A Cinemática descreve como os corpos se movem, sem tratar das causas do movimento, que são objeto da Dinâmica. Para isso, usa um pequeno conjunto de grandezas: posição, deslocamento, velocidade e aceleração. Com elas, é possível responder a perguntas práticas: quanto tempo um carro leva para frear, a que altura chega uma bola lançada para cima, onde cai um objeto lançado de uma janela, com que velocidade gira a roda de uma bicicleta a cada pedalada.
Este artigo segue uma progressão em três partes. Primeiro, estuda os movimentos em linha reta, o movimento uniforme, o uniformemente variado e a queda livre, e mostra como os gráficos contêm as mesmas informações que as equações. Depois, introduz as grandezas vetoriais e o princípio da independência dos movimentos, que permite decompor lançamentos em duas dimensões. Por fim, trata do movimento circular uniforme e da transmissão de movimento por engrenagens e polias.
1. Referencial e conceitos fundamentais
1.1 Referencial
Um corpo está em movimento quando sua posição muda com o tempo em relação a um referencial, um corpo ou sistema de coordenadas adotado como base. Repouso e movimento são relativos: um passageiro sentado em um ônibus está em repouso em relação ao ônibus e em movimento em relação à rua. A trajetória também depende do referencial: um objeto solto por um passageiro de um trem em movimento retilíneo e uniforme cai em linha reta vertical para o passageiro e descreve um arco de parábola para um observador na plataforma.
Quando as dimensões de um corpo são desprezíveis em relação às distâncias envolvidas, ele é tratado como ponto material. Um ônibus em uma viagem de 400 km pode ser tratado assim; o mesmo ônibus manobrando em uma garagem é um corpo extenso, assim como um trem atravessando uma ponte (seção 2.5).
1.2 Posição e deslocamento escalar
Em uma trajetória orientada, a posição (s) indica onde o corpo está, medida a partir de uma origem. O sentido positivo é escolhido por quem descreve o movimento, e todas as grandezas com sinal passam a depender dessa escolha.
1.3 Distância percorrida e deslocamento
A distância percorrida (d) é a soma dos comprimentos de todos os trechos do caminho e nunca é negativa. O deslocamento considera apenas as posições inicial e final.
Um corredor que dá uma volta completa em uma pista de 400 m percorre 400 m, e seu deslocamento é nulo. Os módulos do deslocamento e da distância só coincidem quando o movimento ocorre em um único sentido.
1.4 Velocidade média e velocidade instantânea
A razão entre a distância percorrida e o tempo, sempre positiva, é a rapidez média, diferente da velocidade média quando há mudança de sentido. A velocidade instantânea é a velocidade em um instante determinado, que pode ser entendida como a velocidade média em um intervalo de tempo extremamente curto. O velocímetro de um carro indica o módulo da velocidade instantânea.
1.5 Aceleração (noção)
O movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta, o que ocorre quando velocidade e aceleração têm o mesmo sinal, e retardado quando o módulo diminui, com sinais opostos.
2. Movimento uniforme
2.1 Características
No movimento uniforme, a velocidade é constante e diferente de zero, e a aceleração é nula: o corpo percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Quando a trajetória é uma reta, fala-se em movimento retilíneo uniforme (MRU). O movimento é progressivo quando v > 0 e a posição aumenta, e retrógrado quando v < 0 e a posição diminui.
2.2 Função horária da posição
2.3 Gráficos do MU
| Gráfico | Forma | O que se lê |
|---|---|---|
| s × t | Reta inclinada: crescente se v > 0, decrescente se v < 0 | A inclinação é a velocidade |
| v × t | Reta horizontal, acima do eixo se v > 0, abaixo se v < 0 | A área sob a reta é o deslocamento |
| a × t | Reta sobre o eixo do tempo | a = 0 |
Identificação do MU por gráficos. Um trecho do gráfico s × t que é uma reta inclinada, ou um trecho do gráfico v × t que é uma reta horizontal fora do eixo, indica movimento uniforme. Uma reta horizontal no gráfico s × t indica repouso.
