maior o valor absoluto de a, mais fechada é a parábola. Compare:

• y = 0,5x² é mais aberta;
• y = x² é intermediária;
• y = 3x² é mais fechada.

Para x = 2, essas funções valem 2, 4 e 12, respectivamente. A terceira cresce muito mais rapidamente.

2.2 O coeficiente c

Como f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c, a parábola corta o eixo y no ponto (0, c).

• c > 0: o corte é acima da origem.
• c < 0: o corte é abaixo da origem.
• c = 0: a parábola passa pela origem.

2.3 O coeficiente b

O coeficiente b indica o comportamento da parábola no ponto em que ela corta o eixo y:

• b > 0: a parábola está subindo ao cruzar o eixo y;
• b < 0: a parábola está descendo ao cruzar o eixo y;
• b = 0: o vértice está sobre o eixo y, e a parábola é simétrica em relação a ele.

Uma forma equivalente de analisar b é pela posição do vértice. Como xᵥ = −b/2a (seção 6):

• se a e b têm o mesmo sinal, xᵥ < 0, e o vértice fica à esquerda do eixo y;
• se a e b têm sinais opostos, xᵥ > 0, e o vértice fica à direita do eixo y.

2.4 Lendo os sinais dos coeficientes a partir do gráfico

Observação no gráfico	Conclusão
Concavidade para cima	a > 0
Concavidade para baixo	a < 0
Corta o eixo y acima da origem	c > 0
Corta o eixo y abaixo da origem	c < 0
Vértice à direita do eixo y	a e b com sinais opostos
Vértice à esquerda do eixo y	a e b com o mesmo sinal
Corta o eixo x em dois pontos	Δ > 0
Toca o eixo x em um ponto	Δ = 0
Não toca o eixo x	Δ < 0

Exemplo. Uma parábola tem concavidade para baixo, corta o eixo y acima da origem e tem vértice à direita do eixo y.

• Concavidade para baixo: a < 0.
• Corte acima da origem: c > 0.
• Vértice à direita: a e b têm sinais opostos. Como a < 0, b > 0.

3. Raízes e discriminante

3.1 Zeros da função

As raízes, ou zeros, da função são os valores de x para os quais f(x) = 0. Geometricamente, são as abscissas dos pontos em que a parábola cruza ou toca o eixo x.

Elas são obtidas resolvendo a equação ax² + bx + c = 0, como no bloco 7:

3.2 O discriminante e o gráfico

Δ	Raízes reais	Posição da parábola em relação ao eixo x
Δ > 0	duas, distintas	corta o eixo x em dois pontos
Δ = 0	uma (dupla)	tangencia o eixo x no vértice
Δ < 0	nenhuma	não toca o eixo x

Exemplo. Para f(x) = x² − 6x + 5:

• Δ = 36 − 20 = 16;
• x = (6 ± 4) ÷ 2, ou seja, x = 1 ou x = 5.

A parábola corta o eixo x nos pontos (1, 0) e (5, 0).

4. Soma e produto das raízes

4.1 As relações de Girard

Dedução. As raízes são (−b + √Δ)/2a e (−b − √Δ)/2a.

• Soma: os termos com √Δ se cancelam, e sobra −2b/2a = −b/a.
• Produto: pelo produto da soma pela diferença, [(−b)² − (√Δ)²] ÷ 4a² = (b² − Δ) ÷ 4a² = 4ac ÷ 4a² = c/a.

4.2 Aplicações

Encontrar raízes mentalmente.

• Em x² − 7x + 10 = 0, a soma é 7, e o produto, 10. As raízes são 2 e 5.
• Em 2x² − 10x + 12 = 0, a soma é 10/2 = 5, e o produto, 12/2 = 6. As raízes são 2 e 3.

Determinar um coeficiente. A equação x² − 8x + k = 0 tem uma raiz igual ao triplo da outra. Qual é o valor de k?

1. Se x₂ = 3x₁, a soma é 4x₁ = 8, então x₁ = 2 e x₂ = 6.
2. O produto é k = 2 × 6 = 12.

Calcular expressões das raízes sem encontrá-las. A soma dos inversos das raízes é:

1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) ÷ (x₁ · x₂) = S/P

5. As três formas da função quadrática

5.1 Forma geral

Fornece diretamente a concavidade (a) e o corte com o eixo y (c).