2.4 Encontro de móveis
Dois móveis na mesma trajetória se encontram quando ocupam a mesma posição no mesmo instante. O método é escrever as funções horárias com a mesma origem e a mesma orientação, igualar as posições e resolver para t.
2.5 Velocidade relativa
A velocidade relativa é a velocidade de um corpo medida por um observador em outro corpo em movimento. Em uma mesma trajetória, com velocidades constantes, seu módulo é a diferença entre os módulos quando os corpos vão no mesmo sentido e a soma quando vão em sentidos opostos. No exemplo anterior, os móveis se aproximam a 20 + 10 = 30 m/s e, separados por 300 m, encontram-se em 300/30 = 10 s.
Corpos extensos. Para um trem atravessar completamente uma ponte, sua traseira precisa sair do outro lado: o deslocamento é o comprimento da ponte mais o comprimento do trem. Um trem de 200 m a 20 m/s atravessa uma ponte de 100 m em (100 + 200)/20 = 15 s.
3. Movimento uniformemente variado
3.1 Características
No movimento uniformemente variado, a aceleração é constante e diferente de zero: a velocidade varia igualmente em intervalos de tempo iguais, linearmente com o tempo, e a posição varia de forma quadrática.
3.2 Equações horárias
A equação da posição pode ser obtida da velocidade média: Δs = vₘ · t = [(v₀ + v)/2] · t, e, substituindo v = v₀ + at, obtém-se Δs = v₀t + at²/2.
3.3 Equação de Torricelli
3.4 Gráficos do MUV
| Gráfico | Forma | O que se lê |
|---|---|---|
| s × t | Arco de parábola: concavidade para cima se a > 0, para baixo se a < 0 | A inclinação em cada ponto é a velocidade; o vértice corresponde a v = 0 |
| v × t | Reta inclinada | A inclinação é a aceleração; a área é o deslocamento |
| a × t | Reta horizontal fora do eixo | A área é a variação de velocidade |
Identificação do MUV por gráficos. No gráfico v × t, o MUV aparece como reta inclinada; no gráfico s × t, como arco de parábola. O instante em que a reta v × t cruza o eixo do tempo (v = 0) é o instante em que o movimento muda de sentido, e corresponde ao vértice da parábola no gráfico s × t.
4. Queda livre e lançamento vertical
4.1 Queda livre
Próximo à superfície da Terra, com resistência do ar desprezível, todos os corpos caem com a mesma aceleração, independentemente da massa: a aceleração da gravidade, g ≈ 9,8 m/s², dirigida para baixo. Em exercícios, é comum usar g = 10 m/s². Galileu Galilei, no início do século XVII, estudou a queda de corpos em planos inclinados e concluiu que a aceleração não depende da massa. Em 1971, na missão Apollo 15, o astronauta David Scott soltou um martelo e uma pena ao mesmo tempo na superfície da Lua, onde não há atmosfera, e os dois chegaram juntos ao solo.
Em queda livre, as distâncias percorridas em segundos consecutivos seguem a proporção 1 : 3 : 5 : 7 … Com g = 10 m/s², são 5 m no primeiro segundo, 15 m no segundo, 25 m no terceiro, e assim por diante. Essa regularidade, observada por Galileu, é característica de todo MUV que parte do repouso.
4.2 Lançamento vertical para cima
Com o eixo orientado para cima e a origem no ponto de lançamento, a aceleração vale −g durante todo o movimento: na subida, no ponto mais alto e na descida.
4.3 Tempo de subida, altura máxima e simetria
Sem resistência do ar, o movimento é simétrico: o tempo de descida até o ponto de lançamento é igual ao de subida, e o tempo total é 2tₛ; em cada altura, a velocidade na descida tem o mesmo módulo que na subida, com sentido oposto; e o corpo volta ao ponto de lançamento com velocidade de mesmo módulo que v₀.
5. Análise de gráficos cinemáticos
Por que a área do gráfico v × t é o deslocamento. Em um intervalo muito curto, a velocidade é praticamente constante, e o deslocamento é v · Δt, a área de uma faixa estreita sob a curva. Somando as faixas de todo o intervalo, obtém-se o deslocamento total. No MU, essa área é um retângulo; no MUV, é um trapézio, cuja área (v₀ + v)/2 · t reproduz a equação da seção 3.2. A soma com sinal das áreas dá o deslocamento; a soma dos módulos, a distância percorrida.
| Movimento | s × t | v × t | a × t |
|---|---|---|---|
| Repouso | Reta horizontal | Reta sobre o eixo | Reta sobre o eixo |
| MU | Reta inclinada | Reta horizontal fora do eixo | Reta sobre o eixo |
| MUV | Arco de parábola | Reta inclinada | Reta horizontal fora do eixo |
6. Grandezas vetoriais e cinemática vetorial
6.1 Grandezas escalares e vetoriais
Grandezas escalares ficam definidas por um número e uma unidade: massa, tempo, temperatura, distância percorrida. Grandezas vetoriais exigem, além do valor (módulo), uma direção e um sentido: deslocamento vetorial, velocidade, aceleração, força. Uma velocidade de 60 km/h não diz para onde o carro vai; "60 km/h para o norte" define a velocidade como vetor. Direção e sentido são coisas diferentes: uma rua norte-sul tem uma direção, e nela há dois sentidos. Um vetor é representado por uma seta, cujo comprimento corresponde ao módulo.
6.2 Soma de vetores
- Mesma direção e mesmo sentido: somam-se os módulos, 6 + 8 = 14.
- Mesma direção e sentidos opostos: subtraem-se os módulos, e o resultado tem o sentido do maior, 8 − 6 = 2.
- Direções perpendiculares: a resultante é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos vetores, pelo teorema de Pitágoras, √(6² + 8²) = 10.
- Caso geral: usa-se a regra do paralelogramo ou a regra do polígono, colocando a origem de cada vetor na extremidade do anterior.
Para dois vetores de módulos a e b, a resultante sempre fica entre |a − b| e a + b. Com 6 e 8, fica entre 2 e 14, conforme o ângulo entre eles.
6.3 Decomposição de vetores
Todo vetor pode ser decomposto em duas componentes perpendiculares.
| θ | 30° | 37° (aprox.) | 45° | 53° (aprox.) | 60° |
|---|---|---|---|---|---|
| sen θ | 0,5 | 0,6 | ≈ 0,71 | 0,8 | ≈ 0,87 |
| cos θ | ≈ 0,87 | 0,8 | ≈ 0,71 | 0,6 | 0,5 |
Os valores para 37° e 53° são aproximações muito usadas em exercícios, porque formam o triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5.
6.4 Velocidade vetorial e aceleração vetorial
A velocidade vetorial em cada instante é tangente à trajetória, no sentido do movimento, e seu módulo é o da velocidade escalar instantânea. Em uma curva, mesmo com velocímetro constante, a velocidade vetorial muda de direção. A aceleração vetorial mede como a velocidade vetorial varia e pode ser decomposta em duas componentes.
| Movimento | aₜ | a_cp |
|---|---|---|
| Retilíneo uniforme | 0 | 0 |
| Retilíneo uniformemente variado | ≠ 0 | 0 |
| Circular uniforme | 0 | ≠ 0 |
| Circular variado | ≠ 0 | ≠ 0 |
Um carro fazendo uma curva de raio 100 m a 20 m/s (72 km/h) tem aceleração centrípeta de 20²/100 = 4 m/s², mesmo com o velocímetro parado em 72 km/h.