5.2 Forma fatorada

Fornece diretamente as raízes. É a forma mais conveniente para encontrar a lei de uma parábola a partir das raízes e de mais um ponto.

Exemplo. Uma parábola tem raízes 1 e 5 e corta o eixo y no ponto (0, 10). Qual é sua lei?

1. f(x) = a(x − 1)(x − 5).
2. f(0) = a · (−1) · (−5) = 5a = 10, logo a = 2.
3. f(x) = 2(x − 1)(x − 5) = 2x² − 12x + 10.

5.3 Forma canônica

Fornece diretamente o vértice. É obtida completando quadrados.

Exemplo. Escrever f(x) = x² − 6x + 5 na forma canônica.

1. Os termos x² − 6x são o início de (x − 3)² = x² − 6x + 9.
2. Então x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4.
3. O vértice é (3, −4).

A forma canônica mostra por que o vértice é o ponto de mínimo quando a > 0. Como (x − 3)² nunca é negativo, f(x) nunca é menor que −4. Esse valor é atingido exatamente quando x = 3.

5.4 Qual forma usar

Informação desejada	Forma mais conveniente
Concavidade e corte no eixo y	Geral
Raízes	Fatorada
Vértice, máximo ou mínimo	Canônica
Lei a partir das raízes e de um ponto	Fatorada
Lei a partir do vértice e de um ponto	Canônica

6. O vértice

6.1 As fórmulas

6.2 Dedução pela simetria

A parábola é simétrica em relação a uma reta vertical que passa pelo vértice, o eixo de simetria. Então, se dois pontos da parábola têm a mesma altura, o vértice está exatamente no meio deles.

• f(0) = c.
• f(−b/a) = a · (b²/a²) − b²/a + c = b²/a − b²/a + c = c.

Os pontos de abscissas 0 e −b/a têm a mesma altura c. O vértice está no ponto médio entre eles:

xᵥ = [0 + (−b/a)] ÷ 2 = −b/2a

Quando a função tem raízes, o vértice também está no ponto médio entre elas:

xᵥ = (x₁ + x₂) ÷ 2 = (−b/a) ÷ 2 = −b/2a

Esse resultado é um atalho valioso: se as raízes são conhecidas, xᵥ é simplesmente a média entre elas.

6.3 Eixo de simetria e imagem

O eixo de simetria é a reta vertical x = xᵥ.

A imagem da função, o conjunto dos valores que f(x) assume, depende da concavidade:

• a > 0: Im = [yᵥ, +∞[, porque yᵥ é o menor valor;
• a < 0: Im = ]−∞, yᵥ], porque yᵥ é o maior valor.

6.4 Exemplos

Exemplo 1: f(x) = −x² + 6x − 5

• xᵥ = −6 ÷ (−2) = 3
• yᵥ = f(3) = −9 + 18 − 5 = 4
• V(3, 4), ponto de máximo. Im = ]−∞, 4].

Conferindo pela outra fórmula: Δ = 36 − 20 = 16, e −Δ/4a = −16 ÷ (−4) = 4. Conferindo pelas raízes (1 e 5): o ponto médio é 3.

Exemplo 2: f(x) = 2x² − 8x + 3

• xᵥ = 8 ÷ 4 = 2
• yᵥ = f(2) = 8 − 16 + 3 = −5
• V(2, −5), ponto de mínimo. Im = [−5, +∞[.

7. Construção e leitura do gráfico

7.1 Roteiro para esboçar a parábola

1. Concavidade: sinal de a.
2. Corte no eixo y: ponto (0, c).
3. Raízes: cortes no eixo x, se houver.
4. Vértice: (xᵥ, yᵥ).
5. Ponto simétrico ao corte no eixo y: (−b/a, c), que tem a mesma altura de (0, c).
6. Ligue os pontos com uma curva suave e simétrica.

7.2 Exemplo completo

Esboçar o gráfico de f(x) = x² − 4x + 3.