6.5 Princípio da independência e composição de movimentos
Outros exemplos de composição: uma pessoa andando a 1 m/s sobre uma escada rolante que sobe a 0,5 m/s move-se a 1,5 m/s em relação ao solo; e, para o motorista de um carro em movimento, a chuva vertical parece cair inclinada, porque à velocidade das gotas se soma, em relação ao carro, uma velocidade horizontal em sentido contrário ao do movimento.
7. Lançamento horizontal e oblíquo
Com resistência do ar desprezível, a única aceleração de um projétil é a da gravidade. Pelo princípio da independência, o movimento se decompõe em duas partes: na horizontal, não há aceleração, e o movimento é uniforme; na vertical, a aceleração é g, e o movimento é uniformemente variado. A composição das duas produz uma trajetória em forma de parábola.
7.1 Lançamento horizontal
7.2 Lançamento oblíquo
Um corpo lançado com velocidade v₀, formando ângulo θ com a horizontal, a partir do solo e voltando ao mesmo nível, tem v₀ₓ = v₀ cos θ, constante durante todo o voo, e v₀ᵧ = v₀ sen θ, que se comporta como um lançamento vertical para cima.
7.3 Ângulo de lançamento e simetria
- No ponto mais alto, a componente vertical da velocidade é zero, mas a horizontal continua valendo v₀ₓ: a velocidade é mínima, mas não é nula, e a aceleração continua sendo g.
- A trajetória é simétrica em relação à vertical que passa pelo ponto mais alto: o tempo de subida é igual ao de descida, e, em pontos de mesma altura, as velocidades têm o mesmo módulo.
- O alcance máximo ocorre para θ = 45°, porque sen(2θ) é máximo quando 2θ = 90°.
- Ângulos complementares, como 30° e 60° ou 37° e 53°, produzem o mesmo alcance, porque sen(2 · 30°) = sen 60° = sen 120° = sen(2 · 60°). O ângulo maior leva a uma trajetória mais alta e a um voo mais longo.
8. Movimento circular uniforme
8.1 Período e frequência
No movimento circular uniforme, o corpo percorre uma circunferência com velocidade de módulo constante, e o movimento se repete em intervalos de tempo iguais. O período (T) é o tempo de uma volta completa, em segundos. A frequência (f) é o número de voltas por unidade de tempo, em hertz (Hz), uma volta por segundo, ou em rotações por minuto (rpm).
8.2 Velocidade angular
O ângulo descrito pelo corpo em torno do centro é o deslocamento angular (Δφ). Em Física, ângulos são medidos em radianos (rad): um ângulo de 1 rad corresponde a um arco de comprimento igual ao raio, e uma volta completa tem 2π rad, que equivale a 360°.
8.3 Velocidade linear e sua relação com ω
Em um disco girando, um ponto na borda e um ponto perto do centro completam uma volta no mesmo tempo, mas o ponto da borda percorre uma circunferência maior e se move mais depressa.
8.4 Aceleração centrípeta
No MCU, o módulo da velocidade é constante, mas sua direção muda continuamente. Por isso o MCU é um movimento acelerado, com aceleração dirigida para o centro.
9. Acoplamento de engrenagens e polias
Máquinas transmitem movimento circular de uma peça a outra por meio de engrenagens, correias, correntes e eixos. Há dois tipos de acoplamento, e cada um conserva uma grandeza diferente.
9.1 Contato ou correia: mesma velocidade linear
Em engrenagens em contato, polias ligadas por correia ou coroa e catraca ligadas por corrente, os pontos da periferia se movem juntos, sem escorregar, e têm a mesma velocidade linear.
Engrenagens em contato direto giram em sentidos opostos; polias com correia não cruzada giram no mesmo sentido.
9.2 Peças no mesmo eixo: mesma velocidade angular
9.3 A bicicleta
A bicicleta combina os dois tipos de acoplamento. O pedal e a coroa, no mesmo eixo, têm a mesma frequência. A coroa e a catraca, ligadas pela corrente, têm a mesma velocidade linear, e a frequência se multiplica pela razão entre os números de dentes. A catraca e a roda traseira, no mesmo eixo, têm a mesma frequência.
10. Exemplos resolvidos
11. Erros conceituais frequentes
| Erro | Por que está errado | Forma correta |
|---|---|---|
| Deslocamento é sempre igual à distância | O deslocamento depende só das posições inicial e final | Coincidem apenas sem mudança de sentido |
| Velocidade média é a média das velocidades | Os trechos podem ter durações diferentes | vₘ = Δs total / Δt total |
| Aceleração negativa é sempre frenagem | O sinal depende da orientação do eixo | Retardado: v e a com sinais opostos |
| No ponto mais alto, a aceleração é nula | A gravidade continua atuando | a = g, para baixo |
| Corpos mais pesados caem mais rápido | No vácuo, todos caem com a mesma aceleração | No ar, a resistência explica diferenças |
| O gráfico s × t mostra a trajetória | Ele mostra a posição no tempo | A trajetória pode ser retilínea com gráfico curvo |
| No lançamento oblíquo, a velocidade no topo é zero | A componente horizontal continua | v = v₀ₓ no ponto mais alto |
| Quanto maior o ângulo, maior o alcance | O alcance máximo ocorre em 45°, no vácuo | Ângulos complementares dão o mesmo alcance |
| A bola lançada horizontalmente demora mais para cair | O movimento vertical independe do horizontal | Cai junto com a bola largada |
| MCU não tem aceleração | A direção da velocidade muda | a_cp = v²/R, para o centro |
| A correnteza aumenta o tempo de travessia | Só a componente perpendicular às margens importa | O tempo depende da velocidade do barco |
| Polias ligadas por correia têm a mesma frequência | A correia iguala a velocidade linear | f · R é igual |
| Peças no mesmo eixo têm a mesma velocidade linear | O eixo iguala a velocidade angular | v proporcional ao raio |
12. Distinções importantes
Deslocamento e distância percorrida. O deslocamento tem sinal e depende das posições inicial e final; a distância soma todo o caminho e é sempre positiva.
Velocidade média e rapidez média. A velocidade média usa o deslocamento; a rapidez média usa a distância percorrida.
Velocidade nula e aceleração nula. No ponto mais alto de um lançamento vertical, a velocidade é nula, mas a aceleração é g.
MU e MUV. No MU, a velocidade é constante, e a aceleração é nula. No MUV, a aceleração é constante, e a velocidade varia linearmente.
Movimento acelerado e aceleração positiva. Acelerado significa módulo da velocidade crescente, com v e a de mesmo sinal; aceleração positiva é apenas o sinal em relação ao eixo escolhido.
Grandeza escalar e vetorial. A escalar tem só módulo e unidade; a vetorial tem módulo, direção e sentido.
Direção e sentido. A direção é a reta, como a horizontal ou norte-sul; o sentido é a orientação sobre ela.
Aceleração tangencial e centrípeta. A tangencial altera o módulo da velocidade; a centrípeta altera a direção.
Velocidade angular e velocidade linear. A angular mede o ângulo descrito por unidade de tempo e é igual para todos os pontos de um corpo rígido em rotação; a linear mede o comprimento percorrido por unidade de tempo e cresce com o raio.
Período e frequência. O período é o tempo de uma volta; a frequência é o número de voltas por unidade de tempo. Um é o inverso do outro.
Acoplamento por correia e por eixo. A correia, a corrente ou o contato conservam a velocidade linear; o eixo comum conserva a velocidade angular.
13. Perguntas frequentes
O que o velocímetro de um carro indica?
O módulo da velocidade instantânea. Não indica o sentido do movimento nem a velocidade média da viagem.
Por que a área do gráfico v × t corresponde ao deslocamento?
Em um intervalo curto, o deslocamento é aproximadamente v · Δt, a área de uma faixa estreita sob a curva. Somando as faixas de todo o intervalo, obtém-se o deslocamento total, com as áreas abaixo do eixo contadas como negativas.