1. a = 1 > 0: concavidade para cima.
2. Corte no eixo y: (0, 3).
3. Raízes: soma 4 e produto 3, ou seja, x = 1 e x = 3.
4. Vértice: xᵥ = 2 (média das raízes), yᵥ = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. V(2, −1).
5. Simétrico do corte no eixo y: (4, 3).

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	0	−1	0	3

A tabela evidencia a simetria em torno de x = 2.

7.3 Intervalos de crescimento e decrescimento

O vértice divide o domínio em dois intervalos.

	x < xᵥ	x > xᵥ
a > 0	decrescente	crescente
a < 0	crescente	decrescente

Exemplo: f(x) = x² − 4x + 3, com xᵥ = 2 e a > 0.

• Decrescente para x < 2.
• Crescente para x > 2.

8. Estudo do sinal

O estudo do sinal determina os intervalos em que f(x) é positiva, negativa ou nula. Ele é a base das inequações do 2º grau, tratadas no bloco 7.

Quando Δ > 0, com raízes x₁ < x₂:

	x < x₁	x₁ < x < x₂	x > x₂
a > 0	positiva	negativa	positiva
a < 0	negativa	positiva	negativa

Regra prática: fora das raízes, a função tem o mesmo sinal de a. Entre as raízes, tem o sinal contrário ao de a.

Quando Δ = 0: a função tem o sinal de a em todos os pontos, exceto na raiz, onde é nula.

Quando Δ < 0: a função tem o sinal de a em todos os pontos.

Exemplo: f(x) = −x² + 6x − 5, com raízes 1 e 5 e a < 0.

• f(x) > 0 para 1 < x < 5.
• f(x) < 0 para x < 1 ou x > 5.
• f(x) = 0 para x = 1 ou x = 5.

9. Problemas de máximo e mínimo

9.1 O princípio

Distinção fundamental:

• xᵥ responde onde, ou para qual valor da variável, o extremo ocorre;
• yᵥ responde qual é o valor máximo ou mínimo.

O ENEM pergunta, às vezes, um e, às vezes, o outro. Releia sempre a pergunta.

Roteiro:

1. Escreva a grandeza a ser otimizada como função de uma única variável.
2. Verifique a concavidade para saber se o vértice é máximo ou mínimo.
3. Calcule o vértice.
4. Verifique se o valor encontrado é compatível com o contexto (positivo, dentro dos limites do problema).
5. Responda o que foi perguntado: xᵥ, yᵥ ou alguma grandeza derivada deles.

9.2 Área máxima: cercado com quatro lados de tela

Com 100 m de tela, qual é o retângulo de maior área?

1. Os lados são x e 50 − x, porque o semiperímetro é 50.
2. A(x) = x(50 − x) = −x² + 50x.
3. xᵥ = 25. O outro lado é 50 − 25 = 25.
4. O retângulo de área máxima é um quadrado de 25 m × 25 m, com área de 625 m².

9.3 Área máxima: cercado junto a um muro

Com 60 m de tela, deseja-se cercar uma área retangular aproveitando um muro como um dos lados. Qual é a maior área possível?

1. Sejam x os dois lados perpendiculares ao muro e y o lado paralelo a ele. A tela cobre 2x + y = 60, logo y = 60 − 2x.
2. A(x) = x(60 − 2x) = −2x² + 60x.
3. xᵥ = −60 ÷ (−4) = 15 m. Então y = 30 m.
4. A área máxima é 15 × 30 = 450 m².

Neste caso, o retângulo ótimo não é um quadrado: o lado paralelo ao muro tem o dobro do outro. Supor que a resposta é sempre um quadrado é um erro comum.

9.4 Receita máxima

Um teatro cobra R$ 40,00 por ingresso e vende 300 ingressos por sessão. Uma pesquisa indica que cada R$ 1,00 de desconto aumenta as vendas em 10 ingressos. Qual preço maximiza a receita?