Se a Terra gira a cerca de 1.670 km/h no Equador, por que não sentimos?
Porque não percebemos velocidade constante, apenas variações de velocidade. A aceleração centrípeta da rotação no Equador é ω²R ≈ 0,034 m/s², cerca de 0,3% de g, pequena demais para ser sentida no dia a dia.
Uma bala disparada horizontalmente e uma bala largada da mesma altura chegam juntas ao chão?
Sim, se o terreno for plano e a resistência do ar for desprezível. O movimento vertical das duas é idêntico; a bala disparada apenas cai muito mais longe.
O ângulo de 45° é sempre o melhor para lançar?
Apenas no vácuo, com lançamento e chegada no mesmo nível. Com resistência do ar, ou com lançamento acima do solo, o ângulo de alcance máximo é menor.
Por que o radiano é usado em vez do grau?
Porque, com ângulos em radianos, a relação entre arco e raio é direta: arco = ângulo · raio. Daí vem v = ωR sem constantes adicionais; com graus, seria preciso um fator de conversão em todas as fórmulas.
Em uma curva, o que produz a aceleração centrípeta de um carro?
O atrito entre os pneus e o asfalto, que atua para o centro da curva. A causa das acelerações é assunto da Dinâmica; a Cinemática apenas mede quanto vale essa aceleração, v²/R.
Por que a marcha "leve" da bicicleta faz andar mais devagar?
Porque usa uma catraca maior ou uma coroa menor: a roda dá menos voltas por pedalada, e a bicicleta avança menos a cada volta do pedal. Em compensação, a força necessária para pedalar é menor, o que ajuda nas subidas.
15. Síntese
O movimento é descrito em relação a um referencial. A posição, o deslocamento e a velocidade podem ter sinal, que depende da orientação escolhida, e a distância percorrida é sempre positiva. A velocidade média é o deslocamento total dividido pelo tempo total, e a aceleração mede a variação da velocidade por unidade de tempo.
No movimento uniforme, a velocidade é constante, e a posição é uma função do primeiro grau do tempo. No uniformemente variado, a aceleração é constante, a velocidade varia linearmente e a posição varia de forma quadrática; a equação de Torricelli relaciona velocidade e deslocamento sem o tempo. A queda livre e o lançamento vertical são MUV com aceleração g, independente da massa: no ponto mais alto, a velocidade é nula, mas a aceleração não, e o movimento é simétrico. Nos gráficos, a inclinação do s × t é a velocidade, a inclinação do v × t é a aceleração, e a área sob o v × t é o deslocamento.
Velocidade e aceleração são grandezas vetoriais. A velocidade é tangente à trajetória; a aceleração tangencial altera seu módulo, e a centrípeta, sua direção. Pelo princípio da independência, movimentos simultâneos se compõem vetorialmente: nos lançamentos, o movimento horizontal é uniforme e o vertical é uniformemente variado, o que produz trajetórias parabólicas, com alcance máximo a 45° no vácuo e mesmo alcance para ângulos complementares.
No movimento circular uniforme, o período e a frequência descrevem a repetição, a velocidade angular é ω = 2πf, a linear é v = ωR, e a aceleração centrípeta, a_cp = v²/R, aponta para o centro. Nos acoplamentos, correias, correntes e engrenagens conservam a velocidade linear, e eixos comuns conservam a velocidade angular.
16. Glossário
| Termo | Significado |
|---|---|
| Aceleração | Variação da velocidade por unidade de tempo |
| Aceleração centrípeta | Componente da aceleração dirigida ao centro da curva; altera a direção da velocidade |
| Aceleração tangencial | Componente da aceleração na direção da velocidade; altera seu módulo |
| Alcance | Distância horizontal percorrida por um projétil |
| Deslocamento escalar | Variação de posição, Δs = s − s₀ |
| Frequência | Número de repetições por unidade de tempo |
| Hertz (Hz) | Unidade de frequência; uma repetição por segundo |
| Movimento progressivo | Movimento no sentido positivo da trajetória |
| Movimento retrógrado | Movimento no sentido negativo da trajetória |
| Período | Tempo de uma repetição completa |
| Ponto material | Corpo cujas dimensões são desprezíveis no problema |
| Radiano | Ângulo cujo arco tem comprimento igual ao raio; uma volta tem 2π rad |
| Referencial | Corpo ou sistema de coordenadas em relação ao qual se descreve o movimento |
| Trajetória | Caminho descrito por um corpo em relação a um referencial |
| Velocidade angular | Ângulo descrito por unidade de tempo |
| Velocidade linear | Distância percorrida sobre a trajetória por unidade de tempo |
| Velocidade relativa | Velocidade de um corpo medida em relação a outro corpo em movimento |
| Velocidade terminal | Velocidade constante atingida quando a resistência do ar equilibra o peso |
14. Exercícios de fixação
Questões em ordem crescente de integração. Responda antes de abrir a resposta.
Exercício 1
AutoralUm corredor dá uma volta completa em uma pista de 400 m. Quais são o deslocamento e a distância percorrida?
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Resposta
Deslocamento nulo; distância de 400 m.
Exercício 2
AutoralConverta 108 km/h em m/s e 15 m/s em km/h.
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Resposta
30 m/s e 54 km/h.
Exercício 3
AutoralA posição de um móvel em MU é s = 10 + 5t, no SI. Qual é a velocidade, e qual é a posição em t = 4 s?
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Resposta
v = 5 m/s; s(4) = 10 + 20 = 30 m.
Exercício 4
AutoralOs móveis A (s = 50 + 10t) e B (s = 200 − 5t), no SI, estão na mesma trajetória. Quando e onde se encontram?
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Resposta
50 + 10t = 200 − 5t ⟹ 15t = 150 ⟹ t = 10 s, em s = 150 m.
Exercício 5
AutoralUm trem de 150 m, a 72 km/h, atravessa um túnel de 250 m. Quanto tempo leva?
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Resposta
72 km/h = 20 m/s. O deslocamento é 250 + 150 = 400 m, e o tempo é 400/20 = 20 s.
Exercício 6
AutoralUm carro vai de 0 a 108 km/h em 10 s, com aceleração constante. Qual é a aceleração e que distância ele percorre nesse intervalo?
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Resposta
108 km/h = 30 m/s, então a = 3 m/s². Por Torricelli, d = 30²/(2 · 3) = 150 m.
Exercício 7
AutoralUm carro a 20 m/s freia com aceleração de módulo 5 m/s². Em quanto tempo e em que distância para?
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Resposta
4 s e 40 m.
Exercício 8
AutoralUm objeto cai em queda livre de 80 m de altura (g = 10 m/s²). Quanto tempo leva e com que velocidade chega ao solo?
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Resposta
80 = 5t² ⟹ t = 4 s; v = 40 m/s.
Exercício 9
AutoralUma bola é lançada para cima a 30 m/s. Determine o tempo de subida, a altura máxima e o tempo total no ar.
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Resposta
tₛ = 3 s; H = 900/20 = 45 m; tempo total de 6 s.
Exercício 10
AutoralNo gráfico v × t, a velocidade cai de 20 m/s a −10 m/s em linha reta entre 0 e 3 s. Qual é a aceleração, o deslocamento e a distância percorrida?
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Resposta
a = −30/3 = −10 m/s². A velocidade se anula em t = 2 s. Área acima do eixo: 20 · 2/2 = 20 m; abaixo: 10 · 1/2 = 5 m. Deslocamento 15 m; distância 25 m.
Exercício 11
AutoralQual gráfico identifica cada movimento: (a) s × t reta horizontal; (b) v × t reta inclinada; (c) s × t reta inclinada?
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Resposta
(a) Repouso; (b) MUV; (c) MU.