1. Seja d o desconto, em reais. O preço é 40 − d, e são vendidos 300 + 10d ingressos.
2. R(d) = (40 − d)(300 + 10d) = −10d² + 100d + 12.000.
3. dᵥ = −100 ÷ (−20) = 5.
4. O preço ótimo é R$ 35,00. São vendidos 350 ingressos, e a receita máxima é 35 × 350 = R$ 12.250,00.

Sem desconto, a receita seria 40 × 300 = R$ 12.000,00. O desconto aumenta a receita até certo ponto. A partir dele, o aumento nas vendas não compensa mais a redução no preço.

9.5 Altura máxima de um projétil

A altura de uma bola é h(t) = −5t² + 30t, em metros, com t em segundos.

• A altura máxima ocorre em tᵥ = −30 ÷ (−10) = 3 s.
• A altura máxima é h(3) = −45 + 90 = 45 m.
• A bola volta ao solo quando h(t) = 0, ou seja, em t = 0 ou t = 6 s.

O instante da altura máxima é exatamente a metade do tempo de voo, por causa da simetria da parábola.

9.6 Lucro máximo e custo mínimo

Lucro. Para L(x) = −x² + 40x − 300:

• xᵥ = 20;
• L(20) = −400 + 800 − 300 = 100.

Custo. Para C(x) = x² − 80x + 2.000, em que a > 0:

• o custo mínimo ocorre em xᵥ = 40;
• C(40) = 1.600 − 3.200 + 2.000 = 400.

10. Interação entre funções do 1º e do 2º grau

10.1 Interseção de reta e parábola

Para encontrar os pontos comuns entre uma reta y = mx + n e uma parábola y = ax² + bx + c, igualam-se as duas expressões. O resultado é uma equação do 2º grau. O discriminante dessa equação indica a posição relativa:

Δ da equação resultante	Posição da reta	Pontos comuns
Δ > 0	secante	dois
Δ = 0	tangente	um
Δ < 0	exterior	nenhum

10.2 Exemplos

Secante. Para y = x² e y = x + 2:

x² = x + 2
x² − x − 2 = 0
x = 2 ou x = −1

Os pontos são (2, 4) e (−1, 1).

Tangente. Para y = x² e y = 2x − 1:

x² − 2x + 1 = 0
Δ = 0, raiz dupla x = 1

A reta tangencia a parábola no ponto (1, 1).

Condição de tangência. Para que valor positivo de k a reta y = kx é tangente à parábola y = x² + 3?

1. x² + 3 = kx leva a x² − kx + 3 = 0.
2. Para tangência, Δ = k² − 12 = 0, logo k = 2√3.

10.3 Receita quadrática e custo linear

Uma empresa tem receita R(x) = −x² + 80x e custo C(x) = 20x + 500, em reais, em que x é a quantidade produzida.

O lucro é a diferença entre as duas funções:

L(x) = R(x) − C(x) = −x² + 60x − 500

Os pontos de equilíbrio são as interseções entre a reta do custo e a parábola da receita, ou seja, as raízes do lucro:

• Δ = 3.600 − 2.000 = 1.600;
• x = (60 ± 40) ÷ 2, ou seja, x = 10 ou x = 50.

O intervalo de lucro: há lucro positivo para 10 < x < 50, onde a parábola da receita está acima da reta do custo.

O lucro máximo ocorre em xᵥ = 30:

L(30) = −900 + 1.800 − 500 = R$ 400

Atenção: a receita máxima ocorre em x = 40, e não em x = 30. Maximizar a receita é diferente de maximizar o lucro. Esse é um dos distratores mais usados em itens desse tipo.

11. Distinções importantes

Conceito	Não confundir com	Diferença
xᵥ	yᵥ	xᵥ é onde o extremo ocorre; yᵥ é o valor do extremo
a > 0 (mínimo)	a < 0 (máximo)	A concavidade define o tipo de extremo
Coeficiente c	Raízes	c é o corte no eixo y; as raízes são os cortes no eixo x
Δ = 0	Δ < 0	Δ = 0: a parábola tangencia o eixo x; Δ < 0: não o toca
Forma fatorada	Forma canônica	A fatorada mostra as raízes; a canônica, o vértice
Máximo da receita	Máximo do lucro	O lucro considera os custos; os pontos de máximo diferem
Retângulo de área máxima com 4 lados de tela	Retângulo com muro	Só no primeiro caso a resposta é um quadrado
Secante	Tangente	Secante: dois pontos comuns; tangente: um
Diferenças constantes	Segundas diferenças constantes	A primeira indica função afim; a segunda, quadrática

12. Erros recorrentes e como evitá-los

Responder xᵥ quando se pede o valor máximo, ou o contrário. Controle: releia a pergunta. "Qual a altura máxima" pede yᵥ; "em que instante" pede xᵥ.