Exercício 12
AutoralDois vetores têm módulos 6 e 8. Qual é a resultante se forem de mesma direção e mesmo sentido, de sentidos opostos e perpendiculares?
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Resposta
14, 2 e 10.
Exercício 13
AutoralUm barco a 5 m/s em relação à água atravessa perpendicularmente um rio de 100 m de largura, com correnteza de 2 m/s. Determine o tempo de travessia e o arrasto rio abaixo.
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Resposta
t = 100/5 = 20 s; arrasto de 2 · 20 = 40 m.
Exercício 14
AutoralUma bola é lançada horizontalmente a 10 m/s do alto de um prédio de 45 m. Qual é o tempo de queda e o alcance?
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Resposta
45 = 5t² ⟹ t = 3 s; A = 10 · 3 = 30 m.
Exercício 15
AutoralUm projétil é lançado a 20 m/s com ângulo de 30° (sen 30° = 0,5; cos 30° ≈ 0,87). Determine a altura máxima e o alcance.
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Resposta
v₀ᵧ = 10 m/s e v₀ₓ ≈ 17,4 m/s. H = 100/20 = 5 m. T = 2 s, e A ≈ 17,4 · 2 ≈ 34,8 m.
Exercício 16
AutoralPor que um lançamento a 30° e outro a 60°, com a mesma velocidade, têm o mesmo alcance?
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Resposta
Porque o alcance é proporcional a sen(2θ), e sen 60° = sen 120°. O lançamento a 60° sobe mais e fica mais tempo no ar, mas avança mais devagar na horizontal, e os dois efeitos se compensam.
Exercício 17
AutoralUma roda de raio 0,5 m completa uma volta a cada 0,5 s. Determine a frequência, a velocidade angular, a velocidade linear da borda e a aceleração centrípeta.
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Resposta
f = 2 Hz; ω = 4π ≈ 12,6 rad/s; v = ωR = 2π ≈ 6,3 m/s; a_cp = ω²R = 8π² ≈ 79 m/s².
Exercício 18
AutoralUm carro faz uma curva de raio 100 m a 72 km/h. Qual é sua aceleração centrípeta?
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Resposta
72 km/h = 20 m/s, então a_cp = 400/100 = 4 m/s².
Exercício 19
AutoralA polia A (raio 5 cm) gira a 1.200 rpm e está ligada por correia à polia B (raio 15 cm). Qual é a frequência de B?
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Resposta
f_B = 1.200 · 5/15 = 400 rpm.
Exercício 20
AutoralA engrenagem A, de 20 dentes, gira a 90 rpm no sentido horário e está em contato com a engrenagem B, de 60 dentes. Qual é a frequência e o sentido de B?
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Resposta
f_B = 90 · 20/60 = 30 rpm, no sentido anti-horário.
Exercício 21
AutoralEm uma bicicleta, a coroa tem 44 dentes, e a catraca, 11. Quantas voltas a roda dá por pedalada?
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Resposta
44/11 = 4 voltas.
Referências
- Galilei, G. Discursos e demonstrações matemáticas sobre duas novas ciências (1638). Queda dos corpos, movimento uniformemente acelerado e composição de movimentos dos projéteis.
Referência bibliográfica indicada no material fornecido.
- NASA. Registro da demonstração do martelo e da pena, missão Apollo 15, 1971 (David Scott).
Referência bibliográfica indicada no material fornecido.
- Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física, v. 1: Mecânica. Rio de Janeiro: LTC. A edição deve ser confirmada.
Referência bibliográfica indicada no material fornecido.
- Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica, v. 1: Mecânica. São Paulo: Blucher. A edição deve ser confirmada.
Referência bibliográfica indicada no material fornecido.
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9ª ed., 2019. Radiano e hertz.
Referência bibliográfica indicada no material fornecido.
- Brasil. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
Referência bibliográfica indicada no material fornecido.
- Figuras da Biblioteca ASSAAD
Ilustrações e diagramas integrantes do material fornecido.