Errar o sinal de −b/2a. Controle: escreva os valores de a e b com sinal antes de substituir.

Identificar mal os coeficientes quando a lei está fora de ordem. Por exemplo, em f(x) = 3 − 2x², tomar a = 3. Controle: ordene os termos antes.

Supor que o retângulo de área máxima é sempre um quadrado. Controle: monte a função área de acordo com as condições do problema.

Maximizar a receita em vez do lucro. Controle: verifique qual grandeza o enunciado pede para otimizar e se há custos envolvidos.

Ler errado o sinal de b no gráfico. Controle: use a posição do vértice. Vértice à direita do eixo y significa a e b com sinais opostos.

Desconsiderar o contexto. Aceitar valores negativos de tempo, quantidade ou comprimento. Controle: verifique se a resposta é compatível com o problema.

Verificação geral. Confira o vértice por dois caminhos (−b/2a e média das raízes) e confira yᵥ calculando f(xᵥ).

13. Questões comentadas (autorais, padrão ENEM)

Questão 1 (H20, nível médio)

O gráfico de uma função f(x) = ax² + bx + c é uma parábola com concavidade voltada para cima, que corta o eixo y abaixo da origem e tem vértice à esquerda do eixo y. Sobre os sinais dos coeficientes, é correto afirmar que:

A) a > 0, b > 0 e c < 0
B) a > 0, b < 0 e c < 0
C) a < 0, b > 0 e c < 0
D) a > 0, b > 0 e c > 0
E) a < 0, b < 0 e c > 0

Gabarito: A

Resolução.

• Concavidade para cima: a > 0.
• Corte abaixo da origem: c < 0.
• Vértice à esquerda: xᵥ = −b/2a < 0. Como a > 0, isso exige b > 0.

Análise dos distratores.

• B: erra o sinal de b, supondo que um vértice à esquerda indica b negativo.
• C e E: erram a concavidade.
• D: erra o sinal de c.

Questão 2 (H21, nível fácil)

A altura h, em metros, de um projétil lançado verticalmente para cima é dada por h(t) = −5t² + 40t, com t em segundos. A altura máxima atingida pelo projétil é:

A) 4 m
B) 40 m
C) 80 m
D) 160 m
E) 320 m

Gabarito: C

Resolução.

• tᵥ = −40 ÷ (−10) = 4 s.
• h(4) = −80 + 160 = 80 m.

Análise dos distratores.

• A: dá o instante da altura máxima (xᵥ), e não a altura.
• D: calcula apenas o termo 40t em t = 4, ignorando o termo quadrático.

Questão 3 (H21, nível médio)

Um agricultor dispõe de 80 m de tela para cercar uma horta retangular. Um dos lados da horta será o muro da propriedade, que não precisa de tela. A maior área que a horta pode ter é:

A) 400 m²
B) 600 m²
C) 800 m²
D) 1.600 m²
E) 3.200 m²

Gabarito: C

Resolução.

1. Com x os lados perpendiculares ao muro, o lado paralelo mede 80 − 2x.
2. A(x) = x(80 − 2x) = −2x² + 80x.
3. xᵥ = 20 m, e o lado paralelo mede 40 m.
4. A área máxima é 20 × 40 = 800 m².

Análise dos distratores.

• A: considera 80 m de tela para os quatro lados e supõe um quadrado de 20 m.
• D: monta a área como x(80 − x), esquecendo que são dois lados perpendiculares ao muro.

Questão 4 (H21, nível médio)

Uma empresa de turismo cobra R$ 60,00 por passageiro em um passeio e tem, em média, 40 passageiros. Uma pesquisa indicou que cada redução de R$ 2,00 no preço atrai 4 passageiros a mais. Para maximizar a receita, o preço cobrado por passageiro deve ser:

A) R$ 20,00
B) R$ 30,00
C) R$ 40,00
D) R$ 50,00
E) R$ 60,00

Gabarito: C

Resolução.

1. Seja d o número de reduções de R$ 2,00. O preço é 60 − 2d, e o número de passageiros é 40 + 4d.
2. R(d) = (60 − 2d)(40 + 4d) = −8d² + 160d + 2.400.
3. dᵥ = −160 ÷ (−16) = 10.
4. O preço ótimo é 60 − 20 = R$ 40,00, com 80 passageiros e receita de R$ 3.200,00.

Análise dos distratores. A alternativa E corresponde a não dar desconto, o que dá receita de apenas R$ 2.400,00. As demais resultam de erros no cálculo do vértice ou na conversão do número de reduções em preço.

Questão 5 (H19, nível médio)

Uma parábola tem raízes −1 e 3 e passa pelo ponto (1, 8). A lei da função correspondente é:

A) f(x) = x² − 2x − 3
B) f(x) = −x² + 2x + 3
C) f(x) = −2x² + 4x + 6
D) f(x) = 2x² − 4x − 6
E) f(x) = −2x² − 4x + 6

Gabarito: C

Resolução.

1. Pela forma fatorada, f(x) = a(x + 1)(x − 3).
2. f(1) = a · 2 · (−2) = −4a = 8, logo a = −2.
3. f(x) = −2(x² − 2x − 3) = −2x² + 4x + 6.

Análise dos distratores.

• A: supõe a = 1, sem usar o ponto dado.
• B: usa a = −1. A função tem as raízes certas, mas passa por (1, 4), e não por (1, 8).
• D: erra o sinal de a.
• E: erra o sinal de b no desenvolvimento.

Questão 6 (H21, nível difícil)

Para que valor positivo de k a reta y = kx é tangente à parábola y = x² + 4?

A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16

Gabarito: C

Resolução.

1. Igualando: x² + 4 = kx, ou seja, x² − kx + 4 = 0.
2. Para que a reta seja tangente, a equação deve ter uma única raiz: Δ = k² − 16 = 0.
3. Logo, k = 4 (o valor positivo).

Análise dos distratores.

• E: dá o valor de k², e não de k.
• B: é a raiz de 4, confundida com a solução.

Questão 7 (H23, nível difícil)

Uma empresa tem receita R(x) = −x² + 80x e custo C(x) = 20x + 500, em reais, em que x é o número de unidades produzidas e vendidas. A quantidade que maximiza o lucro e o lucro máximo são, respectivamente:

A) 30 unidades e R$ 400,00
B) 40 unidades e R$ 1.600,00
C) 40 unidades e R$ 300,00
D) 10 unidades e R$ 0,00
E) 50 unidades e R$ 0,00

Gabarito: A

Resolução.

1. L(x) = R(x) − C(x) = −x² + 60x − 500.
2. xᵥ = 30.
3. L(30) = −900 + 1.800 − 500 = R$ 400,00.

Análise dos distratores.

• B: dá o ponto de receita máxima e o valor da receita máxima.
• C: usa a quantidade que maximiza a receita e calcula o lucro nela, que não é o máximo.
• D e E: são os pontos de equilíbrio, onde o lucro é zero.

14. Perguntas frequentes

Como saber se a parábola tem ponto de máximo ou de mínimo?

Pelo sinal de a. Se a > 0, a concavidade é para cima, e o vértice é ponto de mínimo. Se a < 0, é ponto de máximo.

O que o coeficiente c indica no gráfico?

O ponto em que a parábola corta o eixo y: (0, c).

Como descobrir o sinal de b olhando o gráfico?

Pela posição do vértice. Se o vértice está à direita do eixo y, a e b têm sinais opostos. Se está à esquerda, têm o mesmo sinal.

Por que xᵥ = −b/2a?

Porque a parábola é simétrica, e os pontos de abscissas 0 e −b/a têm a mesma altura. O vértice está no ponto médio entre eles.

Se eu conheço as raízes, como encontro o vértice rapidamente?

xᵥ é a média aritmética das raízes. Depois, calcule f(xᵥ).

Qual a diferença entre xᵥ e yᵥ em um problema?

xᵥ indica quando ou para qual quantidade o máximo ou mínimo ocorre. yᵥ indica qual é esse valor máximo ou mínimo.

O retângulo de área máxima é sempre um quadrado?

Apenas quando os quatro lados são feitos com o material disponível. Com um muro como um dos lados, o lado paralelo ao muro é o dobro do outro.

Como saber se uma reta corta, tangencia ou não toca uma parábola?

Iguale as duas equações e calcule o Δ da equação resultante. Se Δ > 0, a reta corta a parábola em dois pontos; se Δ = 0, é tangente; se Δ < 0, não a toca.

O ponto de receita máxima é o mesmo de lucro máximo?

Em geral, não. O lucro desconta os custos, e o ponto de máximo se desloca.

16. Síntese

A função quadrática f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, surge do produto de grandezas que variam linearmente: áreas, receitas, trajetórias. Seu gráfico é uma parábola. Em uma tabela com x igualmente espaçado, as segundas diferenças são constantes.

Cada coeficiente tem significado geométrico:

• a define a concavidade (para cima se positivo, para baixo se negativo) e a abertura;
• c é o corte no eixo y;
• b, combinado com a, define a posição do vértice em relação ao eixo y.

As raízes são os cortes no eixo x, e o discriminante indica quantos existem. As relações de Girard dão a soma (−b/a) e o produto (c/a) das raízes.

A função pode ser escrita em três formas:

• geral, que mostra a concavidade e o corte no eixo y;
• fatorada, que mostra as raízes;
• canônica, que mostra o vértice.

O vértice, de abscissa −b/2a, está no eixo de simetria e no ponto médio entre as raízes. É o ponto de mínimo quando a > 0 e o de máximo quando a < 0. Nos problemas de otimização, xᵥ indica onde o extremo ocorre, e yᵥ, o valor do extremo.

O estudo do sinal segue a regra: fora das raízes, sinal de a; entre elas, sinal contrário. A interseção entre reta e parábola se obtém igualando as funções, e o discriminante da equação resultante classifica a reta como secante, tangente ou exterior. Em problemas econômicos, o lucro é a diferença entre receita e custo, e seu máximo não coincide, em geral, com o da receita.

Situação	Ferramenta
Concavidade	sinal de a
Corte no eixo y	(0, c)
Raízes	Bhaskara ou soma e produto
Número de raízes	sinal de Δ
Abscissa do vértice	−b/2a ou média das raízes
Ordenada do vértice	f(xᵥ) ou −Δ/4a
Lei a partir das raízes	a(x − x₁)(x − x₂)
Lei a partir do vértice	a(x − xᵥ)² + yᵥ
Máximo ou mínimo	vértice
Sinal da função	fora das raízes, sinal de a
Reta e parábola	igualar e analisar Δ
Identificar quadrática em tabela	segundas diferenças constantes

17. Glossário

Termo	Definição
Função quadrática	Função da forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0
Parábola	Curva que representa o gráfico de uma função quadrática
Concavidade	Orientação da abertura da parábola, para cima ou para baixo
Raiz (zero)	Valor de x para o qual f(x) = 0
Discriminante (Δ)	b² − 4ac; determina o número de raízes reais
Relações de Girard	Soma (−b/a) e produto (c/a) das raízes
Vértice	Ponto de máximo ou de mínimo da parábola
Eixo de simetria	Reta vertical x = xᵥ que divide a parábola em duas partes simétricas
Forma fatorada	f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Forma canônica	f(x) = a(x − xᵥ)² + yᵥ
Imagem	Conjunto dos valores assumidos por f(x)
Estudo do sinal	Determinação dos intervalos em que a função é positiva, negativa ou nula
Reta secante	Reta que corta a parábola em dois pontos
Reta tangente	Reta que toca a parábola em um único ponto
Ponto de equilíbrio	Quantidade em que a receita iguala o custo